1.1 第2课时 集合的表示(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学集合的表示这一核心知识点，通过情境导入（不同语言祝福类比）引出列举法和描述法，先以“地球上的四大洋”“小于6的正整数”等实例学习列举法，再通过“大于-2且小于2的实数”问题过渡到描述法，最后结合集合与方程综合应用，构建完整学习支架。 资料以问题驱动设计，情境导入贴近生活激发兴趣，通过具体实例引导学生抽象集合表示方法，培养数学抽象与逻辑推理素养。综合应用环节结合方程根问题，强化数学语言表达，课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后训练题与变式题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

第二课时　集合的表示 课标要求 情境导入 1.掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）（数学抽象）. 2.针对具体问题，能在自然语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象、逻辑推理）. 　　语言是人与人之间相互联系的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方式，例如，我们中文说“祝你生日快乐”，英文为“Happy Birthday to you”等等，那么对于一个集合，会有哪些不同的表示方法呢？ 知识点一　用列举法表示集合 问题　观察下面两个集合： ①设集合M是“地球上的四大洋”组成的集合； ②设集合N是小于6的正整数组成的集合. 上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？其元素分别是什么？ 提示：能.集合M中的元素为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋；集合N中的元素为1，2，3，4，5. 把集合的所有元素　一一列举　出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 提醒：用列举法表示集合的注意点：①元素间用“，”隔开；集合的“{}”已包含“所有”“全体”的意思，不能再出现“全体”“所有”等字眼；②元素个数较多时，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚，然后加省略号. （链接教材P3例1）用列举法表示下列集合： （1）36与60的公约数组成的集合； （2）方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合； （3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合. 解：（1）36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}. （2）方程x2＋x＝0的所有实数根为0或－1，所求集合为{0，－1}. （3）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1），所求集合为{（0，1）}. 规律方法 用列举法表示集合的3个步骤 （1）求出集合的元素； （2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； （3）用花括号括起来. 训练1　（1）若集合A＝{（1，2），（3，4）}，则集合A中元素的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 （2）用列举法表示下列给定的集合： ①大于1且小于6的整数组成的集合； ②“Welcome”中的所有字母构成的集合； ③一次函数y＝－3x＋12的图象上所有满足x∈N*，y∈N*的点所组成的集合. （1）解析：B　集合A＝{（1，2），（3，4）}中有两个元素（1，2）和（3，4）. （2）解：①因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，因此用列举法表示为{2，3，4，5}. ②由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}. ③一次函数y＝－3x＋12的图象是一条直线且该直线上的所有正整数点分别为（1，9），（2，6），（3，3），所以所求集合为{（1，9），（2，6），（3，3）}. 知识点二　用描述法表示集合 问题　“大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？为什么？ 提示：不能.集合中的元素不能一一列举出来. 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示为　{x∈A｜P（x）}　，这种表示集合的方法称为描述法. （链接教材P4例2）用描述法表示下列集合： （1）满足不等式3x＋2＞2x＋1的实数x组成的集合； （2）平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合； （3）所有正奇数组成的集合. 解：（1）解不等式3x＋2＞2x＋1，可得x＞－1，所以满足不等式的实数x组成的集合为{x｜x＞－1}，或直接写成{x｜3x＋2＞2x＋1}. （2）因为第一象限内的点的横坐标大于零，纵坐标大于零，所以该集合为{（x，y）｜x＞0，y＞0，且x，y∈R}. （3）可知正奇数表示为x＝2k－1（k∈N*），故集合为{x｜x＝2k－1，k∈N*}. 规律方法 用描述法表示集合的步骤 提醒：用描述法表示集合的注意点：①写清该集合中元素的代表符号，如{x｜x＞1}不能写成{x＞1}；②不能出现未被说明的字母，如{x∈Z｜x＝2m}中m未被说明；③所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z｜x＝2m}，m∈N*”不符合要求. 训练2　试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A； （2）由小于8的所有自然数组成的集合B. 解：（1）描述法表示为A＝{x∈R｜x2－5＝0}，列举法表示为A＝{－，}. （2）描述法表示为B＝{x∈N｜x＜8}（形式不唯一），列举法表示为B＝{0，1，2，3，4，5，6，7}. 提能点　集合与方程的综合应用 已知集合A＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}. （1）若1∈A，用列举法表示A； （2）当集合A中有且仅有一个元素时，求a的值组成的集合B. 【破题思维】 题目信息 信息转化 若1∈A，用列举法表示A 联想到1是方程ax2＋2x＋1＝0的实数根 集合A中有且仅有一个元素 联想到方程ax2＋2x＋1＝0有一个实根或两相等实根，即分a＝0和a≠0讨论 解：（1）若1∈A，则1是方程ax2＋2x＋1＝0的实数根，∴a＋2＋1＝0，解得a＝－3， ∴方程为－3x2＋2x＋1＝0， 解得x＝1或x＝－， ∴A＝{1，－}. （2）当a＝0时，2x＋1＝0，解得x＝－，此时A＝{－}； 当a≠0时，若集合A中有且仅有一个元素， 则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根， ∴解得a＝1，此时A＝{－1}. 综上，当a＝0或a＝1时，集合A中有且仅有一个元素，∴B＝{0，1}. 变式1　在本例条件下，若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围的集合. 解：依题意，a≠0，且Δ＝4－4a＞0，所以a＜1且a≠0，故实数a的取值范围的集合是{a｜a＜1且a≠0}. 变式2　在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 解：A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素. 当A中只有一个元素时，由例题可知，a＝0或a＝1. 当A中没有元素时，Δ＝4－4a＜0，且a≠0，即a＞1. 故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为{a｜a＝0或a≥1}. 规律方法 1.若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如本例集合A中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的问题. 2.求解集合与方程的问题应注意 （1）当方程中含有参数时，一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，必要时要分类讨论； （2）求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. 训练3　已知集合A＝{x｜x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a＝　5　，b＝　6　. 解析：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6. 1.集合{x∈N｜x－2＜2}用列举法可表示为（　　） A.{1，2，3} B.{1，2，3，4} C.{0，1，2，3，4} D.{0，1，2，3} 解析：D　{x∈N｜x－2＜2}＝{x∈N｜x＜4}＝{0，1，2，3}. 2.在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是（　　） A.{x｜x≤－3或x≥3} B.{x｜－3≤x≤3} C.{x｜x≤－3} D.{x｜x≥3} 解析：B　在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足｜x｜≤3，即－3≤x≤3，因此所求的集合为{x｜－3≤x≤3}.故选B. 3.〔多选〕下列各组集合表示的不是同一个集合的是（　　） A.M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B.M＝{（x，y）｜2x＋y＝1}，N＝{y｜2x＋y＝1} C.M＝{1，2}，N＝{2，1} D.M＝{2，4}，N＝{（2，4）} 解析：ABD　对于A，M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}是不同的点构成的集合，故M与N不是同一个集合；对于B，M＝{（x，y）｜2x＋y＝1}是点集，N＝{y｜2x＋y＝1}是数集，故M与N不是同一个集合；对于C，M＝{1，2}和N＝{2，1}都是由元素1，2构成的集合，故M与N是同一个集合；对于D，M＝{2，4}是数集，N＝{（2，4）}是点集，故M与N不是同一个集合.故选A、B、D. 4.用适当的方法表示下列集合： （1）一年中有31天的月份的全体； （2）大于－3.5且小于12.8的整数的全体； （3）二次函数y＝x2＋1的函数值. 解：（1）{1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}. （2）{－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}或{x∈Z｜－3.5＜x＜12.8}. （3）函数值y的取值集合为{y｜y＝x2＋1，x∈R}. （时间：45分钟　满分：85分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.已知集合M＝{x｜x＞1且x∈N}，则（　　） A.0∈M B.π∈M C.∈M D.1∉M 解析：D　由集合M＝{x｜x＞1且x∈N}知，0∉M，故A错误；π∉M，故B错误；∉M，故C错误；1∉M，故D正确. 2.下列集合中，不同于另外三个集合的是（　　） A.{0} B.{y｜y2＝0} C.{x｜x＝0} D.{x＝0} 解析：D　由集合的含义知{0}＝{y｜y2＝0}＝{x｜x＝0}，集合{x＝0}表示由元素“x＝0”组成的集合，故选D. 3.已知集合A＝{－1，0，1，2}，集合B＝{y｜y＝｜x｜，x∈A}，则集合B中元素的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：C　由题意得B＝{0，1，2}，即B中元素的个数为3. 4.由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　　） A.{x｜－3＜x＜11，x∈Z} B.{x｜－3＜x＜11} C.{x｜－3＜x＜11，x＝2k} D.{x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z} 解析：D　偶数集合为{x｜x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所组成的集合为{x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}. 5.已知集合A＝{x｜3x＋2＞m}，若－1∈A，则（　　） A.m＜－1 B.m＞－1 C.m≤－1 D.m≥－1 解析：A　因为集合A＝{x｜3x＋2＞m}，－1∈A，所以－3＋2＞m，即m＜－1. 6.〔多选〕集合{1，3，5，7，9}用描述法可表示为（　　） A.{x｜x是不大于9的非负奇数} B.{x｜x＝2k＋1，k≤4且k∈N} C.{x｜x≤9，x∈N*} D.{x｜0≤x≤9，x∈Z} 解析：AB　{x｜x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1，3，5，7，9}，A正确；{x｜x＝2k＋1，k≤4且k∈N}表示的集合是{1，3，5，7，9}，B正确；{x｜x≤9，x∈N*}表示的集合是{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，C错误；{x｜0≤x≤9，x∈Z}表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，D错误. 7.集合{x｜x＝2m－3，m＜5，m∈N*}，用列举法表示为　{－1，1，3，5}　. 解析：集合中的元素满足x＝2m－3，m＜5，m∈N*，则m可取值为1，2，3，4，则满足条件的x值为－1，1，3，5.则集合用列举法表示为{－1，1，3，5}. 8.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为　－　. 解析：∵集合A＝{m＋2，2m2＋m}，且3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3，∴m＝1或m＝－.当m＝1时，m＋2＝3，2m2＋m＝3，不满足集合中元素的互异性，舍去；当m＝－时，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合题意. 9.用描述法表示如图中的阴影部分可以是　{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}　. 解析：由阴影部分知0≤x≤2，0≤y≤1，所以阴影部分由点集{（x，y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}来表示. 10.（13分）选择适当的方法表示下列集合： （1）由方程x（x2－2x－3）＝0的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于6的有理数； （3）方程组的解组成的集合. 解：（1）方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x｜x（x2－2x－3）＝0}. （2）由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q｜2＜x＜6}. （3）解方程组得 故用列举法表示方程组的解组成的集合为{（0，1）}，用描述法表示为.　 11.〔多选〕〔一题多解〕下列选项中是集合A＝{（x，y）｜ x＝，y＝，k∈Z}中的元素的是（　　） A.（ ，） B.（ ，） C.（3，4） D.（4，3） 解析：AD　法一　对于A，当x＝，y＝时，由得k＝1，满足题意，故A正确；对于B，当x＝，y＝时，由可知无解，不满足题意，故B错误；对于C，当x＝3，y＝4时，由可知无解，不满足题意，故C错误；对于D，当x＝4，y＝3时，由得k＝12，满足题意，故D正确.故选A、D. 法二　由题意得3x＝4y，故选A、D. 12.已知集合A＝{x｜mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中的元素至多有一个，则m的取值范围为　　. 答案：m＝0或m≥ 解析：分集合A中有且只有一个元素和集合A不含任何元素两种情况讨论.①若集合A中有且只有一个元素，则m＝0或解得m＝0或m＝.②若集合A不含任何元素，则解得m＞.综上，m＝0或m≥. 13.（15分）下列三个集合： ①A＝{x｜y＝x2＋1}； ②B＝{y｜y＝x2＋1}； ③C＝{（x，y）｜y＝x2＋1}. （1）它们是不是相等的集合？ （2）它们各自的含义分别是什么？ 解：（1）它们是互不相等的集合. （2）集合A＝{x｜y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R； 集合B＝{y｜y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1. 集合C＝{（x，y）｜y＝x2＋1}的代表元素是（x，y），是抛物线y＝x2＋1上的点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $