北京市建华实验学校2026-2027学年高三上学期入学考试数学试卷

2026—2027学年高三年级入学测试 数学 2026.08 本试卷共7页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设有下面四个命题： ：若复数z满足，则 ：若复数z满足，则； ：若复数，，满足，则 ：若复数，则 其中的真命题为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知向量，都是单位向量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知的展开式中的常数项为20，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 5. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是无穷等差数列，其前项和为，则“为递增数列”是“存在，当时，都有”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知．若对于，均有成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知，，为边上的两点，且满足，．则当取最大值时，的面积等于（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知直线与圆相切，则_______________. 12. 等差数列中，，公差，则使前项和取得最大值的正整数的值是______，使前项和的正整数的最大值是______. 13. 函数图象的对称中心的横坐标为________（是自然对数的底） 14. 在棱长为 的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形是________（四边形、五边形、六边形），其面积为__________ 15. 已知函数，其定义域记为集合D，，给出下列四个结论： ①； ②若，则； ③存在，使得； ④对任意a，存在b使得． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知函数. （1）若，求的值； （2）求在上的单调区间. 17. 2026年美加墨世界杯期间，C罗与梅西均将开启个人第六次世界杯征程．两人是现役球员中职业生涯总进球数最高的两位，其自然年进球数与同龄进球数统计如图1、图2所示： （1）从图1所示的21年中随机选取1年，求C罗该年进球数多于梅西的概率； （2）已知2005—2025年间，年度最佳射手（全球自然年进球最多者）的平均进球数为球．以频率估计概率，求C罗与梅西中至少有一人当选年度最佳射手的概率； （3）记图2中20岁至22岁连续三年内，C罗与梅西的进球数方差分别为和，比较与的大小关系；并判断梅西从多少岁开始的连续三年进球数方差最大（结论不要求证明）． 18. 如图，在多面体中，四边形为正方形，且平面． （1）求证：； （2）若，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得多面体唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：直线与平面所成角为； 条件②：的面积为; 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知椭圆：的短轴长为2，且过点，设点为椭圆在第一象限内一点. （1）求椭圆方程； （2）点关于原点的对称点为，点，点为中点，的延长线交椭圆于点.记直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）当最大时，求直线方程. 20. 已知函数． （1）当时，若直线过原点，且是曲线的切线，求的斜率； （2）当时，求证：存在唯一极值点且为极大值点； （3）若直线与曲线有且仅有两个交点，请直接写出的取值范围． 21. 由个数排成的行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵. 矩阵是高等代数中的常见工具，在物理学、计算机科学中都有广泛的应用. 现有矩阵，其中.设. 定义变换 : “对于矩阵的每一行的数，若其中有或，则将这一行中每个数变为其相反数; 否则这一行中所有数均保持不变”. 表示对用变换得到，再对用变换得到，以此类推，最后得到. 记矩阵中四个数的和为. （1）若，写出经过变换后得到的矩阵，并求的值； （2）若 ，求的所有可能取值的和； （3）对任意矩阵，证明: 的所有可能取值的和不超过 0 . 2026—2027学年高三年级入学测试 数学 2026.08 本试卷共7页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】8 【12题答案】 【答案】 ①. 6或7 ②. 12 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 正六边形 ②. 【15题答案】 【答案】①②④. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为. 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3）；25岁 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）选条件①②， 【19题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）为定值（ⅱ） 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【21题答案】 【答案】（1），； （2）的所有可能取值的和为； （3） 若，则在集合的所有非空子集中， 含有a且不含b的子集共个，经过变换后第一行均变为； 含有b且不含a的子集共个，经过变换后第一行均变为； 同时含有a和b的子集共个，经过变换后第一行仍为a，b； 不含a也不含b的子集共个，经过变换后第一行仍为a，b； 所以经过变换后所有的第一行元素之和为， 若，则在的所有非空子集中， 含有a的子集共个，经过变换后第一行均变为； 不含有a的子集共个，经过变换后第一行仍为a，b； 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为. 同理经过变换后所有的第二行的所有数的和为， 所以的所有可能取值的和为， 又因为，所以的所有可能取值的和不超过0 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $