精品解析：湖北武汉市部分高中2026-2027学年高三上学期收心考数学试卷

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式得集合，再由交集的定义可得结果. 【详解】由一元二次不等式 ，得，所以不等式的解集为 . 又因为，所以 . 又因为，所以. 因此. 2. 复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知，分子分母同乘得，C正确. 3. 已知一组数据，，，，的平均数为3，方差为2，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】因为平均数为3，所以，解得：①， 因为方差为2，所以， 化简得：②， 联立①②得：，或，，则. 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一用等差数列片段和性质. 方法二用等差数列的基本量计算. 【详解】方法一：因为等差数列的前项和为，由片段和性质可知 、、、也成等差数列. 因为，，所以， 所以，， 所以 ，. 方法二：因为等差数列中，， 所以，解得， 所以. 5. 已知向量满足，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模长的平方等于向量自身的数量积这一性质，将已知模长等式两边平方，代入已知模长数值即可求出的值. 【详解】 将两边平方，得：  ， 代入已知，，可得，， 且，代入上式得：  ， 整理计算得，即，因此的值为1. 6. 若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据分段函数的单调递增所满足的三个条件计算可得. 【详解】因为分段函数在上单调递增，需要同时满足三个条件： ①当时，指数函数单调递增，所以底数需满足； ②当时，一次函数单调递增：所以斜率需满足，解得； ③在分界点处，左段的函数值不能超过右段在处的起始值， 即当时： ，化简得，解得. 联立三个条件，解得，即. 因此实数的取值范围为. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对两个等式两边同时平方相加，再结合同角的三角函数关系式中的平方和公式、逆用两角差的正弦公式求解即可. 【详解】因为 ①， ②， ①+②得：， 化简得：， 解得：. 8. 已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由椭圆的对称性可知，又因为的周长为， 所以， 设，， 则， 因为，所以，即， 又因为点，在上，所以， 所以，整理得， 即，所以. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式一共有7项，则（ ） A. B. 展开式中常数项为 C. 展开式中的系数为 D. 展开式的各项系数之和为64 【答案】AC 【解析】 【分析】先由展开式的项数确定二项式的指数并写出通项公式以求得特定项的系数，再利用赋值法求出各项系数之和. 【详解】由题意得展开式共项，所以，故A正确， ， 令，则常数项的系数为，故B错误， 令，则含的项为， 即的系数为，故C正确， 令，则各项系数之和为，故D错误. 10. 如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则正确的有（ ） A. 该多面体有14个面 B. 该多面体有24条棱 C. 该正方体的棱长为2 D. 该多面体表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据多面体的产生过程可得多面体的面数、棱数判断AB，由截去的八个四面体体积和是可计算正方体棱长，判断C,再由三角形及正方形的面积计算多面体表面积判断D. 【详解】对于A，由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面，故A正确； 对于B，由题意知，该几何体有6个面为正方形，故该几何体的棱数为，故B正确； 对于C，由题可知，该几何体的顶点是正方体各棱的中点，设正方体棱长为，则，， 故截去的八个四面体体积和， 解得，该正方体的棱长为，故C错误； 对于D，结合C可知多面体中正三角形边长为，正方形边长为，所以表面积，故D正确. 11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 2是的一个周期 C. 图象关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】函数向左平移后的新函数为： ， 若正弦型函数为偶函数，则需满足， 则，解得， ， 当时，． 13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过四边形的面积计算，并得到点的坐标，代入双曲线的方程求解. 【详解】不妨设点在第一象限，如图， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，故， 因为，所以，由对称性易得四边形是平行四边形， 其面积为， 得，则，代入双曲线方程得，又， 解得，，则，即的虚半轴长为. 14. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.如图，“三角垛”共3层，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径都是1，且相邻两球两两相切，现将“三角垛”放在水平地面上， （1）该“三角垛”最上面球的球心到地面的距离为__________； （2）若该“三角垛”能放入一个正四面体容器内（厚度忽略不计），则该容器棱长的最小值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】依题意连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心得到一个正四面体，且该正四面体的棱长为，则该“三角垛”最上面球的球心到地面的距离为正四面体的高，求出正四面体的高，可得（1）的解；若该“三角垛”能放入一个正四面体容器内（厚度忽略不计），则该容器棱长最小时，各面与三角垛小球相切，由此求得其棱长的最小值. 【详解】（1）依题意连接顶层1个球和底层边缘3个球的球心得到一个正四面体，且该正四面体的棱长为， 则该“三角垛”最上面球的球心到地面的距离为正四面体的高， 如图正四面体的棱长为，设底面的中心为，连接并延长交于点， 则为的中点，且. 连接，则为该四面体的高， 所以， 所以“三角垛”的高度为. （2）若该“三角垛”能放入一个正四面体容器内（厚度忽略不计），则该容器棱长的最小时，各面与三角垛小球相切， 且各面与正四面体相应的棱平行，且距离为. 设正四面体容器的棱长为，则各面的外接圆半径为， 则该正四面体的各顶点到相对的面的距离为. 所以其中心到各面的距离为， 因为正四面体的中心与该四面体中心重合， 所以， 解得. 故该“三角垛”能放入的正四面体容器（厚度忽略不计）的棱长的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的周长； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，再用正弦和角公式可得，即可求得； （2）由面积公式可得，再结合余弦定理求得，相加可得周长. 【小问1详解】 由，得， 由正弦定理可得， 所以， 因为，所以， 又，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理，得，即， 又因为，所以， 所以的周长为. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． （1）证明：直线平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、、， 则，且，即， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则，， 又平面，平面，所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，通过证明四边形为平行四边形得到，最后证得直线平面； （2）分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再求平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直四棱柱中，底面，且， 如图，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设是平面一个法向量，则，， ，取得为平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，， 取得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，那么， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． （1）根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 认为学生报名参加答题活动与性别有关联. （2） 1 2 3 4 . 【解析】 【分析】（1）根据题意完成列联表中的数据，再计算出的值判断即可； （2）列举的所有可能取值，结合独立事件的概率特征求出对应的概率，从而可得出的分布列和数学期望. 【小问1详解】 ，所以不愿意报名参加答题活动人数为，愿意报名参加答题活动人数为， 又，所以愿意报名参加答题活动的男生人数为，愿意报名参加答题活动的女生人数为， 则可得到列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 合计 100 100 200 零假设：学生报名参加答题活动与性别无关， 则， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为学生报名参加答题活动与性别有关联. 【小问2详解】 的所有可能取值为：， ，，，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 故． 18. 已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． （1）求直线的方程； （2）已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 【答案】（1） （2）①设直线的方程为，直线与直线交于点，设，， 则， ， ， 联立， 得， ； ， 联立，得， 代入上式得：， ， 则有， （舍去）， 所以直线的斜率为定值． ②依题意，， 则， 由①知直线的方程为与抛物线的方程联立得， 所以，代入上式得， 故为定值． 【解析】 【分析】（1）先把点代入抛物线方程求出，再设过点的直线方程，此直线方程和抛物线联立方程组，利用相切得到判别式为零求出切线方程. （2）①依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线与直线交于点，设，，通过联立方程组，结合判别式和韦达定理求出直线的斜率为定值．②求出，，计算即可得到结论. 【小问1详解】 将点代入抛物线方程，得，解得， 所以抛物线的方程为． 设直线的方程为，与抛物线的方程联立得， 所以，即，得， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 已知，函数，， （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）证明：对，恒成立． 【答案】（1）极大值为，极小值为； （2）当为奇数时，在定义域上单调递减； 当为偶数时，在上单调递减，在上单调递增. （3）证明：要证，即证，也即 设，即需证. 则， ① 当时，，此时， 由，得，由，得或， 则在，上单调递减，在上单调递增． 则的极小值为，又，即当时，恒成立； ② 当时，令，则， 因为，所以，又， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得最大值（*）， 设，则， 由，得，由，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 故，则， 取,则，进而，即， 则由（*），， 即，则 则由可得， 由可得， 则在上单调递减，在上单调递增．恒成立． 综上，对，成立，即恒成立． 【解析】 【分析】（1）利用导数法求出单调性，利用单调性得到函数极大值和极小值； （2）复合函数求导，对分为奇数和偶数讨论求解； （3）通过构造函数，利用导数法求函数最小值，得到构造函数的最小值，从而证得. 【小问1详解】 当时，，定义域为， ， 因为或，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为，的极小值为， 【小问2详解】 因为，所以的定义域为，， 当为奇数时，为偶数，恒成立， 所以在定义域上单调递减. 当为偶数时，为奇数， ， ， 则在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据，，，，的平均数为3，方差为2，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，且满足，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左焦点为，点，在上，轴，若，且的周长为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的展开式一共有7项，则（ ） A. B. 展开式中常数项为 C. 展开式中的系数为 D. 展开式的各项系数之和为64 10. 如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是，则正确的有（ ） A. 该多面体有14个面 B. 该多面体有24条棱 C. 该正方体的棱长为2 D. 该多面体表面积为 11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 2是的一个周期 C. 图象关于对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 13. 已知双曲线的一条渐近线方程为，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚半轴长为________． 14. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.如图，“三角垛”共3层，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每个球的半径都是1，且相邻两球两两相切，现将“三角垛”放在水平地面上， （1）该“三角垛”最上面球的球心到地面的距离为__________； （2）若该“三角垛”能放入一个正四面体容器内（厚度忽略不计），则该容器棱长的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个角，，的对边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的周长； 16. 如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． （1）证明：直线平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨讲话．某校组织学生参加知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，男生、女生各调查了100人．设事件“学生愿意报名参加答题活动”，“学生为男生”，据统计，． （1）根据已知调查样本完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 （2）网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为．若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到4道题答完．已知甲同学报名参加答题活动，用表示甲同学本次答题的题目数量，求的分布列和期望． 参考公式与数据：，其中． 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知抛物线，直线与抛物线相切，切点为．过点作直线的垂线，点在直线上（异于点），以点为圆心，为半径作圆与抛物线交于，两点． （1）求直线的方程； （2）已知直线与相交，记直线的斜率为，直线的斜率为，则 ①判断直线的斜率是否为定值，并说明理由． ②判断是否为定值，并说明理由． 19. 已知，函数，， （1）当时，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）证明：对，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $