1.4充分条件与必要条件 （1 ）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦充分条件与必要条件，通过“小明迟到与闹钟没响”的生活情境导入，复习命题定义、结构及逆命题等旧知，为新知学习搭建认知支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于以生活情境激发兴趣，用数学眼光观察现实问题，通过命题真假判断、集合包含关系分析培养逻辑推理的数学思维，借助符号（p⇒q）和集合语言表达条件关系。例题与练习结合帮助学生深化理解，教师可利用结构化内容提升教学效率。

高2022级 数学 必修第一册 1.4 充分条件与必要条件(1) 1 导入新知 今天早上，小明迟到了。 老师问小明：“你为什么迟到？” 小明回答：“因为闹钟没响。” 老师又问：“闹钟没响一定会迟到吗？” 图片来源：百度图片 小明想了想，说： “也不一定，如果我早起，或者妈妈叫醒我，也可能不会迟到。” 老师接着问：“那迟到的原因一定是闹钟没响吗？” 小明说：“也不一定，可能是路上堵车，或者我起床晚了。” 从这个小故事咱们发现一问题，思考“闹钟没响”与“迟到”之间的关系，大家尝试用自己的语言描述这种关系 复习回顾 3 复习回顾 4 5 导入新知 思考: 下列“若 p ，则 q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ (1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3) 若x2 -4x+3=0，则x=1； (4) 若平面内两条直线a和b均垂直于直线 l，则a∥b． 条件 p 通过推理可以得出结论 q，所以(1) 、(4)是真命题 条件 p 通过推理不能得出结论 q，所以(2) 、(3)是假命题 判定命题为真命题，要依据定义、定理或常用结论能由 p 出发推出 q 成立； 判定命题为假命题，只需举出一个反例即可. 学习新知 上述命题（1）、（4）中的 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件．而命题（2）、（3）中的 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件． 充分条件：有它就行 必要条件：没它不行 认识新知 若 ，那么 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件，这是同时成立的；不会出现 p 是 q 的充分条件，而 q 却不是 p 的必要条件． 故要判断 p、q 的充分必要关系，得先判断“若 p 则 q”是否为真命题，即判断 是否成立． 应用新知 例1：下列“若 ,则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？ (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若则 (5)若则 (6)若为无理数，则为无理数. 解：(1)这是一条平行四边形的判定定理，所以是的充分条件. (2)这是一条相似三角形的判定定理，所以是的充分条件. (3)这是一条菱形的性质定理，所以是的充分条件. 解：(4)由于，但，所以不是的充分条件. (5)由等式的性质知，所以是的充分条件. (6)为无理数，但为有理数，，所以不是的充分条件. 应用新知 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 11 a是b 的充分条件 a是b 的必要条件 a 的充分条件是b a 的必要条件是b 充分条件与判定定理 必要条件与性质定理 12 新知探究2 探究2 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分条件， 则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要条件呢？ B A 若p是q的充分条件：，则： 即A⊆B； A B 若p是q的必要条件：，则： 即B⊆A； 小范围 大范围 新知2 充分、必要条件与集合的关系 2. 充分、必要条件与集合的关系： B A (1)若p是q的充分条件：，则： 即A⊆B； A B (2)若p是q的必要条件：，则： 即B⊆A； 小范围 大范围 记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} (3)若p不是q的充分条件：，则A⊈B； (4)若p不是q的必要条件：，则B⊈A； 例1 使x>3成立的一个充分条件是（ ） A.x>4 B.x>0 C.x>2 D.x<2 解：选项是使x>3成立的充分条件，即选项是x>3的子集，选项是小范围； 所以只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3. A 例2 使x>1成立的一个必要条件是（ ） A.x>0　　 B.x>3 　　 C.x>2 　　 D.x<2 解：选项是使x>3成立的必要条件，即x>3是选项的子集，x>3是小范围； 所以只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出. A 典例分析 例3 已知p：实数x满足 ，q：实数x满足－2≤x≤3，若p是q的充分条件，求实数的取值范围? 练习1 (多选)下列说法不正确的是（ ） A.“x>5”是“x>4”的充分条件 B.“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件 C.“－2<x<2”是“x<2”的必要条件 D.x2－3x＋2＝0是x＝1的必要条件 解：B选项中，由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，故B不正确； C选项中，“－2<x<2”是“x<2”的充分条件，故C不正确. BC ∅ 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解． 变式1：下列命题中，p是q的充分条件的是________． ① p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ② p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③ p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． 【解析】 ①∵(x－2)(x－3)＝0， ∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0. ∴p不是q的充分条件． ②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件． ③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件． 【练习2】已知集合P＝{x|－2<x<4}， Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}． 若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围． 【解析】 由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集． 当3m－2>5m＋2，即m<－2时，Q＝ ，满足题意， 当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时，由题意得 解得0<m<，综上，m的取值范围是. $