3.1.3 直线与椭圆的位置关系学案 (2) 导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学导学案 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.3直线与椭圆的位置关系 1、 学习目标：初步理解并能够判定直线与椭圆的位置关系，并能够求弦长。 二、问题导学： （一）自学导引 问题：类比直线和圆，如何研究直线和椭圆的位置关系？ 问题2：直线与椭圆相交，如何求弦长？ （2） 新知导航： 知识点一 点与椭圆的位置关系： （1）点在椭圆外 ； （2）点在椭圆上 ； （3）点在椭圆内 知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系及判定： （1） 相交： ； （2） 相切： ； （3）相离： ； 知识点三 弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） （3） 应用举例 例1：直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 跟踪训练1：若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 例2：如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：    (1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？ 跟踪训练2;已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交； (2)相切； (3)相离？ 例3：在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B. (1)求轨迹C的方程； (2)求斜率k的取值范围； (3)当时，求A，B两点坐标. 跟踪训练3：如图，求直线与椭圆的公共点坐标． 例4：已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长. 跟踪训练4-1：已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率为1，经过点，且与椭圆交于，两点，若，求值． 跟踪训练4-2：已知椭圆的焦距为4，短轴长为2． (1) 求的长轴长： (2) 若斜率为的直线交于A，B两点，求的最大值． （4） 随堂检测 1．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 2．若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 3、 数学情境 已知荒漠上有两定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上围垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.又该荒漠上有一条直水沟l恰好经过点A，且与AB成30°角.现要对整条水沟进行加固，但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？ 四、小结与反思 本节课你学会了哪些知识？可以解决哪些问题？还有哪些收获呢？ [作者姓名] 2 学科网（北京）股份有限公司 $高二数学导学案 第三章 圆锥曲线的方程 3.1.3直线与椭圆的位置关系 1、 学习目标：初步理解并能够判定直线与椭圆的位置关系，并能够求弦长。 二、问题导学： （一）自学导引 问题：类比直线和圆，如何研究直线和椭圆的位置关系？ 问题2：直线与椭圆相交，如何求弦长？ （2） 新知导航： 知识点一 点与椭圆的位置关系： （1）点在椭圆外； （2）点在椭圆上＝1； （3）点在椭圆内 知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系及判定： （1） 相交：直线与椭圆相交； （2） 相切：直线与椭圆相切； （3）相离：直线与椭圆相离； 知识点三 弦长公式 （最常用公式，使用频率最高） （3） 应用举例 例1：直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】直线过定点问题、根据方程表示椭圆求参数的范围、点和椭圆的位置关系 【分析】求出直线所过定点的坐标，分析可知，定点在椭圆内或椭圆上，结合椭圆方程可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】直线方程可化为，故该直线恒过定点， 因为直线与椭圆恒有公共点， 则点在椭圆内或椭圆上，所以，，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 跟踪训练1：若点在焦点在轴上的椭圆内部，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、点和椭圆的位置关系 【分析】根据椭圆焦点在轴上可得，再根据点在椭圆内部列式求解. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则， 又因为点在椭圆内部，则，解得， 所以的取值范围是． 故答案为：. 例2：如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：    (1)有两个公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ 【答案】(1) (2)， (3)，或 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可. （2）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可. （3）直线与椭圆的公共点的个数与方程组，得到，根据求解即可. 【详解】（1）由方程组消去y，得， ． 由，得． 此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点． （2）由，得，．此时方程①有两个相等的实数根， 直线l与椭圆C有且只有一个公共点． （3）由，得，或．此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点． 跟踪训练2;已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)相交； (2)相切； (3)相离？ 【答案】(1) (2) (3)或. 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】联立直线与椭圆方程，并计算，根据直线与椭圆的位置关系，求解，和，即可求解对应的值. 【详解】（1）联立，得， ， 当直线与椭圆相交，即，则，解得：； （2）当直线与椭圆相切，即，则，解得：； （3）当直线与椭圆相离，即，则，解得：或. 例3：在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，过点且斜率为k的直线l与C交于不同的两点A，B. (1)求轨迹C的方程； (2)求斜率k的取值范围； (3)当时，求A，B两点坐标. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、轨迹问题——椭圆、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）根据椭圆定义得到点P的轨迹为以为焦点的椭圆，求出，得到轨迹方程； （2）l的方程为，联立椭圆方程，由根的判别式得到不等式，求出k的取值范围； （3）时，，联立，求出交点坐标，得到答案. 【详解】（1）设，则， 所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆， 其中，故， 故轨迹C的方程为； （2）过点且斜率为k的直线l的方程为， 联立与得，， ，解得或， 故斜率k的取值范围是或； （3）时，，联立得， ，解得或， 当时，，当时，， 故或. 跟踪训练3：如图，求直线与椭圆的公共点坐标． 【答案】 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标 【分析】联立直线l与椭圆C的方程，求出交点坐标. 【详解】联立直线l与椭圆C的方程， 得到，即， 解得， 当时，，当时，， 所以直线l与椭圆C的公共点的坐标为． 例4：已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点，且 (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线过椭圆的右焦点，交椭圆两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ， 所以椭圆的标准方程为. （2）斜率为的直线过椭圆的右焦点 所以直线方程为：，联立椭圆的方程得： ，化简得： 设，则， 故. 跟踪训练4-1：已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率为1，经过点，且与椭圆交于，两点，若，求值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的方程为， 所以，，解得， 所以，所以. （2）根据题意可得，则， 且，则， 又， 所以， 即， 则，解得，经检验，符合题意． 跟踪训练4-2：已知椭圆的焦距为4，短轴长为2． (1)求的长轴长： (2)若斜率为的直线交于A，B两点，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得得 所以的长轴长． （2）   由（1）可知的方程为． 设，，． 由得， 由，得． 由韦达定理得 则． 当时，取得最大值，且最大值为． （4） 随堂检测 1．直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【知识点】讨论椭圆与直线的位置关系 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 2．若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 【详解】由可得， 故，故或， 故选：D. 3．直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求直线与椭圆的交点坐标 【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案. 【详解】由可得，解得或 当时，，当时， 所以直线与椭圆的交点坐标为 故选：D 4．若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案. 【详解】由直线，则可知其过定点， 易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点， 则，解得且. 故答案为：且. 3、 数学情境 已知荒漠上有两定点A，B，它们相距2km，现准备在荒漠上围垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8km.又该荒漠上有一条直水沟l恰好经过点A，且与AB成30°角.现要对整条水沟进行加固，但考虑到今后农艺园的水沟要重新设计改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？ 【答案】 【知识点】求椭圆中的弦长、利用椭圆定义求方程、椭圆的其他应用、根据韦达定理求参数 【分析】由题意得，可画出四边形简图并建立直角坐标系，根据已知条件求出椭圆的标准方程，再将直线与椭圆方程联立方程组，利用韦达定理求出即可得出结论. 【详解】以所在直线为轴,以的中垂线为轴,建立直角坐标系，如图: 设四边形的顶点,且, 根据题意得, 则点轨迹为椭圆,且则, 故所求椭圆的标准方程为. 由直线形小溪刚好通过点,且与成角,得直线的方程为, 设直线与椭圆相交于点两点, 则水沟可能被农艺园围进的部分为; 设则, 整理得则, 则, 所以暂不加固的部分长. 四、小结与反思 本节课你学会了哪些知识？可以解决哪些问题？还有哪些收获呢？ [作者姓名] 2 学科网（北京）股份有限公司 $