1.3 第1课时 并集与交集(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学并集与交集核心知识点，衔接集合包含、相等关系，通过Venn图阴影情境导入，系统讲解并集（所有属于A或B的元素）、交集（所有属于A且B的元素）概念及运算性质，结合有限集、无限集例题构建从概念到应用的学习支架。 资料以图形观察培养直观想象，结合具体集合实例深化数学抽象，通过数轴分析、参数范围问题强化数学运算。课中教师可借助Venn图、数轴直观教学，课后学生通过分层训练和规律总结查漏补缺，有效落实核心素养。

第一课时　并集与交集 课标要求 情境导入 1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集（数学抽象、数学运算）. 2.在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）. 3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（数学抽象、数学运算）. 4.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用（数学运算、直观想象）. 　　通过前面的学习，我们知道两实数存在大小关系，两个集合存在包含、相等关系.观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A，集合B有什么关系？ 知识点一　并集 问题　观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{1，2，3，4}.你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 提示：集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的. 1.并集的概念 提醒：（1）A∪B仍是一个集合；（2）并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. 【微思考】 集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？ 提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和. 2.并集的运算性质 A∪B＝B∪A；A∪A＝A；A∪⌀＝A；A∪B＝A⇔B⊆A；A⊆（A∪B），B⊆（A∪B）. （1）（链接教材P10例1）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x｜x2－1＝0}，则A∪B＝（　B　） A.{1，2，3} B.{－1，1，2，3} C.{1} D.{－1，0，1，2，3} （2）（链接教材P10例2）已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x｜－1≤x≤4}，则P∪Q＝（　C　） A.{x｜－1≤x＜3} B.{x｜－1≤x≤4} C.{x｜x≤4} D.{x｜x≥－1} 解析：（1）B＝{x｜x2－1＝0}＝{1，－1}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}. （2）在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∪Q＝{x｜x≤4}. 规律方法 并集的运算技巧 （1）若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性； （2）若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值. 训练1　（1）已知集合M＝{x｜－3＜x≤5}，N＝{x｜x＜－5或x＞5}，则M∪N＝（　A　） A.{x｜x＜－5或x＞－3} B.{x｜－5＜x＜5} C.{x｜－3＜x＜5} D.{x｜x＜－3或x＞5} （2）已知集合A∪{1}＝{1，2，3}，则满足条件的集合A共有　2　个. 解析：（1）在数轴上表示集合M，N，可知M∪N＝{x｜x＜－5或x＞－3}.故选A. （2）若A∪{1}＝{1，2，3}，则A＝{2，3}或A＝{1，2，3}，共有2个. 知识点二　交集 问题　观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{2，3}，你能说出集合C中的元素与集合A，B有什么关系？ 提示：集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B. 1.交集的概念 提醒：（1）A∩B仍是一个集合，且A∩B中任一元素都是A与B的公共元素；（2）如果两个集合没有公共元素，即A∩B＝⌀. 2.交集的运算性质 A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩⌀＝⌀；A∩B＝A⇔A⊆B；（A∩B）⊆A，（A∩B）⊆B. （1）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（　C　） A.{3} B.{－3，2} C.{2} D.{－2，3} （2）设集合M＝{x｜0＜x＜4}，N＝{x｜≤x≤5}，则M∩N＝　{x｜≤x＜4}　. 解析：（1）根据题意，图中阴影部分表示集合A，B的公共部分，即A∩B.因为集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，所以A∩B＝{2}. （2）因为M＝{x｜0＜x＜4}.N＝{x｜≤x≤5}，画出数轴如图所示.所以M∩N＝{x｜≤x＜4}. 规律方法 求两集合交集的方法 （1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可； （2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共部分，要注意端点值的取舍. 训练2　（1）已知A＝{x｜x是等腰三角形}，B＝{x｜x是直角三角形}，则A∩B＝　{x｜x是等腰直角三角形}　； （2）若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤－1或x≥4}，则A∪B＝　R　，A∩B＝　{x｜4≤x＜5}　. 解析：（1）A∩B＝{x｜x是等腰三角形}∩{x｜x是直角三角形}＝{x｜x是等腰直角三角形}. （2）如图，借助数轴可知A∪B＝R，A∩B＝{x｜4≤x＜5}. 提能点　根据并集与交集运算求参数范围 已知集合A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a，且a＞0}. （1）若A∪B＝B，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝{x｜3＜x＜4}，求实数a的值. 解：（1）因为A∪B＝B，所以A⊆B，画出数轴（如图）. 观察数轴可知所以≤a≤2. 经检验端点符合题意，故实数a的取值范围为{a｜≤a≤2}. （2）画出数轴如图，A∩B＝{x｜3＜x＜4}. 观察图形可知解得a＝3. 变式　在本例（2）中，将条件“A∩B＝{x｜3＜x＜4}”变为“A∩B＝⌀”，则实数a的取值范围为　{a｜a≥4，或0＜a≤}　. 解析：由于A∩B＝⌀，结合数轴（图略）得a≥4，或3a≤2.又因为a＞0，所以a≥4或0＜a≤.故实数a的取值范围是{a｜a≥4，或0＜a≤}. 规律方法 利用集合交集、并集的性质求参数的策略 （1）若集合中元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系； （2）将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组）是否有解或解集的取值范围，从而确定参数的值或取值范围. 训练3　（1）设集合A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝（　D　） A.{0，2} B.{0，5} C.{0，2，2，5} D.{0，2，5} （2）设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x｜x≤a}，若A∩B有两个元素，则a的取值范围是　{a｜2≤a＜3}　. 解析：（1）若A∩B＝{2}，则2∈A，且2∈B，又A＝{a，b}，B＝{a＋2，5}，所以a＋2＝2，即a＝0，则b＝2，所以A＝{0，2}，B＝{2，5}，则A∪B＝{0，2，5}.故选D. （2）将集合B在数轴上表示出来，如图所示，易知当2≤a＜3时符合题意. 1.集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　） A.{1，2，3，4} B.{2，3，4} C.{2，4} D.{1} 解析：B　因为A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，所以A∩B＝{2，3，4}.故选B. 2.已知集合M＝{x｜－4＜x≤1}，N＝{x｜－1＜x＜3}，则M∪N＝（　　） A.{x｜－4＜x＜3} B.{x｜－1＜x≤1} C.{0，1，2} D.{x｜－1＜x＜4} 解析：A　在数轴上表示出两个集合，如图，可得M∪N＝{x｜－4＜x＜3}. 3.已知A＝{x｜x为矩形}，B＝{x｜x为菱形}，则A∩B＝　{x｜x为正方形}　. 4.已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A∪B＝{－1，2，3，9}，则实数a的值为　±3　. 解析：由题意得a2＝9，解得a＝±3. （时间：45分钟　满分：81分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x｜－1＜x＜6}，则M∩N＝（　　） A.{2，4} B.{2，4，6} C.{2，4，6，8} D.{2，4，6，8，10} 解析：A　由题意知M∩N＝{2，4}，故选A. 2.设集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，则A∪B＝（　　） A.{x｜2＜x≤3} B.{x｜2≤x≤3} C.{x｜1≤x＜4} D.{x｜1＜x＜4} 解析：C　∵A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，∴A∪B＝{x｜1≤x＜4}. 3.已知集合A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，C＝{x｜x＞－1}，则（A∩B）∪C＝（　　） A.{x｜－1＜x＜0} B.{x｜x＞－1} C.{x｜－2＜x＜0} D.{x｜x＞－2} 解析：D　由A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞－2}，得A∩B＝{x｜－2＜x＜0}，所以（A∩B）∪C＝{x｜x＞－2}.故选D. 4.已知集合A＝{x｜x≤－1或x≥3}，B＝{x｜a＜x＜4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（　　） A.3≤a＜4 B.－1＜a＜4 C.a≤－1 D.a＜－1 解析：C　利用数轴，若A∪B＝R，则a≤－1. 5.〔多选〕若集合M⊆N，则下列结论正确的是（　　） A.M∩N＝N B.M∪N＝N C.（M∩N）⊆N D.N⊆（M∩N） 解析：BC　∵M⊆N，∴M∩N＝M，M∪N＝N，（M∩N）⊆N，故选B、C. 6.〔多选〕已知集合A＝{x｜x2＝x}，集合B中有两个元素，且满足A∪B＝{0，1，2}，则集合B可以是（　　） A.{0，1} B.{0，2} C.{0，3} D.{1，2} 解析：BD　集合A＝{0，1}，因为B中有两个元素，且A∪B＝{0，1，2}，所以B可以为{0，2}，{1，2}.故选B、D. 7.已知集合A＝{1，3，4，7}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为　6　. 解析：由已知得，B＝{3，7，9，15}，所以A∪B＝{1，3，4，7，9，15}，所以集合A∪B中元素的个数为6. 8.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝　0或3　. 解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又A＝{1，3，}，B＝{1，m}，∴m＝3或m＝，由m＝得m＝0或m＝1，但m＝1不满足集合中元素的互异性，故舍去，故m＝0或m＝3. 9.若{1，3}∩A＝A，则满足条件的集合A的个数为　4　. 解析：由{1，3}∩A＝A，知A⊆{1，3}，所以A＝⌀或{1}或{3}或{1，3}，所以集合A的个数为4. 10.（10分）已知集合A＝{x｜3－x＞0，且3x＋6＞0}，集合B＝{x｜3＞2x－1}，求A∩B，A∪B. 解：解不等式组得－2＜x＜3， 则A＝{x｜－2＜x＜3}， 解不等式3＞2x－1，得x＜2，则B＝{x｜x＜2}. 用数轴表示集合A和B，如图所示， 则A∩B＝{x｜－2＜x＜2}，A∪B＝{x｜x＜3}. 11.〔多选〕设集合M＝{x｜a＜x＜3＋a}，N＝{x｜x＜2或x＞4}，则下列结论中正确的是（　　） A.若a＜－1，则M⊆N B.若a＞4，则M⊆N C.若M∪N＝R，则1＜a＜2 D.若M∩N≠⌀，则1＜a＜2 解析：ABC　对于A，若a＜－1，则3＋a＜2，则M⊆N，故A正确；对于B，若a＞4，显然对于任意x∈M，x＞4，则x∈N，故M⊆N，故B正确；对于C，若M∪N＝R，则解得1＜a＜2，故C正确；对于D，若M∩N＝⌀，则不等式无解，故若M∩N≠⌀，则a∈R，故D错误.故选A、B、C. 12.已知a∈R，集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}.若M∪N有三个元素，则M∩N＝　{0}　. 解析：因为集合M＝{1，a2}，N＝{a，－1}，若M∪N有三个元素，则a2＝a且a≠±1，解得a＝0.此时M∩N＝{0}. 13.（13分）设集合A＝{x｜x2＋ax＋12＝0}，B＝{x｜x2＋3x＋2b＝0}，A∩B＝{2}，C＝{2，－3}. （1）求a，b的值及A，B； （2）求（A∪B）∩C. 解：（1）因为A∩B＝{2}， 所以4＋2a＋12＝0，4＋6＋2b＝0， 即a＝－8，b＝－5， 所以A＝{x｜x2－8x＋12＝0}＝{2，6}， B＝{x｜x2＋3x－10＝0}＝{2，－5}. （2）因为A∪B＝{－5，2，6}，C＝{2，－3}， 所以（A∪B）∩C＝{2}. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $