1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定这一核心知识点，从命题否定的定义入手，通过具体实例引出两种量词命题否定的形式规律，结合表格对比常见词语否定、例题解析及训练题，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料以情境导入激发兴趣，通过问题引导培养逻辑推理能力，利用表格直观呈现词语否定助力数学语言表达，提能点结合二次函数求参数范围提升数学思维。课中辅助教师引导学生推理，课后分层练习帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 课标要求 情境导入 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定（逻辑推理）. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（逻辑推理）. 　　一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸.”请问探险家该如何保命？ 知识点一　命题的否定与全称量词命题的否定 问题　阅读下面的命题： ①所有的矩形都是平行四边形； ②每一个素数都是奇数. 写出上面两个命题的否定，它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示：命题①的否定：并非所有的矩形都是平行四边形. 命题②的否定：存在一个素数不是奇数. 从命题形式上看，这两个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 1.命题的否定 （1）定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.命题p的否定可用　􀱑p　来表示，读作非p； （2）常见词语的否定词语 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有（n－1）个 小于 不小于 至多有n个 至少有（n＋1）个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 提醒：命题p的否定就是条件不变，只否定结论. 【微思考】 􀱑p与p的否命题有何区别？ 提示：􀱑p只否定结论；p的否命题即否定条件又否定结论. 2.全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p（x） ∃x∈M， 􀱑p（x） 全称量词命题的否定是　存在量词　命题 （链接教材P29例3）写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被2整除的整数都是偶数； （2）每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； （3）∀x∈R，5x－12＝0. 解：（1）该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数. （2）该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上. （3）该命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0. 规律方法 全称量词命题否定的关注点 （1）全称量词命题：∀x∈M，p（x），它的否定：∃x∈M，􀱑p（x），即“改变量词，否定结论”； （2）全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 训练1　写出下列命题的否定并判断真假： （1）等圆的面积相等； （2）对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； （3）平面内与同一条直线垂直的两条直线平行. 解：（1）该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题. （2）该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题. （3）命题省略了全称量词“任意”，即“平面内任意两条与同一条直线垂直的直线平行”，因此其否定为“平面内存在两条与同一条直线垂直的直线不平行”，是假命题. 知识点二　存在量词命题的否定 问题　阅读下面的命题： ①存在一个实数的绝对值是正数； ②有些平行四边形是菱形. 写出上面两个命题的否定，它们与原命题在形式上有什么变化？ 提示：命题①的否定：不存在一个实数，它的绝对值是正数. 命题②的否定：没有一个平行四边形是菱形. 从命题形式上看，这两个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 存在量词命题 它的否定 结论 ∃x∈M，p（x） 　∀x∈M，􀱑p（x）　 存在量词命题的否定是　全称量词　命题 提醒：对全称量词命题和存在量词命题进行否定，总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对量词改变且对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. （链接教材P30例4）写出下列命题的否定并判断真假： （1）p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； （2）q：有的有理数没有倒数； （3）s：有些三角形是锐角三角形. 解：（1）􀱑p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以􀱑p是假命题. （2）􀱑q：所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有倒数，所以􀱑q为假命题. （3）􀱑s：所有三角形都不是锐角三角形（或任意三角形都不是锐角三角形），假命题. 规律方法 存在量词命题否定的关注点 （1）存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即∃x∈M，p（x），它的否定：∀x∈M，􀱑p（x），即改变量词，否定结论； （2）存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. 训练2　写出下列存在量词命题的否定： （1）∃x∈R，x＋1≤0； （2）有的三角形是等腰三角形； （3）有一个偶数是素数. 解：（1）该命题的否定：∀x∈R，x＋1＞0. （2）该命题的否定：所有的三角形都不是等腰三角形. （3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 提能点　根据命题的否定求参数范围 〔一题多解〕已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围. 【破题思维】 题目信息 信息转化 “∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题 其否定“∀x∈R，x2－2x＋m＞0”为真命题 解：法一　􀱑p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，即m＞－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，x∈R恒成立， 设函数y＝－（x－1）2＋1，由二次函数的性质知， 当x＝1时，ymax＝1，∴m＞ymax＝1， 即实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 法二　􀱑p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，设函数y＝x2－2x＋m， 由二次函数的图象和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜0， 即4－4m＜0，得m＞1， 即实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 变式　若命题“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范围是　{m｜m≤1}　. 解析：∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1. 规律方法 由命题的否定求参数范围的两个关注点 （1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化； （2）求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围. 训练3　已知命题p：∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且􀱑p是假命题，求实数a的取值范围. 解：􀱑p是假命题即p是真命题， 即∀x∈{x｜－3≤x≤2}，x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立， 所以解得－3≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}. 1.命题“∀x＞1，x2－x＞0”的否定为（　　） A.∀x＞1，x2－x≤0 B.∃x＞1，x2－x≤0 C.∀x≤1，x2－x≤0 D.∃x≤1，x2－x≤0 解析：B　命题“∀x＞1，x2－x＞0”的否定是“∃x＞1，x2－x≤0”.故选B. 2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　） A.任意一个无理数，它的平方不是有理数 B.任意一个无理数，它的平方是有理数 C.存在一个无理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 解析：A　命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”.故选A. 3.命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为　∃x，y∈R，x＋y＞1　，此命题的否定是　假　（填“真”或“假”）命题. 解析：此命题用符号表示为∃x，y∈R，x＋y＞1，此命题的否定是∀x，y∈R，x＋y≤1，原命题为真命题，它的否定为假命题. 4.已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，求a的取值范围. 解：由题意得，􀱑p为真命题， 即∀x＞0，x＋a－1≠0， 则当x＞0时，1－a≠x， 故1－a≤0，解得a≥1. 故a的取值范围为{a｜a≥1}. （时间：60分钟　满分：105分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.命题“任意x∈A，2x∈B”的否定为（　　） A.任意x∈A，2x∉B B.任意x∉A，2x∉B C.存在x∉A，2x∈B D.存在x∈A，2x∉B 解析：D　命题“任意x∈A，2x∈B”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存在x∈A，2x∉B”，故选D. 2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（　　） A.∀x∈R，｜x｜＞0 B.∃x0∈R，｜x0｜＞0 C.∀x∈R，｜x｜≤0 D.∃x0∈R，｜x0｜≤0 解析：C　由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，再否定命题结论.故选C. 3.对某次考试，有命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是（　　） A.所有学生都不会做第1题 B.存在一个学生不会做第1题 C.存在一个学生会做第1题 D.至少有一个学生会做第1题 解析：B　根据全称量词命题的否定是存在量词命题，命题p：所有学生都会做第1题的否定是存在一个学生不会做第1题.故选B. 4.下列命题的否定是真命题的是（　　） A.p1：每一个合数都是偶数 B.p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等 C.p3：全等三角形的周长相等 D.p4：所有的无理数都是实数 解析：A　若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可，它们的真假性始终相反.因为p1为全称量词命题，且是假命题，所以􀱑p1是真命题.命题p2，p3，p4均为真命题，即􀱑p2，􀱑p3，􀱑p4均为假命题. 5.〔多选〕关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（　　） A.􀱑p：∃x∈R，x2＋1＝0 B.􀱑p：∀x∈R，x2＋1＝0 C.p是真命题，􀱑p是假命题 D.p是假命题，􀱑p是真命题 解析：AC　命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题，􀱑p是假命题. 6.〔多选〕下列说法正确的有（　　） A.命题“∃x∈R，1＜y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y＞2” B.“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C.“∃x∈R，x－2＞”是真命题 D.“∀x∈R，x2＞0”的否定是真命题 解析：ACD　由存在量词命题的否定是全称量词命题，知选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2＞，即7＞3成立，故选项C中说法正确；命题“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确. 7.“有一个平行四边形，它的对角线不相等”的否定是　假　命题（填“真”或“假”）. 解析：原命题是一个真命题，因此其否定是一个假命题. 8.已知命题p：“∀x≥3，2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是　5　. 解析：当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，2x－1≥m”是真命题，所以m≤5. 9.（13分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出这些命题的否定，并判断这些命题的否定的真假. （1）对任意的实数x，都有x2≥｜x｜； （2）存在实数x，使得x2＋x－2≤0； （3）所有有理数的平方都是有理数； （4）方程x2－3x＋1＝0的每一个根都是正数. 解：（1）全称量词命题. 原命题的否定：存在一个实数x，使得x2＜｜x｜.原命题的否定是真命题. （2）存在量词命题. 原命题的否定：对任意的实数x，都有x2＋x－2＞0.原命题的否定是假命题. （3）全称量词命题. 原命题的否定：存在一个有理数，它的平方不是有理数，是假命题. （4）全称量词命题. 原命题的否定：方程x2－3x＋1＝0至少有一个根不是正数.原命题的否定是假命题. 10.（13分）已知命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围. 解：因为􀱑q为假命题，所以q为真命题， 命题p：∀1≤x≤3，都有m≥x，为真命题，则m≥xmax，即m≥3. 命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1. 因为命题p，q同时为真命题，所以解得m≥3， 故实数m的取值范围是m≥3. 11.已知命题“∃x≥2，2x－3＜a”是假命题，则实数a的取值范围为（　　） A.{a｜a＜1} B.{a｜a≤1} C.{a｜a＞1} D.{a｜a≥1} 解析：B　由题意可知，∀x≥2，2x－3≥a为真命题，故a≤（2x－3）min＝2×2－3＝1. 12.〔多选〕若“∃x∈M，x＜0”为真命题，“∃x∈M，x≥3”为假命题，则集合M可以是（　　） A.{x｜x＜1} B.{x｜－1≤x≤3} C.{x｜0≤x＜2} D.{x｜－3＜x＜3} 解析：AD　由“∃x∈M，x≥3”为假命题，得“∀x∈M，x＜3”为真命题，所以集合M应为集合{x｜x＜3}的子集.又“∃x∈M，x＜0”为真命题，所以A、D选项正确；B选项，当x＝3时，不符合∀x∈M，x＜3，故错误；C选项，不存在x∈M，x＜0，故错误.故选A、D. 13.〔多选〕甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测： 甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙说：我不会获奖，丙获奖； 丙说：甲和丁中有一人获奖； 丁说：乙的猜测是对的. 成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知有两人获奖，则获奖的是（　　） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析：BD　易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是乙和丁，故选B、D. 14.命题“∀x＞－3，＜0”的否定是　∃x＞－3，＞0或2x－4＝0　. 解析：∵全称量词命题的否定为存在量词命题，∴“∀x＞－3，＜0”的否定是“∃x＞－3，＞0或2x－4＝0”. 15.（15分）已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤2}，2x－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋3x＋2－a＝0. （1）当p为假命题时，求实数a的取值范围； （2）若p和q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围. 解：（1）由p为假命题，得􀱑p为真命题， 即∃x∈{x｜1≤x≤2}，2x－a＜0， 即a＞2x在x∈{x｜1≤x≤2}时有解， 所以a＞（2x）min，x∈{x｜1≤x≤2}， 易知当x＝1时，（2x）min＝2， 所以a＞2，即实数a的取值范围是{a｜a＞2}. （2）由（1）可知，当p为真命题时，a≤2；当p为假命题时，a＞2. 当q为真命题时，方程x2＋3x＋2－a＝0在x∈R上有解，故Δ＝9－4（2－a）≥0，解得a≥－； 当q为假命题时，a＜－. 所以当p为真命题，q为假命题时，a＜－；当p为假命题，q为真命题时，a＞2. 所以当p和q中有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是{a｜a＜－或a＞2}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $