2.2.3一元二次不等式的解法同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册（北京专用）

**基本信息** 以北京专用考题为载体，分层覆盖一元二次不等式解法的基础应用到综合拓展，通过梯度题型设计强化从概念到推理的知识巩固路径，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一不等式解法|直接应用解题步骤，如单选题1考查基本解集求解| |综合应用|与集合/充要条件结合|融入集合运算与逻辑判断，如单选题2、3提升知识关联| |拓展提升|含参数综合问题|通过多问设计考查分类讨论，如解答题15体现推理能力|

2.2.3一元二次不等式的解法同步练（北京专用） 教材知识梳理 三个“二次”的关系 判别式 二次函数的图像          一元二次方程的根 有两相异实根， 有两相等实根 没有实数根 的解集 ________ ________ R 的解集 ________ ________ ________ 补充：若，先两边乘，不等号反向，再按上表求解. 【答案】 2．一元二次不等式通用解题步骤 ①________：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； ②________：计算，判断根的个数； ③________：时解方程得到零点； ④________：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图象判断. ⑤________：特殊不等式快速处理 ⑥________：解集端点包含根； ⑦________：，根据二次项系数符号及移项后常数项的符号判断解集； ⑧________：，因式分解. 【答案】 标准化 算判别式 求方程根 图象写解集 拓展补充 含等号 缺一次项 缺常数项 同步练（最新北京同步考题） 一、单选题 1．（学易金卷：高一数学上学期期末模拟卷01（北京专用）（人教A版））不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解法直接解出不等式即可． 【详解】，解得或， 故解集为或， 故选：B． 2．（2026年高考一模考试提分卷01（北京专用））已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用并集的运算求解. 【详解】由可得，解得，即集合， 且，所以． 故选：D． 3．（25-26高一上·北京·阶段检测）若集合，，且是的充分不必要条件，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，由是的充分不必要条件，得到，则，再按照和讨论求解. 【详解】，， ，， 是的充分不必要条件，，. 当，即时，，要满足是的充分不必要条件，则有或，解得； 当，即时，，显然不满足是的充分不必要条件. 综上可得实数a取值范围是. 故选：B. 4．（25-26高三上·北京·阶段检测）关于的不等式的解集不可能是 （    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】分、、三种情况讨论，结合一元二次函数图象解不等式. 【详解】若，则等价于， 若，则不等式的解集为，故B不符合题意； 若，则不等式的解集为，故D不符合题意； 若，则不等式的解集为，故C不符合题意； 若，则等价于， 则不等式的解集为或； 若，则不等式的解集为， 综上可知，A选项符合题意. 故选：A 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）记关于的三个方程分别为： ①； ②； ③，其中是正实数，且满足． 则下列选项中，能推出方程③无实根的是（　　） A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】对于A：方程①有实根，且②有实根，则，，即，， 又，则， 要使方程③无实根，则，显然不成立，故A错误； 对于B：方程①有实根，且②无实根，则，，即，， 又，则， 即，此时方程③满足，故B正确； 对于C：方程①无实根，且②有实根，则，，即，， 又，则， 要使方程③无实根，则，显然不成立，故C错误； 对于D：方程①无实根，且②无实根，则，，即，， 又，则， 要使方程③无实根，则，显然不成立，故D错误； 故选：B． 6．（25-26高一上·北京平谷·阶段检测）已知不等式的解集是，则（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的解集，利用韦达定理求出参数值即可. 【详解】由不等式的解集是， 得是方程的两个实根，且， 则，解得，所以. 故选：C 7．（24-25高一上·北京丰台·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为二次不等式的解集为， 所以是方程的两根，且， 则，解得，则. 故选：A. 8．（24-25高一上·北京·期中）“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由时，判断关于的不等式的解集是否为；再根据“关于的不等式的解集为”求得的范围，从而可判断两个条件之间的关系. 【详解】当时，二次函数开口向下， 又的， 所以关于的不等式的解集为； 又，因为关于的不等式的解集为， 所以有，解得， 所以“”是“关于的不等式的解集为”的充分必要条件. 故选：C. 9．（25-26高一上·北京延庆·期中）若关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，借助韦达定理列出不等式求解即得. 【详解】由关于的方程有一个正根和一个负根，得该方程为一元二次方程， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 10．（24-25高一上·北京海淀·期中）关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知可得判别式△、对应的二次函数满足，即可求出的范围． 【详解】解：方程有两个实数根，△， ， 的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴 可得， 或， ， 故选：． 二、填空题 11．（24-25高三上·北京·阶段检测）已知方程的两根一个比大另一个比小，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为方程的两根一个比大另一个比小， 则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高一上·北京·期中）关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用给定条件合理构造出，再利用韦达定理得到，求解参数范围即可. 【详解】因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 故，即， 而由韦达定理得，， 代入不等式中得到，解得， 故答案为： 13．（24-25高一上·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用判别式与韦达定理得到关于的不等式组，从而得解. 【详解】因为有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根， 所以，解得. 故答案为：. 14．（24-25高一上·北京·期中）已知一元二次方程有一正根和一负根，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的特点及判别式，结合韦达定理即可求解. 【详解】因为一元二次方程有一正根和一负根， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 15．（24-25高一上·北京顺义·阶段检测）已知集合. (1)若，证明； (2)当时，.若“”是“”的充分不必要条件，求的范围； (3)若集合，且中恰好只有1个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法结合元素与集合的关系证明即可； （2）利用（1）的结论，及充分不必要条件的定义转化两集合的关系，分类讨论计算即可； （3）分类讨论结合一元二次方程根的分布计算即可. 【详解】（1）时，， 解之得或，即{或}， 显然，证毕； （2）由上知时，{或}， 若“”是“”的充分不必要条件，则是A的真子集， 所以若，显然符合题意，此时，即； 若，要符合题意需，此时，舍去； 或，此时； 综上； （3）若， 要符合题意需，此时，舍去； 若， 要符合题意需，此时； 综上： 16．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知函数 (1)若关于的不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围 (2)若关于的方程的两根为，，且，，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）讨论是否为零，从而分别求解不等式；从而得到实数的取值范围； （2）由题意得，结合韦达定理，得，从而解得． 【详解】（1）解：①当时，不等式可化为， 解得，故不成立； ②当时， 的解集为全体实数， ， 解得， 综上所述，实数的取值范围为； （2）解：关于的方程的两根为，，且，， ， 即， 又，， ， 解得或； 故实数的取值范围为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2.2.3一元二次不等式的解法同步练（北京专用) 教材知识梳理 三个“二次”的关系 判别式△=b2-4ac △>0 △=0 △<0 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0 Ox为 的图像 一元二次方程 有两相异实根X1, 有两相等实根 ax+bx+c=0(a>0 b 没有实数根 x2X1<X2 X1=X2=- 2a 的根 ax2+bx+c>0(a>O R 的解集 ax2+bx+c<O(a>0 的解集 补充：若a<0,先两边乘-1，不等号反向，再按上表求解 2.一元二次不等式通用解题步骤 ① 移项整理，保证一侧为0，二次项系数化为正数： ② :计算△=b2-4ac,判断根的个数： ③ △≥0时解方程得到零点： ④ 开口向上，大于取两边，小于取中间：△<0直接根据图象判断. ⑤ ：特殊不等式快速处理 ⑥ ≥、≤解集端点包含根： ⑦ αx+c>0,根据二次项系数符号及移项后常数项的符号判断解集： 试卷第1页，共3页 ⑧ :ax+bx>0,因式分解x(ax+b)>0. 同步练（最新北京同步考题) 一、单选题 1.(学易金卷：高一数学上学期期末模拟卷01（北京专用）（人教A版))不等式 X-x-2>0的解集是() A.{x|x<-2或x>-1} B.{x|x<-1或x>2} C.{x|-1<x<2} D.{x|-2<x<1} 2.(2026年高考一模考试提分卷01（北京专用）)已知集合A=x刈X2<2x B={x-1≤x≤1}，则AUB=() A.{x|-1≤x<0}B.{x|0<x≤1} C.{x|1≤x<2}D.{x|-1≤x<2} 3.(25-26高一上北京阶段检测)若集合A=xx2-5x+6<0 B=xx2-4ax+3a2<0且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a取值范围是 () A.1<a<2 B.1≤a≤2 C.1<a<3 D.1≤a≤3 4,(25-26高三上北京阶段检测)关于x的不等式x-ax+1 a >0的解集不可能是 （) A.xlx<a或x>-1} B.xla<x<-1) C.(x|-1<x<all D.0 5.(25-26高一上·北京·阶段检测)记关于x的三个方程分别为： ①X+a1x+1=0 ②X+a,x+2=0 试卷第2页，共3页 ③X+a5+4=0其中a1,a2,a,是正实数，且满足a=a1ag 则下列选项中，能推出方程③无实根的是() A.方程①有实根，且②有实根 B.方程①有实根，且②无实根 C.方程①无实根，且②有实根 D.方程①无实根，且②无实根 6.(25-26高一上北京平谷阶段检测)已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是 xx≤， 则a+b=() A.1 B.0 c.-1 D.-2 7.(24-25高一上·北京丰台期中)已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+6>0的解集为 {x|-3<x<2},则a+b的值为() A.-2 B.-1 C.0 D.2 8.(24-25高一上北京期中)“a<0”是“关于x的不等式aX2-X+上>0的解集为②” a 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 9.（25-26高一上：北京延庆：期中)若关于x的方程(k-2)X+23x+k=0有一个正根和 一个负根，则实数k的取值范围是() A.0<k<3 B.0<k<2 C.-1<k<3 D.-1<k<0 10.(24-25高一上·北京海淀期中)关于x的方程x2-2mx+m2-m=0有两个正的实数根， 则实数m的取值范围是(). A.m>0 B.m≥0 c.m≥1 D.m>1 二、填空题 试卷第3页，共3页 1.（2425高三上：北京阶段检测)已知方程X+2m-1x+4-2m=0的两根一个比2 大另一个比2小，则实数m的范围是 12.（24-25高一上北京：期中)关于x的方程gX+a+2x+9a=0la<0有两个不相等的 实数根X1,X2,且X1<1<X2,则a的取值范围是 13.(24-25高一上北京期中)己知方程号X+m-2x+m=0有两个不相等的正根，则 实数m的取值范围是 14.(2425高一上北京：期中)已知一元二次方程a-2X2+4X+3=0有一正根和一负根， 则实数a的取值范围为 三、解答题 15.(24-25高一上北京顺义阶段检测)已知集合A=xaX+5x-2≤0 (1)若a=-2,证明1A: 2)当a=-2时，B=X3-m≤X≤m+5若“x∈B”是 “X∈A”的充分不必要条件， 求m的范围； (3)若集合C=2,3),且AnC中恰好只有1个元素，求实数a的取值范围 16.(25-26高一上北京阶段检测)已知函数y=k-1x2+k-3x+1 (1)若关于x的不等式k-1X+k-3x+10的解集为全体实数R:求实数k的取值范围 (2)若关于x的方程k-1X+k-3引x+1=0的两根为x'X且x,<2°飞<2求实数k的取 值范围 试卷第4页，共3页