专题02 相似三角形的判定（专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 以判定方法为脉络，构建“基础判定-条件补充-综合应用”三阶训练体系，突出高频考点与逻辑推理，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利用平行判定相似|5题|平行线分线段成比例转化|从基本图形到中点、矩形综合，强化转化思想| |利用两角对应相等判定|5题|公共角/对顶角+已知角证相似|结合菱形、圆等图形，培养角的转化能力| |两边夹角/三边判定|各5题|比例线段与夹角验证/三边比例计算|从选择到证明，深化定量分析思维| |补充条件/综合应用|各5题|分类讨论判定条件/多方法综合|整合多判定定理，提升复杂问题推理能力|

专题02 相似三角形的判定 常考题型·精准突破 题型1 利用平行判定相似（重） 题型2利用两角对应相等判定相似（重） 题型3 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似高频） 题型4 利用三边对应成比例判定相似（高频） 题型5 补充条件使两个三角形相似（高频） 题型6相似三角形的判定综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用平行判定相似 1．如图，在中，，，则的值为______． 2．如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 3．已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 4．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 5．如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； ◆题型2利用两角对应相等判定相似 6．如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 7．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 8．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 9．如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 10．如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． ◆题型3 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 11．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 13．如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 14．如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，连接交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，当时，求的值； (3)当取得最小值时，直接写出的值． 15．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） ◆题型4 利用三边对应成比例判定相似 16．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 17．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 18．如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 19．如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． 20．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． ◆题型5 补充条件使两个三角形相似 21．如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 22．如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 23．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 24．如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 25．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． ◆题型6相似三角形的判定综合 26．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 27．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 28．如图，已知：在与中，，．求证：． 29．如图，在矩形中，，相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的面积为，求的面积． 30．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 2．如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C．一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 5．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，对角线，，且相交于点O．点E在上，且，过点E作，交于点F，则的长度为（     ） A．6 B．8 C． D． 7．如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 8．如图，已知和，点在边上，点在边上，边和边交于点．如果．那么添加下列一个条件后，仍无法判定与一定相似的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 10．已知：如图，，，则________． 11．如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 12．如图，在四边形中，，．是上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若与边始终有公共点，则长的最小值是_____． 三、解答题 13．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 14．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 15．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 16．如图，中，是边上的高，且． (1)求证； (2)求的大小． 17．如图，在中，点是的边上的一点． (1)判断三人的对错：小星_____，小红_____，小亮_____．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：； (3)若，且，，求． 18．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形的判定 常考题型·精准突破 题型1 利用平行判定相似（重） 题型2利用两角对应相等判定相似（重） 题型3 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似高频） 题型4 利用三边对应成比例判定相似（高频） 题型5 补充条件使两个三角形相似（高频） 题型6相似三角形的判定综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 利用平行判定相似 1．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3．已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，列出比例式：，结合中点可得，再证明，列出比例式：，从而可得结论． 【详解】证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 4．如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． ◆题型2利用两角对应相等判定相似 6．如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 【答案】A 【分析】先证明，可得，如图，过点D作于M，于N，可得，证明，，，再进一步分析即可. 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于M，于N， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故D正确，不符合题意； ∴， ∴ ； 故A错误，符合题意； ∵，， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故C正确，不符合题意； 故选：A. 7．如图，已知：点、分别在的边上，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∴． 【详解】略 8．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 9．如图，D是的边上的一点，． (1)与相似吗？请说明理由． (2)若，，求的长． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2) 【分析】（1）由，，即可证明； （2）由可得，代入，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴． （2）解： 由（1）可得 ， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）由，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． ◆题型3 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 11．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 12．如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 13．如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 14．如图，在中，，，点D，E分别在边上，且，连接交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，当时，求的值； (3)当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似即可； （2）先证，进而得到，过作交的延长线于，求得，即，再证，得到； （3）由（1）知，得到，求出，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，取的中点为，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，连接，易证是等腰直角三角形，进而得到四点共圆，都在上，即点在上运动，设，则，过点作于点，求出，当三点共线时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】（1）证明：在中，，， ，， 又， ， ； （2）解：由（1）知， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 过作交的延长线于， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）知， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，取的中点为，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴点都在上， ∵， ∴四点共圆，都在上，即点在上运动， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， 当三点共线时，取得最小值， 此时，， ∴． 15．如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． ◆题型4 利用三边对应成比例判定相似 16．下列条件中，不能判定的是（     ） A．， B． C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断选项，找出不能判定两个三角形相似的选项即可． 【详解】解：A、，，符合“两角分别对应相等的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； B、，符合“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，∴可以判定，故此选项不符合题意； C、，且对应边的夹角，符合“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定规则，∴可以判定，故此选项不符合题意； D、，相等的不是与的夹角，不满足相似三角形的判定定理，∴不能判定，故此选项符合题意． 17．如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 18．如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】 连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代数求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点E作交于点G，过点F作交延长线于点H， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 19．如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ． ． ． ． （2）证明：， ． 由（1）可知：， ． 20．如图所示，点在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点，若，． 求证： (1)． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了利用三边对应成比例判定相似，利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似，相似三角形的判定与性质综合，解直角三角形的相关计算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用三边对应成比例判定相似求解； （2）先由，可得，再证明，接着利用勾股定理求得，从而可求得，再利用相似三角形的性质列出比例式求得，然后正切的定义求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴ ∴． ∵在中，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在中，． ∴． ◆题型5 补充条件使两个三角形相似 21．如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 22．如图，是的边上一点，连接，下列条件中，能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知两个三角形有一组公共角，若要使两个三角形相似，只需夹这组公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解：∵， ∴要证明需要满足， ∴，故C符合题意； A、B、D中的条件结合现有条件无法证明． 23．能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等是解题的关键．据此逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误． B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误． D、，且（是与的夹角，是与的夹角）， 满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． 24．如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，不能判定与相似； 当，根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定与相似； 故只有C选项符合题意. 25．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． ◆题型6相似三角形的判定综合 26．如图，已知，请添加一个条件使和相似，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据相似三角形的判定定理，对每个选项逐一分析能否判定和相似即可． 【详解】解：A项：∵，， ∴，故A成立，不符合题意； B项：∵，， ∴，故B成立，不符合题意； C项：∵在和中，和不是对应边， ∴不能判断和相似，故C不成立，符合题意； D项：在和中，，，故D成立，不符合题意， 综上，不成立的是C． 27．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，，进而得出，然后结合选项一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ．仅知道，只能说明D是中点但无法建立与的角或边的比例关系，无法判定相似．故该选项符合题意； ．∵，∴，∵，，又，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．，又，∴，又，∴故该选项不符合题意； 故选A． 28．如图，已知：在与中，，．求证：． 【答案】证明：不妨假设，在上截取，在上截取，连接，如图所示， ，，， ， ，，， ． ， ， ， 过点E作，交于点F， 则四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ∴． 【分析】在上截取，在上截取，证明，，,，解答即可； 【详解】略 29．如图，在矩形中，，相交于点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的面积为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形知，由知，故，又点是的中点，故点是的中点，从而是的中位线，又是的中点，故，故四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形； （2）由矩形的面积为得，故，由得，故，从而，． 【详解】（1）证明：∵在矩形中，，相交于点， 是的中点，， ， ， ， ， 又∵点是的中点， ∴点是的中点， 是的中位线， ， 是的中点， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵矩形的面积为， ， ∵四边形是菱形， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 30．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．在和中，，下列条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项：，，， ， ， ； 选项：，， ； 选项：有一组角相等且两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似； 选项：，，， ， ，，， ， ， ， ． 2．如图，点D，E分别在的边，上，且，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，可证明，即可得到；另三个结论均无法证明． 【详解】解：，， ， ， B选项正确； 和不是同位角， 无法证明， A选项错误； ， ， C选项错误； ，且与不一定会相等， 与不一定会相等， D选项错误． 3．如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意． 4．下列说法正确的是（    ） A．如果一个三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 B．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C．一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线一定平行 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】A 【详解】解：如图，已知是的边上的中线，且． ∵， ∴， 同理， ∵， 即， ∴，即． ∴是直角三角形． 因此A正确； 若一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形的底角，两个三角形内角不对应相等，不相似，因此B错误； 平移后两组对应点的连线平行或在同一直线上，不是一定平行，因此C错误； 对角线垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅垂直且相等的四边形不一定是正方形，因此D错误． 5．如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； ∵， ∴， ∵ ∴，不符合题意； 对于，缺少夹角，故不能证明相似，符合题意． 6．如图，在菱形中，对角线，，且相交于点O．点E在上，且，过点E作，交于点F，则的长度为（     ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质求出，再根据相似三角形的判定与性质，得到，据此列方程求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 7．如图，在菱形中，，点，分别是，上的动点，且与交于点，连接，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．为定值 D．平分 【答案】A 【分析】先证明，可得，如图，过点D作于M，于N，可得，证明，，，再进一步分析即可. 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点D作于M，于N， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 故D正确，不符合题意； ∴， ∴ ； 故A错误，符合题意； ∵，， ∴， 故B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故C正确，不符合题意； 故选：A. 8．如图，已知和，点在边上，点在边上，边和边交于点．如果．那么添加下列一个条件后，仍无法判定与一定相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可由得到；利用或可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似先判断，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似判定，从而得到与相似，于是可对各选项进行判断 ． 【详解】解： 当时， 则， ， ，故A不符合题意； 当，则，即， ， ， ， ， ， ， ，故B不符合题意； 当，则， ， ， ， ， ， ， ，故C不符合题意； 根据，无法得到与相似，故D符合题意． 二、填空题 9．如图，在中，是边上的一点，，，要使，则的长为________． 【答案】 【分析】先根据得出，再根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴当时，成立， 又∵， ∴． 10．已知：如图，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，求出相似比，最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即． 11．如图，在中，，，，点在上．若与相似，则__________cm． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论①，②，先证明，再通过对应线段成比例，求出，综合两种情况，得到的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①，如下图 ， ， ； ②，如下图，即， ，， ， ， ， 综上所述，的值为或． 12．如图，在四边形中，，．是上的任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若与边始终有公共点，则长的最小值是_____． 【答案】 【分析】过点作交延长线于，证明，再证明，根据始终与有交点，找到临界位置求出最小值． 【详解】解：过作直线于，设交于， 则， 由题意：，， ， 又， ， ， 在和中： , ， ，， 设， 则，，， 即， 又， ， ， ， 则， 若与边始终有公共点， 则恒成立， ． 三、解答题 13．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】，证明见详解 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 14．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ， ， 又， ∴． 15．已知，如图，在中，，D是线段上一点（不与端点B、C重合），连结，以为边，在的右侧作等边，线段与线段交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先根据等边三角形的性质得到，与已知的相等；再利用对顶角相等得到；最后根据两角分别相等的两个三角形相似，即可证得． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵（对顶角相等）， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 16．如图，中，是边上的高，且． (1)求证； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明； （2）由（1）知，然后根据相似三角形的对应角相等可得：，然后由，可得：，即． 【详解】（1）证明：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 17．如图，在中，点是的边上的一点． (1)判断三人的对错：小星_____，小红_____，小亮_____．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：； (3)若，且，，求． 【答案】(1)对，对，错 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）根据相似三角形的判定方法进行证明即可求解； （3）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由， 由不是和的夹角，故不能证明． ∴小星和小红对，小亮错． 故答案为：对，对，错． （2）解：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 18．【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ (1)请解答上述习题． 【问题探究】 (2)同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． (3)【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】(1)与相似，理由如下： ∵，， ∴； (2)①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； (3)90； 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 （3）解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02相似三角形的判定 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用平行判定相似（重） 题型2利用两角对应相等判定相似（重） 题型3利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似高频) 题型4利用三边对应成比例判定相似（高频） 题型5补充条件使两个三角形相似（高频） 题型6相似三角形的判定综合（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 3 1.40.75 1 2.3 3.【详解】证明：过点C作CM∥，AB,交DF于点M D EM B 则△FCM∽△FBD, BF BD .CF-CM' 点D为AB的中点， .'BD=AD BF AD ·cF=cM0, .CM∥AB, 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ECM△EAD, AD AE ·CMEc②， BF AE 由①和②可知， CFEC· 4.【详解】(1)证明：：DE|AC,EF|AB .∠C=∠DEB,∠B=∠CEF. 、.△BDEn△EFC: AF 1 (2)解：“FC2:EFI‖AB, BE AF 1 六ECFC2' 1 .BE=BC, 3 .BC=6. BE=3×6=2. 5.【详解】(1)解：：四边形EFGH是矩形， ..EHI BC .△AEHAABC: (2)解：设正方形EFGH的边长为x,则EH=EF=x,AN=AD-EF=4-x. .△AEH∽△ABC, AN EH 4-xx 2 ·AD8C,即46，解得x= 5 、12 ·EH的长为5 6.A 7.【详解】证明：DE∥BC, .∠B=∠ADE,∠C=∠AED, .△ABCAADE 8.【详解】(1)证明：：∠BCE=∠ACD, ∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE,即∠ACB=∠DCE, 又∠A=∠D, 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..AABC~ADEC: (2)解：由(1)已证：△ABC~△DEC, .Sc= BC2 SADEC EC S.ABC :S.DEC=4:9,BC=4, (44 解得EC=6或EC=-6(不符题意，舍去)， 则EC的长为6， 9.【详解】(1)解：△BCD∽△BAC,理由如下： ∠A=∠BCD,∠B=∠B, .△BCD∽△BAC」 (2)解：由(1)可得△BCD∽△BAC, BD BC BC AB' BC2=BD·AB?x3=4 .BC=2 10.【详解】(1)证明：~∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠ACB=∠ADC=90°， ∠A=∠A, .△ABC△ACD: (2)解：△ABC∽△ACD, :AC、AD ABAC’ AC2=AB·AD, AC=3,BD=6, :.9=(AD+6)AD 解得AD=-3+3V2(负值已舍去)， 则AD的长为-3+3W2. 11.C 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.【详解】(1)(1)证明：：BC2=CD·AC=6, BC CD AC-CB' :∠C=∠C. ∴.△CBD△CAB (2)解：：BC2=CD·AC=6,BD=AC=3, ∴.CD=2,BC=V6, ,△CBDP△CAB, BD CD 2 ·ABCB6, :AB=36 2· 13.【详解】证明：，AEAB=ADAC, AE AC AD AB' 又：∠DAE=∠CAB. .△ADEn△ABC 14.【详解】(1)证明：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， :.BC=VAB2+AC2=V2AB,∠ABD=∠BCE=45°， 又CE=V2BD, ABBD√2 BC CE 2 .△ABDABCE; (2)解：由(1)知△ABDABCE, .∠BAD=∠CBE. ∠BAC=90°，CF⊥AF, .∠BAF+∠CAF=90°，∠ACF+∠CAF=90° .∠BAF=∠ACF, ∠CBE=∠ACF, :∠ABD=∠BCE=45°，即∠ABF+∠CBE=∠ACF+∠BCF=45°， .∠ABF=∠BCF, 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABF∽△BCF, ABAF BF BC BF CF2· AF AF BF 1 CF BF CF 2' :∠ABF+∠CBE=∠ABF+∠BAD=45°， .∠AFE=∠BFD=∠ABF+∠BAF=45°， 过A作AH∥CF交FE的延长线于H, E F D 图2 CF⊥AF AH⊥AF, 又∠AFE=45° .∠AHF=45°， .AH=AF, AH∥CF, .∠AHE=∠CFE,∠HAE=∠FCE, .∴△AHE∽△CFE 、AE AH AF1 CE-CF-CF-2 (3)解：由(1)知△AHEACFE, ∴∠ADB=∠BEC :∠ADB+∠ADC=180°， ∴.∠BEC+∠ADC=180° .∠EFD+∠ACB=360°-（∠BEC+LADC)=180°， .∠ACB=45° .∠EFD=135°， .∠AFB=∠EFD=135°， 如图，将线段BA绕点B逆时针旋转90°，得到线段BG,连接AG,取AG的中点为O,连接BO,以点O 5114 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为圆心，BO的长为半径画圆，连接OC, E D ,∠ABG=90°，AB=BG .△ABG是等腰直角三角形， .∠G=∠GAB=45°， :点O是AG的中点， :B0=)AG=A0=G0, 2 ∴点G,A都在⊙0上， .∠AFB+∠G=180°， ∴.G,A,B,F四点共圆，都在⊙0上，即点F在AB上运动， .∠A0B=2∠G=90°， .∠GAB=∠ABC=45°， .AG‖BC, ∴.∠OBC=90° 设OB=x,则OA=x, .AC=AB=OB2+042=2x, BC=√AB2+AC2=2x, ..OC=OB2+BC2=5x, 过点A作AM⊥OC于点M, 0408-OcM .AM=04OB-x 0c5x5=5x, MC=VAC2AM 5x, 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当F,O,C三点共线时，CF取得最小值， 此时，∠ACF=∠ACO. 5 .tan∠ACF=tan∠ACO= AM MC 35 3· 5 15.①②或①3 16.D 17.55°/55度 17 18.3 AB BC AC 19.【详解】(1)证明：：AEEDAD, ..ABCAAED .∠CAB=∠DAE」 .∠CAB-∠EAF=∠DAE-∠EAF .∠1=∠2 (2)证明：“ ABAC AE AD AB AE ACAD· 由(1)可知：∠1=∠2， .△ABE∽△ACD 20.【详解】(1)解：，BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAD=∠EAC AB AC 又：ADAE' .△ABD△ACE (2)解：△ABD~△ACE, .∠B=∠ACE :∠B+∠BCA=90°， ∴.∠ACE+∠BCA=90° ∴.∠BCE=90° 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,在Rt△ABC中，AC=6,AB=8, .BC=VAC2+AB2=V62+82=10, .BD=4, .DC=BC-BD=10-4=6. .△ABD~△ACE, AB BD ·ACCE' 84 ·6CE' .CE=3 ∴在RDEC中，tan∠EDC=EC=3-1 DC 6 2 &tan∠EDC=2: 1 21.D 22.C 23.D 24.C 25.D 26.C 27.A 28.【详解】证明：不妨假设AB>AB,在AB上截取AD=AB,在AC上截取AE=AC,连接DE,如 图所示， ∠A=∠A,AD=AB,AE=AC, △ADE≌△AB,C(SSS), ∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠C,DE=BC, ∠B=∠B 8114 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E D B C B C.∠ADE=∠B DE∥BC, AD AE AB AC 过点E作EF‖AB,交BC于点F, 则四边形DEFB是平行四边形， ∴DE=FB, .EF I AB. BFAE BC AC' DE_AE BC AC AD DE AE AB BC AC' :48-BG=4G AB BC AC ∠A=∠A,∠B=∠B, ∠C=∠C, .△ABCn△AB,C. 29.【详解】(1)证明：：在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O, .O是AC的中点，AO=BO, .'AF‖BD .AF∥OE, ∴△COE∽△CAF, CEOC CFAC’ 又：点O是AC的中点， 点E是CF的中点， 9/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OE是△ACF的中位线， ∴AF=2OE, :E是OB的中点， ..OB=20E :OB=AF, .AF BD .四边形AFBO是平行四边形， .AO=BO, ∴.四边形AFBO是菱形： (2)解：：矩形ABCD的面积为20， 1 ,四边形AFBO是菱形， S菱形HFBo=2S△4oB=10,BF∥AC, .∠BFE=∠OCE, 在△BFE和△OCE中， ∠FEB=CEO ∠BFE=∠OCE, BE=OE .aBFE≌AOCE(AAS), SABFE=S△oE, S△4CF=S菱形HB0=10 30.【详解】(1)证明：：AD⊥CE, .∠ADC=90°， ∠2+∠3=90° :∠ACB=90°， ∠1+∠2=90°， .∠1=∠3 又：BE⊥CE,AD⊥CE, ∴.∠E=∠ADC=90°， 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [∠ADC=∠E 在 和 中， ∠3=∠1 △ACD △CBE AC=CB .△ACD≌aCBE(AAS): (2)解：由()可知△ACD≌aCBE, .CE=AD=4、 ∴.CD=CE-DE=4-1=3. .BE CD=3. '∠E=∠ADF,∠BFE=∠AFD, ∴.ABEF∽△ADF, BE EF :AD DF' 设EF=x,则DF=1-x, 41-x, 3 解得：x=7? 综合攻坚知能拔高 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D 二、填空题 9.2V5 10.1:9 8.3 11.3或2 12.1 三、解答题 11/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.【详解】相似，证明如下： 在△ABC中，AB=2,BC=V22+22-22,4C=V22+4=25: 在ADEF中，DE=VP+P=2,EF=2,DF=VP+32=V10； 4.2-28c-25-2,4C-25-2. DE2 EF 2 DF 10 AB BC AC 即DEEF DF' ·.ABCSADEF AC 5 1 14.【详解】证明：：EC102' BC_31 DC62' AC BC EC DC' 又∠ACB=∠ECD、 ∴.△ACB△ECD 15.【详解】证明：，△ADE是等边三角形， ∠E=60° ,∠C=60°， ∴.∠E=∠C 又：∠AFE=∠DFC(对顶角相等)， “.△AEF∽△DCF(两角分别相等的两个三角形相似)· 16.【详解】(1)证明：：CD是边AB上的高， .∠ADC=∠CDB=90°， AD CD CD BD' ∴△ACD∽△CBD; (2)解：：△ACD∽△CBD, .∠A=∠BCD 在△ACD中，∠ADC=90°， ∠A+∠ACD=90°， .∠BCD+∠ACD=90°， 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即∠ACB=90° 17.【详解】(1)解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： :∠ACP=∠B,∠A=∠A, △ACPAABC: 小红的证明： : ,∠A=∠A, △ACPAABC: AC-BC,∠A=∠A, 小亮的证明：由CPAC 由∠A不是AC、BC和CP、AC的夹角，故不能证明△ACPOAABC, 小星和小红对，小亮错 故答案为：对，对，错. (2)解：小星的证明： :∠ACP=∠B,∠A=∠A, ∴△ACPAABC: 小红的证明： :4 ,∠A=∠A, AC AB .△ACPn△ABC: (3)解：.△ACPAABC, AP AC ·ACAB' 2 AC ·Ac2+1' 解得：AC=V 18【详解】(1)证明：.(1)△ADE与△ABC相似，理由如下： .∠E=∠C,∠EAD=∠CAB, :.△ADE~△ABC: (2)证明：①△ADE一△ABC, 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD AE AD AB ·∠AED=∠ACB'ABAC,即 AE AC :∠DAB=∠EAC, .△ABD~△ACE, .∠ADB=∠AEC: ②，∠AED=∠ACB,∠ADB=∠AEC, ∴.∠CED=∠AEC+∠AED=∠ADB+∠ACB=I8O°-∠CBD, .∠CBD+∠CED=180°： AE4 (3)解：在AABD和△ACE中，∠DAB=∠EAC,EA=CA'DA=BA'AD5’ AC AE 4 ABAD5’ .∠DAB=∠EAC. .△DAB∽△EAC, EC 4 BD5,∠ADB=∠AEC, 在四边形AEDF中，∠ADF=∠AEF, 由(2)得∠EAF+∠EDF=180°， ∴.∠AED+∠AFD=180°， .∠AED=90°， .∠AFD=90°： ,DA=BA,AF⊥BD, BF=DF-BD EC 4 :BD5’ BD 5 …EC4’ ..BF2 5 EC EC 8 14/14