第五单元 多边形的面积【导图知识卡片+知识梳理+19个考点讲练+11个奥数拓展+真题难度分层演练 共80题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图与知识梳理系统构建多边形面积的复习体系，涵盖平行四边形、三角形、梯形面积计算，组合图形及面积单位等七大知识点，以转化思想为主线，用框架图呈现公式推导与单位换算逻辑，明晰重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，19个高频考点讲练含方格比较面积、图形高画法等题型，11个奥数拓展如重叠问题、不规则图形估算，培养数学思维与空间观念。真题分基础通关与能力提升，适配不同学生，思维导图与技巧点拨助力自主复习，教师可精准实施分层教学。

null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 多边形的面积『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+19个考点讲练+11个奥数拓展+真题难度分层演练 共80题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 平行四边形的面积: 3 知识点三 梯形的面积 4 知识点四 组合图形的面积及面积的估算 4 知识点五 面积单位的认识 4 知识点六 面积单位之间的换算 5 知识点七 面积单位的应用 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 借助方格比较图形的面积 6 高频考点二 平行四边形的高及画法 6 高频考点三 三角形的高及画法 7 高频考点四 梯形的高及画法 8 高频考点五 平行四边形面积的计算 9 高频考点六 平行四边形面积的应用 9 高频考点七 利用平移法求平行四边形的面积 10 高频考点八 三角形面积的计算 10 高频考点九 三角形面积的应用 10 高频考点十 平行线间三角形的面积问题 11 高频考点十一 梯形面积的计算 11 高频考点十二 梯形面积的应用 12 高频考点十三 与梯形相关的重叠问题 12 高频考点十四 含多边形的组合图形的面积 13 高频考点十五 求组合图形中阴影部分的面积 13 高频考点十六 公顷、平方千米的认识 14 高频考点十七 公顷、平方千米的进率与换算 14 高频考点十八 公顷、平方千米的实际问题 15 高频考点十九 不规则图形的面积 15 难点突破 奥数拓展 16 奥数拓展一 平行四边形面积的计算 16 奥数拓展二 平行四边形面积的应用 16 奥数拓展三 三角形面积的计算 17 奥数拓展四 三角形面积的应用 18 奥数拓展五 平行线间三角形的面积问题 19 奥数拓展六 梯形面积的计算 19 奥数拓展七 梯形面积的应用 20 奥数拓展八 与梯形相关的重叠问题 21 奥数拓展九 含多边形的组合图形的面积 22 奥数拓展十 求组合图形中阴影部分的面积 22 奥数拓展十一 不规则图形的面积 23 优选真题 实战演练 24 【基础通关】 24 【能力提升】 26 知识点一 平行四边形的面积: 1.运用转化法计算图形的面积 一转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。 二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。 2.把平行四边形转化成长方形的方法。 沿着平行四边形的任意一条边上的任意一条高剪成两个图形后，通过平移都可以把平行四边形转化成一个长方形。 3.平行四边形的面积计算公式 平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S=a×h。 知识点二 三角形的面积 1.三角形和平行四边形之间的关系 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形的面积的一半，即三角形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=三角形的面积×2。 2.三角形的面积计算公式 三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=a×h÷2。 知识点三 梯形的面积 1.梯形面积计算中的“转化” 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积是两个完全一样的梯形所拼成的平行四边形的面积的一半，也就是：梯形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=梯形的面积×2。 2. 梯形的面积 梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2。用字母表示：S=（a＋b）×h÷2。 知识点四 组合图形的面积及面积的估算 1. 组合图形面积的计算方法。 运用“分割”“添补”求组合图形的面积：计算组合图形的面积，一般是先把它分割成已学过的简单图形，分别计算出各个简单图形的面积，然后把它们加起来；也可以把整个图形补成一个长方形、正方形等图形，再用补成的图形的面积减去缺少部分图形的面积。 2.面积的估算。 不规则图形的面积估算方法：求不规则图形的面积，可以用数方格的方法进行估算。估算时，先数整格的，再数不满整格的，不满整格的按半格计算。 知识点五 面积单位的认识 1、常用的面积单位 已经学过的面积单位有平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²）。 （1）平方厘米（cm²）：边长是1厘米的正方形的面积。 （2）平方分米（dm²）：边长是1分米的正方形的面积。 （3）平方米（m²）：边长是1米的正方形的面积。 2、大面积单位 测量土地的面积，可以用公顷、平方千米作单位。 （1）公顷的认识​ 定义：边长是 100 米的正方形的面积是1公顷。​ （2）换算：1公顷=10000平方米。 3、平方千米的认识​ （1）定义：边长是1000米的正方形的面积是1平方千米。​ （2）换算：1平方千米=1000000平方米=100公顷。 【技巧点拨】在比较不同单位表示的大面积时，一定要先统一单位再比较。 知识点六 面积单位之间的换算 1、面积单位的进率 1平方千米＝100公顷＝1000000平方米 1公顷＝10000平方米 1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 2、换算方法： （1）高级单位转化为低级单位：使用乘法，将高级单位前面的数乘以两个单位之间的进率。例如，将公顷转化为平方米，就在公顷前面的数后面直接添写4个0。 （2）低级单位转化为高级单位：使用除法，将低级单位前面的数除以两个单位之间的进率。例如，将平方米转化为公顷，就去掉平方米前面的数后面的4个0。 【技巧点拨】在进行单位换算时，要准确判断两个单位之间的进率，不能混淆。 知识点七 面积单位的应用 1、选择合适的面积单位： （1）计量非常大的土地面积，像国土面积、省份（含直辖市）面积、省会城市面积、州（市）面积、县、乡镇面积、村委会、村庄面积等，一般要用“平方千米”作单位。 （2）计量稍大一些的土地面积，如公园、校园、体育场（馆）等，一般要用“公顷”作单位。 （3）房屋（建筑）面积、教室面积、校园绿化面积等，一般要用“平方米”作单位。 2、解决问题 （1）先按照面积公式计算题目要求的图形面积，再根据题目要求进行面积单位转换。 （2）比较面积大小时，熟记面积单位之间的进率，将两个不同的面积单位统一，才能进行比较。 【技巧点拨】在选择面积单位时，要紧密联系生活实际和对面积大小的直观感受，不能随意使用单位。要通过生活中的实例，加深对不同面积单位适用范围的理解。 高频考点一 借助方格比较图形的面积 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）小宇和小恒在争论谁家的鱼塘大一些。你认为谁家的鱼塘大？理由是什么？（下图每个小方格的面积是1m2） 【变式训练】（24-25五年级上·福建泉州·期末）一个池塘的形状如图所示，图中每个小方格的面积是1m2。请你估一估，这个池塘的面积大约是（    ）m2。 A．29 B．36 C．45 D．66 高频考点二 平行四边形的高及画法 【典例精讲】（25-26五年级上·河南郑州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载了梯形面积的计算方法。著名数学家刘徽还在注释中用“出入相补”的方法（如图）对其进行说明。下面说法中正确的是（    ）。 ①平行四边形的高等于梯形的高 ②平行四边形的面积等于梯形的面积 ③平行四边形的底等于梯形上底加下底的和 A． ①② B．①③ C．②③ 24． （25-26五年级上·江西吉安·期末） (1)在图中分别描出下列各点。 A（5，3）  B（3，6）  C（7，6） (2)如果在方格图上找一点D，使得A、B、C、D四个点围成一个平行四边形，则点D用数对表示为( )。 (3)请你画出这个平行四边形，并作出它的一条高。 高频考点三 三角形的高及画法 【典例精讲】（25-26五年级上·云南文山·阶段检测）根据要求填空和画图。 （1）点C的位置用数对表示是（    ）。 （2）在图中标出点A（3，7）和点B（1，2）并依次连接点A→B→C→A形成一个三角形。 （3）按角分这个三角形是（    ）三角形，按边分这个三角形是（    ）三角形。 （4）以线段BC为底，画三角形的高，高与底的交点D用数对表示为（  ，  ）。 【变式训练】（24-25四年级下·河北廊坊·期末）按要求作图（每个小方格的边长为1cm）。 （1）图形①是一个轴对称图形，根据给出的对称轴补全它的另一半。 （2）画出图形②向右平移5格后的图形。 （3）在图中画一个以线段AB为底，且高是4cm的三角形，并画出底边AB上的高。 高频考点四 梯形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级上·广东佛山·期末）非遗项目剪纸传承人邓老师在佛山“非遗＋AI”艺术实验室现场用一张长21cm，宽6cm的长方形纸和三角形纸交叉摆放裁剪，重叠部分是一个( )形，它的高是( )厘米。 【变式训练】（25-26四年级上·河南郑州·期末）在下图中，小正方形的边长是6厘米，大正方形的边长是8厘米。图中共有( )个梯形，其中最大的梯形的较短底边是( )厘米，较长底边是( )厘米，高是( )厘米。 高频考点五 平行四边形面积的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一块平行四边形的菜地（如图），现要用篱笆围起来，要用多长的篱笆？ 【变式训练】（26-27五年级上·全国·课后作业）小区内一排平行四边形车位，中间留有斜线通道，不单独计算单个车位面积，借助平移法，画出转化思路，快速求出所有车位的总面积。 高频考点六 平行四边形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏南京·期末）下面的说法正确的共有（    ）句。 ①我们学校的面积大约1平方千米； ②除法算式中，被除数扩大10倍，除数缩小10倍，商不变； ③6.5与6.50大小相等，计数单位也相同； ④把平行四边形木框架推移成长方形，它的周长没变，面积变大了； ⑤小数和整数一样，相邻两个计数单位间的进率都是10。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（25-26五年级上·广东汕头·阶段检测）张伯伯家里有一块近似平行四边形的菜园，这个季度共收白菜480千克。已知每平方米的菜地收白菜8千克，菜地的底是15米，那么它的高是多少米？ 高频考点七 利用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】（24-25五年级上·新疆巴州·期末）林叔叔家有一块平行四边形的空地，中间有一条石子路，其余部分准备用来种菜（如图）。种菜的面积有多少平方米？ 【变式训练】（24-25五年级上·山西运城·期末）把一个平行四边形转化成一个长方形，如图所示。 （1）观察图形的变化过程。（选填“＞”“＜”或“＝”） 长方形的长（    ）平行四边形的底； 长方形的宽（    ）平行四边形的高； 长方形的面积（    ）平行四边形的面积。 （2）长方形的周长与平行四边形的周长相等吗？说说你的理由。 高频考点八 三角形面积的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28cm2，这个三角形的面积是( )cm2。 【变式训练】（25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个平行四边形的面积是36dm2，与它等底等高的三角形面积是( )dm2；如果一个三角形的面积是36dm2，与它等底等高的平行四边形面积是( )dm2。 高频考点九 三角形面积的应用 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）三角巾包扎法适用于较大创伤的急救，一块三角巾的底约是1.4米，高约是0.65米。社区诊所一次性购进242块这样的三角巾，这些三角巾的总面积约是多少平方米？ 【变式训练】（25-26五年级上·福建宁德·阶段检测）将一卷长17分米、宽8分米的长方形布料，做成底和高都是4分米的直角三角形小旗，最多可以做（    ）面。 A．8 B．16 C．9 D．17 高频考点十 平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】（25-26五年级上·吉林长春·期末）在一组平行线间画图形（如图所示），甲、乙两个三角形的面积相比，（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法确定 【变式训练】（25-26五年级上·江苏南京·期中）小南和小诗在判断图中阴影部分面积大小时，出现了分歧，请你来帮帮他们。 小南：我认为：图3中阴影面积最大，因为两个三角形都超出了长方形。 小诗：我认为：三幅图中阴影部分的面积都一样大。 你同意谁的观点，算一算或写一写，说明你的理由。 高频考点十一 梯形面积的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）小红将两个完全相同的直角三角形的一部分叠放在一起（如图），阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 【变式训练】（25-26五年级下·山东济南·期末）在推导梯形面积计算公式的过程中，小宇将梯形转化成了三角形（如图）。如果梯形的面积是，高是5cm，那么转化后三角形的底是( )cm。 高频考点十二 梯形面积的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个果园近似梯形，上底120米、下底180米、高80米。如果每10平方米栽一棵果树，一共能栽多少棵果树？ 【变式训练】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）现有一堆圆木堆叠成梯形（上层3根，第二层4根，第三层5根，底层6根），请完成以下操作。 (1)画出圆木堆叠示意图，每层圆形大小统一、摆放对齐。 (2)利用梯形面积计算公式，列式计算这堆圆木一共有多少根。 高频考点十三 与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）如图，在一组平行线间有两个平行四边形相重叠（如图），形成一个三角形①（重叠部分）和两个梯形②、③（空白部分）。那么，②、③的面积相比（    ）。 A．梯形②的面积最大 B．梯形③的面积最大 C．梯形②、③的面积相等 D．无法确定 【变式训练】（24-25五年级上·江苏无锡·期中）王大爷家的菜地是由两个完全一样的等腰直角三角形重叠而成的一个不规则图形菜地，其中③号菜地面积是（    ）。 A．10平方米 B．20平方米 C．42平方米 D．40平方米 高频考点十四 含多边形的组合图形的面积 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）计算图形的面积，请补上分割、添补图形的画法和计算过程。（单位：cm）   12×12＝    （12－6）×（12－3）÷2＝ 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）求组合图形的面积。下面是小军的解答过程。请在图中画一画，表示出他求这个组合图形面积的思路。 高频考点十五 求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏南京·期末）计算下面图形阴影部分面积（单位：厘米）。     【变式训练】（25-26五年级上·河南周口·期末）计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm） ①        ② 高频考点十六 公顷、平方千米的认识 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）育才小学组织五年级学生前往“欢乐田园”开展研学活动，同学们在园区门口看到一则园区简介（如下图）。参观实践体验区时，同学们了解到区内共建有50个温室大棚，每个大棚长约30米、宽约8米。请你通过计算判断：这则简介中的占地面积信息是否属实？ 欢乐田园研学胜地 欢乐田园风光旖旎，项目丰富，是本市科普示范基地，占地8公顷。它分为科普教育区、实践体验区、休闲娱乐区和配套服务区四大区域，其中实践体验区除温室大棚外的面积是2公顷，其他三大区域共占地3公顷。 【变式训练】（25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测） 96公顷＝( )平方米        5900公顷＝( )平方千米 2平方千米＝( )平方米          200平方千米＝( )公顷 高频考点十七 公顷、平方千米的进率与换算 【典例精讲】（25-26五年级上·福建宁德·阶段检测）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 200公顷( )22平方千米      36平方千米( )3平方千米6公顷 【变式训练】（25-26五年级下·山东东营·期末） 30千克＝( )吨             1小时20分钟＝( )小时 2.5升＝( )升( )毫升      7公顷500平方米＝( )公顷 高频考点十八 公顷、平方千米的实际问题 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·随堂练习）一个果园里种了4000棵果树，平均每棵果树占地5平方米。这个果园占地多少公顷？ 【变式训练】（24-25五年级上·重庆潼南·期末） 1.32hm2＝( )m2   2400000m2＝( )km2   0.76km2＝( )hm2 高频考点十九 不规则图形的面积 【典例精讲】（25-26五年级下·上海·期末）请你估算一下，图中的叶子大约是（    ）。 A．16～34 B．18～36 C．20～38 D．22～40 【变式训练】（25-26四年级下·河南南阳·期末） (1)下面方格纸中，图A的面积是( )平方厘米。（每个小方格都表示 ） (2)请分别画出图A向右平移9格，再向下平移4格后的图形。 奥数拓展一 平行四边形面积的计算 【典例精讲】（25-26五年级上·河南商丘·期末）计算阴影部分图形面积。 【变式训练】（25-26五年级上·云南玉溪·期末）把一个平行四边形剪拼成一个梯形，（如图），下面说法正确的有（    ）个。 ①梯形的周长和平行四边形的周长相等。 ②梯形的高是平行四边形的2倍。 ③梯形的面积和平行四边形的面积相等。 ④梯形的上底与下底的和与平行四边形的底相等。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 奥数拓展二 平行四边形面积的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·重庆九龙坡·期末）一块平行四边形的地，相邻两条边长度分别是12米和8米。王爷爷想给这块地铺上草皮，并在地的周围围上栅栏，他分别请了3位师傅计算用料，结果如下： 李师傅：12×8＝96（米），需要栅栏96米。 张师傅：12×8＝96（平方米），需要草皮96平方米。 赵师傅：12×8＝96（平方米），需要草皮面积小于96平方米。 你认为哪位师傅的说法合理？请说明理由。 【变式训练】把一个活动的长方形框架拉成一个平行四边形后，发现面积少了120平方厘米。原来长方形的长是24厘米，宽是20厘米。那么这个平行四边形的高是多少厘米？ 奥数拓展三 三角形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·四川泸州·期末）三角形ABC是一个等腰直角三角形（如下图）。已知空白部分的面积是120平方厘米，BE＝BD，AE＝2BE，DC＝2BD，求阴影正方形的面积。 【变式训练】（25-26五年级下·山东临沂·期末）旋转能帮助我们解决很多问题。如图①，正方形ABCD内有一点O，已知，OB＝6厘米，求阴影部分的面积。小华这样想：把三角形BOC绕点B顺时针旋转90°（如图②），可知阴影部分是一个底为6厘米，高为6厘米的三角形，所以面积为（平方厘米）。 你也能利用旋转的知识解决下面的问题吗？ 如下图，在一个直角三角形ABC中有一个正方形DBEF，点F是AC上的一点，求阴影部分的面积。 奥数拓展四 三角形面积的应用 【典例精讲】．（25-26五年级上·全国·单元复习）解答。 (1)同学们在探究梯形面积公式时，有以下几种方法： 这四种转化方法对应的算式分别是：( )、( )、( )和( )。 ①（a＋b）×h÷2        ②（a＋b）×（h÷2） ③ah÷2＋bh÷2            ④（a＋b）÷2×h (2)图图用了一种特殊的方法把梯形转化成为三角形，如下图。已知图①的面积是20cm2，可求出图③中涂色三角形的面积是( )cm2。 【变式训练】（24-25五年级上·福建漳州·期末）下面说法正确的有（    ）个。 ①平行四边形的面积是三角形的2倍。 ②若m÷n＝5……2，则（m×10）÷（n×10）的商是5，余数是20。 ③一个直角三角形的三条边分别长6cm、8cm、10cm，它的面积是24cm2。 ④4.30505…的循环节是05。 A．4 B．3 C．2 D．1 奥数拓展五 平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】（25-26五年级上·重庆巴南·期末）如图是一块面积为的平行四边形KT板，李老师和同学们将三角形甲和三角形乙裁剪下来布置了教室，其中三角形甲的面积是，剩下的三角形丙的面积是( )。 【变式训练】（25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下图梯形ABCD中，甲、乙两个三角形的面积相比较，（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＝乙 C．甲＜乙 D．无法比较 奥数拓展六 梯形面积的计算 【典例精讲】（25-26五年级上·山东济南·期末）班级文化艺术节活动中，五（1）班同学准备制作一块展板。同学们选用了一块长2.8米，宽1.5米的长方形木板作为展板主体，在展板左上方固定了一个三角形镂空装饰用来悬挂班级标志（甲）；左下方的梯形部分是彩绘作品展区（乙）；右侧三角形部分是手工作品展区（丙）（如下图所示）。 (1)请你根据图中的数据，求出手工作品展区（丙）的面积比镂空部分（甲）的面积多多少平方米？ (2)小明是一位非常善于思考的同学，他认为只要再知道其中的一个数据，就能分别求出甲、乙、丙三部分的面积。 ①我的猜测：小明测量的是线段( )的长度。 ②如果这条线段的长度用字母a表示，请你用含有字母a的式子分别表示出甲、乙、丙三部分的面积。 我的推理：________ ________ ________ 【变式训练】（25-26五年级上·重庆大渡口·期末）在下图的梯形里连接两点画一条线段，把原图分成两个图形，且至少有一个梯形，使这两个图形的面积正好相等。请在图中画出一种分法，想一想，共有（    ）种不同的分法。 奥数拓展七 梯形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏盐城·期中）下图是一个饲养场的平面图，一面靠墙，三面用篱笆围起来。已知饲养场的面积是6400平方米，围这个饲养场共需篱笆长多少米？ 【变式训练】（24-25五年级上·江苏南通·期中）下面的方格纸每个小方格都是边长1厘米的小正方形。 （1）在下面方格纸上以AB为底，画一个面积为8平方厘米的平行四边形。 （2）再分别画一个三角形和一个梯形，使它们的面积分别与平行四边形的面积相等。 奥数拓展八 与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】（2021·山东菏泽·小升初真题）如图是两个相同的直角梯形叠在一起，阴影部分是一个不规则的图形。 （1）利用“转化思想”你知道阴影部分面积和图中哪部分图形的面积相等吗？请将它涂色。 （2）请求出阴影部分的面积。（单位：厘米） 【变式训练】（24-25四年级下·山东淄博·期中）下图为叠放在一起的两个相同的铁片，涂色部分的面积是( )cm2。 奥数拓展九 含多边形的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26五年级上·福建宁德·期中）下面算式可以表示计算下边图形面积的有（    ）。 ①        ② ③    ④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式训练】（2023五年级下·全国·竞赛）在如图中，AF＝14厘米，ED＝11厘米，BE＝13厘米，CF＝8厘米。四边形ABCD的面积是( )平方厘米。 奥数拓展十 求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】（23-24五年级下·全国·课后作业）如图，四边形DEFB是一个正方形。在三角形ABC中，AE长4厘米，EC长8厘米。涂色部分的面积是多少平方厘米？ 我们可以这样思考： （1）将三角形ADE绕点E逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）因为∠1＋∠2＝（    ）°，所以组合后的涂色部分是一个（    ）三角形。 （3）旋转后的AE长4厘米，EC长8厘米，所以涂色部分的面积是（    ）平方厘米。 【变式训练】如图，在边长9cm的正方形内任取一点P，将正方形的每条边三等分，并将等分点分别与点P连接，求阴影部分的面积。 奥数拓展十一 不规则图形的面积 【典例精讲】（2025五年级上·江苏南京·专题练习）图中每个方格的面积是1平方厘米。 （1）画一个与平行四边形面积相等的三角形。 （2）画一个与平行四边形面积相等的等腰梯形。 （3）图2不规则图形的面积约是（    ）平方厘米。（不满按半格计算） 【变式训练】我国古代数学家刘徽利用“出入相补原理”来计算平面图形的面积。“出入相补原理”就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。如下图所示，将三角形通过“出入相补”转化成长方形。请将方格中的梯形也用“出入相补”的方法转化成长方形，转化后长方形的面积是（    ）cm2。（每个小方格的面积是2cm2） A．40 B．42 C．36 D．34 【基础通关】 1．（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）笑笑所在的学校正在开展每周半天计划，本周他们将前往美术馆参观。该美术馆面积为1公顷，摆放着2000个作品，平均每个作品占地（    ）平方米。 A．0.05 B．50 C．5 D．0.5 2．（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）用18米长的篱笆按照如图所示的方法围成一个直角梯形苗圃（一面靠墙），要想使苗圃的面积最大，梯形的高应是（    ）。 A．12米 B．9米 C．6米 D．3米 3．（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）把一些钢管堆起来后的横截面近似于梯形，已知最上层是4根，最下层是10根。每相邻两层间相差1根，那么这堆钢管一共有（    ）。 A．70根 B．49根 C．40根 D．50根 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）妙妙有两张面积相等的三角形纸板。一张纸板的底是25厘米，对应的高是18厘米，这张纸板的面积是( )平方厘米；另一张纸板的高是15厘米，对应的底是( )厘米。 5．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）图中( )号三角形的面积是平行四边形面积的一半，( )号三角形的面积与平行四边形的面积相等。（填序号） 6．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）求出这个组合图形的面积。在图上画一画，并写出解题过程。 7．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）图中的梯形是由一张长方形纸片折叠而成的。这个梯形的面积是多少平方厘米？ 8．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小明用铝板制作了一个环保标识牌，标识牌的高是6分米，对应的底的长度是高的1.5倍。制作这个标识牌至少需要多少铝板？给标识牌的两面涂清漆，每平方分米需要8.5克清漆，一共需要多少克清漆？ 9．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一个长方形的景区，长8千米，李老师开车以每小时50千米的速度绕景区一周需0.6小时，这个景区的占地面积是多少公顷？ 10．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小雨的书房需要用一些同样大小的平行四边形地砖铺地。小雨的爸爸带1000元钱去建材市场买地砖，每块地砖的底为7分米，高为4分米，每平方分米地砖的价钱为0.8元。他要买45块这样的地砖，钱够吗？ 【能力提升】 1．（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）罗湖一公园计划修建一个梯形广场供游客休息。广场上底长12米，下底是上底的1.5倍，高为8米，这个广场的占地面积是（    ）平方米。 A．96 B．120 C．144 D．160 2．（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）一个梯形，上底是5cm，下底是8cm，如果上底变成0cm时，面积就减少5cm2，那么原梯形的面积是（    ）。 A．13cm2 B．25cm2 C．26cm2 D．65cm2 3．（25-26五年级上·河北石家庄·期末）如图，在8×8的方格中，每个小方格的边长表示1厘米，A、B为两个格点，请再选一个格点C，使三角形ABC的面积为5平方厘米，点C有（    ）种选法。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）如图，已知正方形的周长是24cm，那么平行四边形的面积是( )cm2。 5．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一堆木料，最上层4根，最下层10根，由上至下每层依次增加1根，这堆木料共( )根。 6．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一个三角形和一个平行四边形等底等高，它们面积的和是48cm2，平行四边形的面积是( )cm2，三角形的面积是( )cm2。 7．（25-26五年级上·山东日照·期末）求涂色部分的面积。（单位：cm） 8．（24-25五年级上·山东德州·期末）张大爷准备用100米的篱笆围一块菜地，一面靠墙，三面用篱笆围起来。现在有两种围法可以选择，哪种围法面积大，大多少？ 9．（25-26五年级上·河南南阳·期末）王大伯靠墙围了一个鸡圈如图，已知所用篱笆全长11.5米，这个鸡圈的面积是( )平方米。 10．（24-25五年级上·浙江台州·期末）如图，阴影所表示的2个四边形面积：S甲（    ）S乙（填“＞”“＜”或“＝”）。请你用合适的方式说明你的理由。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第五单元 多边形的面积『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+19个考点讲练+11个奥数拓展+真题难度分层演练 共80题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 3 知识梳理 温故知新 3 知识点一 平行四边形的面积: 3 知识点三 梯形的面积 4 知识点四 组合图形的面积及面积的估算 4 知识点五 面积单位的认识 4 知识点六 面积单位之间的换算 5 知识点七 面积单位的应用 5 考点讲练 真题汇总 6 高频考点一 借助方格比较图形的面积 6 高频考点二 平行四边形的高及画法 7 高频考点三 三角形的高及画法 9 高频考点四 梯形的高及画法 12 高频考点五 平行四边形面积的计算 13 高频考点六 平行四边形面积的应用 14 高频考点七 利用平移法求平行四边形的面积 15 高频考点八 三角形面积的计算 16 高频考点九 三角形面积的应用 17 高频考点十 平行线间三角形的面积问题 18 高频考点十一 梯形面积的计算 19 高频考点十二 梯形面积的应用 20 高频考点十三 与梯形相关的重叠问题 21 高频考点十四 含多边形的组合图形的面积 23 高频考点十五 求组合图形中阴影部分的面积 24 高频考点十六 公顷、平方千米的认识 26 高频考点十七 公顷、平方千米的进率与换算 27 高频考点十八 公顷、平方千米的实际问题 28 高频考点十九 不规则图形的面积 29 难点突破 奥数拓展 30 奥数拓展一 平行四边形面积的计算 30 奥数拓展二 平行四边形面积的应用 32 奥数拓展三 三角形面积的计算 33 奥数拓展四 三角形面积的应用 34 奥数拓展五 平行线间三角形的面积问题 37 奥数拓展六 梯形面积的计算 38 奥数拓展七 梯形面积的应用 41 奥数拓展八 与梯形相关的重叠问题 43 奥数拓展九 含多边形的组合图形的面积 44 奥数拓展十 求组合图形中阴影部分的面积 47 奥数拓展十一 不规则图形的面积 49 优选真题 实战演练 51 【基础通关】 51 【能力提升】 56 知识点一 平行四边形的面积: 1.运用转化法计算图形的面积 一转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。 二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。 2.把平行四边形转化成长方形的方法。 沿着平行四边形的任意一条边上的任意一条高剪成两个图形后，通过平移都可以把平行四边形转化成一个长方形。 3.平行四边形的面积计算公式 平行四边形的面积=底×高，用字母表示为S=a×h。 知识点二 三角形的面积 1.三角形和平行四边形之间的关系 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是两个完全一样的三角形所拼成的平行四边形的面积的一半，即三角形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=三角形的面积×2。 2.三角形的面积计算公式 三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为S=a×h÷2。 知识点三 梯形的面积 1.梯形面积计算中的“转化” 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积是两个完全一样的梯形所拼成的平行四边形的面积的一半，也就是：梯形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=梯形的面积×2。 2. 梯形的面积 梯形的面积=（上底＋下底）×高÷2。用字母表示：S=（a＋b）×h÷2。 知识点四 组合图形的面积及面积的估算 1. 组合图形面积的计算方法。 运用“分割”“添补”求组合图形的面积：计算组合图形的面积，一般是先把它分割成已学过的简单图形，分别计算出各个简单图形的面积，然后把它们加起来；也可以把整个图形补成一个长方形、正方形等图形，再用补成的图形的面积减去缺少部分图形的面积。 2.面积的估算。 不规则图形的面积估算方法：求不规则图形的面积，可以用数方格的方法进行估算。估算时，先数整格的，再数不满整格的，不满整格的按半格计算。 知识点五 面积单位的认识 1、常用的面积单位 已经学过的面积单位有平方厘米（cm²）、平方分米（dm²）、平方米（m²）。 （1）平方厘米（cm²）：边长是1厘米的正方形的面积。 （2）平方分米（dm²）：边长是1分米的正方形的面积。 （3）平方米（m²）：边长是1米的正方形的面积。 2、大面积单位 测量土地的面积，可以用公顷、平方千米作单位。 （1）公顷的认识​ 定义：边长是 100 米的正方形的面积是1公顷。​ （2）换算：1公顷=10000平方米。 3、平方千米的认识​ （1）定义：边长是1000米的正方形的面积是1平方千米。​ （2）换算：1平方千米=1000000平方米=100公顷。 【技巧点拨】在比较不同单位表示的大面积时，一定要先统一单位再比较。 知识点六 面积单位之间的换算 1、面积单位的进率 1平方千米＝100公顷＝1000000平方米 1公顷＝10000平方米 1平方米＝100平方分米 1平方分米＝100平方厘米 2、换算方法： （1）高级单位转化为低级单位：使用乘法，将高级单位前面的数乘以两个单位之间的进率。例如，将公顷转化为平方米，就在公顷前面的数后面直接添写4个0。 （2）低级单位转化为高级单位：使用除法，将低级单位前面的数除以两个单位之间的进率。例如，将平方米转化为公顷，就去掉平方米前面的数后面的4个0。 【技巧点拨】在进行单位换算时，要准确判断两个单位之间的进率，不能混淆。 知识点七 面积单位的应用 1、选择合适的面积单位： （1）计量非常大的土地面积，像国土面积、省份（含直辖市）面积、省会城市面积、州（市）面积、县、乡镇面积、村委会、村庄面积等，一般要用“平方千米”作单位。 （2）计量稍大一些的土地面积，如公园、校园、体育场（馆）等，一般要用“公顷”作单位。 （3）房屋（建筑）面积、教室面积、校园绿化面积等，一般要用“平方米”作单位。 2、解决问题 （1）先按照面积公式计算题目要求的图形面积，再根据题目要求进行面积单位转换。 （2）比较面积大小时，熟记面积单位之间的进率，将两个不同的面积单位统一，才能进行比较。 【技巧点拨】在选择面积单位时，要紧密联系生活实际和对面积大小的直观感受，不能随意使用单位。要通过生活中的实例，加深对不同面积单位适用范围的理解。 高频考点一 借助方格比较图形的面积 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·课后作业）小宇和小恒在争论谁家的鱼塘大一些。你认为谁家的鱼塘大？理由是什么？（下图每个小方格的面积是1m2） 【答案】小恒家的鱼塘大，因为它所占的格子更多。 【思路引导】不规则图形面积可通过数方格的方法（不满一格按半格算 ）估算面积，再进行大小比较即可。 【规范解答】小宇家鱼塘：满格24格，半格26格：（格），即总面积约为：。 小恒家鱼塘：满格31格，半格24格：（格），即总面积约为：。 37＜43。 答：小恒家的鱼塘大，因为它所占的格子更多，估算面积更大。 【变式训练】（24-25五年级上·福建泉州·期末）一个池塘的形状如图所示，图中每个小方格的面积是1m2。请你估一估，这个池塘的面积大约是（    ）m2。 A．29 B．36 C．45 D．66 【答案】A 【思路引导】分析题目，可以先数出这个池塘占了几个满格和几个不满一格的，再把2个不满格看作1个满格，据此可知池塘的面积＝满格的数量×1＋不满格的数量÷2×1，据此列式计算。 【规范解答】池塘的面积占20个满格，18个不满格； 20×1＋18÷2×1 ＝20＋9×1 ＝20＋9 ＝29（m2） 一个池塘的形状如图所示，图中每个小方格的面积是1m2。请你估一估，这个池塘的面积大约是29m2。 故答案为：A 高频考点二 平行四边形的高及画法 【典例精讲】（25-26五年级上·河南郑州·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载了梯形面积的计算方法。著名数学家刘徽还在注释中用“出入相补”的方法（如图）对其进行说明。下面说法中正确的是（    ）。 ①平行四边形的高等于梯形的高 ②平行四边形的面积等于梯形的面积 ③平行四边形的底等于梯形上底加下底的和 A．①② B．①③ C．②③ 【答案】C 【思路引导】平行四边形的底等于梯形的上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形高的一半，平行四边形的面积等于梯形的面积，由此解答本题。 【规范解答】①平行四边形的高等于梯形的高的一半，原题说法错误； ②平行四边形的面积等于梯形的面积，原题说法正确； ③平行四边形的底等于梯形上底加下底的和，原题说法正确。 综上②③说法正确。 24． （25-26五年级上·江西吉安·期末） (1)在图中分别描出下列各点。 A（5，3）  B（3，6）  C（7，6） (2)如果在方格图上找一点D，使得A、B、C、D四个点围成一个平行四边形，则点D用数对表示为( )。 (3)请你画出这个平行四边形，并作出它的一条高。 【答案】(1) (2)（9，3）或（5，9）或（1，3） (3)（答案不唯一） 【思路引导】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此在图中描出A、B、C各点。 （2）有两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形。据此在方格图上找一点D，使得A、B、C、D四个点围成一个平行四边形，并用数对表示点D的位置。 （3）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 【规范解答】（1）图略。 （2）A、B、C、D四个点围成一个平行四边形，则点D用数对表示为（9，3）或（5，9）或（1，3）。 （3）情况一： 情况二： 情况三： 高频考点三 三角形的高及画法 【典例精讲】（25-26五年级上·云南文山·阶段检测）根据要求填空和画图。 （1）点C的位置用数对表示是（    ）。 （2）在图中标出点A（3，7）和点B（1，2）并依次连接点A→B→C→A形成一个三角形。 （3）按角分这个三角形是（    ）三角形，按边分这个三角形是（    ）三角形。 （4）以线段BC为底，画三角形的高，高与底的交点D用数对表示为（  ，  ）。 【答案】（1）（5，2） （2）见详解 （3）锐角；等腰 （4）见详解；（3，2） 【思路引导】用数对表示物体的位置时，第1个数表示在第几列，第2个数表示在第几行。 （1）点C在第5列第2行，据此用数对表示即可； （2）点A（3，7）在第3列第7行，点B（1，2）在第1列第2行，在图中找到点A，点B，点C，依次用线段连接即可形成一个三角形； （3）三个角都为锐角的三角形为锐角三角形；有一个角是直角的三角形为直角三角形；有一个角是钝角的三角形为钝角三角形。三条边相等的三角形为等边三角形；两条边相等的三角形为等腰三角形。观察此三角形的特征，发现三个角都为锐角，且线段AB＝线段AC，据此判断属于什么三角形； （4）按要求作高后，找到点D，在第3列第2行，据此用数对表示即可。 【规范解答】（1）点C在第5列第2行，用数对表示为（5，2）。 点C的位置用数对表示是（5，2）。 （2）作图如下： （3）观察此三角形的特征，发现三个角都为锐角，且线段AB＝线段AC，所以按角分，这个三角形是锐角三角形；按边分，这个三角形是等腰三角形。 按角分这个三角形是锐角三角形，按边分这个三角形是等腰三角形。 （4）作图如下： 点D在第3列第2行，用数对表示为（3，2）。 以线段BC为底，画三角形的高，高与底的交点D用数对表示为（3，2）。 【变式训练】（24-25四年级下·河北廊坊·期末）按要求作图（每个小方格的边长为1cm）。 （1）图形①是一个轴对称图形，根据给出的对称轴补全它的另一半。 （2）画出图形②向右平移5格后的图形。 （3）在图中画一个以线段AB为底，且高是4cm的三角形，并画出底边AB上的高。 【答案】（1）（2）（3）画图如下： 【思路引导】（1）沿一条直线对折后两部分可以完全重合的图形叫做轴对称图形。把图形补全，使它成为一个轴对称图形，需要先数格子，在对称轴的另一侧找到对应的顶点，依次连接这些点； （2）作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点；确定平移方向和平移距离；过关键点沿平移方向画出平行线；由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置；连接对应点； （3）在AB所在直线的上方，找一条与AB平行且距离为4格（4cm）的直线，在该直线上任取一点作为三角形的顶点，再连接点A和点B，构成三角形；作三角形的高：从三角形底边所对的顶点向它的对边作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高，这个顶点所对的边叫做三角形的底；据此作图。 【规范解答】（1）（2）（3）画图略 高频考点四 梯形的高及画法 【典例精讲】（25-26四年级上·广东佛山·期末）非遗项目剪纸传承人邓老师在佛山“非遗＋AI”艺术实验室现场用一张长21cm，宽6cm的长方形纸和三角形纸交叉摆放裁剪，重叠部分是一个( )形，它的高是( )厘米。 【答案】 梯 6 【思路引导】观察上图可知，长方形的对边平行，所以重叠部分有一组对边平行，另一组对边是三角形两条边上的一部分，这组对边不平行，只有一组对边平行的四边形叫做梯形；长方形的宽与梯形的高相等；据此即可解答。 【规范解答】由分析得出： 重叠部分是一个梯形，它的高是6厘米。 【变式训练】（25-26四年级上·河南郑州·期末）在下图中，小正方形的边长是6厘米，大正方形的边长是8厘米。图中共有( )个梯形，其中最大的梯形的较短底边是( )厘米，较长底边是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 3 6 8 14 【思路引导】根据梯形的定义：只有一组对边平行的四边形是梯形，图中一共有3个梯形；其中最大的梯形的较短底边是小正方形的边长，较长底边是大正方形的边长，这个梯形的高是小正方形和大正方形的边长和。 【规范解答】8＋6＝14（厘米） 因此，图中共有（3）个梯形，其中最大的梯形的较短底边是（6）厘米，较长底边是（8）厘米，高是（14）厘米。 高频考点五 平行四边形面积的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一块平行四边形的菜地（如图），现要用篱笆围起来，要用多长的篱笆？ 【答案】48米 【思路引导】平行四边形一条边长为8 米，这条边上对应的高是14 米，先根据平行四边形面积＝底×高求出菜地面积；再用面积除以另一条高7 米，求出另一条底边的长度；最后把四条边相加（周长），就是篱笆的长度。 【规范解答】平行四边形的面积：8×14＝112（平方米） 另一条底边的长：112÷7＝16（米） 平行四边形的周长（篱笆总长）：16＋8＋16＋8＝48（米） 答：要用48米长的篱笆。 【变式训练】（26-27五年级上·全国·课后作业）小区内一排平行四边形车位，中间留有斜线通道，不单独计算单个车位面积，借助平移法，画出转化思路，快速求出所有车位的总面积。 【答案】 车位的总面积＝车位的底×车位数量×车位的高 【思路引导】可将分散的多个平行四边形车位沿排列方向平移，拼接成一个整体的大平行四边形，计算大平行四边形面积即可。 【规范解答】把通道左右两侧的所有车位，沿着通道的倾斜方向往中间平移，原本分散的小平行四边形车位，会无缝拼接成一个完整的大平行四边形区域。 这个大平行四边形的底就是单个小平行四边形车位的底乘总车位数量，高和单个车位的高完全相等，故所有车位的总面积＝车位的底×车位数量×车位的高。 高频考点六 平行四边形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏南京·期末）下面的说法正确的共有（    ）句。 ①我们学校的面积大约1平方千米； ②除法算式中，被除数扩大10倍，除数缩小10倍，商不变； ③6.5与6.50大小相等，计数单位也相同； ④把平行四边形木框架推移成长方形，它的周长没变，面积变大了； ⑤小数和整数一样，相邻两个计数单位间的进率都是10。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】①结合生活中学校面积的常见量级，对比1平方千米的实际大小，判断表述是否合理。 ②根据商的变化规律，分析被除数扩大、除数缩小后商的变化情况，判断是否符合商不变的条件。 ③先依据小数的性质判断6.5和6.50的大小关系，再分别明确二者的计数单位，判断计数单位是否相同。 ④分析平行四边形推移成长方形时边长的变化判断周长情况，再对比二者的底和高的变化，结合面积公式判断面积变化。 ⑤根据整数和小数的计数单位规则，判断相邻计数单位的进率是否为10。 最后统计正确说法的个数，选择对应的选项。 【规范解答】①1平方千米公顷，一般学校的面积大约是公顷，平方千米对于一所学校来说太大了，不符合实际情况，此选项错误； ②在除法算式中，被除数扩大到原来的倍，除数缩小为原来的，商应该扩大到原来的倍，而不是不变，此选项错误； ③与的大小相等，但的计数单位是，的计数单位是，计数单位不相同，此选项错误； ④把平行四边形木框架推移成长方形，四条边的长度不变，所以周长没变；平行四边形的面积＝底×高，长方形面积＝长×宽，平行四边形的底和长方形的长相等，平行四边形的高小于长方形的宽，所以高变大了，底不变，面积变大了，此选项正确； ⑤小数和整数都是采用十进制计数法，相邻两个计数单位间的进率都是，此选项正确。 综上所述，正确的说法有④和⑤，共句。 【变式训练】（25-26五年级上·广东汕头·阶段检测）张伯伯家里有一块近似平行四边形的菜园，这个季度共收白菜480千克。已知每平方米的菜地收白菜8千克，菜地的底是15米，那么它的高是多少米？ 【答案】4米 【思路引导】先算出菜园的总面积，用总收成的白菜重量除以每平方米的收成，就能得到菜地总面积，再根据平行四边形的面积公式求高，高＝平行四边形的面积÷底。 【规范解答】（平方米） （米） 答：它的高是4米。 高频考点七 利用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】（24-25五年级上·新疆巴州·期末）林叔叔家有一块平行四边形的空地，中间有一条石子路，其余部分准备用来种菜（如图）。种菜的面积有多少平方米？ 【答案】152平方米 【思路引导】将石子路两侧的种菜区域向中间平移，能拼成一个新的平行四边形。用原平行四边形的底减去石子路的底即可求出新平行四边形的底，即20－1＝19米；新平行四边形的高与原平行四边形的高相同，为8米；最后根据“平行四边形的面积＝底×高”即可求出种菜的面积。据此解答。 【规范解答】（20－1）×8 ＝19×8 ＝152（平方米） 答：种菜的面积是152平方米。 【变式训练】（24-25五年级上·山西运城·期末）把一个平行四边形转化成一个长方形，如图所示。 （1）观察图形的变化过程。（选填“＞”“＜”或“＝”） 长方形的长（    ）平行四边形的底； 长方形的宽（    ）平行四边形的高； 长方形的面积（    ）平行四边形的面积。 （2）长方形的周长与平行四边形的周长相等吗？说说你的理由。 【答案】（1）＝；＝；＝ （2）不相等；理由：平行四边形的斜边大于直角边平行四边形的高，所以转化后长方形的周长比平行四边形的周长小，即长方形的周长与平行四边形的周长不相等。 【思路引导】（1）观察图形转化过程可知，把平行四边形沿着高剪开，通过平移拼成一个长方形，这个长方形的长与平行四边形的底是完全重合的，所以长方形的长＝平行四边形的底；长方形的宽就是原来平行四边形的高，所以长方形的宽＝平行四边形的高；在转化过程中，图形所占平面的大小没有发生变化，即长方形的面积＝平行四边形的面积。 （2）平行四边形的周长是四条边长度之和，即平行四边形的周长＝（底边＋斜边）×2，长方形的周长＝（长＋宽）×2。在转化过程中，长方形的长就是原来平行四边形的底，长度不变，在剪下右移的直角三角形中，斜边（平行四边形的斜边）大于直角边（平行四边形的高），所以转化后长方形的周长比平行四边形的周长小，即长方形的周长与平行四边形的周长不相等。 【规范解答】（1）这个长方形的长与平行四边形的底是完全重合的；长方形的宽就是原来平行四边形的高；图形所占平面的大小没有发生变化。 所以长方形的长＝平行四边形的底；长方形的宽＝平行四边形的高；长方形的面积＝平行四边形的面积。 （2）不相等。理由略。 高频考点八 三角形面积的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面积大28cm2，这个三角形的面积是( )cm2。 【答案】28 【思路引导】平行四边形的面积公式：底×高，三角形的面积公式：底×高÷2。当两者等底等高时，平行四边形的面积刚好是三角形面积的2倍。也就是说平行四边形的面积比同底等高的三角形多出来的部分，就正好等于1个三角形的面积。 【规范解答】题目里说大了28cm²，所以这个三角形的面积就是28cm²。 【变式训练】（25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个平行四边形的面积是36dm2，与它等底等高的三角形面积是( )dm2；如果一个三角形的面积是36dm2，与它等底等高的平行四边形面积是( )dm2。 【答案】 【思路引导】三角形的面积是与它等底等高的平行四边形的面积的一半，据此得出答案。 【规范解答】（dm2） （dm2） 与它等底等高的三角形面积是dm2；如果一个三角形的面积是36dm2，与它等底等高的平行四边形面积是dm2。 高频考点九 三角形面积的应用 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）三角巾包扎法适用于较大创伤的急救，一块三角巾的底约是1.4米，高约是0.65米。社区诊所一次性购进242块这样的三角巾，这些三角巾的总面积约是多少平方米？ 【答案】110.11平方米 【思路引导】先根据三角形面积公式＝底×高÷2求出1块三角巾的面积，再乘三角巾的总块数，得到总面积。 【规范解答】1.4×0.65÷2×242 ＝0.91÷2×242 ＝0.455×242 ＝110.11（平方米） 答：这些三角巾的总面积约是110.11平方米。 【变式训练】（25-26五年级上·福建宁德·阶段检测）将一卷长17分米、宽8分米的长方形布料，做成底和高都是4分米的直角三角形小旗，最多可以做（    ）面。 A．8 B．16 C．9 D．17 【答案】B 【思路引导】两个底和高都是4分米的直角三角形可以拼成一个边长为4分米的正方形，先计算长方形布料最多能剪出多少个这样的正方形，再乘2就能得到小旗总数，剩余长度不足4分米的部分无法制作小旗，不能直接用面积相除计算。 【规范解答】宽方向可剪正方形边长数量：8÷4＝2（个） 长方向可剪正方形边长数量：17÷4＝4（个）……1（分米） 可剪正方形总个数：4×2＝8（个） 可做小旗数量：8×2＝16（面） 高频考点十 平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】（25-26五年级上·吉林长春·期末）在一组平行线间画图形（如图所示），甲、乙两个三角形的面积相比，（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】阴影甲和下方空白三角形组成了一个三角形，阴影乙和下方空白三角形也组成一个三角形，由于平行线间距离处处相等，即新组成的两个三角形的高相等，且新组成的两个三角形底是公共边，所以这两个三角形的底也相等，三角形面积：S＝， 可知新组成的两个三角形面积相等。新组成的两个三角形都包含下方的空白三角形，用新组成的两个三角形面积都减去空白三角形面积，得到的差就是甲、乙的面积，所以甲、乙两个三角形面积相等。 【规范解答】根据分析可知： 甲、乙两个三角形面积相等，C选项正确。 【变式训练】（25-26五年级上·江苏南京·期中）小南和小诗在判断图中阴影部分面积大小时，出现了分歧，请你来帮帮他们。 小南：我认为：图3中阴影面积最大，因为两个三角形都超出了长方形。 小诗：我认为：三幅图中阴影部分的面积都一样大。 你同意谁的观点，算一算或写一写，说明你的理由。 【答案】同意小诗的观点；三幅图中阴影部分的面积都等于12平方厘米。 【思路引导】三角形的面积＝底×高÷2，结合下图分析：图1中，左边阴影三角形的面积＝4厘米×左边三角形的高÷2，右边阴影三角形的面积＝4厘米×右边三角形的高÷2，且观察图形可知：以4厘米为阴影部分三角形的底时，左边三角形的高＋右边三角形的高＝长方形的长6厘米。 阴影部分面积总和＝左边阴影三角形面积＋右边阴影三角形面积 ＝4厘米×左边三角形的高÷2＋4厘米×右边三角形的高÷2 ＝（4厘米×左边三角形的高＋4厘米×右边三角形的高）÷2 ＝4厘米×（左边三角形的高＋右边三角形的高）÷2 ＝4厘米×6厘米÷2 ＝24平方厘米÷2 ＝12（平方厘米） 观察下图可知：当以4厘米为阴影部分三角形的底时，图2、图3中阴影部分两个三角形高的和都等于长方形的长，也就是6厘米，所以三幅图中阴影部分的面积都一样大。 【规范解答】同意小诗的观点。 观察图形可知：当阴影部分三角形以4厘米为底时，图1、图2、图3中两个阴影三角形高的和等于长方形的长， 则三幅图中阴影部分的面积为： 4×6÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 答：三幅图中阴影部分的面积都一样大，都等于12平方厘米。 高频考点十一 梯形面积的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）小红将两个完全相同的直角三角形的一部分叠放在一起（如图），阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：厘米） 【答案】7平方厘米 【思路引导】求涂色部分的面积，用三角形EFD的面积减去三角形GBD的面积，求梯形ACDG的面积，用三角形ABC的面积减去三角形GBD的面积，所以求涂色部分的面积也就是求梯形ACDG的面积。梯形ACDG的上底、下底已知，需求得高CD的长度。因为三角形ABC与三角形EFD是两个完全相同的直角三角形，所以CB的长度等于DF的长度，DF＝DB＋BF，CB＝CD＋DB，CD＝BF，从而利用梯形的面积公式可求出梯形ACDG的面积，即涂色部分的面积，用上底加下底的和乘高除以2。 【规范解答】（3＋4）×2÷2 ＝7×2÷2 ＝14÷2 ＝7（平方厘米） 答：阴影部分的面积是7平方厘米。 【变式训练】（25-26五年级下·山东济南·期末）在推导梯形面积计算公式的过程中，小宇将梯形转化成了三角形（如图）。如果梯形的面积是，高是5cm，那么转化后三角形的底是( )cm。 【答案】12 【思路引导】根据题意，梯形转化成三角形，那么梯形的面积等于三角形的面积；从图中可知，三角形的高等于梯形的高，根据三角形的底＝三角形的面积×2÷高，即可求出三角形的底。 【规范解答】30×2÷5 ＝60÷5 ＝12（cm） 转化后三角形的底是12cm。 高频考点十二 梯形面积的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测）一个果园近似梯形，上底120米、下底180米、高80米。如果每10平方米栽一棵果树，一共能栽多少棵果树？ 【答案】1200棵 【思路引导】用“面积＝（上底＋下底）×高÷2”算出梯形面积，再用梯形面积除以10可算得一共能栽多少棵果树。 【规范解答】 （平方米） （棵） 答：一共能栽1200棵果树。 【变式训练】（24-25五年级上·湖南张家界·期末）现有一堆圆木堆叠成梯形（上层3根，第二层4根，第三层5根，底层6根），请完成以下操作。 (1)画出圆木堆叠示意图，每层圆形大小统一、摆放对齐。 (2)利用梯形面积计算公式，列式计算这堆圆木一共有多少根。 【答案】(1) (2)（3＋6）×（6－3＋1）÷2＝18（根） 【思路引导】（1）先根据每层圆木数量确定共有4层，从上到下依次画出每层大小统一的圆形，整体形成梯形堆叠的样子。 （2）先用底层根数减去上层根数再加1求出层数，将上层根数当作梯形上底、底层根数当作下底、层数当作高，根据梯形面积公式S＝（a＋b）h÷2，代入数值计算，求出圆木总数量。 【规范解答】（1）略 （2）（3＋6）×（6－3＋1）÷2 ＝9×4÷2 ＝36÷2 ＝18（根） 高频考点十三 与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】（24-25五年级上·湖北十堰·期末）如图，在一组平行线间有两个平行四边形相重叠（如图），形成一个三角形①（重叠部分）和两个梯形②、③（空白部分）。那么，②、③的面积相比（    ）。 A．梯形②的面积最大 B．梯形③的面积最大 C．梯形②、③的面积相等 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】平行四边形的面积＝底×高，由于一组平行线间的距离相等，即两个平行四边形的高相等，它们的底都可以看作是三角形①的底，由此可知两个平行四边形的面积大小关系，梯形②、③的面积分别等于两个平行四边形面积与三角形①的面积差，据此判断②、③的大小。 【规范解答】假设一组平行线间的距离为h，三角形①的底为a 则，①和②组成的平行四边形面积S1＝ah； ①和③组成的平行四边形面积S2＝ah。 所以，两个平行四边形的面积相等， 梯形②的面积＝ah－三角形①面积；梯形③的面积＝ah－三角形①面积。 那么，②、③的面积相比是相等的。 故答案为：C 【变式训练】（24-25五年级上·江苏无锡·期中）王大爷家的菜地是由两个完全一样的等腰直角三角形重叠而成的一个不规则图形菜地，其中③号菜地面积是（    ）。 A．10平方米 B．20平方米 C．42平方米 D．40平方米 【答案】C 【思路引导】根据题意可知，两个完全一样的等腰直角三角形重叠而成的一个不规则菜地，由此可知，③号菜地的面积＝三角形面积－②号菜地的面积；①号菜地的面积＝三角形面积－②号菜地的面积，所以③号菜地面积＝①号菜地的面积，①号菜地的面积＝上底是（10－6）米，下底是10米，高是10－（10－6）米的梯形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此求出③号面积。 【规范解答】（10－6＋10）×[10－（10－6）]÷2 ＝（4＋10）×[10－4]÷2 ＝14×6÷2 ＝84÷2 ＝42（平方米） ③号菜地的面积是42平方米。 故答案为：C 高频考点十四 含多边形的组合图形的面积 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）计算图形的面积，请补上分割、添补图形的画法和计算过程。（单位：cm）   12×12＝    （12－6）×（12－3）÷2＝ 【答案】144（cm2）；27（cm2）；144－27＝117（cm2） 【思路引导】观察可知，题目给出的12×12为正方形的面积，（12－6）×（12－3）÷2为添补的三角形面积。因此将图形添补成边长为12cm的正方形，添补的三角形底为（12－6）cm，高为（12－3）cm，该图形的面积等于正方形面积减去三角形面积。根据正方形面积S＝边长×边长、三角形面积S＝底×高÷2，代入计算并作差即可。 【规范解答】 正方形面积：12×12＝144（cm2） 三角形面积： （12－6）×（12－3）÷2 ＝6×9÷2 ＝54÷2 ＝27（cm2） 图形面积：144－27＝117（cm2） 【变式训练】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）求组合图形的面积。下面是小军的解答过程。请在图中画一画，表示出他求这个组合图形面积的思路。 【答案】 【思路引导】对照小军的计算步骤分析小军的计算逻辑：8－4＝4（cm），是用组合图形的总底长8cm，减去右侧标注的4cm，得到左侧部分的水平宽度；算式（2＋5）×4÷2＝14（cm2）是梯形的面积计算，说明左侧部分是直角梯形，它的两条竖直边长度分别是2cm和5cm，水平方向的高就是刚才算出的4cm；算式4×2＝8（cm2）是长方形的面积计算，说明右侧部分是长4cm、宽2cm的小长方形。据此分割即可。 【规范解答】根据分析，从图形的斜线段拐点处，向下画一条垂直于底边的竖直线，就可以把原图形分成直角梯形和长方形两部分，完全对应小军的计算逻辑。 图略。 高频考点十五 求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏南京·期末）计算下面图形阴影部分面积（单位：厘米）。     【答案】左图：42平方厘米；右图：4.8平方厘米 【思路引导】左图：如图，将图形补全为长方形，长10＋6＝16厘米、宽10厘米，长方形面积＝长×宽；图①是底10厘米、高10厘米的三角形，图②是底10＋6＝16厘米、高10－6＝4厘米的三角形，图③是边长6厘米的正方形，三角形面积＝底×高÷2，正方形面积＝边长×边长，分别求出3个空白部分的面积。最后用长方形面积减去3个空白部分的面积即可求出阴影部分的面积。 右图：空白部分是直角三角形，两条直角边互为底和高，三角形面积＝底×高÷2，算出空白三角形的面积；再用三角形面积乘2除以5求出底边5厘米对应的高，也是梯形的高；梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，最后用梯形的面积减去三角形的面积即可求出阴影部分的面积。 【规范解答】左图：（10＋6）×10 ＝16×10 ＝160（平方厘米） ①10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（平方厘米） ②（10＋6）×（10－6）÷2 ＝16×4÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） ③6×6＝36（平方厘米） 160－50－32－36 ＝110－32－36 ＝78－36 ＝42（平方厘米） 阴影部分的面积是42平方厘米。 右图：3×4÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 6×2÷5 ＝12÷5 ＝2.4（厘米） （4＋5）×2.4÷2 ＝9×2.4÷2 ＝21.6÷2 ＝10.8（平方厘米） 10.8－6＝4.8（平方厘米） 阴影部分的面积是4.8平方厘米。 【变式训练】（25-26五年级上·河南周口·期末）计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm） ①        ② 【答案】①315cm2；②128cm2 【思路引导】①阴影部分的面积＝长方形面积－空白三角形的面积，长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2； ②阴影部分的面积＝梯形面积－长方形面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。 【规范解答】①35×18－35×18÷2 ＝630－315 ＝315（cm2） ②（8＋20）×10÷2－4×3 ＝28×10÷2－12 ＝140－12 ＝128（cm2） 高频考点十六 公顷、平方千米的认识 【典例精讲】（26-27五年级上·全国·课后作业）育才小学组织五年级学生前往“欢乐田园”开展研学活动，同学们在园区门口看到一则园区简介（如下图）。参观实践体验区时，同学们了解到区内共建有50个温室大棚，每个大棚长约30米、宽约8米。请你通过计算判断：这则简介中的占地面积信息是否属实？ 欢乐田园研学胜地 欢乐田园风光旖旎，项目丰富，是本市科普示范基地，占地8公顷。它分为科普教育区、实践体验区、休闲娱乐区和配套服务区四大区域，其中实践体验区除温室大棚外的面积是2公顷，其他三大区域共占地3公顷。 【答案】30×8×50＝12000（平方米）     12000平方米＝1.2公顷 1.2＋2＋3＝6.2（公顷）     6.2＜8，所以占地面积信息不属实。 【思路引导】先根据长乘宽求出1个温室大棚的占地面积，再乘50即可求出50个温室大棚的占地面积；进行单位转换后，再加上实践体验区除温室大棚外的面积以及其他三大区域的面积，即可求出实际占地面积，再与8比较即可。 【规范解答】30×8×50 ＝240×50 ＝12000（平方米）     12000平方米＝1.2公顷 1.2＋2＋3 ＝3.2＋3 ＝6.2（公顷）     6.2＜8 答：占地面积信息不属实。 【变式训练】（25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测） 96公顷＝( )平方米        5900公顷＝( )平方千米 2平方千米＝( )平方米          200平方千米＝( )公顷 【答案】 960000 59 2000000 20000 【思路引导】1公顷＝10000平方米，1平方千米＝100公顷，1平方千米＝1000000平方米。高级单位换算成低级单位，要乘进率；低级单位换算成高级单位，要除以进率。 【规范解答】96×10000＝960000，所以96公顷＝960000平方米 5900÷100＝59，所以5900公顷＝59平方千米 2×1000000＝2000000，所以2平方千米＝2000000平方米 200×100＝20000，所以200平方千米＝20000公顷 高频考点十七 公顷、平方千米的进率与换算 【典例精讲】（25-26五年级上·福建宁德·阶段检测）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 200公顷( )22平方千米      36平方千米( )3平方千米6公顷 【答案】 ＜ ＞ 【思路引导】比较不同单位的面积大小时，通常先将单位统一，化成相同的单位后再比较数值的大小。低级单位换算成高级单位乘进率，1平方千米＝100公顷，据此分析。 【规范解答】（1）22×100＝2200，所以22平方千米＝2200公顷，200＜2200，则200公顷＜22平方千米； （2）36×100＝3600，36平方千米＝3600公顷；3×100＝300，300＋6＝306，所以3平方千米6公顷＝306公顷，3600＞306，则36平方千米＞3平方千米6公顷。 【变式训练】（25-26五年级下·山东东营·期末） 30千克＝( )吨             1小时20分钟＝( )小时 2.5升＝( )升( )毫升      7公顷500平方米＝( )公顷 【答案】 0.03 / 2 500 7.05 【思路引导】1吨＝1000千克，1小时＝60分钟，1升＝1000毫升，1公顷＝10000平方米，高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算为高级单位除以进率； 【规范解答】30÷1000＝0.03，所以30千克＝0.03吨； 20÷60＝＝，所以1小时20分钟＝小时； 2.5升＝2升＋0.5升，0.5×1000＝500，所以2.5升＝2升500毫升； 500÷10000＝0.05，所以7公顷500平方米＝7.05公顷。 高频考点十八 公顷、平方千米的实际问题 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·随堂练习）一个果园里种了4000棵果树，平均每棵果树占地5平方米。这个果园占地多少公顷？ 【答案】4000×5＝20000（平方米）     20000平方米＝2公顷 【思路引导】由题意知，果园里种了4000棵果树，平均每棵果树占地5平方米。占地总面积=平均每棵果树占地的面积×果树的棵数，注意单位换算：10000平方米=1公顷。 【规范解答】（平方米） 20000平方米=2公顷 答：这个果园占地2公顷。 【变式训练】（24-25五年级上·重庆潼南·期末） 1.32hm2＝( )m2   2400000m2＝( )km2   0.76km2＝( )hm2 【答案】 13200 2.4 76 【思路引导】1hm2＝10000m2，1km2＝1000000m2，1km2＝100hm2；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率，据此解答。 【规范解答】1.32hm2＝1.32×10000＝13200m2 2400000m2＝2400000÷1000000＝2.4km2 0.76km2＝0.76×100＝76hm2 高频考点十九 不规则图形的面积 【典例精讲】（25-26五年级下·上海·期末）请你估算一下，图中的叶子大约是（    ）。 A．16～34 B．18～36 C．20～38 D．22～40 【答案】B 【思路引导】首先要看清图形所占方格的个数，然后用每个方格的面积乘个数即可。 【规范解答】完整的小正方形有18个，所以图形面积大于18；不完整的小正方形有18个，所以图形面积小于18＋18＝36（）。 【变式训练】（25-26四年级下·河南南阳·期末） (1)下面方格纸中，图A的面积是( )平方厘米。（每个小方格都表示 ） (2)请分别画出图A向右平移9格，再向下平移4格后的图形。 【答案】(1)10； (2) 【思路引导】（1）通过数格子求图A的面积，不满一格的按半格计算，图A中有4个半格，可以看成2个满格，再数得图A中的满格数，与所得的2相加，即可求得图A的面积； （2）先将图A的每个顶点向右平移9格，然后依次连接各个顶点，画出向右平移9格的图形；再把平移后的图形的每个顶点向下平移4格，同样依次连接各个顶点，画出第二次平移的图形，保证平移后的图形和原图形形状、大小、方向一样，只是位置发生了变化。 【规范解答】（1）图A中有满格8个，还有4个半格，4个半格按2个满格计算： 8＋2＝10（平方厘米） 图A的面积是10平方厘米。 （2）先将图A的每个顶点向右平移9格，再向下平移4格，画出两次平移的图形如下图： 奥数拓展一 平行四边形面积的计算 【典例精讲】（25-26五年级上·河南商丘·期末）计算阴影部分图形面积。 【答案】20cm2 【思路引导】可以通过已知的三角形面积求出高，这个高也是阴影平行四边形的高。已知三角形面积是15，底是6cm，根据，算出高。阴影部分是平行四边形，底是4cm，高与三角形的高相等，再用平行四边形面积公式计算面积。 【规范解答】 4×5＝20（） 所以，阴影部分图形面积为20 【考点剖析】关键点是利用三角形面积求出高，再结合平行四边形的底计算阴影部分面积。 【变式训练】（25-26五年级上·云南玉溪·期末）把一个平行四边形剪拼成一个梯形，（如图），下面说法正确的有（    ）个。 ①梯形的周长和平行四边形的周长相等。 ②梯形的高是平行四边形的2倍。 ③梯形的面积和平行四边形的面积相等。 ④梯形的上底与下底的和与平行四边形的底相等。 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】①剪拼后，梯形的侧边和平行四边形的侧边长度不同，且新增了内部的拼接边，因此周长不相等。 ②平行四边形被剪为两部分后叠放，梯形的高是原来平行四边形高的2倍。 ③剪拼只是改变了图形形状，没有增加或减少面积，所以面积不变。 ④梯形的上底和下底由平行四边形的底拼接而成，即梯形的上底与下底的和与平行四边形的底相等。 【规范解答】①平行四边形的周长与梯形的周长不相等，该说法错误； ②梯形的高是平行四边形高的2倍，该说法正确； ③梯形的面积和平行四边形的面积相等，该说法正确； ④梯形的上底与下底的和与平行四边形的底相等，该说法正确。 综上，正确的是②③④，有3个。 故答案为：B 【考点剖析】本题关键在于理解平行四边形剪拼成梯形的过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变。平行四边形剪拼成梯形后，面积不变，但周长会发生变化，同时要明确梯形的高与平行四边形高的关系以及梯形上底与下底的和与平行四边形底的关系。 奥数拓展二 平行四边形面积的应用 【典例精讲】（25-26五年级上·重庆九龙坡·期末）一块平行四边形的地，相邻两条边长度分别是12米和8米。王爷爷想给这块地铺上草皮，并在地的周围围上栅栏，他分别请了3位师傅计算用料，结果如下： 李师傅：12×8＝96（米），需要栅栏96米。 张师傅：12×8＝96（平方米），需要草皮96平方米。 赵师傅：12×8＝96（平方米），需要草皮面积小于96平方米。 你认为哪位师傅的说法合理？请说明理由。 【答案】 赵师傅；草皮面积是平行四边形的面积，以12米为底时，对应的高是两条平行线间的垂线段，其长度小于另一条邻边8米（垂线段最短），因此面积应小于12×8＝96平方米。（理由不唯一） 【思路引导】栅栏长度是平行四边形的周长，周长＝2×相邻两边之和，即2×（12＋8）＝40米；草皮面积是平行四边形的面积，平行四边形面积＝底×高，高小于邻边长度。据此分析。 【规范解答】赵师傅的说法合理。理由如下： 栅栏长度是平行四边形的周长，正确计算应是2×（12＋8）＝2×20＝40（米），李师傅用12×8计算周长，说法不合理。 草皮面积是平行四边形的面积，以12米为底时，对应的高是两条平行线间的垂线段，其长度小于另一条邻边8米（垂线段最短），因此面积应小于12×8＝96平方米。张师傅直接用12×8作为面积，忽略了高小于邻边的事实，说法不合理。赵师傅明确指出面积小于96平方米，说法合理。 【考点剖析】需区分周长和面积：栅栏是周长，用“2×相邻两边之和”来计算；草皮是面积，用“底×高”来计算，高是垂直线段，一定小于邻边。 【变式训练】把一个活动的长方形框架拉成一个平行四边形后，发现面积少了120平方厘米。原来长方形的长是24厘米，宽是20厘米。那么这个平行四边形的高是多少厘米？ 【答案】15厘米或18厘米 【思路引导】把长方形拉成平行四边形后，底不变，高变小，先依据长方形的面积公式求出长方形的面积，再减去120平方厘米，就是平行四边形的面积，于是利用平行四边形的面积公式即可求出其高的长度。 【规范解答】（24×20－120）÷24 ＝（480－120）÷24 ＝360÷24 ＝15（厘米） 或（24×20－120）÷20 ＝（480－120）÷20 ＝360÷20 ＝18（厘米） 答：这个平行四边形的高是15厘米或18厘米。 【考点剖析】此题主要考查长方形和平行四边形的面积的计算方法的灵活应用。 奥数拓展三 三角形面积的计算 【典例精讲】（24-25五年级下·四川泸州·期末）三角形ABC是一个等腰直角三角形（如下图）。已知空白部分的面积是120平方厘米，BE＝BD，AE＝2BE，DC＝2BD，求阴影正方形的面积。 【答案】 96平方厘米 【思路引导】如图，三角形ABC被平均分成了9个同样的小三角形。 空白部分的面积相当于5个小三角形的面积和，阴影正方形的面积相当于4个小三角形的面积和。 先用空白部分的面积除以5，得到1个小三角形的面积。再用1个小三角形的面积乘4就是阴影正方形的面积。 【规范解答】（平方厘米） （平方厘米） 答：阴影正方形的面积是96平方厘米。 【变式训练】（25-26五年级下·山东临沂·期末）旋转能帮助我们解决很多问题。如图①，正方形ABCD内有一点O，已知，OB＝6厘米，求阴影部分的面积。小华这样想：把三角形BOC绕点B顺时针旋转90°（如图②），可知阴影部分是一个底为6厘米，高为6厘米的三角形，所以面积为（平方厘米）。 你也能利用旋转的知识解决下面的问题吗？ 如下图，在一个直角三角形ABC中有一个正方形DBEF，点F是AC上的一点，求阴影部分的面积。 【答案】 平方厘米 【思路引导】四边形DBEF是正方形，所以DF＝EF，把上方阴影小三角形ADF绕点F逆时针旋转90°，使DF与EF重合，两个阴影三角形拼接成一个直角三角形，两条直角边分别是3厘米和5厘米。根据三角形的面积公式，求出阴影部分的面积。 【规范解答】把上方阴影小三角形ADF绕点F逆时针旋转90°，使DF与EF重合，两个阴影三角形拼接成一个直角三角形，两条直角边分别是3厘米和5厘米。 （平方厘米） 答：阴影部分的面积是7.5平方厘米。 奥数拓展四 三角形面积的应用 【典例精讲】．（25-26五年级上·全国·单元复习）解答。 (1)同学们在探究梯形面积公式时，有以下几种方法： 这四种转化方法对应的算式分别是：( )、( )、( )和( )。 ①（a＋b）×h÷2        ②（a＋b）×（h÷2） ③ah÷2＋bh÷2            ④（a＋b）÷2×h (2)图图用了一种特殊的方法把梯形转化成为三角形，如下图。已知图①的面积是20cm2，可求出图③中涂色三角形的面积是( )cm2。 【答案】(1) ③ ① ② ④ (2)3 【思路引导】（1）根据梯形的面积公式的推导方法可知，用两个完全一样的图形拼成一个平行四边形，这个平行四边形底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式；也可以把一个梯形沿两条腰的中点的连线剪开，然后通过旋转、平移拼成一个平行四边形，这个平行四边形的底等于梯形的上底和下底之和，平行四边形的高是梯形的高的一半，根据平行四边形的面积公式推导出梯形的面积公式，或者把一个梯形分成两个三角形，根据三角形的面积推导出梯形的面积公式。 （2）利用已知条件结合梯形面积公式得出梯形的上底，进而得出涂色三角形的底，再结合中点的性质得出涂色三角形的高，再由三角形的面积公式得出图③中涂色三角形的面积。 【规范解答】（1）第一个图求梯形面积采用切割法，即一个梯形由两个三角形拼接而成， 梯形的面积：ah÷2＋bh÷2，所以填③； 第二个图求梯形面积采用拼接法，即将一个梯形补成一个平行四边形， 梯形的面积为这个平行四边形的面积的一半，即梯形的面积为：（a＋b）×h÷2，所以填①； 第三个图求梯形面积采用切割法和拼接法，将一个梯形切一个梯形，再补成一个平行四边形，这个梯形的面积为这个平行四边形的面积的面积，梯形的面积为：（a＋b）×（h÷2），所以填②； 第四个图求梯形面积采用切割法和拼接法，将一个梯形切两个小三角形，再补成一个长方形，梯形的面积为：（a＋b）÷2×h，所以填④。 这四种转化方法对应的算式分别是：③、①、②和④。 （2）因为图①的面积是20cm2，所以，梯形的面积为20cm2， 梯形的上底： 20×2÷4－7 ＝40÷4－7 ＝10－7 ＝3（cm） 涂色三角形的高是梯形高的一半，底是梯形的上底，即为3cm， 涂色三角形高：4÷2＝2（cm） 面积：3×2÷2＝3（cm2） 图③中涂色三角形的面积是3cm2。 【考点剖析】本题主要考查利用切割法和拼接法求图形面积，关键是熟悉掌握运用图形的面积公式。 【变式训练】（24-25五年级上·福建漳州·期末）下面说法正确的有（    ）个。 ①平行四边形的面积是三角形的2倍。 ②若m÷n＝5……2，则（m×10）÷（n×10）的商是5，余数是20。 ③一个直角三角形的三条边分别长6cm、8cm、10cm，它的面积是24cm2。 ④4.30505…的循环节是05。 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】本题问说法正确的有几个，那么需要逐项进行分析。 关于①：平行四边形的面积是与它等底等高的三角形面积的2倍，这里没有强调等底等高这个条件，所以①错误； 关于②：根据商不变规律，被除数和除数同时扩大10倍，商不变还是5，但余数会跟着扩大10倍，变为20，所以②正确。 关于③：因为直角三角形的三条边分别长6cm、8cm、10cm，根据直角三角形的斜边最长，可以判定直角三角形两条直角边分别是6cm、8cm，那么这个直角三角形面积 （），即这个直角三角形面积为24，所以③正确。 关于④：循环节是指一个循环小数的小数部分依次不断的重复出现的一个或几个数字，4.30505…小数部分依次不断重复出现的数字是05，即它的循环节是05，所以④正确。 【规范解答】根据分析： 正确的说法有②、③、④，共有3个。 故答案为：B 【考点剖析】本题考查的知识点较多，要对每小条的说法进行判定，要掌握平行四边形与三角形面积关系，明确等底等高这个关键前提；要理解被除数和除数同时扩大相同倍数时，商不变，但余数会相应扩大相同的倍数；要能根据直角三角形三边长度判断出直角边，进而运用面积公式计算直角三角形面积；要能准确识别判定循环小数中依次不断重复出现的数字即为循环节。 奥数拓展五 平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】（25-26五年级上·重庆巴南·期末）如图是一块面积为的平行四边形KT板，李老师和同学们将三角形甲和三角形乙裁剪下来布置了教室，其中三角形甲的面积是，剩下的三角形丙的面积是( )。 【答案】22 【思路引导】等底等高的三角形面积是平行四边形面积的一半。图中三角形乙与平行四边形等底等高，因此三角形乙的面积是平行四边形面积的一半；因为三角形甲与三角形丙的高与三角形乙的高相同，底之和是平行四边形的底，所以“三角形甲与三角形丙”的面积之和也等于平行四边形面积的一半。先算出平行四边形面积的一半，再减去三角形甲的面积，即可得到三角形丙的面积。 【规范解答】160÷2＝80（） 80－58＝22（） 所以，剩下的三角形丙的面积是22。 【考点剖析】关键点是牢记 “平行四边形内等底等高的三角形面积是平行四边形的一半”，利用面积和的关系求出未知三角形面积。 【变式训练】（25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下图梯形ABCD中，甲、乙两个三角形的面积相比较，（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＝乙 C．甲＜乙 D．无法比较 【答案】B 【思路引导】如图所示，四边形ABCD是梯形，由图片可知，AB与CD平行，则三角形ABD和三角形ABC等底等高，则两个三角形的面积相等，甲三角形（三角形AOD）的面积＝三角形ABD的面积－三角形AOB的面积，乙三角形（三角形BOC）的面积＝三角形ABC的面积－三角形AOB的面积，进一步得出甲、乙的面积关系。 【规范解答】因为四边形ABCD是梯形，AB与CD平行，所以三角形ABD的面积＝三角形ABC的面积 甲三角形的面积(三角形AOD)＝三角形ABD的面积－三角形AOB的面积，乙三角形（三角形BOC）的面积＝三角形ABC的面积－三角形AOB的面积 所以甲三角形的面积＝乙三角形的面积。 故答案为：B 奥数拓展六 梯形面积的计算 【典例精讲】（25-26五年级上·山东济南·期末）班级文化艺术节活动中，五（1）班同学准备制作一块展板。同学们选用了一块长2.8米，宽1.5米的长方形木板作为展板主体，在展板左上方固定了一个三角形镂空装饰用来悬挂班级标志（甲）；左下方的梯形部分是彩绘作品展区（乙）；右侧三角形部分是手工作品展区（丙）（如下图所示）。 (1)请你根据图中的数据，求出手工作品展区（丙）的面积比镂空部分（甲）的面积多多少平方米？ (2)小明是一位非常善于思考的同学，他认为只要再知道其中的一个数据，就能分别求出甲、乙、丙三部分的面积。 ①我的猜测：小明测量的是线段( )的长度。 ②如果这条线段的长度用字母a表示，请你用含有字母a的式子分别表示出甲、乙、丙三部分的面积。 我的推理：________ ________ ________ 【答案】(1)1.6 (2) AF 0.25a 0.75a＋2.1 2.1－0.75a 【思路引导】（1）通过补集思想简化计算：观察图形可知计算，通过给两个图形补上一块乙，可转换成： ＝ ＝ 据此计算。 （2）通观察可知，要求甲的面积，已知一条直角边，另一条直角边未知，要求乙的面积，已知下底和高，上底未知（上底就是甲的另一条直角边），要求丙的面积，已知一条直角边，另一条直角边未知，且另一条直角边与甲的另一条直角边的和为2.8，所以只需要测量AF的长度或是BF的长度就可以全部计算出来。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝2.8×1.5－（1.5＋0.5）×2.8÷2 ＝4.2－2×2.8÷2 ＝4.2－5.6÷2 ＝4.2－2.8 ＝1.6（平方米） 答：手工作品展区（丙）的面积比镂空部分（甲）的面积多1.6平方米。 （2）①我的猜测：小明测量的是线段AF的长度。 ②0.5a÷2＝0.25a （a＋2.8）×1.5÷2＝（a＋2.8）×0.75＝0.75a＋2.1 （2.8－a）×1.5÷2＝（2.8－a）×0.75＝2.1－0.75a 或者我的猜测：小明测量的是线段BF的长度。 （2.8－a）×0.5÷2＝（2.8－a）×0.25＝0.7－0.25a 长方形－＝2.8×1.5－0.75a＝4.2－0.75a 0.75a。 【考点剖析】题目考查了转化与代换思想，通过将 “求两数之差” 转化为 “求两个整体图形之差”，将不可直接求的问题转化为可计算的大三角形和下方长方形面积问题。 【变式训练】（25-26五年级上·重庆大渡口·期末）在下图的梯形里连接两点画一条线段，把原图分成两个图形，且至少有一个梯形，使这两个图形的面积正好相等。请在图中画出一种分法，想一想，共有（    ）种不同的分法。 【答案】；6 【思路引导】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，算出原来梯形的面积是24，所以分成的两个图形的面积是12。因为原来梯形的高是4，所以分成的梯形的上底与下底的和是6时，面积是12。 【规范解答】（5＋7）×4÷2 ＝12×4÷2 ＝24 24÷2＝12 三角形面积＝6×4÷2＝12 梯形面积＝（1＋5）×4÷2 ＝6×4÷2 ＝12 或（2＋4）×4÷2 ＝6×4÷2 ＝12 图略 共有6种不同的分法。 奥数拓展七 梯形面积的应用 【典例精讲】（24-25五年级上·江苏盐城·期中）下图是一个饲养场的平面图，一面靠墙，三面用篱笆围起来。已知饲养场的面积是6400平方米，围这个饲养场共需篱笆长多少米？ 【答案】米 【思路引导】由题意可知，饲养场的平面图形为梯形，而且篱笆的高为米，根据梯形的面积公式（上底下底）高可以先反求出上底和下底的和。又因为篱笆的长度上＋下底＋高求解出来即可。 【规范解答】 （米） 篱笆长：（米） 答：围这个饲养场共需篱笆长米。 【考点剖析】本题考查梯形面积的反求，注意反求上底和下底的和的时候，面积一定要先乘。 【变式训练】（24-25五年级上·江苏南通·期中）下面的方格纸每个小方格都是边长1厘米的小正方形。 （1）在下面方格纸上以AB为底，画一个面积为8平方厘米的平行四边形。 （2）再分别画一个三角形和一个梯形，使它们的面积分别与平行四边形的面积相等。 【答案】（1）（画法不唯一） （2）（画法不唯一） 【思路引导】根据平行四边形、三角形、梯形的面积公式，结合方格纸的边长（1厘米）来画图：（1）画面积为8平方厘米的平行四边形：首先确定底AB的长度：AB占4个小方格，即底长4厘米。平行四边形面积＝底×高，已知面积为8平方厘米，底为4厘米，因此高为8÷4＝2（厘米）。画法：以AB为底，向上画高2厘米的平行四边形即可。（画图方式不唯一，只要以AB为底，高为2厘米即可。） （2）画面积相等的三角形和梯形。三角形：三角形面积＝底×高÷2。要使面积为8平方厘米，可设底为8厘米，高为2厘米，因为8×2÷2＝8（平方厘米）。画法：画一个底长8厘米、高2厘米的三角形。 梯形：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。可设上底为3厘米，下底为5厘米，高为2厘米，因为（3＋5）×2÷2＝8（平方厘米）。画法：画一个上底3厘米、下底5厘米、高2厘米的梯形。 （画图方式不唯一，只要满足面积公式即可。） 【规范解答】（1）8÷4＝2（厘米） 作图略（画图方式不唯一，只要以AB为底，高为2厘米即可。） （2）8×2÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） （3＋5）×2÷2 ＝8×2÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 作图略：（画图方式不唯一，只要满足面积公式即可。） 【考点剖析】解题关键是熟练掌握平行四边形、三角形、梯形的面积公式，并结合方格纸的边长（1 厘米）来确定图形的底、高或上底、下底的长度。 奥数拓展八 与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】（2021·山东菏泽·小升初真题）如图是两个相同的直角梯形叠在一起，阴影部分是一个不规则的图形。 （1）利用“转化思想”你知道阴影部分面积和图中哪部分图形的面积相等吗？请将它涂色。 （2）请求出阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】（1）见详解 （2）46平方厘米 【思路引导】（1）通过观察图形可知，阴影部分的面积和BFGI的面积相等，据此作图即可。 （2）阴影部分转化为：梯形BFGI的面积，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，把数据代入公式解答。 【规范解答】（1）阴影部分的面积和BFGI的面积相等。如图： （2）（13－3＋13）×4÷2 ＝23×4÷2 ＝46（平方厘米） 答：阴影部分的面积是46平方厘米。 【考点剖析】此题解答关键是利用“转化思想”知道阴影部分面积和图中哪部分图形的面积相等，然后根据梯形的面积公式解答。 【变式训练】（24-25四年级下·山东淄博·期中）下图为叠放在一起的两个相同的铁片，涂色部分的面积是( )cm2。 【答案】25.5 【思路引导】 如图分析，涂色部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形CEG的面积，梯形CFDG的面积等于三角形DEF面积减去三角形CEG的面积，三角形ABC的面积等于三角形DEF的面积，它们减去的都是同一个三角形CEG的面积，所以涂色部分的面积等于梯形CFDG的面积，利用梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2求出即可。 【规范解答】梯形CFDG的上底＝10－3＝7（cm）；梯形面积列式： （7＋10）×3÷2 ＝17×3÷2 ＝51÷2 ＝25.5（cm2） 上图为叠放在一起的两个相同的铁片，涂色部分的面积是25.5cm2。 奥数拓展九 含多边形的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26五年级上·福建宁德·期中）下面算式可以表示计算下边图形面积的有（    ）。 ①        ② ③    ④ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【思路引导】①确定图形的实际面积 该图形是“L形”，可以通过补全大长方形，减去缺角部分计算面积： 大长方形面积（长×宽）：5×6＝30 缺角部分是长5－2＝3、宽2的长方形，面积：2×3＝6 图形实际面积：30－6＝24 ②逐一验证算式： 5×6－2×（5－2）思路：补全大长方形（5×6），减去缺角部分（2×3）。计算后判断即可。 5×（6－2）＋2×2思路：将图形分割为“左侧大长方形”和“右侧小正方形”： 左侧大长方形：长5、宽6－2＝4，面积5×4＝20。右侧小正方形：边长2，面积2×2＝4。面积相加，计算后判断即可。 6×2＋（6－2）×（5－2）思路：将图形分割为“下方长方形”和“上方长方形”： 下方长方形：长6、宽2，面积6×2＝12。上方长方形：长6－2＝4、宽5－2＝3，面积4×3＝12。面积相加，计算后判断即可。 （2＋6）×2÷2＋5×（6－2）÷26：最后一项“÷26”明显无意义（图形中无“26”相关长度），据此判断即可。 【规范解答】5－2＝3 2×3＝6 图形实际面积：30－6＝24 逐一验证算式： ①5×6－2×（5－2） 大长方形：5×6＝30， 缺角部分：2×3＝6 计算：30－6＝24，正确。 ②5×（6－2）＋2×2 左侧大长方形：5×（6－2） ＝5×4 ＝20 右侧小正方形：2×2＝4 计算：20＋4＝24，正确。 ③6×2＋（6－2）×（5－2） 下方长方形： 6×2＝12 上方长方形：（6－2）×（5－2） ＝4×3 ＝12 计算：12＋12＝24，正确。 ④（2＋6）×2÷2＋5×（6－2）÷26 ＝8×2÷2＋5×4÷26 ＝8＋20÷26 ≈8＋0.77 ＝8.77 图形中无“26”相关长度，且计算结果不正确，错误。 正确的算式是①②③。 故答案为：A 【考点剖析】需要先分析图形的结构（可通过“补全法”或“分割法”计算面积），再逐一验证每个算式是否正确。 【变式训练】（2023五年级下·全国·竞赛）在如图中，AF＝14厘米，ED＝11厘米，BE＝13厘米，CF＝8厘米。四边形ABCD的面积是( )平方厘米。 【答案】135 【思路引导】先将梯形BCFE的面积、∆ABE的面积、∆CDF的面积用公式表达出来，然后四边形ABCD的面积等于各面积之和，得出结果即可。 【规范解答】 （平方厘米） 四边形ABCD的面积是135平方厘米。 【考点剖析】本题的难点在计算面积的过程中，不必把所有的线段长度都求出，有的线段可以合并成已知线段。 奥数拓展十 求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】（23-24五年级下·全国·课后作业）如图，四边形DEFB是一个正方形。在三角形ABC中，AE长4厘米，EC长8厘米。涂色部分的面积是多少平方厘米？ 我们可以这样思考： （1）将三角形ADE绕点E逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 （2）因为∠1＋∠2＝（    ）°，所以组合后的涂色部分是一个（    ）三角形。 （3）旋转后的AE长4厘米，EC长8厘米，所以涂色部分的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）图见详解 （2）90；直角； （3）16 【思路引导】（1）以点E为旋转中心，三角形ADE绕点E逆时针旋转90°后，DE和FE重合，在FB上截取FG＝DA，连接EG，三角形GFE就是三角形ADE绕点E逆时针旋转90°后的图形； （2）DEFB是一个正方形，∠DEF是一个直角，则∠1与∠2的和为90°，图形旋转前后对应角的大小相等，∠GEF＝∠1，那么∠GEC＝90°，有一个角为直角的三角形是直角三角形； （3）由图可知，AE＝GE＝4厘米，EC＝8厘米，三角形GEC是直角三角形，利用“三角形的面积＝底×高÷2”求出三角形GEC的面积就是阴影部分的面积，据此解答。 【规范解答】（1）根据分析可知，如图： （2）根据分析可知，∠1＋∠2＝90°， ∠GEF＝∠1 ∠GEF＋∠2＝∠GEC＝90°所以，组合后的阴影部分是一个直角三角形。 因为∠1＋∠2＝90°，所以组合后的涂色部分是一个直角三角形。 （3）4×8÷2 ＝32÷2 ＝16（平方厘米） 旋转后的AE长4厘米，EC长8厘米，所以涂色部分的面积是16平方厘米。 【考点剖析】掌握旋转图形的特征，把阴影部分转化为直角三角形并熟记三角形的面积计算公式是解答题目的关键。 【变式训练】如图，在边长9cm的正方形内任取一点P，将正方形的每条边三等分，并将等分点分别与点P连接，求阴影部分的面积。 【答案】27cm2 【思路引导】可将点P与正方形的4个顶点分别连接起来，可知正方形的每条边与点P所组成三角形的面积是对应的那个阴影部分面积的3倍。则可先求出正方形的面积，再除以3，就是阴影部分的面积了。 【规范解答】由分析得： 9×9÷3＝27（cm2） 答：阴影部分面积是27cm2。 【考点剖析】正确的辅助线是解题的关键，本题就是依据P点的特殊位置，从而确定连接P点与正方形的各个顶点，这样恰好将阴影部分完整的放在每个三角形中，再依据三等分点这个条件，来确定阴影部分面积就是正方形面积的。 奥数拓展十一 不规则图形的面积 【典例精讲】（2025五年级上·江苏南京·专题练习）图中每个方格的面积是1平方厘米。 （1）画一个与平行四边形面积相等的三角形。 （2）画一个与平行四边形面积相等的等腰梯形。 （3）图2不规则图形的面积约是（    ）平方厘米。（不满按半格计算） 【答案】（1）（2）画图如下： （3）8 【思路引导】已知每个方格的面积是1平方厘米，由此可知，方格的边长为1厘米，那么平行四边形的底为3厘米，高为2厘米，那它的面积即为3×2＝6平方厘米。 （1）那三角形面积和平行四边形面积相等也为6平方厘米，而三角形面积＝底×高÷2，由此可推导出底×高＝三角形面积×2，所以底×高＝6×2即12平方厘米，据此找出三角形底和高即可。 （2）梯形面积和平行四边形面积相等也为6平方厘米，而梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，由此可推导出（上底＋下底）×高＝梯形面积×2，即6×2＝12平方厘米，据此找出梯形上底、下底和高即可。 （3）先数出满格的有几格，再根据不满按半格计算，数出不满一格的格子数除以2，计算出不满一格的总共有几格，最后加上满格的格子数即可。 【规范解答】（1）由分析可知：三角形的底×高＝12平方厘米，所以可以选择底为4厘米，那么高为3厘米。（答案不唯一） （2）由分析可知：梯形的（上底＋下底）×高＝12平方厘米，所以可以选择上底为2厘米，下底为4厘米，那么高为2厘米。（答案不唯一） （1）（2）画图略。 （3）根据图形可知：满格的有2个，不满一格的有12个； 12÷2＝6（个） 6＋2＝8（个） 1×8＝8（平方厘米） 所以图2不规则图形的面积约是8平方厘米。 【考点剖析】本题需要熟练掌握平行四边形、三角形和梯形的面积公式，以及掌握不规则图形的面积的计算方法。 【变式训练】我国古代数学家刘徽利用“出入相补原理”来计算平面图形的面积。“出入相补原理”就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。如下图所示，将三角形通过“出入相补”转化成长方形。请将方格中的梯形也用“出入相补”的方法转化成长方形，转化后长方形的面积是（    ）cm2。（每个小方格的面积是2cm2） A．40 B．42 C．36 D．34 【答案】A 【思路引导】把梯形通过“出入相补”的方法转化成长方形，由20个小正方形组成，据此解答即可。 【规范解答】 4×5×2 ＝20×2 ＝40（平方厘米） 故答案为：A 【考点剖析】本题考查梯形、长方形的特征，解答本题的关键是把梯形转化成长方形。 【基础通关】 1．（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）笑笑所在的学校正在开展每周半天计划，本周他们将前往美术馆参观。该美术馆面积为1公顷，摆放着2000个作品，平均每个作品占地（    ）平方米。 A．0.05 B．50 C．5 D．0.5 【答案】C 【思路引导】先把公顷换算成平方米，再用总面积除以作品数量，即可求出平均每个作品的占地面积。 【规范解答】1公顷＝10000平方米 10000÷2000＝5（平方米） 2．（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）用18米长的篱笆按照如图所示的方法围成一个直角梯形苗圃（一面靠墙），要想使苗圃的面积最大，梯形的高应是（    ）。 A．12米 B．9米 C．6米 D．3米 【答案】B 【思路引导】观察图形可知，篱笆只围三条边：上底＋下底＋高＝18（米），根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，把（上底＋下底）看成一个整体，这个整体和高的和是固定的18米，要让梯形的面积最大，就需要让（上底＋下底）和高的乘积尽可能大，因为后面除以2是固定不变的。根据“当两个数相加的和固定不变时，这两个数的大小越接近，它们相乘的结果就越大；当两个数完全相等时，乘积能达到最大值”，现在两个数的和是18，要让它们相等，每个数的大小就是：18÷2＝9（米），也就是当上底加下底的和等于9米，高也等于9米时，两者的乘积最大，对应的梯形面积也就是最大。把四个选项的高分别代入计算面积，确认最大值。 【规范解答】A．梯形的高为12米，那么（上底＋下底）＝18－12＝6（米），面积为：12×6÷2＝72÷2＝36（平方米）； B．梯形的高为9米，那么（上底＋下底）＝18－9＝9（米），面积为：9×9÷2＝81÷2＝40.5（平方米）； C．梯形的高为6米，那么（上底＋下底）＝18－6＝12（米），面积为：12×6÷2＝72÷2＝36（平方米）； D．梯形的高为3米，那么（上底＋下底）＝18－3＝15（米），面积为：15×3÷2＝45÷2＝22.5（平方米）； 40.5＞36＝36＞22.5 所以，当梯形的高为9米时，苗圃的面积最大。 3．（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）把一些钢管堆起来后的横截面近似于梯形，已知最上层是4根，最下层是10根。每相邻两层间相差1根，那么这堆钢管一共有（    ）。 A．70根 B．49根 C．40根 D．50根 【答案】B 【思路引导】每相邻两层间相差1根，则这堆钢管一共有10－4＋1＝7（层）。这个近似的梯形，上底是4，下底是10，高是7，根据“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”，代入数据计算即可求出这堆钢管的总根数。 【规范解答】（层） （4＋10）×7÷2 ＝14×7÷2 ＝98÷2 ＝49（根） 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）妙妙有两张面积相等的三角形纸板。一张纸板的底是25厘米，对应的高是18厘米，这张纸板的面积是( )平方厘米；另一张纸板的高是15厘米，对应的底是( )厘米。 【答案】 225 30 【思路引导】三角形的面积＝底×高÷2，底＝三角形的面积×2÷高，代入数据计算。 【规范解答】25×18÷2 ＝450÷2 ＝225（平方厘米） 225×2÷15 ＝450÷15 ＝30（厘米） 所以这张纸板的面积是225平方厘米；另一张纸板的高是15厘米，对应的底是30厘米。 5．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）图中( )号三角形的面积是平行四边形面积的一半，( )号三角形的面积与平行四边形的面积相等。（填序号） 【答案】 ①③ ②⑤ 【思路引导】根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，分别求出平行四边形与各三角形的面积，再从中找出哪些三角形的面积是平行四边形面积的一半，哪些三角形的面积与平行四边形的面积相等。 【规范解答】平行四边形的面积：4×3＝12 三角形①的面积：4×3÷2＝6 三角形②的面积：8×3÷2＝12 三角形③的面积：3×4÷2＝6 三角形④的面积：3×2÷2＝3 三角形⑤的面积：6×4÷2＝12 图中（①③）号三角形的面积是平行四边形面积的一半，（②⑤）号三角形的面积与平行四边形的面积相等。 6．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）求出这个组合图形的面积。在图上画一画，并写出解题过程。 【答案】；22cm2 【思路引导】将图形分割成底为5cm，高为（8－4）cm的三角形和上底4cm，下底8cm，高2cm的梯形，图形的面积等于三角形面积加上梯形面积。根据三角形面积S＝底×高÷2、梯形面积S＝（上底＋下底）×高÷2，代入计算并求和即可。 【规范解答】 分割如图： 5×（8－4）÷2＋（4＋8）×2÷2 ＝5×4÷2＋12×2÷2 ＝20÷2＋12 ＝10＋12 ＝22（cm2） 7．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）图中的梯形是由一张长方形纸片折叠而成的。这个梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】40平方厘米 【思路引导】把折叠的部分展开还原，求出原来长方形的长，也就是梯形的下底；长方形的宽就是梯形的高，梯形上底已知为7厘米，再根据梯形面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值即可解答。 【规范解答】7＋3＋3＝13（厘米） （7＋13）×4÷2 ＝20×4÷2 ＝80÷2 ＝40（平方厘米） 答：这个梯形的面积是40平方厘米。 8．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小明用铝板制作了一个环保标识牌，标识牌的高是6分米，对应的底的长度是高的1.5倍。制作这个标识牌至少需要多少铝板？给标识牌的两面涂清漆，每平方分米需要8.5克清漆，一共需要多少克清漆？ 【答案】27平方分米；459克 【思路引导】已知三角形标识牌的高是6分米，对应的底的长度是高的1.5倍，用高的长度乘1.5，求出三角形的底；再根据三角形的面积＝底×高÷2，求出标识牌的面积； 给标识牌的两面涂清漆，用每平方分米需要清漆的克数乘标识牌的面积，求出一面涂清漆需要的克数，再乘2，就是一共需要清漆的总克数。 【规范解答】底：6×1.5＝9（分米） 9×6÷2 ＝54÷2 ＝27（平方分米）    8.5×27×2 ＝229.5×2 ＝459（克） 答：制作这个标识牌至少需要27平方分米铝板。一共需要459克清漆。 9．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一个长方形的景区，长8千米，李老师开车以每小时50千米的速度绕景区一周需0.6小时，这个景区的占地面积是多少公顷？ 【答案】5600公顷 【思路引导】先根据速度与行驶时间算出绕景区一周的路程，即长方形的周长；再利用长方形周长公式求出景区的宽；接着用长乘宽计算景区面积；最后将面积单位从平方千米换算为公顷。 【规范解答】（千米） （千米） （平方千米） 56平方千米＝5600公顷 答：这个景区的占地面积是5600公顷。 10．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小雨的书房需要用一些同样大小的平行四边形地砖铺地。小雨的爸爸带1000元钱去建材市场买地砖，每块地砖的底为7分米，高为4分米，每平方分米地砖的价钱为0.8元。他要买45块这样的地砖，钱够吗？ 【答案】钱不够 【思路引导】根据底×高计算出一块平行四边形地砖的面积，再乘数量可算出总面积，再用总面积×每平方分米地砖的价钱即可。 【规范解答】7×4×0.8＝22.4（元） 22.4×45＝1008（元）   1008＞1000 答：他买45块这样的地砖，钱不够。 【能力提升】 1．（25-26五年级上·广东深圳·阶段检测）罗湖一公园计划修建一个梯形广场供游客休息。广场上底长12米，下底是上底的1.5倍，高为8米，这个广场的占地面积是（    ）平方米。 A．96 B．120 C．144 D．160 【答案】B 【思路引导】上底长度×1.5＝下底长度，利用梯形面积公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，计算广场占地面积。 【规范解答】（米） （平方米） 故广场的占地面积是120平方米。 2．（25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）一个梯形，上底是5cm，下底是8cm，如果上底变成0cm时，面积就减少5cm2，那么原梯形的面积是（    ）。 A．13cm2 B．25cm2 C．26cm2 D．65cm2 【答案】A 【思路引导】当上底变为0时，梯形变成底为8cm的三角形，减少的面积是底为5cm、高和梯形等高的三角形的面积，根据三角形的面积＝底×高÷2，用三角形的面积乘2，再除以底求出梯形的高，再根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2求出原梯形面积。 【规范解答】5×2÷5 ＝10÷5 ＝2（cm） （5＋8）×2÷2 ＝13×2÷2 ＝26÷2 ＝13（） 所以原梯形的面积是13。 3．（25-26五年级上·河北石家庄·期末）如图，在8×8的方格中，每个小方格的边长表示1厘米，A、B为两个格点，请再选一个格点C，使三角形ABC的面积为5平方厘米，点C有（    ）种选法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】以线段BC为底或以线段AC为底，三角形的高都是5厘米，根据三角形的底＝面积×2÷高，确定三角形的底，作出对应的图进行解答即可。 【规范解答】三角形的底：5×2÷5＝2（厘米） 如图所示，点C有4种选法。 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）如图，已知正方形的周长是24cm，那么平行四边形的面积是( )cm2。 【答案】36 【思路引导】正方形的周长＝边长×4，用24÷4求出正方形边长，正方形边长与平行四边形底和高相等，平行四边形面积＝底×高，代入数据解答即可。 【规范解答】24÷4＝6（cm） 6×6＝36（） 平行四边形的面积是36。 5．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一堆木料，最上层4根，最下层10根，由上至下每层依次增加1根，这堆木料共( )根。 【答案】49 【思路引导】根据题意，最上层有4根，最下层有10根，从上往下每层依次多1根，这堆钢管的层数是（10－4＋1）层，也就是梯形的高；根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据，即可解答。 【规范解答】10－4＋1＝6＋1＝7（层） （4＋10）×7÷2 ＝14×7÷2 ＝98÷2 ＝49（根） 即这堆木料共49根。 6．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）一个三角形和一个平行四边形等底等高，它们面积的和是48cm2，平行四边形的面积是( )cm2，三角形的面积是( )cm2。 【答案】 【思路引导】（）回忆等底等高的三角形和平行四边形的面积关系，因为平行四边形面积公式：平行四边形面积底高，三角形面积公式：，所以等底等高时平行四边形面积是三角形面积的倍。 （）把三角形面积看作份，那么平行四边形面积就是份，两者面积和对应的总份数就是份，用面积和除以总份数得到份的面积，也就是三角形的面积，再乘得到平行四边形的面积。 【规范解答】（份） （） （） 7．（25-26五年级上·山东日照·期末）求涂色部分的面积。（单位：cm） 【答案】75cm2 【思路引导】涂色部分面积等于梯形面积减去三角形面积。梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形面积＝底×高÷2。 【规范解答】梯形面积：（6＋14）×10÷2 ＝20×10÷2 ＝200÷2 ＝100（cm2） 三角形面积：10×5÷2 ＝50÷2 ＝25（cm2） 涂色面积：100－25＝75（cm2） 8．（24-25五年级上·山东德州·期末）张大爷准备用100米的篱笆围一块菜地，一面靠墙，三面用篱笆围起来。现在有两种围法可以选择，哪种围法面积大，大多少？ 【答案】第二种；103 平方米 【思路引导】第一种：靠墙的一边不需要篱笆，已知梯形的高是米，上底＋下底 ＝ （米）。第二种：已知梯形的高是米，上底＋下底 ＝ （米）。根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高算出面积进行比较大小即可。 【规范解答】 （平方米） （平方米） （平方米） 答：第二种围法面积大，大平方米。 9．（25-26五年级上·河南南阳·期末）王大伯靠墙围了一个鸡圈如图，已知所用篱笆全长11.5米，这个鸡圈的面积是( )平方米。 【答案】15 【思路引导】从图中可以看出，鸡圈是一个直角梯形，且一面靠墙，所以篱笆只围了梯形的上底、下底和高，用篱笆总长减去高，即可得到梯形上底与下底的和，根据梯形面积公式S＝（a＋b）×h÷2，代入数值进行计算。 【规范解答】由图可知，梯形的高为4米 11.5−4＝7.5（米） 7.5×4÷2 ＝30÷2 ＝15（平方米） 所以，这个鸡圈的面积是15平方米。 【考点剖析】重点考查梯形面积公式的应用，需要从“靠墙围鸡圈”的实际情境中，抽象出直角梯形的几何模型，理解篱笆长度与梯形各边的对应关系，即“靠墙一侧不需要篱笆”，从而正确计算梯形上底与下底的和。 10．（24-25五年级上·浙江台州·期末）如图，阴影所表示的2个四边形面积：S甲（    ）S乙（填“＞”“＜”或“＝”）。请你用合适的方式说明你的理由。 【答案】＝；2个四边形所在的规则图形的面积减去公共部分的面积所剩余的面积相等，也就是S甲与S乙相等。（理由不唯一） 【思路引导】三角形面积＝底×高÷2，长方形面积＝长×宽，平行四边形面积＝底×高。 左侧阴影部分的面积（S甲）等于平行四边形面积减去空白三角形的面积；右侧四边形面积等于长方形面积减去空白三角形的面积，据此计算出2个四边形面积再比较。 【规范解答】左侧四边形所在的平行四边形的底是6厘米，高是8厘米。 S甲＝6×8－6×5÷2 ＝48－15 ＝33（平方厘米） 右侧四边形所在的长方形的长是8厘米，宽是6厘米。 S乙＝8×6－6×5÷2 ＝48－15 ＝33（平方厘米） 2个四边形的面积相等，也就是S甲＝S乙。 理由：2个四边形所在的规则图形的面积减去公共部分的面积所剩余的面积相等，也就是S甲与S乙相等。（理由不唯一） 【考点剖析】此题所求的是不规则图形的面积，关键是通过求规则图形的面积进行求解，要熟练掌握常见图形的面积公式。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第五单元多边形的面积『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+19个考点讲练+11个奥数拓展+真题难度分层演练共80题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络 2 知识梳理温故知新 3 知识点一平行四边形的面积：.... 3 知识点三梯形的面积.… …4 知识点四组合图形的面积及面积的估算 知识点五面积单位的认识...，... 知识点六面积单位之间的换算.… 知识点七面积单位的应用… ..5 考点讲练真题汇总..… 6 高频考点一借助方格比较图形的面积.。 6 第1页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点二平行四边形的高及画法.· 高频考点三三角形的高及画法.... 7 高频考点四梯形的高及画法.8 高频考点五平行四边形面积的计算. .9 高频考点六平行四边形面积的应用.· 9 高频考点七利用平移法求平行四边形的面积. 10 高频考点八三角形面积的计算.· 10 高频考点九三角形面积的应用..，.. 10 高频考点十平行线间三角形的面积问题...... 11 高频考点十一梯形面积的计算. ….11 高频考点十二梯形面积的应用.. 12 高频考点十三与梯形相关的重叠问题………… 12 高频考点十四含多边形的组合图形的面积.· 13 高频考点十五求组合图形中阴影部分的面积.·.· 。。。。。。。。。。。。。。。 13 高频考点十六公顷、平方千米的认识. 高频考点十七公顷、平方千米的进率与换算..· 14 高频考点十八公顷、平方千米的实际问题 15 高频考点十九不规则图形的面积... 15 难点突破奥数拓展… 16 奥数拓展一平行四边形面积的计算... ....16 奥数拓展二平行四边形面积的应用.... ….16 奥数拓展三三角形面积的计算. 17 奥数拓展四三角形面积的应用.. .......18 奥数拓展五平行线间三角形的面积问题..· 19 奥数拓展六梯形面积的计算……………… 19 奥数拓展七梯形面积的应用 20 奥数拓展八与梯形相关的重叠问题.21 奥数拓展九含多边形的组合图形的面积…22 奥数拓展十求组合图形中阴影部分的面积....... ..22 奥数拓展十一不规则图形的面积.23 第2页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 优选真题实战演练.· ...24 【基础通关】 24 【能力提升】 。。。。。。。。。。。。，。，，，。。。26 导图指引梳理脉络 比较图形的面积 1.观察并比较下面各图形的面积，利用附页3中的图1试一试。 停车场的每个车位都是平行四边形 A四7> 2.结合方格纸想一想，如何得到平行四边形的面积？ 2.如何比较图形的面积呢？想一想，说一说。 比较图形 探索平行 的面积 四边形面积 金余→ 行四 3。想办法找到面积相等的图形，并与同伴交流。 3.你同意笑笑的猜想吗？验证一下，开与同父流。 爱股 我花图①平移到图③， 宽 积和等，我是通过… 两个图形重合。所以 4.奇思的发现你同意吗？想一想，拼一拼。 卡方形的关相当于 长方彩的面机公式礼装×克， 平行四边形的重积 庭×高 周⑤和图须合起来 + 第五单元 Sah 与围面积相等， 多边形的面积 1.淘气剪了流动红旅 认识底和高 提索三角形 拉动长方形的过程中，什么发生了变化？什么没有变化？ 面积 之.小组合作，探索并交流三角形面积的计算方法。 来父青不父 发现上下而 之的高 三角形的面职 2.认一认，说一说. 方法二 底×高 认识底 S=h÷2 ，上下两 之间的距高 和高 探索梯形面积 大顷的横面为桃形。 梯形的面积 梯形、三角形也有高，看，认一认 (上底+ 底)×高+2 S=(u+b)h÷2 4m+ 下 组合图形 智慧老人准备给客厅铺上地 的面积 公顷、平方千米 客厅的平面图如右图所示。 天安门广场的面积约是440000m2, 3m 测量和计算土地面积时， 相当于44公顷。 每个小方格的边长表示1cm。 m 通常用公顷、平方千米 (km)作单位。 成长的脚印 把种印看成稀形 大的是 1公顷=10000m2 1km=1000000m2 温馨提示：①灵活运用转化”的数学思想，起多边形转化为学过的图形桑解决问超， ②妈清楚底和高的念义，高是垂直的距离。 ③单位换算：1公项=10000m2,1km=1000000m. 知识梳理温故知新 知识点一平行四边形的面积： 1.运用转化法计算图形的面积 一转化：通过切割、平移等方法把不规则图形转化成规则的长方形、正方形等图形。 二计算：计算规则图形的面积，也就是原来不规则图形的面积。 2.把平行四边形转化成长方形的方法。 沿着平行四边形的任意一条边上的任意一条高剪成两个图形后，通过平移都可以把平行四边形转化成 一个长方形。 第3页共28页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 3.平行四边形的面积计算公式 平行四边形的面积=底X高，用字母表示为S-aXh。 知识点二三角形的面积 1.三角形和平行四边形之间的关系 两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是两个完全一样的三角形所拼成 的平行四边形的面积的一半，即三角形的面积=平行四边形的面积÷2或平行四边形的面积=三角形的面 积X2。 2.三角形的面积计算公式 三角形的面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半。三角形的面积=底×高÷2，用字母表示为 S=aXh÷2。 知识点三梯形的面积 1.梯形面积计算中的“转化 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，梯形的面积是两个完全一样的梯形所拼成的平行四边 形的面积的一半，也就是：梯形的面积=平行四边形的面积：2或平行四边形的面积=梯形的面积×2。 2.梯形的面积 梯形的面积=（上底+下底)×高÷2。用字母表示：S=(a+b)×h÷2。 知识点四组合图形的面积及面积的估算 1.组合图形面积的计算方法。 运用“分割”“添补”求组合图形的面积：计算组合图形的面积，一般是先把它分割成已学过的简单 图形，分别计算出各个简单图形的面积，然后把它们加起来；也可以把整个图形补成一个长方形、正 方形等图形，再用补成的图形的面积减去缺少部分图形的面积。 2.面积的估算。 不规则图形的面积估算方法：求不规则图形的面积，可以用数方格的方法进行估算。估算时，先数整 格的，再数不满整格的，不满整格的按半格计算。 知识点五面积单位的认识 1、常用的面积单位 已经学过的面积单位有平方厘米(cm2)、平方分米(dm2)、平方米(m2)。 (1)平方厘米(c2):边长是1厘米的正方形的面积。 (2)平方分米（(dm2):边长是1分米的正方形的面积。 第4页共28页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 (3)平方米(m2):边长是1米的正方形的面积。 2、大面积单位 测量土地的面积，可以用公顷、平方千米作单位。 （1)公顷的认识 定义：边长是100米的正方形的面积是1公顷。 (2)换算：1公顷=10000平方米。 3、平方千米的认识 (1)定义：边长是1000米的正方形的面积是1平方千米。 (2)换算：1平方千米=1000000平方米=100公顷。 【技巧点拨】在比较不同单位表示的大面积时，一定要先统一单位再比较。 知识点六面积单位之间的换算 1、面积单位的进率 1平方千米=100公顷=1000000平方米 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 2、换算方法： (1)高级单位转化为低级单位：使用乘法，将高级单位前面的数乘以两个单位之间的进率。例如，将 公顷转化为平方米，就在公顷前面的数后面直接添写4个0。 (2)低级单位转化为高级单位：使用除法，将低级单位前面的数除以两个单位之间的进率。例如，将 平方米转化为公顷，就去掉平方米前面的数后面的4个0。 【技巧点拨】在进行单位换算时，要准确判断两个单位之间的进率，不能混淆。 知识点七面积单位的应用 1、选择合适的面积单位： (1)计量非常大的土地面积，像国土面积、省份（含直辖市)面积、省会城市面积、州（市）面积、 县、乡镇面积、村委会、村庄面积等，一般要用“平方千米”作单位。 (2)计量稍大一些的土地面积，如公园、校园、体育场（馆）等，一般要用“公顷”作单位。 (3)房屋（建筑）面积、教室面积、校园绿化面积等，一般要用“平方米”作单位。 2、解决问题 (1)先按照面积公式计算题目要求的图形面积，再根据题目要求进行面积单位转换。 (2)比较面积大小时，熟记面积单位之间的进率，将两个不同的面积单位统一，才能进行比较。 【技巧点拨】在选择面积单位时，要紧密联系生活实际和对面积大小的直观感受，不能随意使用单位。 第5页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 要通过生活中的实例，加深对不同面积单位适用范围的理解。 考点讲练真题汇总 高频考点一借助方格比较图形的面积 【典例精讲】(25-26五年级上·全国·课后作业)小宇和小恒在争论谁家的鱼塘大一些。你认为谁家的 鱼塘大？理由是什么？（下图每个小方格的面积是1m) 小宇家的 鱼塘 小恒家的 鱼塘 【变式训练】(24-25五年级上·福建泉州·期末)一个池塘的形状如图所示，图中每个小方格的面积是 1m。请你估一估，这个池塘的面积大约是（ )m。 A.29 B.36 C.45 D.66 高频考点二平行四边形的高及画法 【典例精讲】(25-26五年级上·河南郑州·期末)我国古代数学名著《九章算术》中记载了梯形面积的 计算方法。著名数学家刘徽还在注释中用“出入相补”的方法（如图）对其进行说明。下面说法中正确的 是( )。 ①平行四边形的高等于梯形的高 ②平行四边形的面积等于梯形的面积 ③平行四边形的底等于梯形上底加下底的和 A.①② B.①③ C.②③ 第6页共28页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 24.（25-26五年级上·江西吉安·期末) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0123456789 (1)在图中分别描出下列各点。 A(5,3) B(3,6) C(7,6) (2)如果在方格图上找一点D,使得A、B、C、D四个点围成一个平行四边形，则点D用数对表示为 ( ）。 (3)请你画出这个平行四边形，并作出它的一条高。 高频考点三三角形的高及画法 【典例精讲】(25-26五年级上·云南文山·阶段检测)根据要求填空和画图。 (1)点C的位置用数对表示是( )。 (2)在图中标出点A(3,7)和点B(1,2)并依次连接点A一B→C一A形成一个三角形。 (3)按角分这个三角形是( )三角形，按边分这个三角形是()三角形。 (4)以线段BC为底，画三角形的高，高与底的交点D用数对表示为(，)。 > 6 4 3 01234567 第7页共28页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(24-25四年级下·河北廊坊·期末)按要求作图（每个小方格的边长为1cm)。 ② (① B (1)图形①是一个轴对称图形，根据给出的对称轴补全它的另一半。 (2)画出图形②向右平移5格后的图形。 (3)在图中画一个以线段AB为底，且高是4cm的三角形，并画出底边AB上的高。 高频考点四梯形的高及画法 【典例精讲】(25-26四年级上·广东佛山·期末)非遗项目剪纸传承人邓老师在佛山“非遗十AI”艺术 实验室现场用一张长21cm,宽6cm的长方形纸和三角形纸交叉摆放裁剪，重叠部分是一个()形，它 的高是( )厘米。 k-21cm→ 6cm 【变式训练】(25-26四年级上·河南郑州·期末)在下图中，小正方形的边长是6厘米，大正方形的边 长是8厘米。图中共有( )个梯形，其中最大的梯形的较短底边是( )厘米，较长底边是 )厘米，高是( )厘米。 第8页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点五平行四边形面积的计算 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业)一块平行四边形的菜地（如图），现要用篱笆围起来， 要用多长的篱笆？ 8 14 (单位：m) 【变式训练】(26-27五年级上·全国·课后作业)小区内一排平行四边形车位，中间留有斜线通道，不 单独计算单个车位面积，借助平移法，画出转化思路，快速求出所有车位的总面积。 高频考点六平行四边形面积的应用 【典例精讲】(24-25五年级下·江苏南京·期末)下面的说法正确的共有( )句。 ①我们学校的面积大约1平方千米： ②除法算式中，被除数扩大10倍，除数缩小10倍，商不变： ③6.5与6.50大小相等，计数单位也相同： ④把平行四边形木框架推移成长方形，它的周长没变，面积变大了： ⑤小数和整数一样，相邻两个计数单位间的进率都是10。 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式训练】(25-26五年级上·广东汕头·阶段检测)张伯伯家里有一块近似平行四边形的菜园，这个 季度共收白菜480千克。已知每平方米的菜地收白菜8千克，菜地的底是15米，那么它的高是多少米？ 第9页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 高频考点七利用平移法求平行四边形的面积 【典例精讲】(24-25五年级上·新疆巴州·期末)林叔叔家有一块平行四边形的空地，中间有一条石子 路，其余部分准备用来种菜（如图）。种菜的面积有多少平方米？ 20m 【变式训练】(24-25五年级上·山西运城·期末)把一个平行四边形转化成一个长方形，如图所示。 (1)观察图形的变化过程。（选填“>”“<”或“=”） 长方形的长( )平行四边形的底： 长方形的宽( )平行四边形的高： 长方形的面积( )平行四边形的面积。 (2)长方形的周长与平行四边形的周长相等吗？说说你的理由。 高频考点八三角形面积的计算 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)一个平行四边形的面积比与它等底等高的三角形的面 积大28cm,这个三角形的面积是( )cm2。 【变式训练】(25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测)一个平行四边形的面积是36dm,与它等底等高的 三角形面积是( )dm':如果一个三角形的面积是36dm',与它等底等高的平行四边形面积是( )dm2。 高频考点九三角形面积的应用 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)三角巾包扎法适用于较大创伤的急救，一块三角巾的 底约是1.4米，高约是0.65米。社区诊所一次性购进242块这样的三角巾，这些三角巾的总面积约是多少 平方米？ 第10页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级上·福建宁德·阶段检测)将一卷长17分米、宽8分米的长方形布料，做成 底和高都是4分米的直角三角形小旗，最多可以做( )面。 A.8 B.16 C.9 D.17 高频考点十平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】(25-26五年级上·吉林长春·期末)在一组平行线间画图形（如图所示），甲、乙两个三 角形的面积相比， A.甲>乙 B.甲<乙 C.甲=乙 D.无法确定 【变式训练】(25-26五年级上·江苏南京·期中)小南和小诗在判断图中阴影部分面积大小时，出现了 分歧，请你来帮帮他们。 6厘米 6厘米 6厘米 4厘米 4厘米 4厘米 图1 图2 图3 小南：我认为：图3中阴影面积最大，因为两个三角形都超出了长方形。 小诗：我认为：三幅图中阴影部分的面积都一样大。 你同意谁的观点，算一算或写一写，说明你的理由。 高频考点十一梯形面积的计算 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)小红将两个完全相同的直角三角形的一部分叠放在一 起（如图），阴影部分的面积是多少平方厘米？（单位：厘米） B2F 第11页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级下·山东济南·期末)在推导梯形面积计算公式的过程中，小宇将梯形转化 成了三角形（如图）。如果梯形的面积是30cm2,高是5cm,那么转化后三角形的底是( 中点 底 高频考点十二梯形面积的应用 【典例精讲】(25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测)一个果园近似梯形，上底120米、下底180米、 高80米。如果每10平方米栽一棵果树，一共能栽多少棵果树？ 【变式训练】(24-25五年级上·湖南张家界·期末)现有一堆圆木堆叠成梯形（上层3根，第二层4根， 第三层5根，底层6根)，请完成以下操作。 (1)画出圆木堆叠示意图，每层圆形大小统一、摆放对齐。 (2)利用梯形面积计算公式，列式计算这堆圆木一共有多少根。 高频考点十三与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】(24-25五年级上·湖北十堰·期末)如图，在一组平行线间有两个平行四边形相重叠（如 图)，形成一个三角形①（重叠部分）和两个梯形②、③（空白部分）。那么，②、③的面积相比( )。 ② ③ ① A.梯形②的面积最大 B.梯形③的面积最大 C.梯形②、③的面积相等 D.无法确定 【变式训练】(24-25五年级上·江苏无锡·期中)王大爷家的菜地是由两个完全一样的等腰直角三角形 重叠而成的一个不规则图形菜地，其中③号菜地面积是( 第12页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 10 ③ h②》 A.10平方米 B.20平方米 C.42平方米 D.40平方米 高频考点十四含多边形的组合图形的面积 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)计算图形的面积，请补上分割、添补图形的画法和计 算过程。（单位：cm) 12 12×12= (12-6)×(12-3)÷2= 【变式训川练】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)求组合图形的面积。下面是小军的解答过程。请在图 中画一画，表示出他求这个组合图形面积的思路。 8-4=4(cm) (2+5)×4÷2=14(cm2) 4 cm n 4×2=8(cm2)14+8=22(cm2) N 答：这个组合图形的面积是22cm2。 小军 8cm 高频考点十五求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】(24-25五年级下·江苏南京·期末)计算下面图形阴影部分面积（单位：厘米）。 10厘米 5 10厘米 6厘 6厘米 第13页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级上·河南周口·期末)计算下面图形中阴影部分的面积。（单位：cm) 8 ① 35 ② 20 高频考点十六公顷、平方千米的认识 【典例精讲】(26-27五年级上·全国·课后作业)育才小学组织五年级学生前往“欢乐田园”开展研学 活动，同学们在园区门口看到一则园区简介（如下图）。参观实践体验区时，同学们了解到区内共建有50 个温室大棚，每个大棚长约30米、宽约8米。请你通过计算判断：这则简介中的占地面积信息是否属实？ 欢乐田园研学胜地 欢乐田园风光旖旎，项目丰富，是本市科普示范基地，占地8公顷。 它分为科普教育区、实践体验区、休闲娱乐区和配套服务区四大区域， 其中实践体验区除温室大棚外的面积是2公顷，其他三大区域共占地 3公顷。 【变式训练】(25-26五年级上·江苏宿迁·阶段检测) 96公顷=( )平方米 5900公顷=( )平方千米 2平方千米=( )平方米 200平方千米=( )公顷 高频考点十七公顷、平方千米的进率与换算 【典例精讲】(25-26五年级上·福建宁德·阶段检测)在括号里填上“>”“<”或“=”。 200公顷( )22平方千米 36平方千米( )3平方千米6公顷 第14页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26五年级下·山东东营·期末) 30千克=( )吨 1小时20分钟=( )小时 2.5升=( )升( )毫升 7公顷500平方米=（ ）公顷 高频考点十八公顷、平方千米的实际问题 【典例精讲】(25-26四年级上·全国·随堂练习)一个果园里种了4000棵果树，平均每棵果树占地5平 方米。这个果园占地多少公顷？ 【变式训练】(24-25五年级上·重庆潼南·期末) 1.32hm2=( )m' 2400000m2=( )km 0.76km2=( )hm 高频考点十九不规则图形的面积 【典例精讲】(25-26五年级下·上海·期末)请你估算一下，图中的叶子大约是( )。 Icm A.16cm2~34cm2 B.18cm2~36cm2 C.20cm2~38cm2 D.22cm2~40cm2 【变式训练】(25-26四年级下·河南南阳·期末) (1)下面方格纸中，图A的面积是( )平方厘米。（每个小方格都表示1平方厘米） (2)请分别画出图A向右平移9格，再向下平移4格后的图形。 第15页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 难点突破奥数拓展 奥数拓展一平行四边形面积的计算 【典例精讲】 (25-26五年级上·河南商丘·期末)计算阴影部分图形面积。 15cm 6cm 4cm 【变式训练】(25-26五年级上·云南玉溪·期末)把一个平行四边形剪拼成一个梯形，（如图），下面 说法正确的有( )个。 ①梯形的周长和平行四边形的周长相等。 ②梯形的高是平行四边形的2倍。 ③梯形的面积和平行四边形的面积相等。 ④梯形的上底与下底的和与平行四边形的底相等。 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 奥数拓展二平行四边形面积的应用 【典例精讲】(25-26五年级上·重庆九龙坡·期末)一块平行四边形的地，相邻两条边长度分别是12米 和8米。王爷爷想给这块地铺上草皮，并在地的周围围上栅栏，他分别请了3位师傅计算用料，结果如下： 李师傅：12×8=96（米），需要栅栏96米。 张师傅：12×8=96（平方米），需要草皮96平方米。 赵师傅：12×8=96（平方米），需要草皮面积小于96平方米。 你认为哪位师傅的说法合理？请说明理由。 第16页共28页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】把一个活动的长方形框架拉成一个平行四边形后，发现面积少了120平方厘米。原来长方形 的长是24厘米，宽是20厘米。那么这个平行四边形的高是多少厘米？ 奥数拓展三三角形面积的计算 【典例精讲】(24-25五年级下·四川泸州·期末)三角形ABC是一个等腰直角三角形（如下图）。已知 空白部分的面积是120平方厘米，BE=BD,AE=2BE,DC=2BD,求阴影正方形的面积。 【变式训练】(25-26五年级下·山东临沂·期末)旋转能帮助我们解决很多问题。如图①，正方形ABCD 内有一点0，己知∠B0C=90°，OB=6厘米，求阴影部分的面积。小华这样想：把三角形B0C绕点B顺时 针旋转90°（如图②），可知阴影部分是一个底为6厘米，高为6厘米的三角形，所以面积为6×6÷2=18 (平方厘米)。 O 6cm B A B 6cm 6cm D D 你也能利用旋转的知识解决下面的问题吗？ 如下图，在一个直角三角形ABC中有一个正方形DBEF,点F是AC上的一点，求阴影部分的面积。 第17页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 3cm F D 5cm E C 奥数拓展四三角形面积的应用 【典例精讲】.(25-26五年级上·全国·单元复习)解答。 (1)同学们在探究梯形面积公式时，有以下几种方法： a h h b b 中点 中点 b a 6 这四种转化方法对应的算式分别是：( )、( )、( )和( )。 ①(a+b)×h÷2 ②(a+b)×(h÷2) ③ah÷2+bh÷2 ④(a+b)÷2×h (2)图图用了一种特殊的方法把梯形转化成为三角形，如下图。己知图①的面积是20cm',可求出图③中涂 色三角形的面积是( )cm。 4cm 中点 7cm cm ① ② ③ 第18页共28页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(24-25五年级上·福建漳州·期末)下面说法正确的有( )个。 ①平行四边形的面积是三角形的2倍。 ②若m÷n=5…2,则(m×10)÷(n×10)的商是5，余数是20。 ③一个直角三角形的三条边分别长6cm、8cm、10cm,它的面积是24cm'。 ④4.30505…的循环节是05。 A.4 B.3 C.2 D.1 奥数拓展五平行线间三角形的面积问题 【典例精讲】(25-26五年级上·重庆巴南·期末)如图是一块面积为160dm2的平行四边形KT板，李老 师和同学们将三角形甲和三角形乙裁剪下来布置了教室，其中三角形甲的面积是58d2,剩下的三角形丙 的面积是( )dm2。 丙 甲 【变式训练】(25-26五年级上·黑龙江哈尔滨·期末)下图梯形ABCD中，甲、乙两个三角形的面积相比 较，( )。 A B 甲 C A.甲>乙 B.甲=乙 C.甲<乙 D.无法比较 奥数拓展六梯形面积的计算 【典例精讲】(25-26五年级上·山东济南·期末)班级文化艺术节活动中，五(1)班同学准备制作一块 展板。同学们选用了一块长2.8米，宽1.5米的长方形木板作为展板主体，在展板左上方固定了一个三角 形镂空装饰用来悬挂班级标志（甲）；左下方的梯形部分是彩绘作品展区（乙）；右侧三角形部分是手工 作品展区（丙）（如下图所示）。 第19页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 E 06 A B 公 1.5 D 2.8 入C (单位：m) (1)请你根据图中的数据，求出手工作品展区（丙）的面积比镂空部分（甲）的面积多多少平方米？ (2)小明是一位非常善于思考的同学，他认为只要再知道其中的一个数据，就能分别求出甲、乙、丙三部分 的面积。 ①我的猜测：小明测量的是线段( )的长度。 ②如果这条线段的长度用字母a表示，请你用含有字母a的式子分别表示出甲、乙、丙三部分的面积。 我的推理：S甲= SL.= §丙= 【变式训练】(25-26五年级上·重庆大渡口·期末)在下图的梯形里连接两点画一条线段，把原图分成 两个图形，且至少有一个梯形，使这两个图形的面积正好相等。请在图中画出一种分法，想一想，共有 )种不同的分法。 奥数拓展七梯形面积的应用 【典例精讲】(24-25五年级上·江苏盐城·期中)下图是一个饲养场的平面图，一面靠墙，三面用篱笆 围起来。己知饲养场的面积是6400平方米，围这个饲养场共需篱笆长多少米？ 80米 第20页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(24-25五年级上·江苏南通·期中)下面的方格纸每个小方格都是边长1厘米的小正方形。 (1)在下面方格纸上以AB为底，画一个面积为8平方厘米的平行四边形。 (2)再分别画一个三角形和一个梯形，使它们的面积分别与平行四边形的面积相等。 A B 奥数拓展八与梯形相关的重叠问题 【典例精讲】(2021·山东菏泽·小升初真题)如图是两个相同的直角梯形叠在一起，阴影部分是一个不 规则的图形。 (1)利用“转化思想”你知道阴影部分面积和图中哪部分图形的面积相等吗？请将它涂色。 (2)请求出阴影部分的面积。（单位：厘米） D E H 13 【变式训练】(24-25四年级下·山东淄博·期中)下图为叠放在一起的两个相同的铁片，涂色部分的面 积是( )cm2。 4.3cm 怀AD G B 3cm 第21页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 奥数拓展九含多边形的组合图形的面积 【典例精讲】(25-26五年级上·福建宁德·期中)下面算式可以表示计算下边图形面积的有( )。 5 6 ①5×6-2×(5-2) ②5×(6-2)+2×2 ③6×2+(6-2)×(5-2) ④(2+6)×2÷2+5×(6-2)÷26 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【变式训练】(2023五年级下·全国·竞赛)在如图中，AF=14厘米，ED=11厘米，BE=13厘米，CF=8 厘米。四边形ABCD的面积是( )平方厘米。 奥数拓展十求组合图形中阴影部分的面积 【典例精讲】(23-24五年级下·全国·课后作业)如图，四边形DEFB是一个正方形。在三角形ABC中， AE长4厘米，EC长8厘米。涂色部分的面积是多少平方厘米？ E 2 B 我们可以这样思考： (1)将三角形ADE绕点E逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。 (2)因为∠1+∠2=( )。,所以组合后的涂色部分是一个( )三角形。 (3)旋转后的AE长4厘米，EC长8厘米，所以涂色部分的面积是( )平方厘米。 第22页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】如图，在边长9Cm的正方形内任取一点P,将正方形的每条边三等分，并将等分点分别与点P 连接，求阴影部分的面积。 H G D 奥数拓展十一不规则图形的面积 【典例精讲】(2025五年级上·江苏南京·专题练习)图中每个方格的面积是1平方厘米。 图2 图1 (1)画一个与平行四边形面积相等的三角形。 (2)画一个与平行四边形面积相等的等腰梯形。 (3)图2不规则图形的面积约是( )平方厘米。（不满按半格计算） 【变式训练】我国古代数学家刘徽利用“出入相补原理”来计算平面图形的面积。“出入相补原理”就是 把一个图形分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。如下图所示，将三角形通过“出入相补” 转化成长方形。请将方格中的梯形也用“出入相补”的方法转化成长方形，转化后长方形的面积是( cm。(每个小方格的面积是2cm) A.40 B.42 C.36 D.34 第23页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26五年级上·广东深圳·阶段检测)笑笑所在的学校正在开展每周半天计划，本周他们将前往美 术馆参观。该美术馆面积为1公顷，摆放着2000个作品，平均每个作品占地( ）平方米。 A.0.05 B.50 C.5 D.0.5 2.(25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测)用18米长的篱笆按照如图所示的方法围成一个直角梯形 苗圃（一面靠墙），要想使苗圃的面积最大，梯形的高应是( )。 A.12米 B.9米 C.6米 D.3米 3.(25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测)把一些钢管堆起来后的横截面近似于梯形，已知最上层 是4根，最下层是10根。每相邻两层间相差1根，那么这堆钢管一共有( )。 A.70根 B.49根 C.40根 D.50根 4.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)妙妙有两张面积相等的三角形纸板。一张纸板的底是25厘米，对 应的高是18厘米，这张纸板的面积是( )平方厘米；另一张纸板的高是15厘米，对应的底是 ( )厘米。 5.(26-27五年级上辽宁课后作业)图中( )号三角形的面积是平行四边形面积的一半，( 号三角形的面积与平行四边形的面积相等。（填序号） 3 第24页共28页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 6.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)求出这个组合图形的面积。在图上画一画，并写出解题过程。 月 4 cm n 8cm 7.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)图中的梯形是由一张长方形纸片折叠而成的。这个梯形的面积是 多少平方厘米？ A (单位：厘米) 8.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)小明用铝板制作了一个环保标识牌，标识牌的高是6分米，对应 的底的长度是高的1.5倍。制作这个标识牌至少需要多少铝板？给标识牌的两面涂清漆，每平方分米需要 8.5克清漆，一共需要多少克清漆？ wp 9 ↓ 9.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)一个长方形的景区，长8千米，李老师开车以每小时50千米的速 度绕景区一周需0.6小时，这个景区的占地面积是多少公顷？ 第25页共28页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 10.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)小雨的书房需要用一些同样大小的平行四边形地砖铺地。小雨的 爸爸带1000元钱去建材市场买地砖，每块地砖的底为7分米，高为4分米，每平方分米地砖的价钱为0.8 元。他要买45块这样的地砖，钱够吗？ 【能力提升】 1.(25-26五年级上·广东深圳·阶段检测)罗湖一公园计划修建一个梯形广场供游客休息。广场上底长 12米，下底是上底的1.5倍，高为8米，这个广场的占地面积是( )平方米。 A.96 B.120 C.144 D.160 2.(25-26五年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测)一个梯形，上底是5cm,下底是8cm,如果上底变成0cm 时，面积就减少5cm,那么原梯形的面积是( )。 A.13cm B.25cm C.26cm D.65cm2 3.(25-26五年级上·河北石家庄·期末)如图，在8×8的方格中，每个小方格的边长表示1厘米，A、B 为两个格点，请再选一个格点C,使三角形ABC的面积为5平方厘米，点C有( )种选法。 A.2 B.3 C.4 D.5 4.(26-27五年级上辽宁课后作业)如图，己知正方形的周长是24cm,那么平行四边形的面积是( )cm。 5.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)一堆木料，最上层4根，最下层10根，由上至下每层依次增加1 根，这堆木料共( )根。 6.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)一个三角形和一个平行四边形等底等高，它们面积的和是48cm°， 平行四边形的面积是( )cm,三角形的面积是( )cm。 第26页共28页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 7.(25-26五年级上·山东日照·期末)求涂色部分的面积。（单位：cm) 6 14 8.(24-25五年级上·山东德州·期末)张大爷准备用100米的篱笆围一块菜地，一面靠墙，三面用篱笆 围起来。现在有两种围法可以选择，哪种围法面积大，大多少？ 10米 A 15米 12米 9.(25-26五年级上·河南南阳·期末)王大伯靠墙围了一个鸡圈如图，己知所用篱笆全长11.5米，这个 鸡圈的面积是( )平方米。 4m 第27页共28页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 10.(24-25五年级上·浙江台州·期末)如图，阴影所表示的2个四边形面积：S年( )Sz(填 “>”“<”或“=”)。请你用合适的方式说明你的理由。 --- 10cm Se 8cm 5cm 6cm 第28页共28页