山东省潍坊市某校2025-2026学年高二上学期第五次段考（双周测）数学试题

**基本信息** 高二数学周测试卷，融合《九章算术》“阳马”（文化传承）、巴黎奥运会志愿者分配（社会热点）等情境，通过立体几何动态问题、圆锥曲线综合题，考查空间观念、运算推理与创新意识，适配高二学段知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|直线倾斜角、抛物线准线、排列组合|第5题以“阳马”结合重心考查空间向量，体现数学文化| |多选题|3|立体几何判定、二项式定理|第11题长方体动态点问题，培养几何直观与探究能力| |填空题|3|直线平行、二项式系数、抛物线焦点弦|第14题结合焦点弦长考查方程思想，强化应用意识| |解答题|5|双曲线方程、四棱锥线面角、轨迹方程|第17题四棱锥存在性问题，融合推理与创新，贴合高考立体几何命题趋势|

数学是打开科学大门的钥匙——培根 姓名 学号 班级 高二数学第五次段考 使用时间：2026年1月 一．单选题 1．直线的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 3．某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，，则的值是（   ） A．或1 B．3或1 C． D．1 5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（　　） A． B． C． D． 6．在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、4人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．24 B．36 C．56 D．72 7．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二．多选题 9.设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数和为64 B．所有项的系数之和为2 C．第三项的二项式系数最大 D．系数最大值为240 11.如图，在长方体中，，点M为线段上动点包括端点，则下列结论正确的是    A. 当点M为中点时，平面 B. 当点M为中点时，直线DM与直线BC所角的余弦值为 C. 当点M在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D. 点M到直线距离的最小值为 三．填空题 12．若直线与直线平行，则实数a的值为 . 13．的展开式中，含的项的系数为 ．（用数字作答） 14．已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，若直线过焦点，当时，则 四．解答题 15．已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为． (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数； (3)求展开式中各项系数的绝对值的和. 16．已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上. (1)求双曲线方程； (2)若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点， 求 的取值范围； 17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18．已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 19．已知，，直线l：，动点P到l的距离为d，满足，设点P的轨迹为C，过点F作直线，交C于G，H两点，过点F作与垂直的直线，直线l与交于点K，连接AG，AH，分别交直线l于M，N两点. (1)求C的方程； (2)证明：； (3)记，的面积分别为，，四边形AGKH的面积为，求的范围. 第 4 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第五次段考 一、单选题 1．直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率为，再结合倾斜角与斜率的关系，从而求解. 【详解】由题意得：直线的斜率，解得：，故C项正确. 故选：C. 2．抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将抛物线的方程化为标准形式，从而得出其准线方程. 【详解】由抛物线，则其标准方程为 所以其准线方程为 故选：D 3．某班有5名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、羽毛球队，每人限报其中一个运动队，则不同的报法种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求每一个同学报名的方法数，再求5个同学不同的报名总数. 【详解】每个同学报名都有4种方式可选，共有5个同学， 则有种报名方法. 故选：D. 4．已知向量，，若，，则的值是（    ） A．或1 B．3或 C． D．1 【答案】A 【分析】根据及向量模的坐标表示得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，且，， 所以，解得或， 所以或. 故选：A 5．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”．如图，在“阳马”中，E为的重心，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接AE并延长交CD于点F，则F为CD的中点，利用向量的加减运算得答案 【详解】连接AE并延长交CD于点F， 因为E为的重心，则F为CD的中点，且 . 故选：B． 6．在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、4人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（    ） A．24 B．36 C．56 D．72 【答案】B 7．已知圆，直线，若直线被圆截得的弦长的最大值为，最小值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线过定点，再根据点在圆内结合几何性质求出最短弦和最长弦即可得解. 【详解】直线可化为，则直线过定点， 点代入圆中：，所以点在圆内， 当时，直线被圆截得的弦长最短，即， 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，即， 所以. 故选：A 8．已知椭圆与双曲线有公共焦点，为右焦点，为坐标原点，双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限交于点，且满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设椭圆的左焦点为，求出，利用椭圆的定义求出，然后在、求出，可得出的值，由此可得出椭圆的离心率的值. 【详解】因为椭圆与双曲线有公共焦点，设， 则, 则，直线的方程为，即， 点到直线的距离为， 设椭圆的左焦点为，连接，则， 在中，， 在中，由余弦定理可得, 所以，，解得，因此，椭圆的离心率为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多选题 9．设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，可以成立，本选项结论不正确； B：当时，若，此时成立，因此本选项结论不正确； C：当时，若，，此时成立，因此本选项结论不正确； D：因为，所以，，所以，而，， 所以，而，所以，因此，所以本选项结论正确， 故选：ABC 10．关于的展开式，下列结论正确的是（    ） A．二项式系数和为64 B．所有项的系数之和为2 C．第三项的二项式系数最大 D．系数最大值为240 【答案】AD 【分析】利用二项式系数和公式可判定A，利用赋值法可判定B，利用二项式定理的性质可判定C，利用二项式展开式通项可判定D. 【详解】由二项式系数和公式知的二项式系数和为，故A正确； 令，则的展开式所有项的系数之和为，故B错误； 易知的展开式共7项，所以二项式系数最大项为第四项，故C错误； 设的展开式通项为， ， 计，显然取偶数时各项系数为正数， ， 可知系数最大值为240，故D正确. 故选：AD 11．如图，在长方体中，，点为线段上动点（包括端点），则下列结论正确的是（    ）    A．当点为中点时，平面 B．当点为中点时，直线与直线所成角的余弦值为 C．当点在线段上运动时，三棱锥的体积是定值 D．点到直线距离的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出向量夹角余弦判断B；利用三棱锥体积公式判断C；利用空间向量求出点到直线的距离最小值判断D. 【详解】在长方体中，以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设， 对于A，，，，， ，即， 而平面，因此平面，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，由选项A知，点到平面的距离为，而的面积， 因此三棱锥的体积是定值，C正确； 对于D，，则点到直线的距离 ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12.若直线与直线平行，则实数a的值为          . 【答案】1  【解析】由题可知两直线的斜率存在，故，由，知解得 13．的展开式中，含的项的系数为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】先求二项式的展开式的通项，再由乘法法则求出的展开式中含的项即可得解. 【详解】由题意得的展开式的通项为， 所以的展开式中，含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 14．已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，若直线过焦点，当时，则 当时，直线的方程为， 联立可得，不妨取、，则， 此时， 四、解答题 15.已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为 求n的值； 求展开式中含的项的系数； 求展开式中各项系数的绝对值的和 【答案】解：由题意可得  ，解得  设  的展开式的通项为  ，则  ，    令  得，  ．  含  的项的系数为  ； 令的，得展开式中各项系数的绝对值的和为 16．已知双曲线的渐近线方程为，且点在该双曲线上. (1)求双曲线方程； (2)若点，分别是双曲线的左、右焦点，且双曲线上一点， 求 的取值范围； 16.【答案】解：由题知， 解得， 所以双曲线C的方程为： 由知，，， 设点在双曲线上，则，即 ，， 则，将代入得： ， 因为， 所以当时，取最小值， 此时， 所以的取值范围是   【解析】本题考查了双曲线的方程与性质，平面向量数量积的坐标运算，属于中档题． 由已知建立关于a，b，c的方程，然后解方程即可； 设，求得，的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算转化为函数关系，利用函数的性质即可求解． 17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到垂直关系，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案； （3）设，其中，求出向量的坐标，根据，求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：因为平面平面，且平面平面， 且，平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面. （2）解：取中点为，连接、， 又因为，则，则， 因为，则，则， 在平面内，因为，，则， 因为平面，则平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，设与平面的夹角为， 则，则， 所以，直线与平面所成角的余弦值为. （3）解：设，其中， 则， 因为平面，则，解得， 因此，在棱上不存在点，使得平面. 18．已知抛物线：（）的焦点到直线的距离为，不过原点的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若直线的方程为，求； (3)若垂直于，求证：直线过定点； 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出焦点坐标，再利用点到直线距离公式求出值. （2）联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，进而求出弦长. （3）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求出即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点， 由到直线的距离为，得，而，解得， 所以抛物线的标准方程为. （2）由消去得，设， 解得，所以. （3）设直线l的方程为，点， 由消去得，当时，， 由垂直于，得，而，解得， 则直线的方程为，所以直线过定点. 19．已知，，直线l：，动点P到l的距离为d，满足，设点P的轨迹为C，过点F作直线，交C于G，H两点，过点F作与垂直的直线，直线l与交于点K，连接AG，AH，分别交直线l于M，N两点. (1)求C的方程； (2)证明：； (3)记，的面积分别为，，四边形AGKH的面积为，求的范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用坐标公式代入得到的轨迹方程； （2）利用方程组思想，先求出交点满足的韦达定理，再利用这两个坐标写直线方程去求出交点和，最后利用韦达定理去证明，即可； （3）利用所求的坐标去表示，然后把转化到韦达定理上来，可得到，然后求出取值范围即可. 【详解】（1）由，得到：， 即：，所以的方程为； （2）证明：要证，即证明为的中点，如图： 易知：的斜率不为0，可设直线方程 联立：，消元得：， 得到，则， 可得方程为，令，得到， 所以，同理：， 即 ， 直线，令，得到， 所以有，而， 所以为的中点，即； （3）由， ， 得： ， 因为，所以. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $