培优课 活用基本不等式求最值(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学基本不等式求最值核心知识点，系统梳理常数代换法（构造和积定值）、换元法（分式分离转化模型）、消元法（减少变量）及参数问题（应用拓展）的解题方法，构建从基础到应用的完整学习支架。 资料以例题解析结合规律方法总结为特色，训练题与练习题分层设计，通过逻辑推理引导学生构建解题思路，数学运算强化技能，课中辅助教师系统教学，课后帮助学生巩固方法、查漏补缺。

培优课　活用基本不等式求最值 1.会根据题目特征选用常数代换法、换元法、消元法求最值（逻辑推理、数学运算）. 2.会利用基本不等式求参数的值（范围）（逻辑推理、数学运算）. 一、常数代换法求最值 （1）已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，则＋的最小值为（　A　） A.5 B.4 C.4 D.2 （2）已知正实数a，b满足a＋4b＝ab，则a＋b的最小值为（　B　） A.4 B.9 C.10 D.20 解析：（1）因为x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，所以＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝5.当且仅当即时等号成立，故＋的最小值为5.故选A. （2）因为a，b为正实数，方程a＋4b＝ab两边同时乘以得＋＝1，所以a＋b＝（a＋b）＝＋4＋1＋≥2＋5＝9，当且仅当即时等号成立，故a＋b的最小值为9.故选B. 规律方法 常数代换法的应用技巧 　　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“常数”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 训练1　（1）已知a＞0，b＞0，若a＋b＝2，则＋的最小值为　18　； （2）已知x＞0，y＞0，且x＋3y－5xy＝0，则3x＋4y的最小值为　5　. 解析：（1）因为a＞0，b＞0，且a＋b＝2，则＋＝（a＋b）＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当b＝2a即a＝，b＝时，等号成立，因此＋的最小值为18. （2）由x＋3y－5xy＝0，得＋＝5，所以3x＋4y＝（＋）（3x＋4y）＝（13＋＋）≥（13＋2）＝5，当且仅当x＝1，y＝时，取等号. 二、换元（分式分离）法求最值 〔一题多解〕函数y＝（x＞－1）的最小值是（　　） A.10 B.12 C.13 D.14 解析：A　法一　y＝＝＝（x＋1）＋＋4≥2＋4＝10，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立. 法二　令x＋1＝t＞0，所以x＝t－1，所以y＝＝＝＝t＋＋4≥2＋4＝10，当且仅当t＝，t＝3，即x＝2时，等号成立.故选A. 规律方法 换元（分式分离）法求最值的思路 　　观察已知与所求的结构特点，通过配凑系数，合理的变换新元（分离），将问题转化为熟悉的模型，从而使问题得以解决. 训练2　已知x＞1，则的最大值为（　　） A. B. C. D. 解析：A　因为x＞1，所以x－1＞0，＝＝≤＝，当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号.故选A. 三、消元法求最值 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值. 【破题思维】 题目信息 信息转化 x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值 联想到先减少变量，利用消元法求解x 解：由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝， 因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立. 所以x＋2y的最小值为4. 规律方法 消元法求最值的思路 　　对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 训练3　已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则（　　） A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值 解析：D　因为a2－b＋4＝0，所以b＝a2＋4，所以＝3－＝3－＝3－≥3－＝，当且仅当a＝2，b＝8时取等号，所以有最小值，故选D. 四、利用基本不等式求参数的值（范围） 已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为（　　） A.10 B.9 C.8 D.7 【破题思维】 题目信息 信息转化 不等式＋≥恒成立，求m的最大值 转化为求函数的最值问题，可以采用分离参数法 解析：B　因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使＋≥恒成立，只需m≤（2a＋b）·恒成立，又（2a＋b）＝4＋＋＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9，故实数m的最大值为9. 规律方法 求参数的值（范围）的方法 （1）分离参数，转化为求代数式的最值问题； （2）观察题目特点，利用基本不等式确定成立条件，从而求得参数的值（范围）； （3）注意等号的取舍，防止失误. 训练4　若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y＞4＋2m恒成立，求实数m的取值范围. 解：∵x＞0，y＞0，且＋＝1，∴x＋2y＝（x＋2y）＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即4y2＝x2时等号成立.由x＋2y＞4＋2m恒成立，可知4＋2m＜8，解得m＜2. （时间：45分钟　满分：81分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.设m＞0，n＞0，且m＋2n＝1，则＋的最小值为（　　） A.4 B.3＋ C.3＋2 D.6 解析：C　由＋＝（ ＋）（m＋2n）＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当m＝n＝－1时等号成立.故＋的最小值为3＋2. 2.已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：B　∵a＞0，b＞0，ab＝1，∴m＋n＝b＋＋a＋＝2a＋2b≥2＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m＋n的最小值为4. 3.若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：D　因为x2＋xy－2＝0，所以y＝＝－x，所以3x＋y＝3x＋－x＝2x＋≥4，当且仅当x＝1时，等号成立，所以3x＋y的最小值是4. 4.已知a＞0，b＞0，若＋≥恒成立，则实数λ的取值范围为（　　） A.λ≥5 B.λ≥9 C.λ≤5 D.λ≤9 解析：D　因为a＞0，b＞0，由已知可得λ≤（a＋b）·（ ＋），因为（ ＋）（a＋b）＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当b＝2a时等号成立，故实数λ的取值范围为λ≤9.故选D. 5.若x＞1，则y＝的最小值为（　　） A.8 B.2 C.6 D.12 解析：A　令t＝x－1＞0，∴x＝t＋1，∴y＝＝＝t＋＋2≥2＋2＝8，当且仅当t＝，即t＝3，x＝4时，等号成立，∴ymin＝8.故选A. 6.若a，b是正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为（　　） A. B.3 C.＋2 D.2＋3 解析：D　因为a，b是正实数，且a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋＋＝＋＝（＋）·（a＋b）＝2＋＋＋1≥2＋3＝2＋3，当且仅当时等号成立. 7.〔多选〕已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则下列结论正确的是（　　） A.ab的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.（a＋1）（b＋1）的最大值为2 解析：BC　∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴由基本不等式可得，1＝2a＋b≥2，解得ab≤，当且仅当2a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，故A错误；＋＝（ ＋）（2a＋b）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故B正确；∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴1＝2a＋b≥2，＋＞0，∴（＋）2＝2a＋b＋2≤2a＋b＋2a＋b＝2，∴＋≤，当且仅当2a＝b＝，即a＝，b＝时等号成立，∴＋的最大值为，故C正确；（a＋1）（b＋1）＝（a＋2a＋b）（b＋2a＋b）＝2（3a＋b）（a＋b）＝2（3a2＋4ab＋b2）＝2[（2a＋b）2－a2]＝2（1－a2）＜2，故D错误.故选B、C. 8.已知x＞0，则的最大值为　　. 解析：因为＝，x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以的最大值为. 9.若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋的最小值为　4　. 解析：由实数a，b满足ab＞0，得a2＋4b2＋≥4ab＋≥4，当且仅当a＝2b且ab＝时等号成立. 10.已知x，y为正实数，且x＋2y＝4，则＋的最小值为　2　. 解析：设x＋2＝a，2y＋2＝b，则a＋b＝8，原式转化为＋＝a＋b＋＋－8＝＋＝（a＋b）（＋）＝1＋（＋）≥2，当且仅当a＝b＝4时取等号，此时x＝2，y＝1.故所求最小值为2. 11.（15分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 解：（1）由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1，又x＞0，y＞0， 则1＝＋≥2＝，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立. 所以xy的最小值为64. （2）由2x＋8y－xy＝0， 得＋＝1， 则x＋y＝（ ＋）·（x＋y）＝10＋＋≥10＋2＝18， 当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18. 12.（15分）已知x＞0，y＞0，4x2＋y2＋xy＝1，求： （1）4x2＋y2的最小值； （2）2x＋y的最大值. 解：（1）∵x＞0，y＞0， ∴4x2＋y2≥2＝4xy＝4[1－（4x2＋y2）]， ∴4x2＋y2≥，当且仅当x＝，y＝时等号成立， ∴4x2＋y2的最小值是. （2）由x＞0，y＞0，且4x2＋y2＋xy＝1，得（2x＋y）2－1＝3xy＝·2x·y≤×， ∴（2x＋y）2≤， ∴2x＋y≤， 当且仅当x＝，y＝时等号成立， ∴2x＋y的最大值是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $