精品解析：湖北省武汉市江岸区2026届高三上学期元月调研考试数学试题

2026年江岸区高三元月调研考试 高三年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分；共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解对数不等式得出集合B，再应用交集定义计算求解. 【详解】因为，所以， 集合， 则. 故选：C. 2. 已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. 1 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法计算，再利用共轭复数以及复数的定义即可. 【详解】，则，则，故的虚部是. 故选：A 3. 已知等差数列的公差，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由条件及等差数列通项公式可得，进而再由基本不等式可得最小值. 【详解】由，所以，即，则， 所以，当且仅当，即时等号成立， 故时，的最小值为. 故选：B 4. 已知一组样本数据的方差为1，则由生成一组新的数据的标准差为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据方差的性质计算可得. 【详解】因为一组样本数据的方差为1， 则由生成一组新的数据的方差为， 则其标准差为. 故选：B 5. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，即可求出、，再检验，即可求出的值. 【详解】因为的定义域为，又， 依题意可得，即，解得， 此时，则， 所以当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减， 则在处取得极大值，也是最大值，符合题意； 所以. 故选：D 6. 四边形中，，，，若四边形的面积为，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】首先由夹角公式求出，即可求出，再由，可得，最后由计算可得. 【详解】因为，， 所以，，， 所以，又，所以， 所以， 又，所以且， 所以，又四边形的面积为， 即，解得. 故选：B 7. 已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与圆相切的条件及椭圆的定义判断可得. 【详解】如图：设M为的中点，则圆M与圆O只能内切，且圆O的半径为3， 所以，即，设，则， 故. 所以Q点在以为焦点，以长轴为6的椭圆上，故Q点的轨迹是一个椭圆. 故选：B 8. 不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出事件包含的所有情况，再利用对立事件的概率公式计算求解. 【详解】每次取球，取到每个球的概率均为， 若取出的个球的最小编号为2，则所有球的编号均为或，且至少有个编号为， 取出的个球的编号均为或的概率为； 取出的个球编号全部为的概率为； 故取出的个球的最小编号为2的概率为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 的最小正周期为 C. ，使成立 D. ，都满足 【答案】BD 【解析】 【分析】先由二倍角公式及辅助角公式可得，进而可判断AD选项；再导数运算公式可得，进而可判断BC选项. 【详解】由函数， 所以， 对A：当，，而函数在上单调递增，故A错误； 对B：由，再由周期公式，故B正确； 对于C：因为，所以不成立， 即不存在，使得成立，故C错误； 对于D：因为，所以 ， 所以，故D正确； 故选：BD 10. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，点在圆上，则（ ） A. 若点的坐标为，则面积的最大值为 B. 最小值为5 C. 当与圆相切时，则面积的最小值为 D. 若过、的直线与圆相切，交抛物线于、两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A直线，利用面积公式计算即可；B分别求、的最小值；C将问题转化为求的最小值，再利用两点间距离公式求解；D设直线的方程，利用相切求出，再利用抛物线的定义求出弦长. 【详解】因为，所以，， 故当点位于圆与轴的交点时，底边上的高最大，最大为， 故面积的最大值为，故A正确； 当点位于原点时，最小，最小值为；当时，最小，最小值为， 故的最小值为，故B错误； 因为与圆相切，所以， 设，则， 则当时，取最小值， 故面积的最小值为，故C正确； 由题意可知，直线的斜率存在且不为，设直线， 因为直线与圆相切，所以，得， 联立，得， 设，则， 则， 则，故D正确. 故选：ACD 11. （多选）给定数列．对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，则（ ） A. 若数列为2，0，2，6，则 B. 若数列为公差为的等差数列，则 C. 设是公比大于1的等比数列，且，则是等比数列 D. 若，则为等差数列 【答案】BCD 【解析】 【分析】A根据定义计算；B分、讨论；C求出，再计算；D得出数列为递增数列即可求证. 【详解】A选项，由题意可知，，则，故A错误； B选项，若，则数列为递增数列， 则，则； 若，则数列为常数列，则，则，故B正确； C选项，设的公比为， 因为，所以数列为递增数列， 则，则，故C正确； D选项，因为，所以数列为递增数列， 则，则，即， 所以为等差数列，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在上有零点，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零点的定义，将函数的零点转化为函数的值域问题，再由数形结合可得. 【详解】当时，令得，显然，所以时函数有零点； 当时，令得，显然，所以时函数有零点。 所以时，函数有零点. 如图： 故答案为： 13. 已知，若存在使得，则的最大值为__________． 【答案】49 【解析】 【分析】先写出和展开式的通项，然后求出，讨论为偶数和奇数时的正负，并列出不等式求出解集即可. 【详解】展开式的通项为. 展开式的通项为. 已知， 所以是的系数，由上述两个展开式可知. 当为偶数时，； 当为奇数时，. 若，则，即. 因为指数函数在上单调递增，所以， 解得，又因为是奇数，所以. 故答案为：49. 14. 已知球是棱长为2的正方体的外接球，点是球上不同的两点，为的中点，若且为的中点．则__________；与平面所成角的正切值的最大值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用空间向量法求解，设在球上，则有，利用两点间距离公式得到点的坐标的方程，由得到另一个点的坐标的方程，由为的中点得到的坐标，利用两点间距离公式求出的值；设与平面所成的角为，则，其中为到平面的距离，为在平面的射影到点的距离，通过消去的坐标，得到点的轨迹方程，设，则，设，从而得到关于的一元二次方程，利用，求解即可得到的最大值，即为所求. 【详解】以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系， 正方体的棱长为， ， 外接球的球心，半径为，的中点， 设在球上，则有， 即，， ，， ， ， 为的中点，， ， 设，，， 则和转化为 ，即， 转化为， 即， 则转化为 ， 即， 即， 即， ，， ， ； 设与平面所成的角为，设，又， ，， ，其中为到平面的距离， 为在平面的射影到点的距离， ， ①， ， ②， ①②相加得到， ③， ， ③转化为， ， ④， ， ， ， ⑤， ⑤代入④得到， ， ， ， 点的轨迹方程为， 即点的轨迹是在以为球心，以的球面上的点， 设，则， 将代入， 得到， 设，， 则转化为 ， 即，此方程有解， 则，即， 设，， 则转化为， 即， 设，开口向上，对称轴为， ，时，取最大值， 当时，， 即，解得， 又，则，即的最大值为， 故与平面所成角的正切值的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共|6小题，共72分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，，是内一点，． （1）若，求； （2）若是等腰直角三角形，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理求得，然后根据正弦定理求得. （2）在中和在中利用余弦定理，将和，然后根据余角列出等式，进而求得的腰，进而求得三角形面积. 【小问1详解】 根据正弦定理得，，所以. 因为，所以，所以. 根据正弦定理得，所以. 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，所以设， 在中，根据余弦定理， 得，化简得. 在中，根据余弦定理， 得，化简得， 所以. 因为，所以， 化简得，解得或. 又，，所以. 所以. 16. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【小问1详解】 设“该同学投篮命中”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件，“该同学选择区域投篮”为事件， 因为该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮，所以， 已知在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是， 所以，，， 所以， 所以该同学投篮命中的概率为； 【小问2详解】 由题意可知，得分的可能取值为，，，， 所以， ， ， ， 所以， 所以，该同学得分的数学期望为. 17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且面面，面面，点分别在棱上． （1）证明：面； （2）若，面． （Ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值． （Ⅱ）已知在同一球面上，设该球面的球心为，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）要证明线面垂直，则需要证明线线垂直，即证明，. （2）（Ⅰ）建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面与平面法向量的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出结果即可；（Ⅱ）先根据几何体的结构特征确定球心的坐标，然后根据线段相等求出球心的坐标，进而根据两点距离公式计算距离即可. 【小问1详解】 因为为正方形，所以， 因为面面，所以面面， 所以平面因为平面，所以. 因为面面，面面， 所以平面，因为平面， 所以，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 过点作于，则，过点作交于， 因为平面，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面. 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则. 因为，，所以. 而，所以. （Ⅰ）那么. 设平面的一个法向量为，则， 所以有，令，，所以. 易知平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （Ⅱ）因为是直角三角形，所以外接圆的圆心为的中点，其坐标为， 故可设，因为， 所以，解得. 所以，又，所以. 18. 已知函数，定义域为，为实数． （1）若的图象在处的切线的斜率为1，求该切线的方程； （2）若在定义域上不单调，求的取值范围； （3）若是的极小值点，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程可得； （2）先求导数，再构造函数，分别以三种情况讨论的零点及正负，从而可判断函数的单调性； （3）由（2）的解析可知就是的零点，从而可得，再将所要证明的不等式转化为，再构造函数，用导数证明可得. 【小问1详解】 由函数，所以， 因为的图象在处的切线的斜率为1，所以，得，又， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 因为，令，， 所以在上单调递增， 若时，则，所以恒成立，单调递增，不符合题意； 若时，当时，，若，， 所以，，函数在单调递减，在单调递增. 若，，存在，使得，由， 所以或时，时， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，所以存在使得， 所以或时，，时， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述，函数不单调的的取值范围. 【小问3详解】 因为是的极小值点，由（2）解析可知，且. 所以，两边取对数，即， 要证，只需证明，即， ，，即只需证明 令，， 所以在上单调递增，所以，即 故在上成立，所以成立. 19. 在矩形中，，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，点、满足，直线与直线交于点，记点及其关于轴、轴和原点的对称点的轨迹为． （1）求的方程； （2）点在上，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与交于另一点为关于轴对称点． （Ⅰ）证明为等比数列； （Ⅱ）记为的面积，求数列的通项公式． 【答案】（1） （2）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求出两直线方程，联立即可求出点的轨迹方程，再结合对称性可求； （2）（Ⅰ）令，得出，利用化简即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）得出，利用三角形面积的坐标公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，， 则， 因为，所以， 故，即①， ，即②， 则①式乘以得，将②式代入得，即， 由结合图形可知，点的轨迹在第一象限， 又双曲线关于轴、轴和原点对称，故的方程为； 【小问2详解】 （Ⅰ）因为,且关于轴对称，所以， 则， 因为，所以， 令，则， 则 ， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，， 又，所以， 得， 则， ， 则， ， 先证明一个结论：对平面上三个点，若，，则.（若在同一条直线上，约定） 证明： . 因为， 故 故数列的通项公式为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年江岸区高三元月调研考试 高三年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分；共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（ ） A. 1 B. C. 1 D. 3. 已知等差数列的公差，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 已知一组样本数据的方差为1，则由生成一组新的数据的标准差为（ ） A. 9 B. 3 C. D. 1 5. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 6. 四边形中，，，，若四边形的面积为，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 8. 不透明口袋中装有编号为1，2，3的三个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回的抽取次小球（每次取一个），记取出的个球的最小编号为2的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 在区间单调递减 B. 的最小正周期为 C. ，使成立 D. ，都满足 10. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，点在圆上，则（ ） A. 若点的坐标为，则面积的最大值为 B. 最小值为5 C. 当与圆相切时，则面积的最小值为 D. 若过、的直线与圆相切，交抛物线于、两点，则 11. （多选）给定数列．对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，则（ ） A. 若数列为2，0，2，6，则 B. 若数列为公差为的等差数列，则 C. 设是公比大于1的等比数列，且，则是等比数列 D. 若，则为等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数在上有零点，则实数的取值范围是__________． 13. 已知，若存在使得，则的最大值为__________． 14. 已知球是棱长为2的正方体的外接球，点是球上不同的两点，为的中点，若且为的中点．则__________；与平面所成角的正切值的最大值为__________． 四、解答题：本题共|6小题，共72分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 中，，是内一点，． （1）若，求； （2）若是等腰直角三角形，求的面积． 16. 为了实施学生体质强健计划，某校组织学生在、、三个区域开展定点投篮比赛．某同学在区域投篮命中的概率是，在和区域投篮命中的概率都是，它们之间相互不影响． （1）若规定该同学等可能地选择三个区域中的一个区域投篮一次，求该同学投篮命中的概率； （2）若规定该同学需要依次在、、三个不同区域各投篮一次，如果在、、三个区域全部投中，可获得6分；如果仅在两个区域投中，可获得3分；如果仅在一个区域投中，可获得1分；否则没有得分．求该同学得分的数学期望． 17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且面面，面面，点分别在棱上． （1）证明：面； （2）若，面． （Ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值． （Ⅱ）已知在同一球面上，设该球面的球心为，求的长． 18. 已知函数，定义域为，为实数． （1）若的图象在处的切线的斜率为1，求该切线的方程； （2）若在定义域上不单调，求的取值范围； （3）若是的极小值点，证明：． 19. 在矩形中，，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，点、满足，直线与直线交于点，记点及其关于轴、轴和原点的对称点的轨迹为． （1）求的方程； （2）点在上，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与交于另一点为关于轴对称点． （Ⅰ）证明为等比数列； （Ⅱ）记为的面积，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $