第22章 相似形综合素质评价卷2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 以相似形为核心，融合文化传承（如大雁塔测量）与生活应用（直饮水杯体积），梯度设计覆盖基础概念到创新探究，发展数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相似图形判定、比例线段、黄金分割|第3题结合自然情境考查黄金分割，第5题位似与平移综合| |填空题|4/20|比例尺、位似变换、等比性质|第11题钓鱼岛主权教育，第14题动态相似探究| |解答题|8/100|相似应用、分类讨论、最值问题|第17题测量实践（相似建模），第22题矩形面积最值（函数思想），第23题问题拓展（推理能力）|

第22章 相似形综合素质评价 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1．下列图形一定是相似图形的是(　　) A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 2．若2x＝5y(x，y≠0)，则下列式子中错误的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 3．大自然巧夺天工，一片小树叶也蕴含着黄金分割(黄金比例为)，如图，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么BP的长度是(　　) A．(15－5)cm B．(5＋5)cm C．(15＋5)cm D．(5－5)cm (第3题)　　　　　(第4题) 4．如图，AB∥CD∥EF，BE与AF相交于点H，且AH＝2HD＝DF，则的值为(　　) A．1 B. C. D. 5．如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形ABCD执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动放大后的菱形平移，得到菱形A′B′C′D′.已知A(－5，0)，D(0，6)，C′(8，－2)，若菱形ABCD内部一点F经过上述操作后得到的对应点F′与它本身重合，则点F的坐标是(　　) A．(2，2) B．(1，1) C．(－1，2) D．(2，1) (第5题)　　　　　(第6题) 6．如图，在△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿选项中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　) 7．如图，△OAB∽△OCD，OAOC＝53，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ (第7题)　　(第8题) 　　　　 8．图①是机场常用的一种圆锥形直饮水杯，这种设计是为了方便清洁和节省存储空间，小明画出这种纸杯的截面图如图②所示，其中点O为杯底顶点，AB，CD分别表示杯口、水面，OA＝OB，CD∥AB.若杯中水的高度是杯子高度的80%，则水的体积与杯子容积的比最接近于(　　) A．80% B．70% C．64% D．50% 9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，折痕为EF，点E，F分别在边BC，AB上，若△CDE与△ABC相似，则CE的长为(　　) 　 (第9题) A. B. C.或 D.或 10．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与点B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q.下列结论：①AC＝FG；②S△FABS四边形CBFG＝12；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中结论正确的序号是(　　 ) A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ (第10题)　　　　　　　　(第12题) 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 11.钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的群岛，在一幅比例尺是1100 000的地图上，测得钓鱼岛的东西走向长为3.6厘米，那么它的东西走向实际长大约为________千米． 12．如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE，BA的延长线相交于点F，若AB＝2，则AF＝________． 13.已知＝＝(xyz≠0)，则的值为________． 14．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝9，AC＝12，D是线段BC上的动点，从点B运动到点C.请探究下列问题： (1)当BD＝2时，CE＝________； (2)设P为线段DE的中点，在点D运动的过程中，CP的最小值是________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足＝＝，a＋b＋c＝30，试判断△ABC的形状，并说明理由． 16．如图，AB∥CD，AD⊥BC于点O，OA＝6，OD＝9，BC＝10，求CD的长． 四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 17.西安大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是佛塔这种古印度佛寺的建筑形式随佛教传入中原地区，并融入华夏文化的典型物证，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．小明同学想利用所学数学知识来测量大雁塔的高度，如图，小明在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，此时测得小明到镜面的距离AB为2米，已知平面镜到塔底部中心的距离BC为86米，小明眼睛到地面的距离AE为1.5米，已知AE⊥AC，CD⊥AC，点A，B，C在一条水平线上．请你帮小明计算出大雁塔的高度CD.(平面镜的大小忽略不计) 18.如图，已知AE为∠BAC的平分线，ED∥CA，若BE＝2，EC＝3，AC＝4，求AD的长． 五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分) 19．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，1)，C(1，5)． (1)以点O为位似中心，在第一象限将△ABC放大为原来的2倍，得到△A1B1C1，请在网格中画出△A1B1C1； (2)若点P(x，y)是△ABC内任意一点，点P在△A1B1C1内的对应点为P1，则点P1的坐标为________； (3)请用无刻度直尺将线段AB三等分． 20.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则＝.下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E…… 任务： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的全部过程； (2)如图③，已知在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是__________． 六、(本题满分12分) 21.如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝的图象相交于A(1，4)，B(4，m)两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接AD. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点P在x轴的负半轴上，连接PD，若△AOC与△POD相似，求点P的坐标． 七、(本题满分12分) 22.某课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，如图①，它的边BC＝12 m，高线AD＝8 m．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8 m. (1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程． (2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． (3)如图③，如果将这块余料的形状改为Rt△ABC，已知∠A＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使QM在BC上，P，N两点分别在AB，AC上，且PN＝8 m，则平行四边形PQMN的面积为________m2. 八、(本题满分14分) 23．【问题背景】如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE； 【问题探究】如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于点G，求证：BG＝FG； 【问题拓展】如图③，在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接写出的值． 答案 一、1.C　2.A　3.A　4.B　5.A　6.C　7.A　 8．D　【点拨】设杯子的高度为h，则杯中水的高度为h.∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB.∴＝＝.∴CD＝AB.∴V水＝π·h＝π·AB2·h，V杯＝π·h＝π·AB2·h.∴＝＝＝0.512≈50%.故选D. 9．D　【点拨】∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处， ∴AB＝5，BE＝DE，BE＝4－CE. 当△CDE∽△CBA时，＝， ∴＝，解得CE＝； 当△CDE∽△CAB时，＝， ∴＝，解得CE＝. 综上所得，CE的长为或. 10．C　【点拨】∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°. ∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB，∴易知∠CAD＝∠AFG.在△FGA和△ACD中， ∴△FGA≌△ACD，∴AC＝FG，故①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，∴S△FAB＝FB·FG＝S四边形CBFG，∴S△FABS四边形CBFG＝12，故②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，故③正确；∵∠BDQ＋∠ADC＝∠BQD＋∠BDQ＝90°，∴∠ADC＝∠BQD.∵∠FQE＝∠DQB，∴∠FQE＝∠ADC.∵∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴ACAD＝FEFQ，∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，故④正确．∴正确的有①②③④.故选C. 二、11.3.6　12.1 13．3或0　【点拨】设＝＝＝k. ∴y＋z＝xk，z＋x＝yk，x＋y＝zk. ∴2x＋2y＋2z＝xk＋yk＋zk. ∴2(x＋y＋z)＝k(x＋y＋z)． 分两种情况： 当x＋y＋z≠0时，k＝2，∴x＋z＝2y. ∴＝＝3； 当x＋y＋z＝0时，＝0. 综上所述，的值为3或0. 14．(1)　(2)6　【点拨】(1)∵△ABC∽△ADE， ∴＝.∴＝.∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE. ∴△BAD∽△CAE.∴＝＝. 又∵BD＝2，∴CE＝. (2)∵△BAD∽△CAE， ∴∠ABD＝∠ACE. ∵∠BAC＝90°，∴∠ABD＋∠ACB＝90°. ∴∠ACE＋∠ACB＝90°，即∠DCE＝90°. ∵P为线段DE的中点，∴CP＝DE. ∵△ABC∽△ADE， ∴当AD的值最小时，DE的值最小，此时CP的值最小． ∵AB＝9，AC＝12，∠BAC＝90°， ∴BC＝＝＝15. 根据垂线段最短可知，当AD⊥BC时，AD的值最小，此时AD＝＝. 易知＝，∴DE＝12. ∴CP的最小值为×12＝6. 三、15.【解】△ABC 是直角三角形，理由： 设＝＝＝k， 则 a＝3k－1，b＝4k＋4，c＝8k－3. ∵ a＋b＋c＝30， ∴3k－1＋4k＋4＋8k－3＝30.∴ k＝2. ∴a＝5，b＝12，c＝13. ∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形． 16．【解】∵AB∥CD，∴△ABO∽△DCO. ∴＝.∴＝，解得OC＝6. ∵AD⊥BC，∴△COD为直角三角形． ∴OC2＋OD2＝CD2. ∴CD＝＝3. 四、17.【解】由题意得∠EBA＝∠DBC. ∵EA⊥AC，DC⊥AC， ∴∠EAB＝∠DCB＝90°.∴△DCB∽△EAB. ∴＝.∴＝.∴CD＝64.5米． ∴大雁塔的高度CD为64.5米． 18．【解】∵AE为∠BAC的平分线， ∴∠DAE＝∠EAC. ∵ED∥CA，∴∠DEA＝∠EAC. ∴∠DAE＝∠DEA.∴ED＝AD. ∵ED∥CA，∴△BED∽△BCA.∴＝. ∵BE＝2，EC＝3，AC＝4， ∴＝.∴ED＝.∴AD＝. 五、19.【解】(1)如图，△A1B1C1即为所求． (2)(2x，2y) (3)如图，点G，H 将线段AB三等分． 20．(1)【证明】如题图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E. ∵CE∥AD， ∴＝，∠DAC＝∠ACE，∠BAD＝∠E. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. ∴∠ACE＝∠E. ∴AE＝AC.∴＝. (2)　【点拨】∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AC＝5. ∵AD平分∠BAC， ∴＝，即＝.∴BD＝. ∴AD＝＝＝. ∴△ABD的周长＝＋3＋＝. 六、 21.【解】(1)把点A(1，4)的坐标代入反比例函数y＝中，得k＝4， ∴反比例函数的表达式为y＝. 把点B(4，m)的坐标代入y＝中，得m＝1， ∴B(4，1)． 把点A(1，4)，B(4，1)的坐标代入y＝ax＋b中， 得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋5. (2)令y＝－x＋5＝0，则x＝5，∴C(5，0)． ∵点D与点A关于点O对称，A(1，4)， ∴D(－1，－4)． 设点P的坐标为(x，0)(x<0)，则PO＝－x. ∵A(1，4)，C(5，0)，D(－1，－4)， ∴AO＝＝，OD＝＝，OC＝5. ∵△AOC与△POD相似，∠AOC＝∠POD， ∴分两种情况：＝或＝. 当＝时，即＝，解得x＝－， ∴P. 当＝时，即＝，解得x＝－5， ∴P(－5，0)． 综上所述，点P的坐标为或(－5，0). 七、 22.【解】(1)∵四边形PQMN是正方形， ∴PN∥BC.∴△APN∽△ABC. ∵AD是△ABC的高线，∴AE是△APN的高线． ∴＝. 设正方形零件的边长为t m，则AE＝(8－t)m. 又∵BC＝12 m，AD＝8 m， ∴＝，解得t＝4.8. ∴加工成的正方形零件的边长为4.8 m. (2)设PN＝x m，矩形PQMN的面积为S m2. 由已知可得△APN∽△ABC，∴＝. 易知DE＝PQ，∴＝，解得PQ＝m， 则S＝PN·PQ＝x＝－x2＋8x＝－(x－6)2＋24. ∵－<0，∴当x＝6时，S有最大值，最大值为24. 此时8－x＝4. 答：当矩形面积达到最大值时，零件的两条边长分别为6 m，4 m. (3)7.68　 八、23.【问题背景】【证明】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°. ∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴＝＝，即＝＝. ∴△BCD∽△FBE. 【问题探究】【证明】如图①，取BD的中点H，连接EH，HC. ∵E是AB的中点，H是BD的中点， ∴EH＝AD，EH∥AD. 又∵AD＝2CF，∴EH＝CF. ∵AD∥BC，∴EH∥FC. ∴四边形EHCF是平行四边形．∴EF∥CH. ∴∠GFB＝∠HCB. 又∵∠BCD＝90°，H是BD的中点， ∴HC＝BD＝BH.∴∠HBC＝∠HCB. ∴∠GBF＝∠GFB.∴BG＝FG. 　　　 【问题拓展】【解】＝.　【点拨】如图②所示，过点F作FM⊥AD，则易知四边形MFCD是矩形，连接AF. ∵AD＝2CF＝CD, ∴AM＝MD＝FC＝AD. 设AD＝2a，则MF＝CD＝2a，AM＝a. 在Rt△AMF中，AF＝＝a. ∵AG＝FG，由(2)知BG＝FG，∴AG＝BG. 又∵E是AB的中点， ∴EF垂直平分AB.∴AF＝BF，∠BEG＝90°. 在△AFG和△BFG中， ∴△AFG≌△BFG. 设∠GBF＝∠GFB＝α， 则∠GAF＝∠GFA＝α， ∴∠BGE＝∠GBF＋∠GFB＝2α. 又∵AD∥BC， ∴∠MAF＝∠AFB＝∠GFA＋∠GFB＝2α. ∴∠MAF＝∠EGB. 又∵∠BEG＝∠AMF＝90°， ∴△BEG∽△FMA. ∴＝＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $