1.5.1 全称量词与存在量词(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦全称量词与存在量词，系统涵盖其定义、命题判断及真假辨析，通过团体操表演情境引入“所有”“每一个”等量词，以问题对比非命题与命题差异，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以数学抽象和逻辑推理为核心，采用“情境导入-问题驱动-例题解析-规律总结-训练巩固”闭环设计，如提能点中通过集合命题问题将含量词命题真假转化为集合关系，帮助学生提升逻辑思维，教师可直接使用结构化内容高效教学。

1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 第一章　集合与常用逻辑用语 1 课标要求 情境导入 1.理解全称量词、全称量词命题的定义（数学抽象）. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义（数学抽象）. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假（逻辑推理）. 　　学校为了迎接秋季田径运动会， 正在排练由1 000名学生参加的开幕 式团体操表演，这1 000名学生符合 下列条件： 　　（1）所有学生都来自高二年级； 　　（2）高二（1）班的全部学生参 加表演； 　　（3）每一个学生都有固定表演路线. 目 录 CONTENTS 知识点一　全称量词与全称量词命题 知识点二　存在量词与存在量词命题 提能点　由含量词命题的真假求参数范围 小结与自测 课时作业 知识点一　全称量词与全称量词命题 目录 4 问题　情境导入中的三个语句都是命题吗？三个语句中“所有”“全 部”“每一个”含义相同吗？ 提示：是；相同. 数学·必修第一册 目录 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给” 等 符号 ∀ 全称量词命题 含有 ⁠的命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为 “ ⁠” 全称量词　 ∀x∈M，p（x）　 数学·必修第一册 目录 提醒：有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出 来.例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行 四边形的对角线都互相平分”. 数学·必修第一册 目录 （链接教材P27例1）判断下列说法是否为命题？若是命题，是否为全 称量词命题，并判断其真假. （1）2x＋1是整数； 解： 2x＋1是整数不能判断真假，故不是命题. （2）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点； 解： 是命题；含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.因为在平 面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一 一对应的，所以该命题是真命题. 数学·必修第一册 目录 （3）自然数的平方大于或等于零； 解： 是命题；省略了全称量词，可以表示为∀n∈N，n2≥0.故是全称 量词命题，真命题. （4）∀x∈R，有｜x＋1｜＞1. 解： 是命题；且为全称量词命题，当x＝0时，不满足｜x＋1｜＞1， 所以“∀x∈R，有｜x＋1｜＞1”为假命题. 数学·必修第一册 目录 规律方法 判断一个语句是全称量词命题及其真假的思路 （1）判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有 的”“任意一个”“一切”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐 藏的，要仔细辨别； （2）判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个 元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立. 数学·必修第一册 目录 训练1　（1）〔多选〕下列全称量词命题中真命题有（　BC　） A. 负数不能开根号 B. 对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥0 C. 二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点 D. ∀x∈R，y∈R，都有x2＋｜y｜＞0 解析： 对于A：在实数范围内，负数只是不能开偶次方根，可以开奇 次方根，故A为假命题；对于B：对任意的实数a，b，a2＋b2≥0，故B为真 命题；对于C：因为Δ＝（－a）2－4×（－1）＝a2＋4＞0，所以二次函数y ＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点，故C为真命题；对于D：当x＝y＝0时， x2＋｜y｜＝0，故D为假命题.故选B、C. BC 数学·必修第一册 目录 （2）命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”，用数学符号表示 为 ⁠. 解析： 含有全称量词“任意一个”，用符号“∀”表示，“不小于 零”就是“≥0”，因此该命题用数学符号表示为“∀x∈R，x2＋2x＋ 1≥0”. ∀x∈R，x2＋2x＋1≥0 数学·必修第一册 目录 知识点二　存在量词与存在量词命题 目录 13 问题　阅读下面的例子，并回答提出的问题： （1）2x＋1＝3； （2）x能被2和3整除； （3）存在一个x∈R，使2x＋1＝3； （4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除. 以上语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么 关系？ 数学·必修第一册 目录 提示：（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题；语句（3）在（1）的基 础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句（4）在（2）的 基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使（3）（4）变 成了可以判断真假的陈述句. 数学·必修第一册 目录 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号 ∃ 存在量词命题 含有 ⁠的命题 形式 “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为 “ ⁠” 存在量词　 ∃x∈M，p（x）　 数学·必修第一册 目录 提醒：（1）从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存在 一些或至少一个元素具有某种性质的命题；（2）有些命题可能没有写 出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存 在量词命题. 数学·必修第一册 目录 （链接教材P28例2）下列命题是否为存在量词命题？若是，请指出存 在量词，并判断其真假. （1）存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0； 解： 是，存在量词是“存在一个”； 因为存在一个实数对（－1，－2），使得2×（－1）＋3×（－2）＋3＜ 0，所以存在量词命题“存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0”是真 命题. 数学·必修第一册 目录 （2）∃x∈R，（2x－3）2≥0； 解： 是，存在量词是“∃”； 因为∀x∈R，（2x－3）2≥0，所以存在量词命题“∃x∈R，（2x－3） 2≥0”是真命题. （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除； 解： 是，存在量词是“有些”； 因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，所以存在量词命题“有些 整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题. 数学·必修第一册 目录 （4）有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0. 解： 是，存在量词是“有一个”； 由于Δ＝4－4×4＜0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实根，所以存在量词命题 “有一个实数x，使x2＋2x＋4＝0”是假命题. 数学·必修第一册 目录 规律方法 判断一个语句是存在量词命题及其真假的思路 （1）判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有表示部分 的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别； （2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一 个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题. 数学·必修第一册 目录 训练2　（1）〔多选〕下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是 （　ACD　） A. 有些菱形是正方形 B. 若x＞2，则2x＋1＞5 C. ∃x∈R，x2－2x＋1≤0 D. ∃x∈R，x2－2x＋1＞0 解析： 对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满 足该条件，故A正确；对于B，等价于∀x＞2，则2x＋1＞5，这不是存在量 词命题，故B错误；对于C，当x＝1时x2－2x＋1＝1－2＋1＝0≤0，故C正 确；对于D，当x＝0时x2－2x＋1＝1＞0，故D正确.故选A、C、D. ACD 数学·必修第一册 目录 （2）用量词符号“∀”“∃”表示下列命题. ①有的实数不能写成小数形式： ⁠； ②凸n边形的外角和都等于360°： ⁠ ⁠. ∃x∈R，x不能写成小数形式 ∀x∈{x｜x是凸n边形}，x的外角和等 于360° 解析： ①∃x∈R，x不能写成小数形式；②∀x∈{x｜x是凸n边形}，x 的外角和等于360°. 数学·必修第一册 目录 提能点　由含量词命题的真假求参数范围 目录 24 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠⌀， 若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围. 【破题思维】 题目信息 信息转化 B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠⌀ 联想到集合为非空集合的条件m＋ 1≤2m－1 命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题 联想到“全称量词命题为真”的含 义，可转化为B⊆A 数学·必修第一册 目录 解：由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，因为B≠⌀， 所以解得2≤m≤3. 即m的取值范围为{m｜2≤m≤3}. 数学·必修第一册 目录 变式　把本例中命题p改为“∃x∈A，x∈B”，则m的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：p为真，则A∩B≠⌀，因为B≠⌀，所以m≥2.所以 或解得2≤m≤4.即m的取值范围 为{m｜2≤m≤4}. {m｜ 2≤m≤4}　 数学·必修第一册 目录 规律方法 依据含量词命题的真假求参数范围的方法 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意； （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关 系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取 值范围. 数学·必修第一册 目录 训练3　若命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范围. 解：∵命题“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题， ∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根， 则Δ＝（－4）2－4a≥0，解得 a≤4. 即实数a的取值范围为{a｜a≤4}. 数学·必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 30 数学·必修第一册 目录 1. 下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方法的是（　　） A. 存在一个实数x，使得x2＞3成立 B. 有些实数x，使得x2＞3成立 C. 对于任意实数x，都有x2＞3成立 D. 至少存在一个实数x，使得x2＞3成立 √ 解析： 　“∀x∈R，x2＞3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词. 数学·必修第一册 目录 2. 〔多选〕下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（　　） A. 所有的正方形都是矩形 B. 有些梯形是平行四边形 C. ∃x∈R，3x＋2＞0 D. 至少有一个整数m，使得m2＜1 √ √ 解析： A是全称量词命题，B、C、D为存在量词命题，显然B为假命 题；C选项，取x＝0，则3×0＋2＞0，为真命题；D选项，取m＝0，则02＜ 1，为真命题. 数学·必修第一册 目录 3. 已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围 是 ⁠. 解析：当x∈R时，x2≥0，若“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0. {m｜m≥0} 数学·必修第一册 目录 4. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断 真假： （1）存在一个实数x，使等式x2＋2x－3＝0成立； 解： 存在量词命题.因为x2＋2x－3＝0，所以x1＝－3，x2＝1，即存在 －3或1，使等式x2＋2x－3＝0成立.所以该命题为真命题. （2）每个二次函数的图象都与x轴相交. 解： 全称量词命题.如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题 为假命题. 数学·必修第一册 目录 课时作业 >> （时间：60分钟　满分：101分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 36 1. 下列命题中是存在量词命题的是（　　） A. ∀x∈R，x2＞0 B. ∃x∈R，x2≤0 C. 平行四边形的对边平行 D. 矩形的任一组对边相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　A含有全称量词∀，为全称量词命题；B含有存在量词∃，为存在 量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有的，为全称量词命题；D省略 了全称量词所有的，为全称量词命题，故选B. 数学·必修第一册 目录 2. “关于x的不等式ax＋b＞0有解”等价于（　　） A. ∃x∈R，使得ax＋b＞0成立 B. ∃x∈R，使得ax＋b≤0成立 C. ∀x∈R，ax＋b＞0成立 D. ∀x∈R，ax＋b≤0成立 √ 解析： 　“关于x的不等式ax＋b＞0有解”等价于“∃x∈R，使得ax＋b＞ 0成立”.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 3. 下列四个命题中，是真命题的为（　　） A. 任意x∈R，有x2＋3＜0 B. 任意x∈N，有x2＞1 C. 存在x∈Z，使x5＜1 D. 存在x∈Q，使x2＝3 √ 解析： 　由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，故A为假命 题；由于0∈N，当x＝0时，x2＞1不成立，故B为假命题；由于－1∈Z，当 x＝－1时，x5＜1，故C为真命题；由于使x2＝3成立的数只有±，而它们 都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 4. 已知命题p：存在实数2≤x≤4，使2x＋5－m＜0成立，若命题p为真命 题，则实数m的取值范围为（　　） A. m＞9 B. m＞13 C. m＞10 D. m＜－12 √ 解析： 　满足题意时，应存在实数2≤x≤4，使m＞2x＋5，令y＝2x＋5， 则m＞ymin＝9，所以m＞9.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 5. 〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　） A. ∀x∈R，｜x＋1｜＞0 B. ∀x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0 C. ∃x∈N，使≤x D. 不存在x∈N*，使x为29的约数 √ √ 解析： 　∀x∈R，｜x＋1｜＞0，因为当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，故A 错误；∀x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0，即x＞－，故B正确；∃x∈N，使 ≤x，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D 错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 6. 〔多选〕下列命题是真命题的有（　　） A. 所有平行四边形的对角线都互相平分 B. 若x，y是无理数，则xy一定是有理数 C. 若m＜1，则关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根 D. 两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比 √ √ 解析： 　易知A是真命题；当x＝，y＝时，xy＝，是无理数， 所以B是假命题；由关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根，得 解得0＜m＜1，所以C是假命题；两个相似三角形的周 长之比等于它们的对应边之比，所以D是真命题.故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 7. 命题“有些负实数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“∃”或“∀” 可表述为 ⁠. 解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述. ∃x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 8. 若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是 ⁠. 解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3. {a｜a≤3} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 9. （10分）用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真 假： （1）有理数都能写成小数形式； 解： ∀a∈Q，a都能写成小数形式.此命题是真命题. （2）不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根； 解： ∀m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根. 当m＝－1时，方程无实根，此命题是假命题. （3）存在一个实数x，使x2＋x＋4＝0. 解： ∃x∈R，x2＋x＋4＝0.因为x2＋x＋4＝（x＋）2＋＞0恒成立， 所以此命题是假命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 10. （13分）已知M＝{x｜a≤x≤a＋1}. （1）“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； 解： “∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－1}. （2）“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围. 解： “∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2， 所以实数a的取值范围是{a｜a＞－2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 11. 已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“∀a∈M，a∉A”为真命题的 集合M是（　　） A. {a｜a≥－3} B. {a｜a＞－3} C. {a｜a≤－3} D. {a｜a＜－3} √ 解析： 因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对∀a∈M，都有 a∉A，所以a＜－3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 12. 〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　） A. ∃x∈R，x≤0 B. 至少有一个整数，它既不是合数也不是质数 C. ∃x∈{x｜x是无理数}，x＋2 026是无理数 D. ∃a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2＜0 √ √ √ 解析： 　∃x∈R，x≤0，A为真命题；至少有一个整数，它既不是合 数也不是质数，例如1满足条件，B为真命题；∃x∈{x｜x是无理数}，x＋2 026是无理数，例如x＝π，C为真命题；因为a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1） 2＋（b－1）2≥0，所以D为假命题.综上可得，A、B、C为真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 13. 能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的 一组有序数对（a，b）为 ⁠. 解析：由题意可知（，），（，），（，）等等都符合题意. （，）（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 14. 已知命题p：∀x∈{x｜1≤x≤2}，x＋1≥a，命题q：∃x∈{x｜－ 1≤x≤1}，使得2x＋a－1＞0成立.若p是真命题，q是假命题，则实数a的取 值范围为 ⁠. {a｜a≤－1}　 解析：当p是真命题时，a≤（x＋1）min，又1≤x≤2，所以a≤2.当q为真命 题时，则a＞（1－2x）min，由－1≤x≤1，得a＞－1.故当p真q假时，有 得a≤－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 15. （15分）设q（x）：｜x－1｜＝1－x. （1）写出q（1），q（2），并判断它们是不是真命题； 解： q（1）：｜1－1｜＝1－1，真命题. q（2）：｜2－1｜＝1－2，因为｜2－1｜＝1，1－2＝－1，所以｜2－1｜ ≠1－2，假命题. （2）写出“∀a∈R，q（a）”，并判断它是不是真命题； 解： ∀a∈R，｜a－1｜＝1－a，由（1）知，q（2）为假命题，所以 “∀a∈R，｜a－1｜＝1－a”为假命题. （3）写出“∃a∈R，q（a）”，并判断它是不是真命题. 解： ∃a∈R，｜a－1｜＝1－a，由（1）知，q（1）为真命题，所以 “∃a∈R，｜a－1｜＝1－a”为真命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 $