北京市顺义牛栏山第一中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

**基本信息** 高三开学数学试卷，以动力电池Peukert常数、油纸伞工艺、体育产业发展为情境，分层设计非选择题，适配开学检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|集合、函数性质、排列组合等|第7题结合动力电池科技情境，考查指数运算与数据处理| |填空题|5/25|概率、二项式定理、函数零点等|第14题函数零点与方程根综合，考查逻辑推理| |解答题|6/85|解三角形、统计概率、导数应用等|第17题体育产业统计分析，第21题创新定义“平衡序列”，考查数学抽象与创新意识|

牛栏山一中2026~2027学年度第一学期高三开学 数 学 2026.8 （时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则 A． B． C． D． 4．定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，如果，，那么（    ） A．， B．， C．， D．， 5．设为实数，则是 “”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 7．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D．2 8．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈已滑动到的位置，且、、三点共线，，为的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈沿着伞柄向下滑动的距离为，则当伞完全张开时，的余弦值是（　　）    A． B． C． D． 9．已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当时，成立（是函数的导函数），若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是 ． 12．若，则 ； . 13．能使命题“若，则为等腰三角形”为假命题的一组A，B的值是 . 14．已知函数 ①函数的零点个数为 ． ②若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围是 ． 15．已知函数，给出下列四个结论： ①函数是奇函数； ②，且，关于x的方程恰有两个不相等的实数根； ③已知是曲线上任意一点，，则； ④设为曲线上一点，为曲线上一点.若，则. 其中所有正确结论的序号是 . 3、 解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．在△中，，. (1)求证：△为等腰三角形； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一，求的值. 条件①：； 条件②：△的面积为； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）． （Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率； （Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明） 18．设函数．若在区间上具有单调性，且．再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使函数存在． (1)求的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值． 条件①：为奇函数；条件②：；条件③：． 19．已知函数. (1)若，求在处切线方程； (2)求的极大值与极小值； (3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点. 20．已知函数，且曲线在处与轴相切． (1)求的值； (2)令，证明函数在上单调递增； (3)求的极值点个数． 21．记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”： ①，其中； ②⫋，其中； ③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得． (1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明） (2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明： （i）当时，； （ii）． 试卷第1页，共3页 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D C C B B A A A 11． / 12． 13．（不唯一） 14． 1 15．②③④ 16．（1）在△中，由，可得 则由，可得 即，故有 故△为等腰三角形. （2）选择条件①：时，由（1）知，则有， 此时， 与已知矛盾，三角形无解.不能选； 选择条件②：△的面积为时， 由得， 故有，解得，,. 三角形存在且唯一，可选. 选择条件③：边上的高为. 由得， 可得，则有,. 三角形存在且唯一，可选. 综上可知:选择条件②时，三角形存在且唯一，. 选择条件③时，三角形存在且唯一，. 17．（Ⅰ）设表示事件“从2007年至2016年随机选出1年，该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上”． 由题意可知，2009年，2011年，2015年，2016年满足要求， 故． （Ⅱ）由题意可知，的所有可能取值为,,，3，且 ；； ；. 所以的分布列为： 0 1 2 3 故的期望． （Ⅲ）从年或年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大． 18．（1）设的最小正周期为， 在区间上具有单调性， ，解得； ，在区间，上单调， ，即的图象关于，成中心对称，（1） 若选条件①：为奇函数，则的图象关于，成中心对称， 因为，这是不可能的，故条件①不成立； 若选条件②：，， 则的图象关于直线对称，（2） 由（1）（2），得和，为同一周期里面相邻的一条对称轴和对称中心， ， ，， ， ，又， ，． 若选条件③：，则的图象关于直线对称， 由（1）（2），得和，为同一周期里面相邻的一条对称轴和对称中心， ， ， ， ， ，又， ， ． （2）∵，∴，当，即时，， 当，即时， 19．（1）当时，，， 所以， 又， 所以切线方程为，即. （2）， 当时，，解得， 故时，，单调递减；时，，单调递增， 故时，的极小值为，无极大值； 当时，令，解得，， 故当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的极大值为，极小值为； 当时，令，解得，， 故当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的极大值为，极小值为； 综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，极小值为. （3）当时，由（2）知， 在和上单调递增， 在上单调递减，且时，恒成立， 时，， 又的极大值为，极小值为， 所以存在实数时，函数有三个零点. 20．（1）， 由题意可知是在处的切线方程， 所以且，故 （2）由（1）知，所以， 所以， 令， 当单调递增，当单调递减， 因此在单调递增，故， 所以函数在上单调递增 （3）由（2）知: 当单调递增，当单调递减， 所以当时，取最小值，且，故存在，使得 因此当和当 因此在上单调递增，在上单调递增，在时单调递减， 由于，， 因此存在使得， 故当时， ，此时单调递减，当时，，单调递增， 故在时取极小值， 故有1个极值点. 21．（1）是平衡的，不是平衡的． 理由：， ，，满足， 显然⫋，且对于中的任意两个不同元素，， 都存在唯一的，使得． 故是平衡的， ， 并不是的子集，故不是平衡的． （2）（i）当时，对于中的每个元素，考虑． 由③知存在唯一的，满足，则． 将每一个对应到， 若，就有，否则且与③矛盾． 所以． （ii）对中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次）， 一方面总个数就是， 另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是， 所以．（＊） 不妨设中最小的（之一）为， 且，由②③知． 再不妨设． 由（i）的证明方法可证：当时，， 由③知， 所以， 又因为，所以都不大于， 全部相加得， 由的最小性知， 结合（＊）可得 ， 所以． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $