山东省潍坊市某校2025-2026学年高二上学期第七次段考（双周测）数学试题

**基本信息** 高二数学周测试卷聚焦圆锥曲线、立体几何等核心知识，通过蒙日圆文化情境、棱切球动态问题设计，考查空间观念与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|双曲线渐近线、椭圆离心率、圆的公切线|单选基础巩固，多选含排列组合、蒙日圆文化情境| |填空题|3/15|抛物线定义、排列组合分配、正方体棱切球|结合动态几何（棱切球交线），考查空间想象| |解答题|5/77|二项式定理、四棱锥二面角、椭圆综合应用|分层设计，如椭圆与直线面积问题、四棱台线面角，体现模型观念与推理能力|

高二数学第七次段考 使用时间：2026年1月 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2.若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3.已知，且恰能被整除，则的取值可以是(    ) A. B. C. D. 4．已知圆与圆的公切线有3条，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．向量在向量上的投影向量为 B． C．向量与向量的夹角为 D．向量与向量共面 6．已知，则下列选项中错误的是（   ） A． B．的最大值为 C． D． 7．已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球半径为（    ） A． B．3 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确的是（    ） A．甲排在两端，共有种排法 B．甲､乙都不能排在两端，共有种排法 C．甲､乙､丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法 D．甲､乙､丙互不相邻（指这三人中的任何两个人都不相邻），共有种排法 10．若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（    ） A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆 C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆 11．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.如图若椭圆E：的蒙日圆为C，M为蒙日圆C上的动点，过M作椭圆E的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ与椭圆E的一个交点为N，则（    ） A．C的方程为 B．面积的最大值为6 C．若点，，则当最大时， D．若椭圆E的左、右焦点分别为，，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．抛物线上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标为 ． 13．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种. 14．已知正方体的棱长为2，球为其棱切球，过球心作平面与底面平行，若为球面与平面的交线上一点，为底面外接圆的一条直径，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知的展开式中，第6项为常数项. (1)求含项的系数； (2)求展开式中所有的有理项 16.如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于2的正三角形，底面为菱形，侧面与底面所成的二面角为． (1)求点P到平面的距离； (2)求面与面所成二面角的大小． 17．已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于A,B两点，为坐标原点.若的面积为，求． 18．如图，在四棱台中，下底面是平行四边形，，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第七次段考 使用时间：2026年1月 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线的渐近线方程为（   B ） A． B． C． D． 2.若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ D ） A. B. C. 或 D. 或 3.已知，且恰能被整除，则的取值可以是(    C) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：依题意，， 而能被整除，则是的正整数倍，故ABD不满足，满足． 故选：． 4．已知圆与圆的公切线有3条，则实数的值为（  C  ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知向量，则下列结论正确的是（    C） A．向量在向量上的投影向量为 B． C．向量与向量的夹角为 D．向量与向量共面 6．已知，则下列选项中错误的是（ C  ） A． B．的最大值为 C． D． 7．已知直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（   C） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球半径为（  A  ） A． B．3 C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．有甲､乙､丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确的是（   AD ） A．甲排在两端，共有种排法 B．甲､乙都不能排在两端，共有种排法 C．甲､乙､丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法 D．甲､乙､丙互不相邻（指这三人中的任何两个人都不相邻），共有种排法 10．若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（  BC  ） A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆 C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆 11．法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.如图若椭圆E：的蒙日圆为C，M为蒙日圆C上的动点，过M作椭圆E的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线PQ与椭圆E的一个交点为N，则（  AD ） A．C的方程为 B．面积的最大值为6 C．若点，，则当最大时， D．若椭圆E的左、右焦点分别为，，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．抛物线上一点M与焦点F的距离，则点M的坐标为 ． 12. 13．将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者分配到四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在家庭的不同安排方法数有 种. 13．【答案】 【详解】由题可分以下两种情形： ①家庭只有志愿者甲，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种； ②家庭除了甲还有另一名志愿者，另外人分配到其他的个特殊家庭，每个家庭至少安排一名志愿者，此时有种. 故志愿者甲恰好被安排在家庭共有种不同安排方法. 14．已知正方体的棱长为2，球为其棱切球，过球心作平面与底面平行，若为球面与平面的交线上一点，为底面外接圆的一条直径，则的最大值为 ． 14．【答案】 【详解】由题可知，点在过球心与底面平行的截面圆上， 设在底面上的射影为，底面外接圆的圆心为，如图， 而球为正方体的棱切球，则棱切球的直径为，易得，，由于为底面外接圆的一条直径，则，且底面为正方形，边长为2，所以，则 ，当且仅当时等号成立，则的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.已知的展开式中，第6项为常数项. (1)求含项的系数； (2)求展开式中所有的有理项 15.【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）的展开式的通项为， 因为第项为常数项，所以时，有，解得. 令，得，所以含的项的系数为. （2）根据通项公式与题意得，令， 则，即，，所以应为偶数.又， 所以可取，即可取.所以第项，第项与第项为有理项， 它们分别为，，，即，，. 16.如图，已知四棱锥中，，侧面为边长等于2的正三角形，底面为菱形，侧面与底面所成的二面角为． (1)求点P到平面的距离； (2)求面与面所成二面角的大小． 【详解】（1）取AD中点O，连接PO，BO，如图， 因是边长为2的正三角形，则，而，，平面， 则平面，又平面，即有，是二面角的平面角，， 因平面，于是得平面平面，过P作的延长线于H，平面平面， 因此，平面，而，，则， 所以点P到平面的距离是. （2）由(1)知，BO垂直平分AD，连BD，则，又四边形为菱形，即有是正三角形， ，取PB中点E，连OE，则，，， 取PC中点F，连EF，AE，DF，则有，而，即有，又，即， 从而得为平面与平面所成二面角的平面角，，梯形中，， 中，，， 所以平面与平面所成二面角的平面角是钝角，其余弦值是. 17．已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于A,B两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 18．如图，在四棱台中，下底面是平行四边形，，，，，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）在中，由，得，而， 在中，由余弦定理，得， 则，即，又，， 平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）在四棱台中，由，得，有， 在梯形中，，过作交于点， 则，又，显然，则，即， 又平面，于是平面， 以为坐标原点，以的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量为，则，令，得， 而，设与平面所成角大小为， 因此， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【小问1详解】 由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 (ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $