第3章 圆锥曲线的方程概念清单速记表（知识清单）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“圆锥曲线”单元核心内容，涵盖椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质，构建了从“基础概念解析”到“性质特征归纳”再到“统一定义整合”的层级化学习支架。 清单以表格形式分类呈现知识，每节按“概念-定义-相关概念”分层梳理，如椭圆离心率明确“e越接近1越扁平”的特征，双曲线渐近线标注“无限接近永不相交”的关键，培养学生的数学思维与模型观念。特别设计“相关概念”列关联核心要素，如a、b、c的几何意义，帮助学生构建完整知识网络，教师可直接用于课堂总结或学生自主复习，提升学习效率。

第3章 圆锥曲线的方程清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 3.1.1 椭圆及其标准方程 椭圆的定义 平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 焦点、焦距、半焦距 椭圆的标准方程 焦点在 轴上的椭圆标准方程为 （），焦点为 、，且 ；焦点在 轴上的椭圆标准方程为 （），焦点为 、。 a、b、c、长半轴、短半轴、焦点位置 3.1.2 椭圆的简单几何性质 椭圆的范围 椭圆 （）上点的横坐标满足 ，纵坐标满足 ，椭圆位于直线 和 围成的矩形框内。 矩形框、边界直线 椭圆的对称性 椭圆关于 轴、 轴和原点都对称。坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。 对称轴、对称中心、中心 椭圆的顶点、长轴和短轴 椭圆与它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点，分别为 、、、。线段 叫做长轴，长为 ；线段 叫做短轴，长为 ； 和 分别叫做长半轴长和短半轴长。 顶点、长轴、短轴、长半轴、短半轴 椭圆的离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率，其中 。 越接近 1，椭圆越扁平； 越接近 0，椭圆越接近于圆。 焦距、长轴长、扁平程度 椭圆的准线 若点 到定点 的距离和它到定直线 的距离之比为 （），则点 的轨迹是椭圆。直线 称为相应于焦点 的准线，对应另一焦点 的准线为 。 第二定义、准线、离心率 3.2.1 双曲线及其标准方程 双曲线的定义 平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 焦点、焦距、两支 双曲线的标准方程 焦点在 轴上的双曲线标准方程为 （，），焦点为 、，且 ；焦点在 轴上的双曲线标准方程为 （，），焦点为 、。 a、b、c、焦点位置、实轴、虚轴 3.2.2 双曲线的简单几何性质 双曲线的范围 双曲线 （，）上点的坐标满足 或 ，，双曲线位于直线 及其左侧和直线 及其右侧的区域。 左支、右支、边界区域 双曲线的对称性 双曲线关于 轴、 轴和原点都对称。坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 对称轴、对称中心、中心 双曲线的顶点、实轴和虚轴 双曲线与它的对称轴有两个交点 、，称为双曲线的顶点。线段 叫做实轴，长为 ， 叫做实半轴长；、 两点在 轴上，线段 叫做虚轴，长为 ， 叫做虚半轴长。 顶点、实轴、虚轴、实半轴、虚半轴 双曲线的渐近线 双曲线 （，）的两支向外延伸时，与两条直线 逐渐接近但永不相交，这两条直线叫做双曲线的渐近线。双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。 渐近线、无限接近、永不相交 等轴双曲线 在双曲线方程中，如果 ，方程变为 ，此时实轴和虚轴的长都等于 ，渐近线方程为 。实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 a=b、渐近线y=±x、正方形 双曲线的离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率，因为 ，所以 。双曲线的离心率刻画了双曲线张口的大小。 焦距、实轴长、张口大小 3.3.1 抛物线及其标准方程 抛物线的定义 平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点 叫做抛物线的焦点，直线 叫做抛物线的准线。 焦点、准线、距离相等 抛物线的标准方程 抛物线的标准方程有四种形式：（，焦点在 轴正半轴，焦点 ，准线 ）；（，焦点在 轴负半轴）；（，焦点在 轴正半轴）；（，焦点在 轴负半轴）。 p、焦点坐标、准线方程、开口方向 3.3.2 抛物线的简单几何性质 抛物线的范围 对于抛物线 （），抛物线上的点满足 ，，抛物线在 轴右侧，向右上方和右下方无限延伸。 x≥0、无限延伸、开口方向 抛物线的对称性 抛物线 （）关于 轴对称，抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 对称轴、轴 抛物线的顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线 （）的顶点为坐标原点。 原点、顶点坐标 抛物线的离心率 抛物线上的点 与焦点 的距离和点 到准线的距离 的比叫做抛物线的离心率，用 表示。由抛物线的定义可知，。 离心率、定义、e=1 二次函数的图象是抛物线 二次函数 （）的图象可以通过配方并平移，化为 的形式，表示顶点为原点、焦点为 的抛物线，因此二次函数的图象是一条抛物线。 配方、平移、顶点、焦点 3.3 抛物线 圆锥曲线的统一定义 如果动点 与定点 的距离和它到定直线 （ 不经过点 ）的距离之比为 ，当 时，点 的轨迹为椭圆；当 时，点 的轨迹为双曲线；当 时，点 的轨迹为抛物线。 椭圆、双曲线、抛物线、离心率、统一定义 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $