山东省潍坊市某校2025-2026学年高二上学期10月第二次周测数学试题

**基本信息** 聚焦立体几何综合应用，3道解答题覆盖点面距、线面平行、线面角及二面角，融合体积法、几何构造与空间向量法，适配高二空间几何周测巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|3题|点到平面距离、线面平行证明、线面角正弦值、二面角正弦值|第1题用体积法求点面距，第2题几何法证线面平行结合向量求线面角，第3题通过构造辅助线证垂直并计算二面角，注重空间观念与推理运算能力|

高二数学周测题2 使用时间：2025年10月 1.己知三棱锥S-ABC中，SAL底面ABC,∠ABC=90°，SA=AB=4,BC=3,E是AB的 中点，点F在BC上且FC=2BF.求点A到平面SEF的距离， 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形， ∠ADC=90°，∠BAC=90° E为BC的中点. (I)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG1I平面PAB: (2)若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 3.如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=6O°，E为 BC的中点. C (I)证明：BC⊥DA: (2)点F满足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值， 周测2参考答案 4√21 1【答案】21 【分析】求出S-AEF的体积和△SEF的面积，由体积法求点面距， 【详解】SA⊥平面ABC,AB,BCc平面ABC,所以SA⊥AB,SA⊥BC, 又BC⊥AB,SAAB=A,SA,ABC平面SAB,所以BC⊥平面SAB,而SBC平面SAB, 所以BC⊥SB, 因为B是AB的中点，点F在BC上且FC=2BF,所以AE=EB=2,BF=1, SE=SA+AE2=42+22=25 EF=BE2+BF2=22+12=5 SF=SB2+BF2=SA+AB2+BF2=4++1=33 w号小- 5 S.-SE.EFsin SEF=x25x5x21-21 5 又8m4E8r-2x1=1, 设A到平面SEF的距离为h,则 由=yg得3S1S=子Sgr, 3 h=S4.SAeE=4x1421 所以 SrV2121. 2【答案】(1)证明见解析 5 (2)3 【分析】(I)取PA的中点N,PB的中点M,连接FNMN,只需证明FG∥MN即可： (2)建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量 夹角公式即可求解 【详解】(1)取A的中点N,PB的中点M,连接FN、MN, :△ACD与△ABC为等腰直角三角形且∠ADC=90°，∠BAC=90°， 不妨设1D=CD=2.AC=AB=2V2BC=4 E、F分别为BC、PD的中点， .FN-AD-1.GM-BE-1,HFN//AD.GM//BC 2 ∠DAC=45°，∠ACB=45°：.AD∥BC ∴FN∥GM,∴.四边形FGN为平行四边形， ∴FG∥MN, ~FGC平面PAB,MNC平面PAB,∴.FG∥平面PAB: (2):PA⊥平面ABCD,以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如 图所示的空间直角坐标系， B i设AD=CD=2,则40,00)，B0,2W2,0),C(25,00.D5,-2,0P0,022) ·AB=(0,22,0,DC=(V2,V2,0,CP=（-22,0,22) 设平面PCD的一个法向量为i=(x,少，z), DC.=0 2x+2y=0 Cp.i=0,-22x+22z=0, 取x=1,y=-山2=1i=(1,-山，) 设AB与平面PCD所成角为B, 则sin8=cos◆AB,i= AB.l0x1+22x(-)+0x刘2W2-V5 AB网2W2×V12+(1+12 2W2×33, √5 即AB与平面PCD所成角的正弦值为3· 3【答案】(1)证明见解析： 3 (2)3. 【分析】(I)根据题意易证BC⊥平面ADE,从而证得BC⊥DA: (2)由题可证AE⊥平面BCD,所以以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为七，y,z轴， 建立空间直角坐标系，再求出平面ABD,ABF的一个法向量，根据二面角的向量公式以及 同角三角函数关系即可解出， 【详解】(I)连接AE,DE,因为E为BC中点，DB=DC,所以DE⊥BC① 因为DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°，所以△ACD与△ABD均为等边三角形， ∴AC=AB，从而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE=E,AE,DEC平面ADE, 所以，BC⊥平面ADE,而ADC平面ADE,所以BC⊥DA. (2)不妨设DA=DB=DC=2.BD1CD∴BC=22,DE=AE=V2 ∴AE2+DE2=4=AD2÷AE⊥DE'AE⊥BC,DE∩BC=EDE,BCCBCD ,又 平面 .AE⊥平面BCD 以点E为原点，ED,EB,EA所在直线分别为x,少，2轴，建立空间直角坐标系，如图所示： D(N2,0,0),A(0,0,2),B(0,V2,0),E(0,0,0) 设平面D1B与平面4BF的一个法向量分别为”=(，，)元=(G,,2) 二面角D-AB-F平面角为0，而4孤=(0，V2,②) 因为F=D1-(5.0),所以F2.02),即有=(5.0)， [-V2x+V2z,=0 V2y-22,=0，取x=1,所以=1,11)： [V22-V22=0 -2x,=0，取2=1’所以m=(0,1): 2 6 所以， cos0 63 √3xV2 3, 从而sin0= 93 3 所以二面角D-AB-F的正弦值为3·