1.4.2 充要条件(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦充要条件核心知识点，承接上节充分条件与必要条件，通过逆命题引入，系统梳理充要条件的定义、判定方法及证明，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以生活情境导入激发兴趣，通过问题驱动和例题解析培养数学抽象与逻辑推理素养，课中助力教师引导学生构建逻辑关系，课后练习题与变式题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.4.2　充要条件 课标要求 情境导入 　　通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 　　上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！ 知识点一　逆命题 问题　命题A：a＞0，b＞0，若＞1，则a＞b； 命题B：a＞0，b＞0，若a＞b，则＞1. 两命题都是真命题吗？这两个命题的条件和结论之间有什么关系？ 提示：两个命题均为真命题，命题A的条件是命题B的结论，命题A的结论是命题B的条件. 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的　逆命题　. 1.“若x＞2，则x2－3x＋2＞0”的逆命题是（　　） A.若x2－3x＋2＜0，则x≥2 B.若x≤2，则x2－3x＋2≤0 C.若x2－3x＋2≤0，则x≥2 D.若x2－3x＋2＞0，则x＞2 解析：D　若x＞2，则x2－3x＋2＞0的逆命题为若x2－3x＋2＞0，则x＞2.故选D. 2.命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为　如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0　. 解析：命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为“如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0”. 规律方法 　　改写命题的形式，关键是要分清条件与结论，原命题与其逆命题的条件与结论对调，它们互为逆命题. 知识点二　充要条件 问题　给出以下两个“若p，则q”形式的命题： （1）p：a＝b，q：a＋c＝b＋c； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等. 在上述的两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？ 提示：p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件. 1.充要条件 命题真假 “若p，则q”为　真　命题；“若q，则p”为　真　命题 推出关系 p　⇔　q 条件关系 p既是q的　充分　条件，也是q的　必要　条件，我们说p是q的　充分必要　条件，简称为充要条件 提醒：（1）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”；（2）p是q的充要条件，则q也是p的充要条件. 2.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件 （链接教材P21例3）判断下列各题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1）p：｜x｜＝｜y｜，q：x3＝y3； （2）p：△ABC中，AB＞AC，q：△ABC中，∠C＞∠B； （3）p：A⊆B，q：A∪B＝B； （4）p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等. 解：（1）因为｜x｜＝｜y｜时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有｜x｜＝｜y｜，所以p是q的必要不充分条件. （2）由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件. （3）若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件. （4）若两个三角形全等，则面积一定相等，若两个三角形面积相等，只需高和底边的乘积相等即可，不一定有两个三角形全等，故p是q的充分不必要条件. 规律方法 判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法 （1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假； （2）集合法：即利用集合的包含关系判断； （3）等价法：即利用p⇔q的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. 训练1　（1）以下选项中，p是q的充要条件的是（　D　） A.p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B.p：a＞2，b＜2，q：a＞b C.p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D.p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 （2）设集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则A⊆（A∩B）的充要条件为　a≤9　；一个充分不必要条件可以为　6≤a≤9（答案不唯一）　. 解析：（1）对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但q p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件.故选D. （2）A⊆（A∩B）⇔A⊆B，B＝{x｜3≤x≤22}.若A＝⌀，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6；若A≠⌀，则A⊆B⇔⇔6≤a≤9.综上可知，A⊆（A∩B）的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可以为6≤a≤9. 知识点三　充要条件的证明 （链接教材P22例4）求证：“△ABC中两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件. 证明：充分性：在△ABC中，设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2. 则S△ABC＝AC·h1＝AB·h2， 因为h1＝h2，所以AC＝AB， 故△ABC为等腰三角形，充分性成立. 必要性：若△ABC为等腰三角形，设AB＝AC，AC边上的高为h1，AB边上的高为h2， 则根据三角形面积公式S△ABC＝AC·h1＝AB·h2，可得h1＝h2，必要性成立. 故“△ABC中两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件. 规律方法 充要条件的证明策略 （1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的. 提醒：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 训练2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 证明：①充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0， 即（x－1）（ax＋a＋b）＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. ②必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 综上所述，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 提能点　充分、必要及充要条件的应用 【微思考】 （1）若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则集合A与集合B有什么关系？ 提示：A＝B. （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A与集合B有什么关系？“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件呢？ 提示：A⫋B；B⫋A. 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【破题思维】 题目信息 信息转化 p是q的必要不充分条件 借助集合的包含关系，可得q⫋p 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 因为p是q的必要不充分条件， 即{x｜1－m≤x≤1＋m}⫋{x｜－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}. 变式　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 若p是q的充要条件，则方程组无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 规律方法 充分条件与必要条件的应用 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，建立相对应的集合，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 训练3　（1）“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范围为（　B　） A.a＞3 B.a＜2 C.a≤2 D.a≥0 （2）设p：m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）；q：1≤x≤3.若q是p的充分条件，则实数m的取值范围为　－≤m≤0　. 解析：（1）由题意得，{x｜x≥2}是{x｜x≥a}的真子集，故a＜2.故选B. （2）p所对应集合为：{x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，q所对应集合为：{x｜1≤x≤3}，因q是p的充分条件，则必有{x｜1≤x≤3}⊆{x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，于是得解得－≤m≤0，所以实数m的取值范围为－≤m≤0. 　 1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件，故选A. 2.在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　当B＝90°或C＝90°时，△ABC为直角三角形，但不能推出AB2＋AC2＝BC2，故选A. 3.设a，b∈R，则“a2＋b2＝0”的充要条件是　a＝b＝0　. 解析：因为a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a2＝b2＝0，即a＝b＝0；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，所以“a2＋b2＝0”的充要条件是“a＝b＝0”. 4.已知p：1≤x≤a（a≥1），q：1≤x≤2. （1）当a为何值时，p是q的充分不必要条件？ （2）当a为何值时，p是q的充要条件？ 解：（1）因为p是q的充分不必要条件， 所以{x｜1≤x≤a}⫋{x｜1≤x≤2}， 所以1≤a＜2. 所以当1≤a＜2时，p是q的充分不必要条件. （2）因为p是q的充要条件， 所以{x｜1≤x≤2}＝{x｜1≤x≤a}，所以a＝2. 所以当a＝2时，p是q的充要条件. （时间：60分钟　满分：106分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.设x∈R，“若x＜2，则x＜3”的逆命题是（　　） A.若x＞2，则x＞3 B.若x＜3，则x＜2 C.若x≥2，则x≥3 D.若x≤3，则x≤2 解析：B　互为逆命题的两个命题的条件与结论是相互对调的，故选B. 2.“x＞0”是“＝x”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：A　由＝x，得x≥0.因为“x＞0”⇒“x≥0”，但“x≥0” “x＞0”，所以“x＞0”是“＝x”的充分不必要条件. 3.设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：B　由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件.故选B. 4.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是（　　） A.m＝－2 B.m＝1 C.m＝－1 D.m＝0 解析：A　当m＝－2时，y＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之，若函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则－＝1，即m＝－2.所以函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2. 5.〔多选〕对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（　　） A.“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件 B.“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“x＜2”是“＜0”的充分不必要条件 D.“a＜6”是“a＜8”的充分不必要条件 解析：BD　对于A，a＝b⇒ac＝bc，但当c＝0时，由ac＝bc不一定推出a＝b，故A为假命题；易知B为真命题；对于C，由＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件，故C为假命题；易知D为真命题. 6.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的　必要不充分　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 解析：由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1. 7.若集合A＝{－2，m2}，集合B＝{2，4}，则“A∩B＝{4}”的充要条件是　m＝±2　. 解析：由A∩B＝{4}，得m2＝4，得m＝±2，由m＝±2，得A＝{－2，4}，则A∩B＝{4}，所以“m＝±2”是“A∩B＝{4}”成立的充要条件. 8.写出x＝－y的一个必要条件但又不是充分条件的式子　x2＝y2（答案不唯一）　. 解析：因为x＝－y⇒x2＝y2，所以x2＝y2是x＝－y的必要条件，但x2＝y2 x＝－y，所以x2＝y2不是x＝－y的充分条件，所以x＝－y的一个必要条件但又不是充分条件的式子是x2＝y2. 9.（13分）指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1）p：a＝2，q：a2＝4； （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； （3）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； （4）p：A∩B为空集，q：A与B之一为空集. 解：（1）a2＝4⇒a＝±2，所以p⇒q，qp，即p是q的充分不必要条件. （2）因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5，所以p是q的充要条件. （3）由三角形为等腰三角形等价定义可知，p，q可互相推出，因此p为q的充要条件. （4）A∩B为空集，则A与B无公共元素，但不一定是空集，若A与B之一为空集，则A∩B为空集，因此p为q的必要不充分条件. 10.（15分）已知集合A＝{x｜2a－1＜x＜a＋1}，B＝{x｜0≤x≤1}. （1）若x∈A是x∈∁RB的充分不必要条件，求实数a的取值范围； （2）若x∈A的一个充分不必要条件是x∈B，求实数a的取值范围. 解：（1）∵B＝{x｜0≤x≤1}，∴∁RB＝{x｜x＜0或x＞1}，又∵x∈A是x∈∁RB的充分不必要条件，∴A⫋∁RB且A≠⌀， ∴或 解得a≤－1或1≤a＜2. ∴实数a的取值范围是{a｜a≤－1或1≤a＜2}. （2）∵x∈A的一个充分不必要条件是x∈B， ∴B⫋A，∴解得0＜a＜， ∴实数a的取值范围是{a｜0＜a＜}. 11.若“x≤－1或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为（　　） A.－1 B.0 C.1 D.无法确定 解析：A　“x≤－1或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则由“x＜a”可以推出“x≤－1或x≥1”，但由“x≤－1或x≥1”推不出“x＜a”，所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1. 12.〔多选〕使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是（　　） A.x≥0 B.x＜0或x＞2 C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2 解析：BC　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B、C满足题意，选项A为题干成立的既不充分也不必要条件，D为题干成立的充要条件. 13.〔多选〕设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是（　　） 解析：BD　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮，开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件. 14.若集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，试写出：A∪B＝R的一个充分不必要条件为　b≥－1（答案不唯一）　；A∪B＝R的一个必要不充分条件为　b≥－3（答案不唯一）　. 解析：集合A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≤b，b∈R}，若A∪B＝R，则b≥－2；当b≥－2时，A∪B＝R.故A∪B＝R的充要条件是b≥－2.所以A∪B＝R的一个充分不必要条件是b≥－1.A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3. 15.（15分）求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 证明：（1）充分性：当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝－1，只有一个负实数根； 当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根x＝－； 当a＜0时，方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4a＞0， 且x1x2＝＜0，方程有一正实数根和一负实数根. 所以当a＝1或a≤0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根. （2）必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根，则 ①当a＝0时，x＝－，符合题意. ②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1， 当a＝1时，方程的根为－1，符合题意； 当a＜1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2， 若方程只有一个负实数根，则x1x2＝＜0，即a＜0. 所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时，a＝1或a≤0. 综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $