2.2.4　第一课时　均值不等式 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现均值不等式从概念理解到实际应用的知识进阶，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-5题）|均值不等式定义及适用条件|选择题直接考查概念辨析，如第2题判断等号成立条件，强化符号意识| |提升层（6-9题）|公式变形与简单证明|填空与证明题结合，如第9题利用条件式构造不等式链，发展推理能力| |综合层（10-14题）|实际应用与跨学科情境|含几何无字证明（第13题）及多变量问题（第14题），解答题融合建模思想，提升创新意识|

2.2.4　均值不等式及其应用 第一课时　均值不等式 1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是（　　 ） A.s≥t B.s＞t C.s≤t D.s＜t 2.给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0.其中能使＋≥2成立的条件有（　　 ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（　　 ） A.x＋1≥2 B.x2＋1＞2x C.≤1 D.x＋≥2 4.已知a＞1，b＞1且a≠b，下列各式中最大的是（　　 ） A. B. C. D. 5.（多选）已知a＞0，b＞0，则下列不等式中正确的是（　　 ） A.ab≤ B.ab≤ C.≥ D.≤ 6.已知a＞b＞c，则与的大小关系是　　　　. 7.某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为　　　　. 8.设a，b为非零实数，给出不等式： ①≥ab；②≥； ③≥；④＋≥2.其中恒成立的是　　　　（填序号）. 9.已知a＞b，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：≥8. 10.（多选）下列各式中，最大值是的是（　　） A.y＝x2＋ B.y＝x，x∈[0，1] C.y＝ D.y＝x＋，x∈（－2，＋∞） 11.已知a＞0，b＞0，则“ab≤1”是“≤1”的（　　 ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 12.已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 13.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（　　 ） A.≥（a＞0，b＞0） B.a2＋b2≥2（a＞0，b＞0） C.≤（a＞0，b＞0） D.≤（a＞0，b＞0） 14.已知a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数. （1）求证： ＋＋≥； （2）是否存在实数m，使得关于x的不等式－x2＋mx＋2≤a2＋b2＋c2对所有满足题设条件的正实数a，b，c恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由. 第一课时　均值不等式 1.A　∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s（当且仅当b＝1时等号成立）. 2.C　由基本不等式可知，要使得＋≥2成立，则＞0，所以a，b同号，所以①③④均可以.故选C. 3.C　对于A，当x＜0时，根式无意义，故A不恒成立； 对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不恒成立； 对于C，x2＋1≥1，所以≤1成立，故C成立； 对于D，当时x＜0时，x＋≤－2，故D不恒成立， 即对任何实数x都成立的一个式子是≤1，故选C. 4.D　因为a＞1，b＞1，a≠b，由基本不等式得：1＜＜，由不等式性质得：＞， 又－＝－＝＞0， 所以＜＜＜.故选D. 5.ABC　由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥ab得，ab≤，∴≥，故选A、B、C. 6.≤　解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴≤＝. 7.x≤　解析：用两种方法求出第三年的产量分别为 A（1＋a）（1＋b），A（1＋x）2，则有（1＋x）2＝（1＋a）（1＋b）， ∴1＋x＝≤＝1＋， ∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立. 8.①②　解析：由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确； ＝＝≥ ＝＝，故②正确；当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1，可知④不正确. 9.证明：因为a，b，c∈（0，＋∞），a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立. 10.BC　y＝x2＋≥2＝（ 当且仅当x＝±时取等号），因此函数无最大值，故A错误；y2＝x2（1－x2）≤＝，由0≤x≤1可知y≥0，所以0≤y≤，当且仅当x＝时取等号，故B正确；当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y＝≤，当且仅当x＝±1时取等号，故C正确；y＝x＋2＋－2≥2－2＝2，x∈（－2，＋∞），当且仅当x＝0时取等号，故D错误.故选B、C. 11.A　因为a＞0，b＞0，若ab≤1，则≤1，即1－≥0，∴a＋b－2ab≥2－2ab＝2（1－）≥0，∴a＋b≥2ab，从而≤1，充分性成立；若≤1，例如a＝，b＝2，＝1，但ab＝＞1，因此必要性不成立，故选A. 12.证明：左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1 ＝＋＋－3. ∵a，b，c为正数， ∴＋≥2（当且仅当a＝b时取“＝”）； ＋≥2（当且仅当a＝c时取“＝”）； ＋≥2（当且仅当b＝c时取“＝”）. 从而＋＋≥6（当且仅当a＝b＝c时取“＝”）. ∴＋＋－3≥3， 即＋＋≥3. 13.D　由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝， 则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝， 再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号.故选D. 14.解：（1）证明：因为a＋b＋c＝3，且a，b，c都是正数， 所以＋＋＝[（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）]＝［3＋＋＋］≥（3＋2＋2＋2）＝， 当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号， 所以＋＋≥得证. （2）因为a＋b＋c＝3，所以（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3（a2＋b2＋c2）， 因此a2＋b2＋c2≥3（当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号）， 所以（a2＋b2＋c2）min＝3， 由题意得－x2＋mx＋2≤3恒成立， 即得x2－mx＋1≥0恒成立， 因此Δ＝m2－4≤0⇒－2≤m≤2. 故存在实数m∈[－2，2]使不等式恒成立. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $