1.2 集合间的基本关系(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦集合间的基本关系，涵盖子集、真子集、空集的定义及性质。通过2026年高一新生班级集合的情境导入，衔接集合基本概念，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解包含与相等关系。 其亮点在于运用Venn图、数轴等直观工具，结合问题探究（如元素与子集个数规律）培养数学抽象与直观想象。通过分层次例题及变式训练，强化逻辑推理，助力学生掌握参数范围求解。学生能深化理解，教师可获系统教学资源，提升教学效率。

1.2　集合间的基本关系 第一章　集合与常用逻辑用语 1 课标要求 情境导入 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集（数学抽象、逻辑推理）. 2.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用（数学抽象、直观想象）. 3.在具体情境中，了解空集的含义（数学抽象）. 　　2026年开学季，我校高一新生组成集合A，其中高一（1）班的50位新生组成集合B，那么，集合A与集合B有什么关系呢？ 目 录 CONTENTS 知识点一　子集 知识点二　真子集与空集 提能点　由集合间的关系求参数（范围） 小结与自测 课时作业 教材挖掘　子集个数的探究 知识点一　子集 目录 4 问题　观察下面两个实例，回答问题： ①集合A＝{0，1，2}，B＝{0，1，2，3}； ②集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{偶数}. 上述两个实例中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？集合B中的元素 都是集合A中的元素吗？ 提示：集合A中的元素都是集合B中的元素；①中集合B中的元素0，1，2是 A中的元素，但3∉A. ②中集合B中的元素都是A中的元素. 数学·必修第一册 目录 1. Venn图：用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图. 2. 子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素 都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 ⁠ 记法与 读法 记作 （或B⊇A），读作“ ”（或 “B包含A”） 封闭曲线　 子集　 A⊆B　 A包含于B　 数学·必修第一册 目录 图示 结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 ⁠； （2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那 么 ⁠ 提醒：“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元 素，即由任意x∈A，能推出x∈B. A⊆A　 A⊆C　 数学·必修第一册 目录 【微思考】 符号“∈”与“⊆”有什么不同？ 提示：符号“∈”表示元素与集合之间的关系，“⊆”表示集合与集合之 间的关系. 3. 集合相等 一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何 一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 .也 就是说，若A⊆B，且B⊆A，则 ⁠. 提醒：集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致. A＝B　 A＝B　 数学·必修第一册 目录 （链接教材P9练习3题）判断下列两个集合之间的关系： （1）A＝{1，2，3}，B＝{x｜（x－1）（x－2）·（x－3）＝0}； 解： B＝{x｜（x－1）（x－2）（x－3）＝0}＝{1，2，3}＝A. （2）A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}； 解： 集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合 A，B如图所示，由图可知A⊆B. （3）A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}； 解： ∵A＝{x｜x是等边三角形}，B＝{x｜x是等腰三角形}， 又∵等边三角形也是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形， ∴A⊆B. 数学·必修第一册 目录 （4）A＝{－1，1}，B＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－1）， （1，1）}. 解： 集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与 B之间无包含关系. 数学·必修第一册 目录 规律方法 判断集合间关系的常用方法 数学·必修第一册 目录 训练1　（1）已知A＝{x｜x是正数}，B＝{x｜x是正整数}，C＝{x｜x是实 数}，那么A，B，C之间的关系是（　B　） A. A⊆B⊆C B. B⊆A⊆C C. C⊆A⊆B D. A＝B⊆C 解析： 集合A，B，C的关系如图. B 数学·必修第一册 目录 解析：集合M＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，1∈M，A错误；－1∈M， 元素与集合不能用⊆符号，B错误；根据子集的定义，有{－1， 1}⊆M，C正确；集合{－1，1}不是集合M中的元素，不能用∈符号， D选项错误.故选C. （2）已知集合M＝{x｜x2－1＝0}，则（　C　） A. 1∉M B. －1⊆M C. {－1，1}⊆M D. {－1，1}∈M C 数学·必修第一册 目录 知识点二　真子集与空集 目录 14 问题　观察下面两个例子，回答问题： ①集合A＝{1，5，6}，B＝{5，6}； ②集合M＝{x∈R｜x2－2x＋2＝0}. （1）实例①中，集合A中的元素都是集合B中的元素吗？集合B中的元素都 是集合A中的元素吗？ 提示：不全是.1∈A，但1∉B；集合B中的元素都是集合A中的元素. （2）集合M中有多少个元素？ 提示：集合M中没有元素. 数学·必修第一册 目录 1. 真子集 定义 如果集合A⊆B，但 元素x∈B，且x∉A，就称集合 A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⫋B（或B⫌A），读作“ ”（或“B 真包含A”） 图示 存在　 A真包含于B　 数学·必修第一册 目录 提醒：在真子集的定义中，A⫋B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B， 但x∉A. 数学·必修第一册 目录 2. 集合间关系的性质 对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A C；若A⊆B且A≠B，则 A B. 3. 空集 定义 我们把 ⁠的集合叫做空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的 ，即⌀⊆A 特性 空集只有一个子集，即它的本身，⌀⊆⌀；若A≠⌀，则 ⌀ ⁠A ⊆　 ⫋　 不含任何元素　 子集　 ⫋　 数学·必修第一册 目录 【微思考】 （1）⌀，{⌀}，{0}，0四者有什么关系？ 提示：⌀是不含任何元素的集合；{⌀}表示集合中含有⌀这样一个元素；{0} 是含有一个元素0的集合.0∈{0}，0∉⌀，⌀⫋{0}，⌀⫋{⌀}. （2）能不能说空集是任何集合的真子集？ 提示：不能，空集不是空集的真子集，但能说空集是任何非空集合的 真子集. 数学·必修第一册 目录 （链接教材P8例1）已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}. （1）写出集合A的子集、真子集； 解： A的子集为⌀，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为⌀，{0}，{1}. （2）求集合B的子集数、真子集数和非空真子集数. 解： B的子集为⌀，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0， 1}，{－1，0，1}. 所以B的子集数为8，真子集数为7，非空真子集数为6. 数学·必修第一册 目录 规律方法 求集合子集、真子集个数的3个步骤 提醒：要注意两个特殊的子集：⌀和本身. 数学·必修第一册 目录 训练2　已知集合A⫋{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合有 （　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 √ 解析： 　满足条件的集合A可以是{1}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}， 共有5个. 数学·必修第一册 目录 提能点　由集合间的关系求参数（范围） 目录 23 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，集合B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}.是否 存在实数m使得A⊆B，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说 明理由. 【破题思维】 题目信息 信息转化 集合A＝{x｜－2≤x≤5}，集合B＝ {x｜m＋1≤x≤2m－1}，A⊆B 联想到子集的定义，集合A中的元素 都在集合B中 数学·必修第一册 目录 解：因为A⊆B，如图所示，此时B≠⌀， 所以即所以m不存在.即不存在实数m使 A⊆B. 数学·必修第一册 目录 变式1　若本例中的条件不变，且B⊆A，求实数m的取值范围. 解：（1）当B＝⌀时，满足B⊆A， 此时m＋1＞2m－1，解得m＜2. （2）当B≠⌀，且B⊆A时，如图所示. 则解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m｜m≤3}. 数学·必修第一册 目录 变式2　若本例中的条件“A＝{x｜－2≤x≤5}”改为“A＝{x｜－2≤x＜ 5}且B⊆A”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 解：（1）当B＝⌀时，满足B⊆A，此时m＋1＞2m－1，解得m＜2. （2）当B≠⌀，且B⊆A时，如图所示. 则解得即2≤m＜3， 所以实数m的取值范围是{m｜m＜3}. 数学·必修第一册 目录 变式3　若本例中的条件不变，且B⫋A，求实数m的取值范围. 解：（1）当B＝⌀时，满足B⫋A，此时m＋1＞2m－1，解得m＜2. （2）当B≠⌀，且B⫋A时，如图所示. 所以或 解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m｜m≤3}. 数学·必修第一册 目录 规律方法 应用集合关系求参数的步骤 提醒：不能忽视集合为⌀的情形. 数学·必修第一册 目录 训练3　已知集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax－2＝0}，若B⊆A，则实数a的 取值所组成的集合是（　　） A. {－1，2} B. {－2，1} C. {－2，0，1} D. {－1，0，2} √ 解析： 　因为B⊆A，当a＝0时，B＝⌀，满足条件；当a≠0时，B＝{－1} 或B＝{2}，即－a－2＝0或2a－2＝0，解得a＝－2或a＝1.综上可得，实数 a的取值所组成的集合是{－2，0，1}.故选C. 数学·必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 31 数学·必修第一册 目录 1. 已知集合A＝{x｜－1＜x＜6}，B＝{x｜2＜x＜3}，则（　　） A. A∈B B. A⫋B C. A＝B D. B⫋A √ 解析： 　集合A＝{x｜－1＜x＜6}，B＝{x｜2＜x＜3}，A，B两个数集之 间应是包含关系不是属于关系，故选项A不正确；由条件可得B⊆A，且 A≠B，所以选项B、C错误，选项D正确.故选D. 数学·必修第一册 目录 2. 已知集合A＝{－1，1}，则集合A的真子集有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 √ 解析： 　A的子集有⌀，{－1}，{1}，{－1，1}，其中真子集为⌀，{－ 1}，{1}共3个，故选A. 数学·必修第一册 目录 3. 〔多选〕以下四个选项中，正确的为（　　） A. {1}∈{0，1，2} B. {1，－3}＝{－3，1} C. {0，1，2}⊆{1，0，2} D. ⌀＝{0} √ √ 解析： 　A应是{1}⊆{0，1，2}，A错误；对于B，集合中的元素有无序 性，故B正确；对于C，任何集合都是本身的子集，故{0，1，2}⊆{1，0， 2}，故C正确；D应是⌀⊆{0}，D错误. 数学·必修第一册 目录 4. 已知集合A＝{x｜－a≤x≤a}，B＝{x｜x≤2}，A⊆B，求实数a的取值 范围. 解：因为A⊆B，所以可分为A＝⌀和A≠⌀两种情况， 当A＝⌀时，－a＞a，解得a＜0； 当A≠⌀时，应满足解得0≤a≤2. 综上所述，实数a的取值范围是{a｜a≤2}. 数学·必修第一册 目录 教材挖掘　子集个数的探究 目录 37 通过教材第8页例1与练习1题，我们知道可用列举法写出集合的子集，那 么求集合的子集是否还有其他方法呢？ 阅读下表，找出规律并填空： 集合 元素个数 所有子集 子集个数 {a} 1个 ⌀，{a} ⁠个 {a，b} 2个 ⌀，{a}，{b}，{a，b} ⁠个 {a，b，c} 3个 ⌀，{a}，{b}，{c}，{a， b}，{a，c}，{b，c}， {a，b，c} ⁠个 2　 4　 8　 数学·必修第一册 目录 【问题探究】 1. 你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？ 提示：“元素个数”与“子集个数”之间的关系是：设该集合中有n个元 素，则该集合的子集个数为2n. 2. 如果一个集合中有n个元素，你能写出计算它的所有子集、真子集和非 空真子集数目的公式吗（用n表达）？ 提示：子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 数学·必修第一册 目录 【迁移应用】 1. 已知集合A＝{0，1}，则集合A的真子集有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 √ 解析： 　根据有n个元素的集合的真子集有（2n－1）个，集合A中有2个 元素，得其真子集个数为22－1＝3.故选A. 数学·必修第一册 目录 2. 满足{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数为 ⁠. 解析：由{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1， 2，且含有元素3，4，5中的至少一个，又集合{3，4，5}的非空子集的个 数为23－1＝7，故集合M的个数为7. 7　 数学·必修第一册 目录 课时作业 >> （时间：45分钟　满分：83分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 42 1. 下列四个集合中，是空集的是（　　） A. {x｜x＋3＝3} B. {（x，y）｜y2＝－x2，x，y∈R} C. {x｜x2≤0} D. {x｜x2－x＋2＝0，x∈R} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 解析： 　∵x2－x＋2＝0，Δ＝1－8＝－7＜0，方程无解，∴{x｜x2－x＋2 ＝0，x∈R}＝⌀.故选D. 数学·必修第一册 目录 2. 下列表示集合M＝{－1，0，1}和N＝{x｜x2－x＝0}的关系的Venn图正 确的是（　　） 解析： 　由N＝{1，0}，知N⫋M. 故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 3. 现有以下三组集合： ①{a，b}和{b，a}； ②{1，0}和{（1，0）}； ③{y｜y＝x2，x∈R}和{x｜y＝x2，x∈R}. 其中，满足集合相等的有（　　） A. 3组 B. 2组 C. 1组 D. 0组 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 解析： 　①中两集合含有相同的元素，故这两个集合相等；②中集合 {1，0}含有两个元素1，0，而集合{（1，0）}中只有一个元素（1，0）， 这两个集合不相等；③中两集合都是用描述法表示的，但代表元素不一 样，集合{y｜y＝x2，x∈R}中y≥0，即表示非负实数，集合{x｜y＝x2， x∈R}中x∈R，即表示全体实数，这两个集合不相等. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 4. 已知集合A＝{x｜x＜a}，B＝{0，3}，若B⫋A，则a的取值范围是 （　　） A. {a｜a≥3} B. {a｜a＞3} C. {a｜a＞0} D. {a｜a≥0} √ 解析： 　因为B⫋A，故0，3均为A＝{x｜x＜a}中的元素，所以a＞3. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 5. 〔多选〕已知集合A＝{x｜x2－2x＝0}，则有（　　） A. ⌀⊆A B. －2∈A C. {0，2}⊆A D. A⊆{y｜y＜3} √ √ √ 解析： 　由题得集合A＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，故A正 确；因为A＝{0，2}，所以C、D正确，B错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 6. 〔多选〕已知集合M＝{2，4}，集合M⊆N⫋{1，2，3，4，5}，则集合 N可以是（　　） A. {2，4} B. {2，3，4} C. {1，2，3，4} D. {1，2，3，4，5} √ √ √ 解析： 　依题意N中至少有元素2和4.又N⫋{1，2，3，4，5}，知N中 至多有包含2，4在内的4个元素，因此集合N可以是选项A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 7. 设x，y∈R，A＝{（x，y）｜y＝x}，B＝{（x，y）｜＝1}，则A，B准 确的关系是 ⁠. 解析：因为B＝＝{（x，y）｜y＝x，且x≠0}，故B⫋A. B⫋A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 8. 已知M＝{x∈N｜∈N}，则集合M的真子集的个数为 ⁠. 解析：依题意，M＝{x∈N｜∈N}＝{1，2，4，8}，所以集合M有4个元 素，真子集的个数为24－1＝15. 15　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 9. 已知集合A＝{x｜x2＋x－6＝0}，B＝{x｜mx＋1＝0}，B⫋A，则m的取值 集合M＝ ⁠. 解析：A＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{－3，2}.若B＝⌀，则m＝0，此时B⫋A. 当 B≠⌀时，此时B＝{x｜x＝－，m≠0}.由B⫋A，得－3＝－或2＝－，解 得m＝或m＝－.综上所述，m的取值集合M＝{－，，0}. {－，，0}　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 10. （13分）判断下列集合间的关系： （1）A＝{x｜x－3＞2}，B＝{x｜2x－5≥0}； 解： 因为A＝{x｜x－3＞2}＝{x｜x＞5}，B＝{x｜2x －5≥0}＝{x｜x≥}， 所以可利用数轴判断A，B的关系.如图所示，A⫋B. （2）A＝{x｜x是正方形}，B＝{x｜x是有一个角是直角且邻边相等的平行 四边形}； 解： A，B两个集合都表示由正方形构成的集合，故A＝B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 （3）A＝{x∈Z｜－1≤x＜3}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}. 解： 因为A＝{x∈Z｜－1≤x＜3}＝{－1，0，1，2}，B＝{x｜x＝｜ y｜，y∈A}， 所以B＝{0，1，2}，所以B⫋A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 11. 已知M＝{x｜x＝3m－1，m∈Z}，N＝{x｜x＝3n＋2，n∈Z}，P＝{x｜ x＝6p－1，p∈Z}，则下列结论正确的是（　　） A. M＝P⫋N B. P⫋M＝N C. M⊆N⫋P D. N⊆M⫋P √ 解析： 　因为M＝{x｜x＝3m－1，m∈Z}，N＝{x｜x＝3n＋2，n∈Z}＝ {x｜x＝3（n＋1）－1，n∈Z}，P＝{x｜x＝6p－1，p∈Z}＝{x｜x＝3·2p－ 1，p∈Z}，所以P⫋M＝N. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 12. 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，有下列三个关系：①a≠2；②b＝ 2；③c≠0.若这三个关系中有且只有一个是正确的，则a＋2b＋3c ＝ 　　　　. 5 解析：假设①正确，②③错误，则a≠2，b≠2，c＝0，矛盾，故假设不成 立；假设②正确，①③错误，则a＝2，b＝2，c＝0，矛盾，故假设不成 立；假设③正确，①②错误，则a＝2，b＝0，c＝1，假设成立，∴a＋2b＋ 3c＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 13. （13分）已知集合A＝{（x，y）｜x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所 有子集. 解：∵A＝{（x，y）｜x＋y＝2，x，y∈N}， ∴A＝{（0，2），（1，1），（2，0）}. ∴A的子集有：⌀，{（0，2）}，{（1，1）}，{（2，0）}，{（0，2）， （1，1）}，{（0，2），（2，0）}，{（1，1），（2，0）}，{（0， 2），（1，1），（2，0）}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·必修第一册 目录 $