1.3 第2课时 全集、补集及综合应用(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合的全集、补集概念及综合运算，通过学习小组学生获奖情境导入，衔接集合交并运算基础，构建从具体到抽象的集合运算知识支架。 其亮点在于融合直观想象（Venn图、数轴辅助理解）与逻辑推理（补集性质推导、综合运算分析），结合实例（如例1用列举法与描述法求补集、提能点参数求解）及容斥原理拓展，小结归纳方法与性质，助力学生发展数学思维，教师可系统开展教学提升效率。

1.3　集合的基本运算 第二课时　全集、补集及综合应用 第一章　集合与常用逻辑用语 1 课标要求 情境导入 1.在具体情境中，了解全集的含义 （数学抽象）. 2.理解在给定集合中一个子集的补 集的含义，能求给定子集的补集 （逻辑推理、数学运算）. 3.能使用Venn图表达集合全集、子 集与它的补集的关系，体会图形对 理解抽象概念的作用（直观想象）. 　　某学习小组学生的集合为U＝ {王明，曹勇，王亮，李冰，张军， 赵云，冯佳，薛香芹，钱忠良，何 晓慧}，其中在学校应用文写作比赛 与技能大赛中获得过金奖的学生集 合为P＝{王明，曹勇，王亮，李 冰，张军}.那么，没有获得金奖的 学生有哪些？ 目 录 CONTENTS 知识点一　全集与补集 知识点二　集合交、并、补的综合运算 提能点　利用集合间的关系求参数 小结与自测 教材挖掘　容斥原理 课时作业 知识点一　全集与补集 目录 4 问题　情境导入中，若U＝{学习小组的学生}，A＝{学习小组学生中获得 过金奖的学生}，B＝{学习小组学生中没有获得过金奖的学生}. （1）集合U，A，B三者有何关系？ 提示：A⊆U，B⊆U，且A∪B＝U. （2）集合B中的元素与U和A有何关系？ 提示：集合B中的所有元素属于U，但不属于A. 数学·必修第一册 目录 1. 全集 （1）定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ⁠ ，那么就称这个集合为全集； （2）记法：全集通常记作U. 所有元 素　 数学·必修第一册 目录 【微思考】 全集一定是实数集吗？ 提示：不一定.全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在 整数范围内研究问题，Z是全集；在具体题目中，全集一般是给定的. 数学·必修第一册 目录 2. 补集 （1）补集的概念 提醒：∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且（∁UA）⊆U； ③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. 数学·必修第一册 目录 （2）补集的运算性质 ∁UU＝⌀，∁U⌀＝U；∁U（∁UA）＝A；A∪（∁UA）＝U；A∩（∁UA）＝⌀. 数学·必修第一册 目录 （1）（链接教材P13例5）设U＝{x｜x是小于7的自然数}，A＝{2， 3，4}，B＝{1，5，6}，则∁UA＝ ，∁UB＝ ⁠ ⁠； 解析：（1）根据题意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以∁UA＝{0， 1，5，6}，∁UB＝{0，2，3，4}. {0，1，5，6}　 {0，2，3， 4} 数学·必修第一册 目录 （2）若集合A＝{x｜－1≤x＜1}，当U＝{x｜x≤2}时，∁UA＝ ⁠ ；当U＝{x｜－4≤x≤1}时，∁UA＝ ⁠ ⁠. 解析： 当U＝{x｜x≤2}时，把集合U和A表示在数轴 上，如图1所示. 由图1知∁UA＝{x｜x＜－1或1≤x≤2}；当U＝{x｜－4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，如图2所示. 由图2知∁UA＝{x｜－4≤x＜－1或x＝1}. {x｜x＜－ 1或1≤x≤2} {x｜－4≤x＜－1或x ＝1} 数学·必修第一册 目录 规律方法 求集合补集的2种方法 （1）当集合是用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解； （2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析 求解. 数学·必修第一册 目录 训练1　（1）（2026·南通月考）设全集U＝{－1，0，1，2，3，4，5}， 集合M满足∁UM＝{1，3}，则（　A　） A. 2∈M B. 3∈M C. 4∉M D. 5∉M 解析： 依题意得M＝{－1，0，2，4，5}，故A正确，B、C、D错误. A （2）设集合U＝R，M＝{x｜x＞2，或x＜－2}，则∁UM＝（　A　） A. {x｜－2≤x≤2} B. {x｜－2＜x＜2} C. {x｜x＜－2，或x＞2} D. {x｜x≤－2，或x≥2} A 解析：画出数轴如图， 可知∁UM＝{x｜－2≤x≤2}. 数学·必修第一册 目录 知识点二　集合交、并、补的综合运算 目录 14 已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝{x｜－ 3≤x≤2}，求（∁UA）∪B，A∩（∁UB），∁U（A∪B）. 解：如图所示. 因为A＝{x｜－2＜x＜3}， B＝{x｜－3≤x≤2}，U＝{x｜x≤4}， 所以∁UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}， ∁UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}， A∪B＝{x｜－3≤x＜3}. 所以（∁UA）∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}， A∩（∁UB）＝{x｜2＜x＜3}， ∁U（A∪B）＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}. 数学·必修第一册 目录 规律方法 集合混合运算的一般思路 （1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式； （2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算； （3）注意对运算结果进行检验. 数学·必修第一册 目录 训练2　（1）已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x｜∈A}，则∁A （A∩B）＝（　D　） A. {1，4，9} B. {3，4，9} C. {1，2，3} D. {2，3，5} 解析： B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A（A∩B）＝{2，3，5}.故选D. D 数学·必修第一册 目录 （2）如图，设全集U＝R，M＝{x｜x＜－1}，N＝{x｜－3＜x＜0}，则图 中的阴影部分表示的集合 ⁠. 解析： 图象表示的集合为（∁UM）∩N＝{x｜x≥－1}∩{x｜－3＜x＜0}＝{x｜－1≤x＜0}. {x｜－1≤x＜0}　 数学·必修第一册 目录 提能点　利用集合间的关系求参数 目录 19 提能　利用集合间的关系求参数 〔一题多解〕设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U ＝R，且（∁UA）∩B＝⌀，求实数m的取值范围. 【破题思维】 题目信息 信息转化 （∁UA）∩B＝⌀ 联想到∁UA与B没有公共元素 数学·必修第一册 目录 解：法一　易知A＝{x｜x≥－m}， 所以∁UA＝{x｜x＜－m}. 又B＝{x｜－2＜x＜4}，且（∁UA）∩B＝⌀， 所以－m≤－2，则m≥2. 故实数m的取值范围是{m｜m≥2}. 法二　由（∁UA）∩B＝⌀，知B⊆A， 又B＝{x｜－2＜x＜4}，A＝{x｜x≥－m}， 所以－m≤－2，则m≥2. 故实数m的取值范围是{m｜m≥2}. 数学·必修第一册 目录 变式1　若将本例中的条件“（∁UA）∩B＝⌀”改为“（∁UA）∩B≠⌀”， 其他条件不变，则m的取值范围为 ⁠. 解析：由例3知∁UA＝{x｜x＜－m}，B＝{x｜－2＜x＜4}.∵（∁UA） ∩B≠⌀，∴－m＞－2，则m＜2.因此实数m的取值范围是{m｜m＜2}. {m｜m＜2}　 数学·必修第一册 目录 变式2　若将本例中的条件“（∁UA）∩B＝⌀”改为“（∁UB）∪A＝R”， 其他条件不变，则m的取值范围为 ⁠. 解析：易得A＝{x｜x≥－m}，∁UB＝{x｜x≤－2，或x≥4}.又（∁UB）∪A ＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.故m的取值范围为{m｜m≥2}. {m｜m≥2}　 数学·必修第一册 目录 规律方法 由集合的补集求参数的方法 （1）如果所给集合是有限集，由补集求参数时，可利用补集定义求解； （2）如果所给集合是无限集，求解与集合交、并、补运算有关的参数问 题时，一般利用数轴分析求解. 数学·必修第一册 目录 训练3　（1）已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}，∁UM＝{－ 1}，则实数x的值为（　A　） A. 2 B. －2 C. 2或－2 D. －1 解析： 由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解 得x＝2.故选A. （2）（2026·宁波质检）已知全集U＝R，A＝{x｜1≤x＜b}，∁UA＝{x｜x ＜1，或x≥2}，则实数b＝ ⁠. A 2 解析： 因为∁UA＝{x｜x＜1，或x≥2}，所以A＝{x｜1≤x＜2}.所以b ＝2. 数学·必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 26 数学·必修第一册 目录 1. 若全集U＝{x∈R｜－2≤x≤2}，A＝{x∈R｜－2≤x≤0}，则∁UA＝ （　　） A. {x｜0＜x＜2} B. {x｜0≤x＜2} C. {x｜0＜x≤2} D. {x｜0≤x≤2} √ 解析： 　如图，由图可得∁UA＝{x｜0＜x≤2}.故选C. 数学·必修第一册 目录 2. 若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则∁U （M∪N）＝（　　） A. {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} √ 解析： 　∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}， ∴M∪N＝{1，2，3}，∴∁U（M∪N）＝{4}.故选D. 数学·必修第一册 目录 3. 已知集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}，∁AB＝{1，3，5}，则集合B＝（　　） A. {2，4} B. {0，2，4} C. {0，1，3} D. {2，3，4} √ 解析： 　根据题意，集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，5}， 由∁AB＝{1，3，5}，得B＝∁A（∁AB）＝{0，2，4}.故选B. 数学·必修第一册 目录 4. 设全集为R，A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，求∁RB，∁R （A∪B）. 解：把集合A，B在数轴上表示，如图. 由图知∁RB＝{x｜x≤2或x≥10}， A∪B＝{x｜2＜x＜10}， 所以∁R（A∪B）＝{x｜x≤2或x≥10}. 数学·必修第一册 目录 教材挖掘　容斥原理 目录 32 由教材第15页“阅读与思考”，我们知道在研究集合时，经常遇到有关集 合中元素的个数问题，一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，将A中 的元素个数记为card（A）＝n，集合B＝{b1，b2，…，bm}，将B中的元素 个数记为card（B）＝m，关于集合中的元素个数有如下关系： （1）二元容斥原理：card（A∪B）＝card（A）＋card（B）－card （A∩B）； （2）三元容斥原理：card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card （C）－card（A∩B）－card（C∩A）－card（B∩C）＋card （A∩B∩C）. 数学·必修第一册 目录 〔一题多解〕某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96％的学生喜 欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既 喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（　　） A. 62％ B. 56％ C. 46％ D. 42％ √ 解析： 法一　设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占 该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜 欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则（60％－x）＋（82％－x）＋x＝96％，解得x＝46％. 数学·必修第一册 目录 法二　设A＝{喜欢足球}，B＝{喜欢游泳}.由题意得，card（A）＝60％， card（B）＝82％，card（A∪B）＝96％，故card（A∩B）＝card（A）＋ card（B）－card（A∪B）＝60％＋82％－96％＝46％. 数学·必修第一册 目录 【迁移应用】 〔一题多解〕某年级先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的： 数学203人，物理179人，化学165人；至少参加两科的：数学、物理143 人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有90人.则参加竞 赛的学生总人数是（　　） A. 280 B. 281 C. 282 D. 283 √ 解析： 法一　由题意画出Venn图，如图所示，则参加竞 赛的学生总人数是34＋53＋26＋7＋90＋29＋42＝281. 数学·必修第一册 目录 法二　由题意，设A，B，C分别表示参加数学竞赛、物理竞赛和化学竞赛 的学生构成的集合，则card（A）＝203，card（B）＝179，card（C）＝ 165，card（A∩B）＝143，card（B∩C）＝97，card（A∩C）＝116，card （A∩B∩C）＝90，因此card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card （C）－card（A∩B）－card（B∩C）－card（A∩C）＋card（A∩B∩C） ＝203＋179＋165－143－97－116＋90＝281.所以参加竞赛的学生总人数 是281. 数学·必修第一册 目录 课时作业 >> （时间：60分钟　满分：101分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 38 1. 设U＝{x∈N｜1≤x≤6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}，则∁UA＝ （　　） A. {4，5} B. {1，2，3，4} C. {1，4，5，6} D. {1，6} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　U＝{x∈N｜1≤x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{x｜（x－ 2）（x－3）＝0}＝{2，3}，所以∁UA＝{1，4，5，6}.故选C. 数学·必修第一册 目录 2. 设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（∁RS）∪T＝ （　　） A. {x｜－2＜x≤1} B. {x｜x≤－4} C. {x｜x≤1} D. {x｜x≥1} √ 解析： 　因为S＝{x｜x＞－2}，所以∁RS＝{x｜x≤－2}，又T＝{x｜－ 4≤x≤1}，所以（∁RS）∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜x≤1}. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 3. 设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋3}，∁UA＝{1}，则a＝ （　　） A. －3 B. 3 C. －1 D. 1 √ 解析： 　∵A∪（∁UA）＝U，∴a2＝1且a＋3＝2，∴a＝－1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 4. 已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，则如图 所示的阴影部分表示的集合为（　　） A. {x｜0≤x＜1} B. {x｜0＜x≤3} C. {x｜0＜x≤1} D. {x｜1≤x≤3} √ 解析： 　因为A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，所以A∪B＝{x｜ x＞1或x≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为∁U（A∪B）＝{x｜0＜ x≤1}.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 5. 〔多选〕设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0， 1，3}，则（　　） A. M∩N＝{0，1} B. ∁UN＝{4} C. M∪N＝{0，1，3，4} D. M∩（∁UN）＝{4} √ √ √ 解析： 　因为U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，4}，N＝{0，1， 3}，所以M∩N＝{0，1}，故A正确；∁UN＝{2，4}，故B不正确；M∪N＝ {0，1，3，4}，故C正确；M∩∁UN＝{0，1，4}∩{2，4}＝{4}，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 6. 设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－ 4x＋3＝0}，则∁U（A∪B）＝ ⁠. 解析：由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，所以集合B＝{1，3}，则A∪B＝ {－1，1，2，3}，又全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以∁U（A∪B） ＝{－2，0}. {－2，0}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 7. 设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角 三角形}，则（∁UA）∩（∁UB）＝ ⁠. 解析：根据三角形的分类可知，∁UA＝{x｜x是直角三角形或钝角三角 形}，∁UB＝{x｜x是直角三角形或锐角三角形}，所以（∁UA）∩（∁UB）＝ {x｜x是直角三角形}. {x｜x是直角三角形}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 8. 已知全集U＝{1，2，3，4}，且∁U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A∩ （∁UB）＝ ⁠. 解析：因为全集U＝{1，2，3，4}，且∁U（A∪B）＝ {4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，作出Venn 图，如图所示，所以A∩（∁UB）＝{3}. {3}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 9. （10分）设全集U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜ 2≤x≤8}.求∁UA，（∁UA）∩B，A∩B，∁U（A∩B）. 解：因为U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜2≤x≤8}， 所以∁UA＝{x｜－2≤x≤2，或x≥10}， （∁UA）∩B＝{2}，A∩B＝{x｜2＜x≤8}， ∁U（A∩B）＝{x｜－2≤x≤2，或x＞8}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 10. （13分）若集合A＝{x｜－2＜x＜－1或x＞1}，全集U＝R. （1）求∁UA； 解： 因为A＝{x｜－2＜x＜－1或x＞1}， U＝R，所以∁UA＝{x｜x≤－2或－1≤x≤1}. （2）若B＝{x｜x≤a}，B⊆∁UA，求a的取值范围. 解： 如图，当a≤－2时，B⊆∁UA， 所以a≤－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 11. 〔多选〕可以推出A⊆B的是（　　） A. A∩B＝B B. A∩（∁UB）＝⌀ C. A∪B＝B D. （∁UB）⊆（∁UA） √ √ √ 解析： 　对于A，因为A∩B＝B，所以B⊆A，故错误；对于B，当A∩ （∁UB）＝⌀时，有A⊆B，反之也成立，故正确；对于C，当A∪B＝B时， 有A⊆B，反之也成立，故正确；对于D，若（∁UB）⊆（∁UA），则A⊆B， 反之也成立，故正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 12. 〔多选〕已知全集U，A，B是U的非空子集，且B⊆（∁UA），则必有 （　　） A. A∩B＝⌀ B. A⊆（∁UB） C. A⊇（∁UB） D. A⊆B √ √ 解析： 　由题意作出Venn图，根据Venn图可得，A∩B＝⌀，A正确，D 错误；A⊆（∁UB），B正确，C错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 13. 已知集合A＝{x｜x2＋ax＋12b＝0}，B＝{x｜x2－ax＋b＝0}，满足 （∁RA）∩B＝{2}，A∩（∁RB）＝{4}，则a＋b＝ ⁠. 解析：由（∁RA）∩B＝{2}和A∩（∁RB）＝{4}，知2∈B，但2∉A；4∈A， 但4∉B. 将x＝2和x＝4分别代入B，A两集合中的方程得 即解得a＝，b＝－，则a＋b＝ －. －　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 14. 某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同 学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组， 10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥 数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三个 小组都参加的有3人，则该班学生人数为 ⁠. 解析：作出Venn图，如图所示，可知5人只参加奥数小 组，2人只参加编程小组，2人只参加书法小组，同时参 加奥数和编程小组但不参加书法小组的有9人，同时参加 编程和书法小组但不参加奥数小组的有2人，同时参加奥 数和书法小组但不参加编程小组的有3人，三个小组都参加的有3人，则该班学生人数为5＋2＋2＋2＋3＋3＋9＝26. 26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 15. （15分）已知集合A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{x｜a≤x≤a＋3}. （1）若（∁RA）∪B＝R，求a的取值范围； 解： 因为A＝{x｜0≤x≤2}， 所以∁RA＝{x｜x＜0，或x＞2}. 因为（∁RA）∪B＝R， 所以 解得－1≤a≤0. 所以a的取值范围为{a｜－1≤a≤0}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 （2）是否存在实数a使（∁RA）∪B＝R且A∩B＝⌀？ 解： 因为A∩B＝⌀， 所以a＞2或a＋3＜0， 解得a＞2或a＜－3. 由（1）知，若（∁RA）∪B＝R，则－1≤a≤0， 故不存在实数a使（∁RA）∪B＝R且A∩B＝⌀. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目录 $