1.3 第2课时 全集、补集及综合应用(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本高中数学讲义聚焦全集、补集及综合应用，从情境导入（学习小组获奖情况）引出问题，通过分析集合关系定义全集与补集，梳理补集运算性质，结合Venn图和数轴直观呈现，进而讲解集合交、并、补的综合运算及参数求解，构建从概念到应用的学习支架。 资料以情境问题驱动，通过Venn图、数轴等直观工具培养直观想象，例题设计一题多解与变式训练提升逻辑推理，融入容斥原理拓展数学抽象。课中助教师高效授课，课后学生可通过分层练习查漏补缺，强化知识应用。

第二课时　全集、补集及综合应用 课标要求 情境导入 1.在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（逻辑推理、数学运算）. 3.能使用Venn图表达集合全集、子集与它的补集的关系，体会图形对理解抽象概念的作用（直观想象）. 　　某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军，赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何晓慧}，其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝{王明，曹勇，王亮，李冰，张军}.那么，没有获得金奖的学生有哪些？ 知识点一　全集与补集 问题　情境导入中，若U＝{学习小组的学生}，A＝{学习小组学生中获得过金奖的学生}，B＝{学习小组学生中没有获得过金奖的学生}. （1）集合U，A，B三者有何关系？ 提示：A⊆U，B⊆U，且A∪B＝U. （2）集合B中的元素与U和A有何关系？ 提示：集合B中的所有元素属于U，但不属于A. 1.全集 （1）定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的　所有元素　，那么就称这个集合为全集； （2）记法：全集通常记作U. 【微思考】 全集一定是实数集吗？ 提示：不一定.全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内研究问题，Z是全集；在具体题目中，全集一般是给定的. 2.补集 （1）补集的概念 提醒：∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且（∁UA）⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. （2）补集的运算性质 ∁UU＝⌀，∁U⌀＝U；∁U（∁UA）＝A；A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝⌀. （1）（链接教材P13例5）设U＝{x｜x是小于7的自然数}，A＝{2，3，4}，B＝{1，5，6}，则∁UA＝　{0，1，5，6}　，∁UB＝　{0，2，3，4}　； （2）若集合A＝{x｜－1≤x＜1}，当U＝{x｜x≤2}时，∁UA＝　{x｜x＜－1或1≤x≤2}　；当U＝{x｜－4≤x≤1}时，∁UA＝　{x｜－4≤x＜－1或x＝1}　. 解析：（1）根据题意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以∁UA＝{0，1，5，6}，∁UB＝{0，2，3，4}. （2）当U＝{x｜x≤2}时，把集合U和A表示在数轴上，如图1所示. 由图1知∁UA＝{x｜x＜－1或1≤x≤2}；当U＝{x｜－4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，如图2所示. 由图2知∁UA＝{x｜－4≤x＜－1或x＝1}. 规律方法 求集合补集的2种方法 （1）当集合是用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解. 训练1　（1）（2026·南通月考）设全集U＝{－1，0，1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM＝{1，3}，则（　A　） A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M （2）设集合U＝R，M＝{x｜x＞2，或x＜－2}，则∁UM＝（　A　） A.{x｜－2≤x≤2} B.{x｜－2＜x＜2} C.{x｜x＜－2，或x＞2} D.{x｜x≤－2，或x≥2} 解析：（1）依题意得M＝{－1，0，2，4，5}，故A正确，B、C、D错误. （2）画出数轴如图， 可知∁UM＝{x｜－2≤x≤2}. 知识点二　集合交、并、补的综合运算 已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－3≤x≤2}，求（∁UA）∪B，A∩（∁UB），∁U（A∪B）. 解：如图所示. 因为A＝{x｜－2＜x＜3}， B＝{x｜－3≤x≤2}，U＝{x｜x≤4}， 所以∁UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}， A∪B＝{x｜－3≤x＜3}. 所以（∁UA）∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}， A∩（∁UB）＝{x｜2＜x＜3}， ∁U（A∪B）＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}. 规律方法 集合混合运算的一般思路 （1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； （2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； （3）注意对运算结果进行检验. 训练2　（1）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则∁A（A∩B）＝（　D　） A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} （2）如图，设全集U＝R，M＝{x｜x＜－1}，N＝{x｜－3＜x＜0}，则图中的阴影部分表示的集合　{x｜－1≤x＜0}　. 解析：（1）B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A（A∩B）＝{2，3，5}.故选D. （2）图象表示的集合为（∁UM）∩N＝{x｜x≥－1}∩{x｜－3＜x＜0}＝{x｜－1≤x＜0}. 提能点　利用集合间的关系求参数 〔一题多解〕设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝R，且（∁UA）∩B＝⌀，求实数m的取值范围. 【破题思维】 题目信息 信息转化 （∁UA）∩B＝⌀ 联想到∁UA与B没有公共元素 解：法一　易知A＝{x｜x≥－m}， 所以∁UA＝{x｜x＜－m}. 又B＝{x｜－2＜x＜4}，且（∁UA）∩B＝⌀， 所以－m≤－2，则m≥2. 故实数m的取值范围是{m｜m≥2}. 法二　由（∁UA）∩B＝⌀，知B⊆A， 又B＝{x｜－2＜x＜4}，A＝{x｜x≥－m}， 所以－m≤－2，则m≥2. 故实数m的取值范围是{m｜m≥2}. 变式1　若将本例中的条件“（∁UA）∩B＝⌀”改为“（∁UA）∩B≠⌀”，其他条件不变，则m的取值范围为　{m｜m＜2}　. 解析：由例3知∁UA＝{x｜x＜－m}，B＝{x｜－2＜x＜4}.∵（∁UA）∩B≠⌀，∴－m＞－2，则m＜2.因此实数m的取值范围是{m｜m＜2}. 变式2　若将本例中的条件“（∁UA）∩B＝⌀”改为“（∁UB）∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围为　{m｜m≥2}　. 解析：易得A＝{x｜x≥－m}，∁UB＝{x｜x≤－2，或x≥4}.又（∁UB）∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.故m的取值范围为{m｜m≥2}. 规律方法 由集合的补集求参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数时，可利用补集定义求解； （2）如果所给集合是无限集，求解与集合交、并、补运算有关的参数问题时，一般利用数轴分析求解. 训练3　（1）已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}，∁UM＝{－1}，则实数x的值为（　A　） A.2 B.－2 C.2或－2 D.－1 （2）（2026·宁波质检）已知全集U＝R，A＝{x｜1≤x＜b}，∁UA＝{x｜x＜1，或x≥2}，则实数b＝　2　. 解析：（1）由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解得x＝2.故选A. （2）因为∁UA＝{x｜x＜1，或x≥2}，所以A＝{x｜1≤x＜2}.所以b＝2. 1.若全集U＝{x∈R｜－2≤x≤2}，A＝{x∈R｜－2≤x≤0}，则∁UA＝（　　） A.{x｜0＜x＜2} B.{x｜0≤x＜2} C.{x｜0＜x≤2} D.{x｜0≤x≤2} 解析：C　如图，由图可得∁UA＝{x｜0＜x≤2}.故选C. 2.若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U（M∪N）＝（　　） A.{1，2，3} B.{2} C.{1，3，4} D.{4} 解析：D　∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，∴M∪N＝{1，2，3}，∴∁U（M∪N）＝{4}.故选D. 3.已知集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}，∁AB＝{1，3，5}，则集合B＝（　　） A.{2，4} B.{0，2，4} C.{0，1，3} D.{2，3，4} 解析：B　根据题意，集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}，由∁AB＝{1，3，5}，得B＝∁A（∁AB）＝{0，2，4}.故选B. 4.设全集为R，A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，求∁RB，∁R（A∪B）. 解：把集合A，B在数轴上表示，如图. 由图知∁RB＝{x｜x≤2或x≥10}， A∪B＝{x｜2＜x＜10}， 所以∁R（A∪B）＝{x｜x≤2或x≥10}. 　容斥原理 由教材第15页“阅读与思考”，我们知道在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题，一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，将A中的元素个数记为card（A）＝n，集合B＝{b1，b2，…，bm}，将B中的元素个数记为card（B）＝m，关于集合中的元素个数有如下关系： （1）二元容斥原理：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card（A∩B）； （2）三元容斥原理：card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（C∩A）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）. 〔一题多解〕某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（　　） A.62％ B.56％ C.46％ D.42％ 解析：C　法一　设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则（60％－x）＋（82％－x）＋x＝96％，解得x＝46％. 法二　设A＝{喜欢足球}，B＝{喜欢游泳}.由题意得，card（A）＝60％，card（B）＝82％，card（A∪B）＝96％，故card（A∩B）＝card（A）＋card（B）－card（A∪B）＝60％＋82％－96％＝46％. 【迁移应用】 〔一题多解〕某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞赛的学生总人数是（　　） A.280 B.281 C.282 D.283 解析：B　法一　由题意画出Venn图，如图所示，则参加竞赛的学生总人数是34＋53＋26＋7＋90＋29＋42＝281. 法二　由题意，设A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛的学生构成的集合，则card（A）＝203，card（B）＝179，card（C）＝165，card（A∩B）＝143，card（B∩C）＝97，card（A∩C）＝116，card（A∩B∩C）＝90，因此card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（B∩C）－card（A∩C）＋card（A∩B∩C）＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝281.所以参加竞赛的学生总人数是281. （时间：60分钟　满分：101分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.设U＝{x∈N｜1≤x≤6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}，则∁UA＝（　　） A.{4，5} B.{1，2，3，4} C.{1，4，5，6} D.{1，6} 解析：C　U＝{x∈N｜1≤x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}＝{2，3}，所以∁UA＝{1，4，5，6}.故选C. 2.设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T＝（　　） A.{x｜－2＜x≤1} B.{x｜x≤－4} C.{x｜x≤1} D.{x｜x≥1} 解析：C　因为S＝{x｜x＞－2}，所以∁RS＝{x｜x≤－2}，又T＝{x｜－4≤x≤1}，所以（∁RS）∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜x≤1}.故选C. 3.设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋3}，∁UA＝{1}，则a＝（　　） A.－3 B.3 C.－1 D.1 解析：C　∵A∪（∁UA）＝U，∴a2＝1且a＋3＝2，∴a＝－1.故选C. 4.已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　） A.{x｜0≤x＜1} B.{x｜0＜x≤3} C.{x｜0＜x≤1} D.{x｜1≤x≤3} 解析：C　因为A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，所以A∪B＝{x｜x＞1或x≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为∁U（A∪B）＝{x｜0＜x≤1}.故选C. 5.〔多选〕设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，则（　　） A.M∩N＝{0，1} B.∁UN＝{4} C.M∪N＝{0，1，3，4} D.M∩（∁UN）＝{4} 解析：ACD　因为U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，所以M∩N＝{0，1}，故A正确；∁UN＝{2，4}，故B不正确；M∪N＝{0，1，3，4}，故C正确；M∩∁UN＝{0，1，4}∩{2，4}＝{4}，故D正确. 6.设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，则∁U（A∪B）＝　{－2，0}　. 解析：由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，所以集合B＝{1，3}，则A∪B＝{－1，1，2，3}，又全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以∁U（A∪B）＝{－2，0}. 7.设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，则（∁UA）∩（∁UB）＝　{x｜x是直角三角形}　. 解析：根据三角形的分类可知，∁UA＝{x｜x是直角三角形或钝角三角形}，∁UB＝{x｜x是直角三角形或锐角三角形}，所以（∁UA）∩（∁UB）＝{x｜x是直角三角形}. 8.已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A∩（∁UB）＝　{3}　. 解析：因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U（A∪B）＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，作出Venn图，如图所示，所以A∩（∁UB）＝{3}. 9.（10分）设全集U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜2≤x≤8}.求∁UA，（∁UA）∩B，A∩B，∁U（A∩B）. 解：因为U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜2≤x≤8}， 所以∁UA＝{x｜－2≤x≤2，或x≥10}， （∁UA）∩B＝{2}，A∩B＝{x｜2＜x≤8}， ∁U（A∩B）＝{x｜－2≤x≤2，或x＞8}. 10.（13分）若集合A＝{x｜－2＜x＜－1或x＞1}，全集U＝R. （1）求∁UA； （2）若B＝{x｜x≤a}，B⊆∁UA，求a的取值范围. 解：（1）因为A＝{x｜－2＜x＜－1或x＞1}， U＝R，所以∁UA＝{x｜x≤－2或－1≤x≤1}. （2）如图，当a≤－2时，B⊆∁UA， 所以a≤－2. 11.〔多选〕可以推出A⊆B的是（　　） A.A∩B＝B B.A∩（∁UB）＝⌀ C.A∪B＝B D.（∁UB）⊆（∁UA） 解析：BCD　对于A，因为A∩B＝B，所以B⊆A，故错误；对于B，当A∩（∁UB）＝⌀时，有A⊆B，反之也成立，故正确；对于C，当A∪B＝B时，有A⊆B，反之也成立，故正确；对于D，若（∁UB）⊆（∁UA），则A⊆B，反之也成立，故正确.故选B、C、D. 12.〔多选〕已知全集U，A，B是U的非空子集，且B⊆（∁UA），则必有（　　） A.A∩B＝⌀ B.A⊆（∁UB） C.A⊇（∁UB） D.A⊆B 解析：AB　由题意作出Venn图，根据Venn图可得，A∩B＝⌀，A正确，D错误；A⊆（∁UB），B正确，C错误.故选A、B. 13.已知集合A＝{x｜x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x｜x2－ax＋b＝0}，满足（∁RA）∩B＝{2}，A∩（∁RB）＝{4}，则a＋b＝　－　. 解析：由（∁RA）∩B＝{2}和A∩（∁RB）＝{4}，知2∈B，但2∉A；4∈A，但4∉B.将x＝2和x＝4分别代入B，A两集合中的方程得即解得a＝，b＝－，则a＋b＝－. 14.某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三个小组都参加的有3人，则该班学生人数为　26　. 解析：作出Venn图，如图所示，可知5人只参加奥数小组，2人只参加编程小组，2人只参加书法小组，同时参加奥数和编程小组但不参加书法小组的有9人，同时参加编程和书法小组但不参加奥数小组的有2人，同时参加奥数和书法小组但不参加编程小组的有3人，三个小组都参加的有3人，则该班学生人数为5＋2＋2＋2＋3＋3＋9＝26. 15.（15分）已知集合A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜a≤x≤a＋3}. （1）若（∁RA）∪B＝R，求a的取值范围； （2）是否存在实数a使（∁RA）∪B＝R且A∩B＝⌀？ 解：（1）因为A＝{x｜0≤x≤2}， 所以∁RA＝{x｜x＜0，或x＞2}. 因为（∁RA）∪B＝R， 所以 解得－1≤a≤0. 所以a的取值范围为{a｜－1≤a≤0}. （2）因为A∩B＝⌀， 所以a＞2或a＋3＜0， 解得a＞2或a＜－3. 由（1）知，若（∁RA）∪B＝R，则－1≤a≤0， 故不存在实数a使（∁RA）∪B＝R且A∩B＝⌀. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $