第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末整合提升〔含真题体验〕——体系构建·素养提升(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件围绕一元二次函数、方程和不等式，通过体系构建梳理定义、解法、根的判别式等核心知识，搭建从基础概念到实际应用的学习支架，帮助学生形成完整知识脉络。 其亮点在于素养提升结合例题解析与反思感悟，培养数学思维与应用意识，真题体验融入高考题强化实战能力。学生能深化知识理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

章末整合提升〔含真题体验〕 ——体系构建·素养提升 第二章　一元二次函数、方程和不等式 1 目 录 CONTENTS 体系构建 素养提升 真题体验 体系构建>> 目录 3 数学·必修第一册 目录 素养提升>> 目录 5 一、不等式及其性质 理解不等式的概念，掌握不等式的性质.不等式及其性质贯穿整个高中数 学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关. （1）〔多选〕若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式中正确的是 （　AD　） A. ＞ B. ab＜b2 C. a｜c｜＞b｜c｜ D. a（c2＋1）＜b（c2＋1） AD 数学·必修第一册 目录 解析： 对于A，因为a＜b＜0，所以－＝＞0，则＞，故A正 确；对于B，因为a＜b＜0，所以ab＞b2，故B错误；对于C，当c＝0时， a｜c｜＝b｜c｜，故C错误；对于D，由c2＋1＞0，a＜b＜0，可得a（c2＋ 1）＜b（c2＋1），故D正确. 数学·必修第一册 目录 （2）已知2＜a＜3，且－2＜b＜－1，则的取值范围是 　{｜＜＜ ⁠. 解析： 因为－2＜b＜－1，所以1＜b2＜4.因为2＜a＜3，所以＜＜ ，所以＜＜2. {｜＜＜ 2}　 数学·必修第一册 目录 反思感悟 不等式及其性质的2个关注点 （1）运用不等式的性质时，要注意不等式成立的条件及其是否具有可逆 性.判断不等式是否成立时，常利用特殊值法求解客观题； （2）作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通 分、分解因式、配方等. 数学·必修第一册 目录 二、基本不等式 能利用基本不等式求函数的最值并能证明简单的不等式，掌握基本不等式 的一些常见变形. 数学·必修第一册 目录 （1）〔一题多解〕已知－1＜x＜3，则y＝（1＋x）（3－x）的最大值 是 ⁠； 解析： 法一　∵－1＜x＜3，∴1＋x＞0，3－x＞0， ∴≤＝2.∴（1＋x）（3－x）≤4，当 且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时取等号. 4 法二　∵y＝（1＋x）（3－x）＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，又∵－1 ＜x＜3，∴y≤4. 数学·必修第一册 目录 解析： ∵x＞1，∴x－1＞0.又y＝x－1，∴x＋＝x＋＝x－1＋＋ 1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时，等号成立，则x＋的最小 值是3. （2）已知x＞1，且x－y＝1，则x＋的最小值是 ⁠. 3　 数学·必修第一册 目录 反思感悟 利用基本不等式解题的关注点 （1）前提：“一正”“二定”“三相等”； （2）配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式， 然后再利用基本不等式； （3）方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方 法；三是配凑法. 数学·必修第一册 目录 三、一元二次不等式的解法 通过函数图象了解一元二次不等式与相应方程、函数的联系，掌握一元二 次不等式及分式不等式的解法. 若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是{x｜＜x＜2}. （1）求a的值； 解： 依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2，且a＜0. 由根与系数的关系，得解得a＝－2. 数学·必修第一册 目录 （2）求不等式＞a＋5的解集. 解： 将a＝－2代入不等式，得＞3，即－3＞0，整理得 ＞0，即（x＋1）（x＋2）＜0，解得－2＜x＜－1，则不等式的解 集为{x｜－2＜x＜－1}. 数学·必修第一册 目录 反思感悟 一元二次不等式的解集问题 （1）不含参数的一元二次不等式的解集受a的符号、b2－4ac的符号的影 响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系； （2）含有参数的一元二次不等式的求解，常就“二次项系数”“判别式 Δ”“两个根的大小”对参数进行讨论. 数学·必修第一册 目录 四、构建数学模型解决实际问题 不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问 题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件 构建数学模型是解题关键. 某养殖公司欲将一批肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地， 运费为每小时60元，装卸费为1 000元，肉在运输途中的损耗费（单位： 元）是汽车速度（单位：千米/时）值的2倍.（说明：运输的总费用＝运费 ＋装卸费＋损耗费） 数学·必修第一册 目录 （1）若运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度值的范围； 解： 设汽车行驶的速度为x千米/时，运输的总费用为y元，则y＝ ×60＋1 000＋2x. 令×60＋1 000＋2x≤1 260，整理得x2－130x＋3 600≤0，解得 40≤x≤90. ∴若运输的总费用不超过1 260元，则汽车行驶速度值的范围应为{x｜ 40≤x≤90}. 数学·必修第一册 目录 （2）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ 解： 由（1）得y＝×60＋1 000＋2x＝2x＋＋ 1 000≥2＋1 000＝1 240，当且仅当2x＝，即x＝60时取等 号，∴若要使运输的总费用最小，则汽车应以每小时60千米的速度行驶. 数学·必修第一册 目录 反思感悟 解决实际问题的关注点 （1）审题要准，初步建模； （2）设出变量，列出函数关系式； （3）根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题. 数学·必修第一册 目录 真题体验>> 目录 21 一、不等式的解法 1. （2023·新高考Ⅰ卷1题）已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2 －x－6≥0}，则M∩N＝（　　） A. {－2，－1，0，1} B. {0，1，2} C. {－2} D. {2} 1 2 3 4 5 6 7 8 √ 解析： 由x2－x－6＝（x－3）（x＋2）≥0，得x≥3或x≤－2.又因为M ＝{－2，－1，0，1，2}，所以M∩N＝{－2}.故选C. 数学·必修第一册 目录 2. （2025·全国Ⅱ卷4题）不等式≥2的解集是（　　） A. {x｜－2≤x≤1} B. {x｜x≤－2} C. {x｜－2≤x＜1} D. {x｜x＞1} √ 解析： 　由≥2，得≥0，得≤0，得 得－2≤x＜1，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 数学·必修第一册 目录 3. （2024·上海高考3题）不等式x2－2x－3＜0的解集为 ⁠ ⁠. 解析：由x2－2x－3＝（x－3）（x＋1）＜0，得－1＜x＜3. {x｜－1＜x＜ 3} 1 2 3 4 5 6 7 8 数学·必修第一册 目录 4. （2019·天津高考10题）设x∈R，使不等式3x2＋x－2＜0成立的x的取值 范围为 ⁠. 解析：3x2＋x－2＜0变形为（x＋1）（3x－2）＜0，解得－1＜x＜，故使 不等式成立的x的取值范围为{x｜－1＜x＜}. {x｜－1＜x＜} 1 2 3 4 5 6 7 8 数学·必修第一册 目录 二、基本不等式 5. 〔多选〕（2022·新高考Ⅱ卷12题）若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则 （　　） A. x＋y≤1 B. x＋y≥－2 C. x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 数学·必修第一册 目录 解析： 　对于A、B：由x2＋y2－xy＝1，得（x＋y）2－3xy＝1，又xy＝ －，所以（x＋y）2－3＝1，即1 ＝＋≥，所以－2≤x＋y≤2，所以A不正 确，B正确；对于C、D：由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤，当 且仅当x＝y时取等号，所以x2＋y2≤2，所以C正确，D不正确.综上可知， 故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 数学·必修第一册 目录 6. 〔一题多解〕（2020·江苏高考12题）已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R）， 则x2＋y2的最小值是 ⁠. 解析：法一　由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋ ≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最 小值是. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 数学·必修第一册 目录 法二　4＝（5x2＋y2）·4y2≤＝（x2＋y2）2，则x2＋ y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最 小值是. 1 2 3 4 5 6 7 8 数学·必修第一册 目录 解析：依题意得＋＋＝＋＝＋≥2 ＝4，当且仅当即时取等号.因此，＋＋ 的最小值为4. 7. （2020·天津高考14题）已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的 最小值为 ⁠. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 数学·必修第一册 目录 8. 〔一题多解〕（2021·天津高考13题）若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小 值为 ⁠. 解析：法一　∵≥ ， ∴＋＋b＝＋＋＋≥4＝2，当且仅当＝＝＝时等 号成立，即a＝b＝时＋＋b取得最小值. 2 法二　∵a＞0，b＞0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2 ＝2. 当且仅当＝和＝b同时成立，即a＝b＝时等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 数学·必修第一册 目录 $