第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末整合提升〔含真题体验〕——体系构建·素养提升(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学不等式章节，系统整合不等式及其性质、基本不等式、一元二次不等式解法及实际问题建模等核心知识点，从概念理解到性质应用再到实际问题解决，搭建递进式学习支架，帮助学生构建完整知识体系。 资料特色在于融合真题体验与一题多解，通过反思感悟提炼方法，培养数学思维与眼光。如运输费用问题建模提升数学语言应用能力，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与解题能力。

章末整合提升〔含真题体验〕——体系构建·素养提升 一、不等式及其性质 理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整个高中数学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关. （1）〔多选〕若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式中正确的是（　AD　） A.＞ B.ab＜b2 C.a｜c｜＞b｜c｜ D.a（c2＋1）＜b（c2＋1） （2）已知2＜a＜3，且－2＜b＜－1，则的取值范围是　{｜＜＜2}　. 解析：（1）对于A，因为a＜b＜0，所以－＝＞0，则＞，故A正确；对于B，因为a＜b＜0，所以ab＞b2，故B错误；对于C，当c＝0时，a｜c｜＝b｜c｜，故C错误；对于D，由c2＋1＞0，a＜b＜0，可得a（c2＋1）＜b（c2＋1），故D正确. （2）因为－2＜b＜－1，所以1＜b2＜4.因为2＜a＜3，所以＜＜，所以＜＜2. 反思感悟 不等式及其性质的2个关注点 （1）运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆性.判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题； （2）作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等. 二、基本不等式 能利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式，掌握基本不等式的一些常见变形. （1）〔一题多解〕已知－1＜x＜3，则y＝（1＋x）（3－x）的最大值是　4　； （2）已知x＞1，且x－y＝1，则x＋的最小值是　3　. 解析：（1）法一　∵－1＜x＜3，∴1＋x＞0，3－x＞0，∴≤＝2.∴（1＋x）（3－x）≤4，当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时取等号. 法二　∵y＝（1＋x）（3－x）＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，又∵－1＜x＜3，∴y≤4. （2）∵x＞1，∴x－1＞0.又y＝x－1，∴x＋＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时，等号成立，则x＋的最小值是3. 反思感悟 利用基本不等式解题的关注点 （1）前提：“一正”“二定”“三相等”； （2）配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式； （3）方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法. 三、一元二次不等式的解法 通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌握一元二次不等式及分式不等式的解法. 若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是{x｜＜x＜2}. （1）求a的值； （2）求不等式＞a＋5的解集. 解：（1）依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，且a＜0.由根与系数的关系，得解得a＝－2. （2）将a＝－2代入不等式，得＞3，即－3＞0，整理得＞0，即（x＋1）（x＋2）＜0，解得－2＜x＜－1，则不等式的解集为{x｜－2＜x＜－1}. 反思感悟 一元二次不等式的解集问题 （1）不含参数的一元二次不等式的解集受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系； （2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判别式Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论. 四、构建数学模型解决实际问题 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键. 某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，肉在运输途中的损耗费（单位：元）是汽车速度（单位：千米/时）值的2倍.（说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费） （1）若运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度值的范围； （2）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ 解：（1）设汽车行驶的速度为x千米/时，运输的总费用为y元，则y＝×60＋1 000＋2x. 令×60＋1 000＋2x≤1 260，整理得x2－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90. ∴若运输的总费用不超过1 260元，则汽车行驶速度值的范围应为{x｜40≤x≤90}. （2）由（1）得y＝×60＋1 000＋2x＝2x＋＋1 000≥2＋1 000＝1 240，当且仅当2x＝，即x＝60时取等号，∴若要使运输的总费用最小，则汽车应以每小时60千米的速度行驶. 反思感悟 解决实际问题的关注点 （1）审题要准，初步建模； （2）设出变量，列出函数关系式； （3）根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题. 一、不等式的解法 1.（2023·新高考Ⅰ卷1题）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（　　） A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2} D.{2} 解析：C　由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因为M＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C. 2.（2025·全国Ⅱ卷4题）不等式≥2的解集是（　　） A.{x｜－2≤x≤1} B.{x｜x≤－2} C.{x｜－2≤x＜1} D.{x｜x＞1} 解析：C　由≥2，得≥0，得≤0，得得－2≤x＜1，故选C. 3.（2024·上海高考3题）不等式x2－2x－3＜0的解集为　{x｜－1＜x＜3}　. 解析：由x2－2x－3＝（x－3）（x＋1）＜0，得－1＜x＜3. 4.（2019·天津高考10题）设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值范围为　{x｜－1＜x＜}　. 解析：3x2＋x－2＜0变形为（x＋1）（3x－2）＜0，解得－1＜x＜，故使不等式成立的x的取值范围为{x｜－1＜x＜}. 二、基本不等式 5.〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（　　） A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2 C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1 解析：BC　对于A、B：由x2＋y2－xy＝1，得（x＋y）2－3xy＝1，又xy＝－，所以（x＋y）2－3＝1，即1＝＋≥，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正确，B正确；对于C、D：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确.综上可知，故选B、C. 6.〔一题多解〕（2020·江苏高考12题）已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是　　. 解析：法一　由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是. 法二　4＝（5x2＋y2）·4y2≤＝（x2＋y2）2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是. 7.（2020·天津高考14题）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为　4　. 解析：依题意得＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当即时取等号.因此，＋＋的最小值为4. 8.〔一题多解〕（2021·天津高考13题）若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为　2　. 解析：法一　∵≥ ， ∴＋＋b＝＋＋＋≥4＝2，当且仅当＝＝＝时等号成立，即a＝b＝时＋＋b取得最小值. 法二　∵a＞0，b＞0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2 ＝2.当且仅当＝和＝b同时成立，即a＝b＝时等号成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $