湖北武汉市部分高中2026-2027学年高三上学期收心考数学试卷

高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.集合A={x∈Nr2-2x-3≤0}，B=xx≤2，则A∩B=() A.{-1,0,1,2} B.{0,1,2} C.1,2} D.[-1,2) 2.复数2=品（其中i为虚数单位），则z=() A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 3.已知一组数据a,b,1,3,5的平均数为3，方差为2，则ab=() A.2 B.4 C.6 D.8 4.已知等差数列{a}的前n项和为Sn,若S4=6,S=20,则S6=() A.22 B.30 C.42 D.72 5.已知向量a汤满足=1，=3，且满足2a+b=17,则a.五的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 , x>1 6.若f(x) x+2,x≤1 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为(). -2 A.(0,8) B.(1,8) C.(4,8] D.[4,8) 7.若cosa-2sinB=V2,sinu+2cosB=-1,则sin(a-β)=（) A B.-} C. D.- 8已知椭圆C文+1a>b>0)的左焦点为P,点P,O在C上，PO轴，若 ∠P0=90,且aP0的周长为4a,则C的离心率为() A.月 c.3 D.4 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知(2x-1)”的展开式一共有7项，则() A.n=6 B.展开式中常数项为-1 数学试题第1页，共4页 C.展开式中x3的系数为-160 D.展开式的各项系数之和为64 10.如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个 一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是】，则正确的有 6 () A.该多面体有14个面 B.该多面体有24条棱 C.该正方体的棱长为2 D.该多面体表面积为3+√3 11.已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(3x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，且 是了)=2，则下列说法正确的是() A.f(x)为偶函数 B.2是f(x)的一个周期 C.f(x)图象关于(3,0)对称 D.f(2026)=2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数=sm(2+)的图像向左平移号个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若 p∈(0，)，则p的值为 已知双曲线E乙，a>0b>0的一条渐近线方程为1：y=V3x,直线x-V3v 与E交于M,N两点，分别过点M,N作1的垂线，垂足为P,Q.若四边形MPNQ的面 积为3V3,则E的虚半轴长为 14.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三 角垛”如图，“三角垛”共3层，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每 个球的半径都是1，且相邻两球两两相切，现将“三角垛”放在水平地面上， (1)该“三角垛”最上面球的球心到地面的距离为 (2)若该三角垛”能放入一个正四面体容器内（厚度忽略不计)，则该容器棱长的最小值 为 数学试题第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(满分13分)已知△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足 cos A a sim(匹+B) 2c-b. (1)求角A的大小： (2)若△ABC的面积为√5，且a=6,求△ABC的周长： 16.(满分15分)如图，在直四棱柱ABCD-ABC1D1中，底面ABCD为梯形，AB⊥BC, AB∥CD,BC=CD=3,AB=AA=6,AB,与AB交于点H. B C (1)证明：直线DH∥平面BCC,B, (2)求平面BDH与平面ABD夹角的余弦值. 17.(满分15分)2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能 伙伴共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨 讲话。某校组织学生参加Ⅱ知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异， 男生、女生各调查了100人.设事件A=“学生愿意报名参加答题活动”，B=“学生为男生”， 据统计P(A)=号，P(BA)=子 (1)根据已知调查样本完成下列2×2列联表，并依据小概率值=0.001的独立性检验，能 否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？ 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 愿意报名参加答题活动 合计 200 2)网络答慰规则：假设甲每道思回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 3 数学试题第3页，共4页 若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则 继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X表示甲同学本次答题的 题目数量，求X的分布列和期望， 参考公式与数据：X= n(ad-bc) 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18.(满分17分)己知抛物线E:y2=2px(p>0),直线与抛物线E相切，切点为A(1,2). 过点A作直线的垂线1，，点B在直线1，上（异于点A),以B点为圆心，AB为半径作 圆与抛物线E交于C,D两点 (1)求直线1的方程； (2)己知直线CD与I1相交，记直线AC的斜率为k1,直线AD的斜率为k,,则 ()判断直线CD的斜率是否为定值，并说明理由 (i)判断飞，+k,是否为定值，并说明理由 19.(满分17分)已知neN,函数g(x)=n1-)”,h(x)=(n-x2)ex, (1)当n=15时，求函数h(x)的极值： (2)讨论函数g(x)的单调性； (3)证明：对x∈(-o,n,h(x)≤g(x)恒成立. 数学试题第4页，共4页参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B c D D A 0 D 二、多选题 题号 0 10 11 答案 AC ABD ACD 三、填空题 12g 13.23 14. 4W6+1,4+26 3 四、解答题 15.【解】(1)因为(2c-b)cosA=asin 由正弦定理可得，（2sinC-sinB)cosA=sin Acos B, 所以2 sinC cos A=sin B cos A+sin Acos B=sinA+B）=sinC,…3分 1 因为sinC≠0，所以cosA= 2 …5分 又A∈(0，元)，所以A=元 …6分 3 (2)因为SABC bc sinA=b bcx5-5,所以bc=4, …8分 2 2 由余弦定理a2=b+c2-2bcc0sA,得36=b2+c2-4,即b2+c2=40,…10分 又因为(b+c)2=b2+c2+2bc=48,所以b+c=45, …12分 所以△ABC的周长为4V3+6. …13分 16【解析】(1)证明：取BB,的中点P,连接HP,CP,HD, 则HP7AB,且P=3 …2分 又因为CDLAB,所以CDP, 试卷第1页，共5页 所以四边形CDHP为平行四边形，则DHIICP, …4分 又CPC平面BCC,B,DH平面BCC,B,所以直线DH∥平面BCC,B,…6分 (2)如图，以BC,BA,BB,为x,y二轴建立空间直角坐标系， 则B(0,0,0),D(3,3,0),H(0,3,3),A(0,6,0), B(0,0,6),D(3,3,6,BA=(0,6-6), BD=(3,3,0), …8分 设h=(x,y,z)是平面BDH的法向量， 则BD=(3,3,0),B五=(0,3,3)， 528D=0→ y3x+3y=0 1元BF=0 13y+3==0 取x=1得 2=(1,-1,1) …11分 设，=(x,y,)是平面ABD的法向量， sn2BID1=0 ∫3x+3y=0 n2B4=0 飞6y-6-=0 取x=1得2=(1，-1，-1) …14分 n'n 所以平面BDH与平面AB,D夹角的余弦值为 丙 …15分 3 2 2 17.【解析】1)因为P④=了，所以不愿意报名参加答题活动人数为200×5=80，愿意 报名参加答题活动人数为200-80=120， 又因为P国A)了所以愿意报名参加答题活动的男生人数为120号80，愿意报名参 3 加答题活动的女生人数为120-80=40， …2分 则可得到2×2列联表为： 性别 男生 女生 合计 不愿报名参加答题活动 20 60 80 愿意报名参加答题活动 80 40 120 试卷第2页，共5页 合计 100 100 200 ……5分 零假设H。:学生报名参加答题活动与性别无关， 则X- 200×(20×40-80×60)210 100×100x80x120 0>10.828=601 依据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断H不成立， 即认为学生报名参加答题活动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001；…8分 (2)X的所有可能取值为：1,2,3,4， P(X=4)= 2 8 -125 所以X的分布列为： 2 3 3 6 12 8 5 25 125 125 …14分 6 故B0=13+2X5+3x3 +4×8-203 …15分 125 125125 18.【详解】(1)将点A(1,2)代入抛物线方程得p=2, 所以抛物线E的方程为y2=4x …2分 设直线1的方程为x=m(y-2)+1,与抛物线的方程联立得y2-4y+8-4=0, 所以△=16m2-4(8m-4)=0,即m2-22+1=(m-1)2=0,得m=1,…4分 所以直线的方程为y=x+1 …5分 (2)(i)依题意，直线CD的斜率存在，故设直线CD的方程为y=x+t(k≠)，直线CD 与直线交于点F(x,%),设C(x,),D(x,y), 则FA=2(-1)2=|FCFD …7分 试卷第3页，共5页 FClFD=(1+)x)(x-),()(xo-)=x-+x2)+ 联立{y+t得x2+(2M-4)x+f=0,△=(2t-42-4t>0: 为+x2=4-2t (y2=4x 碳{”得飞民代入上滑：--0-父生 t-1 x号-(：+)+x6=（ 42咖￡--2 k21-k2-21-k, …9分 则有F4=Crm。2+-3)=a+k+6-2 …10分 1-)2 k21-)2 2k2=1+k2→k=-1(1舍去) 所以直线CD的斜率为定值-1. …12分 +24、 ()依题意k二4 +2’则 …13分 斤+斤=4乃++4 ++y,+4 由(i)知直线CD的方程为y=-x+t与抛物线的方程联立得y2+4y-4t=0,所以 {+4代入上式得+，=4当+少+4 (y1y2=-4t 少+为+为+40， 故k+k2=0为定值. …17分 19.【解析】 (1)当n=15时，h(x)=(15-x)e",定义域为R, l(x)=(x+3)(x-5)ex,h(x)>0→x>5或x<-3…2分 所以h(x)在(-∞，-3)，(5，+o)上单调递增，在(-3,5)上单调递减， 所以h(x)的极大值为h(-3)=6e3,h(x)的极小值为h(5)=-l0e5…4分 (②)因为neN,所以g(x)的定义域为R,g(x)=-1-1,5分 当n为奇数时，n-1为偶数，g(x)=-n1--1≤0恒成立， 试卷第4页，共5页 所以g(x)在定义域R上单调递减. ………7分 当n为偶数时，n-l为奇数，g(x)=-1--1>0→x>n, 所以g(x)在(-0，n)上单调递减，在(n,十∞)上单调递增。…9分 3)证明：要证h(x)≤g(x),即证f()=n1-”e+x2-n≥0 则f(,=2-e*(1-)-], …10分 当n=1时，f(x)=(1-x)e+x2-1,f'(x)=x(2-e)>0→0<x<ln2, 则f(x)在(-0,0)，n2,)上单调递减，在(0，n2)上单调递增. 所以f(x)的极小值为f(0)=0,端点值f①)=0，所以此时f(x)≥0恒成立.…11分 当n≥2时，令p(y=e1-l,则p0y=e1-1-S2 n 所以，p(x)在（←0,1）上单调递增，在，+o0）上单调递减，所以()x=p)=e1-”-1 …13分 由F(x)=血x-(c-1),F'(x)=1-1得F(x)在0,1）递增，在Q,+o)递减，所以 F(x)=lnx-(x-D≤F四=0，故1n0-马-0-1-D<0 所--1-e,0-之”e代人司 …14分 以mx=90=e0-月<0-0-1=1-分s2, 所以()≤p0≤2，则f'()=[2-e*1-m-1]>0→x>0,…16分 所以f(x)在(-0,0)上单调递减，在(0，+o)上单调递增.f(x)≥f(0)=0恒成立. 综上，对HneN,f(x)≥0成立即h(x)≤g(x)恒成立. …17分 试卷第5页，共5页