第六单元 图形的位置和运动（一）【导图知识卡片+知识梳理+4个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练 共41题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图与知识梳理系统构建“图形的位置和运动”单元知识体系，将“用数对表示位置”“根据数对确定位置”“方格纸上用数对确定位置”三个核心知识点分层呈现，结合教室座位、方格纸等实例及名师点评，清晰梳理列与行的概念、数对读写规则等重难点内在联系。 讲义亮点在于“考点-奥数-真题”三级练习设计，如高频考点中“方格纸上图形平移（数对）”结合旋转操作题，奥数拓展融入五子棋位置分析，培养几何直观与空间观念。分层演练含20道真题，基础题巩固数对表示方法，提升题涉及相似图形绘制，助力不同层次学生发展推理意识，教师可依托资料实施精准复习教学，学生自主学习时能通过导图快速定位目标。

2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第六单元 图形的位置和运动（一）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+4个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练 共41题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 知识点一 用数对表示具体情境中物体的位置 2 知识点二 根据数对在具体情境中确定物体的位置 3 知识点三 在方格纸上用数对确定位置 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 用数对表示位置 5 高频考点二 根据数对找位置 6 高频考点三 方格纸上图形的平移问题（数对） 7 高频考点四 利用数对绘制相似图形 8 难点突破 奥数拓展 10 奥数拓展一 用数对表示位置 10 奥数拓展二 根据数对找位置 11 奥数拓展三 方格纸上图形的平移问题（数对） 12 优选真题 实战演练 14 【基础通关】 14 【能力提升】 16 知识点一 用数对表示具体情境中物体的位置 1.列与行的含义： （1）列： 竖排叫做列。确定第几列，要从左往右数。 （2）行： 横排叫做行。确定第几行，要从前往后（或从下往上，具体看情境图的说明，通常是从前往后）数。 2.数对的含义： 用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对。 3.数对的写法： 先表示列数，再表示行数。用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间用逗号隔开。写作：（列数，行数）。 4.举例： （1）小明坐在教室的第3列第4行，可以用数对（3，4）表示。 （2）小红的位置用数对表示是（5，2），表示她坐在第5列第2行。 名师点评： “同学们，我们每天都要坐在教室里，每个人都有自己的座位。如果我想让你们快速找到某个同学的座位，或者向别人介绍你的座位，怎么说才能既清楚又简洁呢？今天我们学习的‘数对’就是解决这个问题的好工具！大家一定要记住‘列’和‘行’的规定：竖排是列，从左往右数；横排是行，从前往后数。这个‘左’和‘前’是很重要的观察点。数对的写法也很关键，先列后行，外面加括号，中间用逗号隔开，比如（3，4），读作‘数对三逗号四’。这个小小的数对就能准确‘定位’一个位置，是不是很神奇？” 知识点二 根据数对在具体情境中确定物体的位置 1.方法： （1）先找列数：从左往右数，找到对应的列。 （2）再找行数：从前往后（或从下往上）数，找到对应的行。 （3）列与行的交叉点，就是物体所在的位置。 2.举例：教室座位图 讲台 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第1行（前排） ○ ○ ○ ○ ○ ← 第2行 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第3行 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第4行（后排） 在教室座位图中，数对（2，3）表示的位置是：从左数第2列，从前数第3行，找到这个交叉点就是该位置。 名师点评： “学会了用数对表示位置，反过来，给你一个数对，你能在图上找到它对应的位置吗？这就像我们拿着‘地图’找宝藏一样！第一步，先确定列，‘左右’看；第二步，再确定行，‘前后’看。列和行就像我们生活中的‘经线’和‘纬线’，它们的交点就是我们要找的‘宝藏’——物体的位置。记住，数对中的第一个数是‘列向导’，第二个数是‘行向导’，千万别找反了哦！” 知识点三 在方格纸上用数对确定位置 1.方格纸的特点： （1）方格纸是由水平和垂直的线组成的，形成了一个个小方格。 （2）水平方向的线表示行，垂直方向的线表示列。 （3）通常，方格纸的左上角（或左下角，具体看题目规定）会标有起始点（0，0），有时也直接从1开始标记列和行的序号。 2.用数对表示方格纸上点的位置： （1）方格纸上的每一个交叉点都代表一个位置。 （2）数对（列数，行数）中的列数是指从左往右数，该点所在的竖直线对应的数字；行数是指从下往上（或从上往下，根据题目习惯，通常是从下往上，与数学坐标系统一）数，该点所在的水平线对应的数字。 3.举例： 在下面的方格图中，请标出A（2，3），B（4，1），C（5，5）的位置。 A（2，3）：先找到第2列（从左往右数第2条竖线），再找到第3行（从下往上数第3条横线），它们的交点就是A。 B（4，1）：第4列，第1行。 C（5，5）：第5列，第5行。 名师点评： “同学们，我们把具体的座位图抽象一下，就变成了方格纸。方格纸就像一个巨大的棋盘，每个交叉点都可以用数对来表示。在方格纸上确定位置，和在教室里确定座位道理是一样的，都是先列后行。不过，方格纸上的列和行通常会用数字标出来，方便我们查找。要注意的是，方格纸上的‘行’有时是从下往上数的，就像我们爬楼梯一样，从一楼（第1行）到二楼（第2行）。这和我们之前说的‘从前往后数’本质上是相通的，都是一种约定。这个小小的数对，其实是我们以后学习更复杂的‘坐标’的基础呢！” 高频考点一 用数对表示位置 【典例精讲】（25-26五年级下·山东淄博·期末）操作题。 (1)用数对表示点O的位置( )。 (2)画出将三角形OBA向右平移6格后的图形。 (3)画出将三角形OBA绕点O顺时针旋转90度后的图形。 【变式训练1】（25-26五年级下·安徽黄山·期末）根据要求在下图中操作，并回答问题。 (1)用数对表示图中A、B、C的位置。 A( )、B( )、C( )。 (2)将三角形ABC绕点C( )时针旋转( )°后得到三角形A’B’C’。 (3)把三角形A’B’C’绕点C’逆时针旋转90°得到图①，再把图①向右平移3格得到图②。请你画出图①和图②。 【变式训练2】（24-25五年级下·河北邯郸·期末）按要求做一做。 (1)将图①绕点顺时针旋转，并标上②。 (2)将图①向右平移四格，再向下平移两格，并标上图形③。 (3)用数对表示图③点最后的位置为( )。 高频考点二 根据数对找位置 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）机器人聪聪怎样沿着图中的方格线绕过障碍物▲到达目的地？ (1)小红是这样设计路线的：出发地（1，1）→（8，1）→（8，3）→（14，3）→（14，7）→目的地（    ）。 用彩笔画出小红的设计路线。 (2)请你再设计一条到达目的地的路线，照着上面的样子写出来。 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）有一只可爱的小猫欢欢，组成它的轮廓点如下：A（2，0），B（4，0），C（6，2），D（6，6），E（5，8），F（4，6），G（2，6），H（1，8），I（0，6），J（0，2）。请你根据这些点画出小猫的轮廓。 【变式训练2】（25-26五年级下·福建南平·期末）五子棋规则：双方轮流落子，谁先将五颗棋子连成横线、竖线或斜线者获胜。淘气和笑笑正在对弈，如图。 (1)笑笑执白棋，为阻止淘气获胜，她将落子在位置上。请在图上用“○”标出。 (2)下一步，淘气执黑棋，需在什么位置落子，才能阻止笑笑获胜？请在图上用“●”标出。 高频考点三 方格纸上图形的平移问题（数对） 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下面的小树是先向右平移5格，再向下平移1格得到的。请画出小树原来的位置。点M原来的位置是（    ）。 【变式训练1】（25-26五年级上·江西赣州·期末）在下面方格图中，完成下列问题。 (1)请你用数对表示出“将军纪念馆”的位置：( )。 (2)请你在（6，4）的位置画一个“脐橙产业园”的标识☆。 (3)从“将军纪念馆”出发，先向左走4格，再向上走2格，到达“烈士陵园”。请用数对表示出“烈士陵园”的位置：（    ），并在图中画出来。 【变式训练2】（25-26五年级上·甘肃天水·期末） (1)用数对标出图中梯形的顶点A、D的位置。 A( )，D( ) (2)把方格图中的梯形先向右平移7个单位，再向下平移4个单位，最后在格子图中画出平移后的图形。 (3)图中1小格边长为1cm，则梯形的面积是( )cm2。 高频考点四 利用数对绘制相似图形 【典例精讲】写出图中三角形ABC各个顶点的位置，A( )，B( )，C( )。三角形ABC向下平移4个单位后得到图形三角形A′B′C′，三角形A′B′C′顶点的位置表示为A′( )， B′( )， C′( )。    【变式训练1】（1）用数对表示正方形的顶点A，B，C，D的位置： A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ），D（ ， ）。 （2）在图中标出E（7，5），F（7，2），G（10，2），并依次连接C、F、G、E。这样就围成了一个（    ）形。 【变式训练2】（23-24四年级上·辽宁沈阳·期末）用数对表示下面三角形各个顶点的位置。 A点的位置：( )，B点的位置：( )，C点的位置：( )。 奥数拓展一 用数对表示位置 【典例精讲】（2025五年级下·山东·专题练习）某个周日下午，实验小学五子棋社团正在进行五子棋比赛。规则：自己的五颗棋子连成一条线，并且连成的棋子中间不能有对方的棋子，就可以获胜。连成的一条线可以是横着的，可以是竖着的，也可以是斜着的。 (1)小亮执黑棋，轮到他落子。为了封堵白棋，他应该把黑棋落在（    ），并在棋盘上用“●”标出；小明执白棋，请你帮他落子在位置，用“○”画在棋盘上。 (2)在此形势下，黑棋落在( )，能确保下一手黑棋可以获胜。 【变式训练1】如图是由边长1厘米的正方形组成的方格图，点A、B、C在方格图的格点上。    （1）请在图中找出另一个格点，使这四点依次连接，形成平行四边形，这样的格点最多有（    ）个；选择其中一个点，用字母D在方格图中表示出来，点D用数对表示为（        ）。 （2）把这四个点依次连接，并画出向上平移2厘米后的图形。 （3）与这个平行四边形等底等高的三角形的面积是（                ）。 【变式训练2】按要求画一画、填一填、算一算。（每个小方格的边长是1cm） ①三角形ABC是一个轴对称图形，请你补全这个三角形，并标出点C。 ②在图上用数对表示三角形顶点B和C的位置，观察它们的数对，你发现了什么？ _________________________________________________________ ③图中三角形ABC的面积是（    ）cm2，在方格纸上画一个和这个三角形面积相等的平行四边形。    奥数拓展二 根据数对找位置 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·单元复习）按照下图数字排列规则，若用数对（m，n）表示第m行从左往右数第n个数字，例如（3，2）表示的数字是2.2。 （1）数对（5，4）表示的数字是（    ）； （2）数对（6，3）表示的数字是多少？并写出理由。 （3）请你根据图中数字的排列规律，求出第7行所有数字的和。 【变式训练1】操作。 （1）在方格图中找到下列各点的位置。 A（3，4），B（7，4）。 （2）在图中找出一点C，使其和A、B两点依次连接成一个等腰三角形，C点的位置可能是（      ），请在方格中画出这个等腰三角形。 （3）如果每个方格的边长表示2厘米，那么所画等腰三角形的面积是（    ）平方厘米。 【变式训练2】 （1）用数对表示少年宫的位置（      ）；用数对表示图书馆的位置为（      ）；用数对表示学校的位置为（      ）。 （2）数对（1，）表示的可能是（        ）和（        ）的位置。 （3）图书馆在学校的（________偏________  ________）方向（        ）米处。 （4）学校在小明家的（________偏________  ________）方向（        ）米处。 （5）李丽家的位置用数对表示为（5，2），请在图上标出来。 奥数拓展三 方格纸上图形的平移问题（数对） 【典例精讲】按要求回答问题并画出图形。 （1）写出点C的位置： A（2，9）            B（1，7）            C（  ，  ） （2）画山三角形ABC向右平移4个单位后的图形。 （3）写出三角形各顶点的位置： （  ，  ）        （  ，  ）        （  ，  ） （4）观察和平移后的，三对应顶点位置的数对有什么变化规律？ 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）将小房子先向右平移4格，再向下平移2格，就得到下图中的小房子。请你画出小房子原来的位置。平移前点A的位置是（    ）。 【变式训练2】（25-26五年级上·广东广州·期末）王东是一个阅读达人，他暑假坚持每天骑自行车去图书馆阅读。王东平均每分钟骑行0.2千米，他从家出发，先向西骑行10分钟，再向南骑行15分钟到达图书馆。 (1)请在上图中画出王东从家出发到图书馆的骑行路线，并标出图书馆的位置。（先计算，再画图。） (2)王东家的位置用数对( )表示；图书馆的位置用数对( )表示。 【基础通关】 1．（25-26五年级下·山东德州·阶段检测）在班级座次平面图上，A同学的位置是（3，4），B同学的位置是（3，5），那么两位同学（    ）。 A．同桌 B．前后桌 C．既不同桌也不前后桌 2．（24-25五年级下·山东滨州·期末）小明在教室里坐在的位置上，他同桌的位置可能是（    ）。 A． B． C． 3．（25-26五年级下·山东青岛·期末）在同一个平面图上，三个点、、所围成的图形面积和另外三个点、、所围成的图形面积相比较，下面说法正确的是（    ）。 A．第一个面积大 B．第二个面积大 C．一样大 D．无法比较 4．（25-26五年级下·湖南永州·开学考试）五一班学生丽丽在教室里的位置用数对表示是（4，5），她坐在第( )列第( )行。萌萌坐在丽丽的正前方，萌萌在教室里的位置用数对表示是( )。 5．（25-26六年级下·河南洛阳·期末）做课间操时，轩轩的位置是（12，8），乐乐的位置是（9，13），优优的位置既与轩轩同列，又与乐乐同行。优优的位置用数对表示是( )。 6．（25-26五年级下·山东青岛·期末）随着智慧农业普及，使用北斗导航定位的无人驾驶播种机可精准完成农田播种作业。下图是某块农田的平面示意图（每个方格的边长代表10米）。 (1)导航显示：无人播种机从A点出发驶向核心播种点B，出发点A用数对( )表示，核心播种点B用数对( )表示。补给点C在B点的正北方向60米处，用数对( )表示。 (2)无人播种机从起点A出发驶向播种点B，再从播种点B前往补给点C，请完整描述无人播种机的行驶路线（包含方向、角度、距离）。 ___________________________________________________________________________________________ 7．（25-26五年级下·山东潍坊·期中）看图回答问题。 (1)若超市的位置用数对表示为（2，1），则火车站的位置用数对表示为( )。 (2)游泳馆的位置用数对表示是（6，5），在图中标出游泳馆的位置。 (3)超市在汽车站的( )偏( )( )°方向上。 (4)汽车站在火车站的( )偏( )( )°方向上。 (5)从火车站到超市怎么走？ 8．（25-26五年级上·河北邢台·期末）非洲大草原以热带草原气候、大规模动物迁徙和丰富的野生动物资源著称。一位荒野摄影师在A（3，5）处拍摄到一只黑犀牛，6小时后在B（10，5）处又拍到这只黑犀牛。 (1)在上图中标注出黑犀牛出现的A、B两点位置。 (2)如果一个小方格的边长是3km，这只黑犀牛平均每小时走多少千米？ 9．（25-26五年级上·广东东莞·期末）小华要画一个平行四边形ABCD，他已经画出了平行四边形的两条边。 （1）用直尺将平行四边形ABCD画完整。 （2）点B的位置用数对表示是（    ），点C的位置用数对表示是（    ）。 （3）平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2。 （4）画一个长方形，使它的面积与平行四边形ABCD面积相等。 10．（25-26五年级下·山东枣庄·期末）下图是一幅未完成的公园示意图。 (1)如果石桥的位置用（2，1）表示，荷塘在( )位置上。 (2)听雨轩在（4，6）位置上，用“▲”标出来。 (3)以石桥为观测点，天鹅湖在( )偏( )( )°( )米处。 【能力提升】 1．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小明站在广播体操方队的最后一排的正中间，位置用数对（12，30）表示。这个广播体操方队一共有（    ）人。 A．360 B．690 C．708 D．720 2．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）如图，将长方形ABCD轮廓点的数对的第一个数除以3，第二个数不变，得到的新的长方形的周长是（    ）cm。（每个小方格的边长表示1cm） A．10 B．14 C．5 D．7 3．（25-26五年级上·河北邢台·期中）小丽在教室的位置是第5列第3行，用数对表示是（5，3）。小军的位置在她左边相邻的位置，小军的位置用数对表示是（    ）。 A．（6，3） B．（4，4） C．（5，4） 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）糖糖去人民公园玩，请你帮她解决遇到的数学问题吧！ (1)大门前面有一条笔直的路，如果把它看作数线，草亭的位置可以用数( )来表示。 (2)公园里部分游乐项目在方格图上的位置如图所示。如果打靶的位置用（2，3）表示，则彩虹滑道在（____，____）。荡秋千在（____，____）。 (3)如下图，糖糖用三个数组成的数对（2，3，5）来表示天空中风筝的位置。照此推算，点A的位置可以用数对（____，____，____）来表示。 5．（25-26六年级下·广东广州·期末）如图是乡村一处民宅，根据描述，算一算，并填空。 (1)民宅的正门位于点（3，0），向北走40米到达轿厅，轿厅位于点( )。 (2)偏厅位于点( )，在轿厅的( )面( )m处。 (3)书房位于点（5，4），向南偏( )、( )°大约走28m可以走到前厅。 6．亮亮家厨房的一面墙上贴满了瓷砖，这面墙四个角的瓷砖位置分别是（1，1），（1，10），（18，1），（18，10）。这面墙一共贴了( )块瓷砖。 7．（25-26五年级下·山东枣庄·期中）下图是王明家周围的平面图。 (1)用数对表示位置：图书馆( )；照相馆( )；集贸市场( )。 (2)王明现在的位置是（5，1）请用△标注出来。 (3)少年宫在王明家的( )偏( )( )的方向上。 (4)王明从家到图书馆可以怎么走？ 8．（24-25五年级上·河北廊坊·期末）在某一海域中，一艘轮船发生故障，船上的雷达探索显示附近有一艘军舰、一艘货船和一艘商船（如图所示）。 （1）出事船只位于，商船位于（    ），军舰位于（    ），货船位于（    ）。 （2）如果商船以每小时50千米的速度赶到出事地点救援，需要（    ）小时到达。 （3）还有一艘渔船在出事船只往西300千米，再往北100千米处，请你在图上标出这艘渔船的位置，并用数对表示是（    ）。 9．（25-26五年级上·山东日照·期末）（1）我们之前学习了在一条线上确定位置，可以用一条数轴上的方向和数1、2、3等表示。如果以0为原点，如下图，点A可以用（    ）来表示。 （2）现在学会了在平面上确定位置需要两个方向，可以用两条数轴形成数对来表示。如下图：B（2，3）、C（5，3）、D（      ）。 （3）文文在图中确定一个点E，与B、C、D围成了一个封闭图形，这个封闭图形的面积可以用“（3＋2）×2÷2”进行计算，请你根据算式，在方格图中画出这个封闭图形。若将该图形先向上平移3格，再向右平移2格，平移后点D的位置是（    ）。 （4）将来还会学到在空间中确定位置，这时两个方向就不够了，还要加上“高度”，如下图中房间里灯的位置，可以用三个数组成的“数对”F（4，5，3）来表示。照此推算，点G可以用“数对”（    ）来表示。 10．（25-26五年级上·重庆·期末）按要求完成操作（1个方格的面积为1dm2）。 （1）用数对表示点A、C的位置：A（    ），C（    ）；再在方格中标出点B（3，4）、D（9，4）、E（8，1）的位置。 （2）从这五个点中任选四个点依次连接围成平行四边形（    ）（字母表示），再从这五个点任选三个点依次连接围成三角形（    ）（字母表示），且这两个图形的面积相等。 （3）请用合适的方法说明这两个图形面积为什么相等。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 第六单元 图形的位置和运动（一）『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+4个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练 共41题） 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 知识点一 用数对表示具体情境中物体的位置 2 知识点二 根据数对在具体情境中确定物体的位置 3 知识点三 在方格纸上用数对确定位置 4 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 用数对表示位置 5 高频考点二 根据数对找位置 8 高频考点三 方格纸上图形的平移问题（数对） 11 高频考点四 利用数对绘制相似图形 14 难点突破 奥数拓展 17 奥数拓展一 用数对表示位置 17 奥数拓展二 根据数对找位置 21 奥数拓展三 方格纸上图形的平移问题（数对） 25 优选真题 实战演练 29 【基础通关】 29 【能力提升】 36 知识点一 用数对表示具体情境中物体的位置 1.列与行的含义： （1）列： 竖排叫做列。确定第几列，要从左往右数。 （2）行： 横排叫做行。确定第几行，要从前往后（或从下往上，具体看情境图的说明，通常是从前往后）数。 2.数对的含义： 用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对。 3.数对的写法： 先表示列数，再表示行数。用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间用逗号隔开。写作：（列数，行数）。 4.举例： （1）小明坐在教室的第3列第4行，可以用数对（3，4）表示。 （2）小红的位置用数对表示是（5，2），表示她坐在第5列第2行。 名师点评： “同学们，我们每天都要坐在教室里，每个人都有自己的座位。如果我想让你们快速找到某个同学的座位，或者向别人介绍你的座位，怎么说才能既清楚又简洁呢？今天我们学习的‘数对’就是解决这个问题的好工具！大家一定要记住‘列’和‘行’的规定：竖排是列，从左往右数；横排是行，从前往后数。这个‘左’和‘前’是很重要的观察点。数对的写法也很关键，先列后行，外面加括号，中间用逗号隔开，比如（3，4），读作‘数对三逗号四’。这个小小的数对就能准确‘定位’一个位置，是不是很神奇？” 知识点二 根据数对在具体情境中确定物体的位置 1.方法： （1）先找列数：从左往右数，找到对应的列。 （2）再找行数：从前往后（或从下往上）数，找到对应的行。 （3）列与行的交叉点，就是物体所在的位置。 2.举例：教室座位图 讲台 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第1行（前排） ○ ○ ○ ○ ○ ← 第2行 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第3行 ○ ○ ○ ○ ○ ← 第4行（后排） 在教室座位图中，数对（2，3）表示的位置是：从左数第2列，从前数第3行，找到这个交叉点就是该位置。 名师点评： “学会了用数对表示位置，反过来，给你一个数对，你能在图上找到它对应的位置吗？这就像我们拿着‘地图’找宝藏一样！第一步，先确定列，‘左右’看；第二步，再确定行，‘前后’看。列和行就像我们生活中的‘经线’和‘纬线’，它们的交点就是我们要找的‘宝藏’——物体的位置。记住，数对中的第一个数是‘列向导’，第二个数是‘行向导’，千万别找反了哦！” 知识点三 在方格纸上用数对确定位置 1.方格纸的特点： （1）方格纸是由水平和垂直的线组成的，形成了一个个小方格。 （2）水平方向的线表示行，垂直方向的线表示列。 （3）通常，方格纸的左上角（或左下角，具体看题目规定）会标有起始点（0，0），有时也直接从1开始标记列和行的序号。 2.用数对表示方格纸上点的位置： （1）方格纸上的每一个交叉点都代表一个位置。 （2）数对（列数，行数）中的列数是指从左往右数，该点所在的竖直线对应的数字；行数是指从下往上（或从上往下，根据题目习惯，通常是从下往上，与数学坐标系统一）数，该点所在的水平线对应的数字。 3.举例： 在下面的方格图中，请标出A（2，3），B（4，1），C（5，5）的位置。 A（2，3）：先找到第2列（从左往右数第2条竖线），再找到第3行（从下往上数第3条横线），它们的交点就是A。 B（4，1）：第4列，第1行。 C（5，5）：第5列，第5行。 名师点评： “同学们，我们把具体的座位图抽象一下，就变成了方格纸。方格纸就像一个巨大的棋盘，每个交叉点都可以用数对来表示。在方格纸上确定位置，和在教室里确定座位道理是一样的，都是先列后行。不过，方格纸上的列和行通常会用数字标出来，方便我们查找。要注意的是，方格纸上的‘行’有时是从下往上数的，就像我们爬楼梯一样，从一楼（第1行）到二楼（第2行）。这和我们之前说的‘从前往后数’本质上是相通的，都是一种约定。这个小小的数对，其实是我们以后学习更复杂的‘坐标’的基础呢！” 高频考点一 用数对表示位置 【典例精讲】（25-26五年级下·山东淄博·期末）操作题。 (1)用数对表示点O的位置( )。 (2)画出将三角形OBA向右平移6格后的图形。 (3)画出将三角形OBA绕点O顺时针旋转90度后的图形。 【答案】(1)（2，3） (2) (3) 【思路引导】（1）依据数对的表示规则，数对先写横轴对应的列数、后写纵轴对应的行数，找到点O横向、纵向对应的刻度即可写出数对； （2）依据图形平移的性质，平移只改变图形位置，不改变形状大小；向右平移对应所有顶点列数增加6、行数保持不变，确定三个顶点新位置后首尾相连画出图形； （3）依据图形旋转的特征，旋转中心O位置固定不变，图形各边绕定点顺时针转动90°，根据横竖格的距离推算出A、B旋转后的对应点，再连线成图。 【规范解答】（1）观察方格，点O在第2列第3行，用数对表示为（2，3）。 【变式训练1】（25-26五年级下·安徽黄山·期末）根据要求在下图中操作，并回答问题。 (1)用数对表示图中A、B、C的位置。 A( )、B( )、C( )。 (2)将三角形ABC绕点C( )时针旋转( )°后得到三角形A’B’C’。 (3)把三角形A’B’C’绕点C’逆时针旋转90°得到图①，再把图①向右平移3格得到图②。请你画出图①和图②。 【答案】(1) （4，7） （6，7） （4，4） (2) 逆 90 (3) 【思路引导】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。 （2）在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，旋转方向和钟表的指针旋转方向相同，叫顺时针旋转，旋转方向和钟表的指针旋转方向相反，叫逆时针旋转；观察三角形ABC和三角形A’B’C’的位置关系，可知旋转方向为逆时针旋转，旋转了90°。 （3）作旋转一定角度后的图形步骤：确定旋转中心、旋转方向和旋转角度，找出构成图形的关键点，按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点，顺次连接作出的各点即可。作平移后的图形步骤：找出构成图形的关键点，确定平移方向和平移距离，由平移方向和平移距离确定关键点平移后的对应点的位置，连接对应点。 【规范解答】（1）A在第4列，第7行，用数对表示为：（4，7）；B在第6列，第7行，用数对表示为：（6，7）；C在第4列，第4行，用数对表示为：（4，4）。 （2）将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°后得到三角形A’B’C’。 （3）三角形A’B’C’绕点C’逆时针旋转90°得到图①步骤：找到构成图形的关键点A’，B’和C’，逆时针旋转90°后分别作出各关键点的对应点，顺次连接作出的各点即可得到图①； 把图①向右平移3格得到图②步骤：找到构成图形的关键点，各关键点向右平移3格后确定关键点平移后的对应点的位置，连接对应点即可得到图②。 作图略。 【变式训练2】（24-25五年级下·河北邯郸·期末）按要求做一做。 (1)将图①绕点顺时针旋转，并标上②。 (2)将图①向右平移四格，再向下平移两格，并标上图形③。 (3)用数对表示图③点最后的位置为( )。 【答案】(1) (2) (3)（6，2） 【思路引导】（1）作旋转一定角度后的图形步骤：确定旋转中心、旋转方向和旋转角；点A不动，按顺时针方向转90°，分别作出图①各关键点的对应点，作出新图形，顺次连接作出的各关键点的对应点即可得到图形②； （2）根据平移的特征，把图①的关键点分别先向右平移4格，再向下平移2格，再依次连结各关键点的对应点，即可得到图①先向右平移4格、再向下平移2格后的图形③； （3）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。据此可知表示图③点A最后的位置。 【规范解答】（1）画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图形②，画图略； （2）画出图①先向右平移4格，再向下平移2格后的图形③，画图略； （3）用数对表示图③点A最后的位置为（6，2）。 高频考点二 根据数对找位置 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）机器人聪聪怎样沿着图中的方格线绕过障碍物▲到达目的地？ (1)小红是这样设计路线的：出发地（1，1）→（8，1）→（8，3）→（14，3）→（14，7）→目的地（    ）。 用彩笔画出小红的设计路线。 (2)请你再设计一条到达目的地的路线，照着上面的样子写出来。 【答案】(1)（15，7）； (2)出发地（1，1）→（1，4）→（2，4）→（2，6）→（8，6）→（8，7）→目的地（15，7）。（答案不唯一） 【思路引导】（1）根据用数对表示位置的方法：第一个数表示列数，第二个数表示行数。根据目的地所在的横轴数值和纵轴数值可以确定目的地的坐标；再根据路线经过点的数对即可绘制出其行走路线。 （2）设计新路线时，只要保证移动全程沿着方格横竖线走，不经过障碍物的位置，最终抵达目的地就可以。 【规范解答】（1）观察图里右上角目的地的横向对应15、纵向对应7，所以目的地的数对是（15，7）。 按给出的数对依次找到对应坐标点，因为路线是沿方格线走，所以将相邻点沿水平或垂直方格线连接即可（图略）。 （2）只要设计的路线沿方格线行进，不经过障碍物位置，最终到达（15，7）都正确。（答案不唯一） 出发地（1，1）→（1，4）→（2，4）→（2，6）→（8，6）→（8，7）→目的地（15，7）。 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）有一只可爱的小猫欢欢，组成它的轮廓点如下：A（2，0），B（4，0），C（6，2），D（6，6），E（5，8），F（4，6），G（2，6），H（1，8），I（0，6），J（0，2）。请你根据这些点画出小猫的轮廓。 【答案】 【思路引导】数对的第一个数是横坐标，代表从左往右数的列数，第二个数是纵坐标，代表从下往上数的行数。 先逐个定位点：比如A（2，0）就是从左数第2列、从下数第0行的位置，B（4，0）是左数第4列下数第0行的位置，按这个规则把10个点都在方格上标记出来。 按照题干给出的点的先后顺序，用线段把相邻的点依次连起来，最后把最后一个点J和第一个点A闭合连接，画出小猫的外轮廓。 【变式训练2】（25-26五年级下·福建南平·期末）五子棋规则：双方轮流落子，谁先将五颗棋子连成横线、竖线或斜线者获胜。淘气和笑笑正在对弈，如图。 (1)笑笑执白棋，为阻止淘气获胜，她将落子在位置上。请在图上用“○”标出。 (2)下一步，淘气执黑棋，需在什么位置落子，才能阻止笑笑获胜？请在图上用“●”标出。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）数对中，第一个数表示列，第二个数表示行。 （2）已经有4颗白棋即将连成五子的线路，找到该线路上缺少的空位，该位置就是淘气需要落子阻止笑笑获胜的位置，标记黑棋。 【规范解答】（1）（7，3）表示第7列，第3行，在该位置标注“○”。 高频考点三 方格纸上图形的平移问题（数对） 【典例精讲】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）下面的小树是先向右平移5格，再向下平移1格得到的。请画出小树原来的位置。点M原来的位置是（    ）。 【答案】；（3，4） 【思路引导】先确定当前点的坐标，数对按照先列后行的规则读取，根据平移的可逆性，因为现在的图形是原图形经过向右平移格、再向下平移格得到的，所以要得到原图形，只需要将现有图形反向平移，即先向上平移格，再向左平移格，再依次连接各个顶点即可得到小树原来的位置。 【变式训练1】（25-26五年级上·江西赣州·期末）在下面方格图中，完成下列问题。 (1)请你用数对表示出“将军纪念馆”的位置：( )。 (2)请你在（6，4）的位置画一个“脐橙产业园”的标识☆。 (3)从“将军纪念馆”出发，先向左走4格，再向上走2格，到达“烈士陵园”。请用数对表示出“烈士陵园”的位置：（    ），并在图中画出来。 【答案】(1)（7，2） (2) (3)（3，4）； 【思路引导】（1）根据数对的表示方法：先写列，再写行，观察“将军纪念馆”的列和行，然后写出数对即可。 （2）根据（6，4）的意义，在第6列第4行的位置标注“脐橙产业园”的标识☆即可。 （3）“将军纪念馆”在第7列第2行，从“将军纪念馆”出发，先向左走4格，再向上走2格，到达“烈士陵园”，即“烈士陵园”在第3列第4行，找到此位置，根据数对的意义写出数对，并在图中画出来即可。 【规范解答】（1）“将军纪念馆”在第7列第2行，用数对表示为（7，2）。 （2）略。 （3）用数对表示出“烈士陵园”的位置：（3，4）。 图略。 【变式训练2】（25-26五年级上·甘肃天水·期末） (1)用数对标出图中梯形的顶点A、D的位置。 A( )，D( ) (2)把方格图中的梯形先向右平移7个单位，再向下平移4个单位，最后在格子图中画出平移后的图形。 (3)图中1小格边长为1cm，则梯形的面积是( )cm2。 【答案】(1) （2，8） （4，6） (2) (3)4 【思路引导】（1）根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此填空即可； （2）将梯形的每个顶点先向右平移7个单位，再向下平移4个单位，即每个顶点的数对第一个数加7，第二个数减4，据此找到平移后顶点的位置，再顺次连接； （3）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2。 【规范解答】（1）由图可知，顶点A在第2列、第8行，所以用数对表示为（2，8），顶点D在第4列，第6行，所以用数对表示为（4，6）。 （2）顶点A（2，8），2＋7＝9，8－4＝4，所以平移后的位置是（9，4）； 顶点B（3，8），3＋7＝10，8－4＝4，所以平移后的位置是（10，4）； 顶点C（1，6），1＋7＝8，6－4＝2，所以平移后的位置是（8，2）； 顶点D（4，6），4＋7＝11，6－4＝2，所以平移后的位置是（11，2）。 图略。 （3）由图可知梯形上底是1cm，下底是3cm，高是2cm； （1＋3）×2÷2 ＝4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（cm2） 高频考点四 利用数对绘制相似图形 【典例精讲】写出图中三角形ABC各个顶点的位置，A( )，B( )，C( )。三角形ABC向下平移4个单位后得到图形三角形A′B′C′，三角形A′B′C′顶点的位置表示为A′( )， B′( )， C′( )。    【答案】 （3，6） （6，8） （2，8） （3，2） （6，4） （2，4） 【思路引导】根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此用 表示三角形ABC各个顶点的位置；将三角形ABC的各点向下平移4个单位，则平移后三角形的各个顶点所占的列数不变，行数分别减去4即可。 【规范解答】由分析可知： 三角形ABC各个顶点的位置为A（3，6），B（6，8），C（2，8）。 6－4＝2，8－4＝4 则三角形A′B′C′顶点的位置表示为A′（3，2），B′（6，4），C′（2，4）。 【考点剖析】本题考查用数对表示位置，明确用数对表示位置的方法是解题的关键。 【变式训练1】（1）用数对表示正方形的顶点A，B，C，D的位置： A（ ， ），B（ ， ），C（ ， ），D（ ， ）。 （2）在图中标出E（7，5），F（7，2），G（10，2），并依次连接C、F、G、E。这样就围成了一个（    ）形。 【答案】（1）（4，1）；（6，4）；（3，6）；（1，3）；（2） 围成了一个四边形。；四边 【思路引导】（1）用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；据此解答； （2）根据数对标出相应的位置，再依次连线，判断出这是个四边形。 【规范解答】（1）A（4，1）；B（6，4）；C；（3，6）；D（1，3） （2）画图略； 【考点剖析】本题主要考查了用数对表示位置的方法，熟练掌握相应的方法是解答本题的关键。 【变式训练2】（23-24四年级上·辽宁沈阳·期末）用数对表示下面三角形各个顶点的位置。 A点的位置：( )，B点的位置：( )，C点的位置：( )。 【答案】 （1，1） （4，1） （2，3） 【思路引导】用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号，据此解答即可。 （1）A点在第1列，第1行，所以A点的位置是（1，1）； （2）B点在第4列，第1行，所以B点的位置是（4，1）； （3）C点在第2列，第3行，所以C点的位置是（2，3）； 【规范解答】由分析知，A点的位置是（1，1），B点的位置是（4，1），C点的位置是（2，3）。 奥数拓展一 用数对表示位置 【典例精讲】（2025五年级下·山东·专题练习）某个周日下午，实验小学五子棋社团正在进行五子棋比赛。规则：自己的五颗棋子连成一条线，并且连成的棋子中间不能有对方的棋子，就可以获胜。连成的一条线可以是横着的，可以是竖着的，也可以是斜着的。 (1)小亮执黑棋，轮到他落子。为了封堵白棋，他应该把黑棋落在（    ），并在棋盘上用“●”标出；小明执白棋，请你帮他落子在位置，用“○”画在棋盘上。 (2)在此形势下，黑棋落在( )，能确保下一手黑棋可以获胜。 【答案】(1)；见详解 (2)/（8，10）/（8，6） 【思路引导】先明确五子棋获胜与封堵规则：需阻止白棋形成无间隔的五子连线，所以先观察白棋已有的棋子布局，找出白棋即将连成五子的潜在连线方向。 第（1）题，分析白棋现有棋子的横向、纵向、斜向排列，找到白棋只差一颗就能形成五子连线的位置，该位置就是黑棋需要封堵的落点，即（8，9）；同时按要求在指定位置 ( 5 , 9 ) 处标注白棋。 第（2）题，要找到黑棋的落点，使得黑棋下一手无论白棋如何封堵，都能形成无间隔的五子连线，需分析黑棋现有棋子的可延伸连线，寻找能形成双向或多个潜在五子连线的关键位置。满足这样条件的点有（7，10）或者（8，10）或者（8，6），有三种选择，选择其一即可。 注意：落子位置要严格按照棋盘数对表示规则判断，注意点的列与行的对应关系。 封堵或找获胜落点时，需确认棋子连线中间无对方棋子，符合题目规则。 分析潜在连线时，要兼顾横向、纵向、斜向三个方向，避免遗漏。 【规范解答】（1）从图上4个已经连成线的白棋位置可得，黑棋要落在（8，9），才能封堵白棋，作图如下： 白棋落在（5，9），作图如下： （2）在此形势下，满足条件的点有（7，10）或（8，10）或（8，6），均可以确保黑棋下一手获胜。 【变式训练1】如图是由边长1厘米的正方形组成的方格图，点A、B、C在方格图的格点上。    （1）请在图中找出另一个格点，使这四点依次连接，形成平行四边形，这样的格点最多有（    ）个；选择其中一个点，用字母D在方格图中表示出来，点D用数对表示为（        ）。 （2）把这四个点依次连接，并画出向上平移2厘米后的图形。 （3）与这个平行四边形等底等高的三角形的面积是（                ）。 【答案】（1）3；（1，3） （2）见详解 （3）3平方厘米 【思路引导】（1）有两组对边分别平行且相等的四边形，叫做平行四边形。 用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 根据题意，过点A向左作BC的平行线且长度与BC相等，得到点D；过点A向右作BC的平行线且长度与BC相等，得到点D1；过点C作AB的平行线且长度与AB相等，得到点D2；这样一共有D、D1、D2，3个点，再用数对表示出点D的位置。 （2）根据平移的特征，将平行四边形ABCD的各顶点分别向上平移2厘米即2格，依次连接即可得到平移后的图形。 （3）从图中得出平行四边形的底和高，根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，即可求出与平行四边形等底等高的三角形的面积。 【规范解答】（1）在图中找出另一个格点，使这四点依次连接，形成平行四边形，这样的格点最多有3个；点D用数对表示为（1，3）。 如图：      （2）把平行四边形ABCD向上平移2厘米后的图形是平行四边形A＇B＇C＇D＇，如图。      （3）平行四边形的底是3厘米，高是2厘米。 3×2÷2＝3（平方厘米） 与这个平行四边形等底等高的三角形的面积是3平方厘米。 【考点剖析】本题考查平行四边形的特征以及数对的知识、作平移后图形的作图方法、三角形面积公式的运用。 【变式训练2】按要求画一画、填一填、算一算。（每个小方格的边长是1cm） ①三角形ABC是一个轴对称图形，请你补全这个三角形，并标出点C。 ②在图上用数对表示三角形顶点B和C的位置，观察它们的数对，你发现了什么？ _________________________________________________________ ③图中三角形ABC的面积是（    ）cm2，在方格纸上画一个和这个三角形面积相等的平行四边形。    【答案】（1）见详解 （2）（3，2），（9，2）；我发现B点和C点在同一行 （3）15； （1）（3）作图如下：    （平行四边形的画法不唯一） 【思路引导】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的右边画出左图的关键对称点，依次连接，再标上C点即可。 （2）根据用数对表示点的位置的方法，第一个数字表示列数，第二个数字表示行数，即可用数对表示出B、C点的位置；再根据两点的位置写出自己的发现。 （3）根据三角形面积公式：三角形面积＝底×高÷2求出图中三角形的面积；要画的平行四边形的面积与三角形的面积相等，根据平行四边形的面积＝底×高，确定平行四边形的底和高，据此画出这个平行四边形。 【规范解答】（1）作图略； （2）在图上用数对表示三角形顶点B和C的位置（如下图）；我发现B点和C点在同一行。（答案不唯一） （3）三角形的面积是： 6×5÷2 ＝30÷2 ＝15（cm2） 因为15＝5×3，可以画一个底为5cm，高为3cm的平行四边形，作图略； 【考点剖析】此题考查的知识有：数对与位置、作轴对称图形，三角形的面积和平行四边形的面积；注意画平行四边形时，要保证面积与三角形的面积相等，形状不唯一。 奥数拓展二 根据数对找位置 【典例精讲】（25-26五年级上·全国·单元复习）按照下图数字排列规则，若用数对（m，n）表示第m行从左往右数第n个数字，例如（3，2）表示的数字是2.2。 （1）数对（5，4）表示的数字是（    ）； （2）数对（6，3）表示的数字是多少？并写出理由。 （3）请你根据图中数字的排列规律，求出第7行所有数字的和。 【答案】（1）4.4 （2）11；理由见详解 （3）70.4 【思路引导】（1）第5行数字为1.1，4.4，6.6，4.4，1.1，数对（5，4）表示的是第5行从左往右第4个数字，根据给出的数字排列，这个数字是4.4。 （2）根据规律，第6行的数字是由第5行相邻两个数字的和得到的。已知第5行的数字为1.1，4.4，6.6，4.4，1.1，因此第6行从左数第3个数字（数对（6，3））为第5行第2个和第3个数字之和，即4.4＋6.6＝11。 （3）根据规律，第6行的数字为1.1，5.5，11.0，11.0，5.5，1.1，第7行的数字则是第6行相邻两个数字的和。因此，第7行的数字为1.1，6.6，16.5，22.0，16.5，6.6，1.1，求第7行所有数字的和即为1.1＋6.6＋16.5＋22.0＋16.5＋6.6＋1.1＝70.4。 【规范解答】（1）数对（5，4）表示的是第5行从左往右第4个数字。 数对（5，4）表示的数字是4.4。 （2）根据图中数字排列顺序可知，从第3行开始的数字满足上一行相邻两个数字之和，且边上的两个数字始终为1.1。 则数对（6，3）表示的数为（5，2）与（5，3）位置上数字之和。 4.4＋6.6＝11 答：数对（6，3）表示的数字是11，从第3行开始的数字满足上一行相邻两个数字之和，且边上的两个数字始终为1.1。则数对（6，3）表示的数为（5，2）与（5，3）位置上数字之和。 （3）第6行数字依次为：1.1，5.5，11，11，5.5，1.1 第7行数字依次为：1.1，6.6，16.5，22，16.5，6.6，1.1 1.1＋6.6＋16.5＋22＋16.5＋6.6＋1.1＝70.4 答：第7行所有数字的和为70.4。 【考点剖析】解答此类数字规律题，需观察数字排列特征，包括每行个数、数字变化趋势。通过分析每行两端及中间数字的规律，找出通用规律，进而解决数对对应数字、行数字总和等问题。 【变式训练1】操作。 （1）在方格图中找到下列各点的位置。 A（3，4），B（7，4）。 （2）在图中找出一点C，使其和A、B两点依次连接成一个等腰三角形，C点的位置可能是（      ），请在方格中画出这个等腰三角形。 （3）如果每个方格的边长表示2厘米，那么所画等腰三角形的面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）（5，7）；见详解 （3）24 【思路引导】（1）根据用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二数字表示行；据此在图中找出A点、B点的位置。 （2）根据等腰三角形的特征，等腰三角形的两条腰相等，由此在图中找出点C，使其和A、B两点依次连接成一个等腰三角形ABC。 （3）已知每个方格的边长表示2厘米，结合图形可知，三角形的底是（2×4）厘米，高是（2×3）厘米，然后根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。 【规范解答】（1）A（3，4），B（7，4）在图中的位置，如下图。 （2）C点的位置可能是（5，7）。（答案不唯一） 等腰三角形ABC如下图。 （3）三角形的底：2×4＝8（厘米） 三角形的高：2×3＝6（厘米） 三角形的面积： 8×6÷2 ＝48÷2 ＝24（平方厘米） 所画等腰三角形的面积是24平方厘米。 【考点剖析】本题考查数对与位置的知识、等腰三角形的特征、画等腰三角形以及三角形面积公式的应用。 【变式训练2】 （1）用数对表示少年宫的位置（      ）；用数对表示图书馆的位置为（      ）；用数对表示学校的位置为（      ）。 （2）数对（1，）表示的可能是（        ）和（        ）的位置。 （3）图书馆在学校的（________偏________  ________）方向（        ）米处。 （4）学校在小明家的（________偏________  ________）方向（        ）米处。 （5）李丽家的位置用数对表示为（5，2），请在图上标出来。 【答案】（1）（6，1）；（5，4）；（3，2） （2）小明家；动物园 （3）北；东；45°；1000 （4）南；东；45°；1000 （5）见详解 【思路引导】（1）用数对表示位置，数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行。 从图中可知，少年宫在第6列第1行，图书馆在第5列第4行，学校在第3列第2行；据此用数对表示少年宫、图书馆、学校的位置。 （2）数对（1，）的意思是第1列第行，即行数不确定；先在图中找出第1列，看有哪些建筑在这一列上，据此解答。 （3）以学校为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1个单位长度相当于实际距离的500米，图书馆与学校在图上有2个单位长度，相当于实际的1000米；据此解答。 （4）以小明家为观测点，学校与小明家在图上有2个单位长度，相当于实际的1000米，找准夹角和方向，据此解答。 （5）李丽家的位置用数对表示为（5，2），即第5列第2行，据此在图上标出来。 【规范解答】（1）用数对表示少年宫的位置（6，1）；用数对表示图书馆的位置为（5，4）；用数对表示学校的位置为（3，2）。 （2）图中小明家的位置是（1，4），动物园的位置是（1，6）； 所以数对（1，）表示的可能是小明家和动物园的位置。 （3）500×2＝1000（米） 图书馆在学校的北偏东45°方向1000米处。（答案不唯一） （4）学校在小明家的南偏东45°方向1000米处。（答案不唯一） （5）李丽家的位置如图所示： 【考点剖析】本题考查数对的知识以及根据方向、角度和距离确定物体的位置。 奥数拓展三 方格纸上图形的平移问题（数对） 【典例精讲】按要求回答问题并画出图形。 （1）写出点C的位置： A（2，9）            B（1，7）            C（  ，  ） （2）画山三角形ABC向右平移4个单位后的图形。 （3）写出三角形各顶点的位置： （  ，  ）        （  ，  ）        （  ，  ） （4）观察和平移后的，三对应顶点位置的数对有什么变化规律？ 【答案】（1）（4，6） （2）见详解； （3）（6，9）；（5，7）；（8，6） （4）行数不变，列数加4 【思路引导】（1）根据数对中的第一个数表示列数，第二个数表示行数即可用数对表示出C点的位置； （2）把三角形ABC向右平移4个单位，找出平移后的三角形的各个点对应的列数与行数，按顺序连接即可； （3）根据数对中的第一个数表示列数，第二个数表示行数即可用数对表示出各顶点的位置； （4）通过观察发现：行数不变，列数加4。 【规范解答】由分析得， （1）点C的位置：（4，6）； （2） （3）（6，9）；（5，7）；（8，6）； （4）观察和平移后的，三对应顶点位置的数对的变化规律：行数不变，列数加4。 【考点剖析】此题考查的是数对表示物体位置和平移特点，掌握数对中的第一个数表示列数，第二个数表示行数是解题关键。 【变式训练1】（26-27五年级上·辽宁·课后作业）将小房子先向右平移4格，再向下平移2格，就得到下图中的小房子。请你画出小房子原来的位置。平移前点A的位置是（    ）。 【答案】；（4，5） 【思路引导】平移还原思想：正向平移的逆操作，向右←→向左，向上←→向下，步数不变，数对变化规律：左右平移：改变第一个数（列），左减右加；上下平移：改变第二个数（行），上加下减；数对书写格式：（列数，行数）。 【规范解答】先写出平移后A点坐标：（8，3） 逆向还原： 正向：右4、下2；逆过程：左4，上2 列：8－4＝4 行：3＋2＝5 平移前点A：（4，5） 画图方法：把图中小房子所有顶点依次向左平移4格、向上平移2格，顺次连接，画出原来小房子，图略。 【变式训练2】（25-26五年级上·广东广州·期末）王东是一个阅读达人，他暑假坚持每天骑自行车去图书馆阅读。王东平均每分钟骑行0.2千米，他从家出发，先向西骑行10分钟，再向南骑行15分钟到达图书馆。 (1)请在上图中画出王东从家出发到图书馆的骑行路线，并标出图书馆的位置。（先计算，再画图。） (2)王东家的位置用数对( )表示；图书馆的位置用数对( )表示。 【答案】(1) (2) （6，4） （4，1） 【思路引导】（1）已知王东平均每分钟骑行0.2千米，向西骑行10分钟，根据“路程＝速度×时间”，求出向西骑行的距离为：0.2×10＝2千米；向南骑行15分钟，同理可得向南骑行的距离为：0.2×15＝3千米。方格图中每格代表1千米，因此向西骑行2千米对应向左移动2格，向南骑行3千米对应向下移动3格。从王东家出发，先向西画2格，再向南画3格，该点即为图书馆位置。 （2）数对的规则是先列后行（横坐标为列，纵坐标为行）。王东家在方格图中第6列、第4行，用数对表示为（6，4）；图书馆在方格图中第4列、第1行，用数对表示为（4，1）。 【规范解答】（1）0.2×10＝2（千米） 0.2×15＝3（千米） 画图略。 （2）王东家的位置用数对（6，4）表示；图书馆的位置用数对（4，1）表示。 【基础通关】 1．（25-26五年级下·山东德州·阶段检测）在班级座次平面图上，A同学的位置是（3，4），B同学的位置是（3，5），那么两位同学（    ）。 A．同桌 B．前后桌 C．既不同桌也不前后桌 【答案】B 【思路引导】数对中第一个数表示列，第二个数表示行，同一列、相邻行的座位为前后桌。 【规范解答】A同学位置是（3，4），对应第3列第4行；B同学位置是（3，5），对应第3列第5行。 两人列数相同，行数相差1，是前后桌。 2．（24-25五年级下·山东滨州·期末）小明在教室里坐在的位置上，他同桌的位置可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】数对中第一个数表示列，第二个数表示行，同桌与小明在同一行，列数相差1。 【规范解答】小明的位置（3，5）表示第3列第5行，同桌和小明同一行，所以第二个数为5，列数为或，所以他同桌的位置可能是（4，5）或（2，5）。 3．（25-26五年级下·山东青岛·期末）在同一个平面图上，三个点、、所围成的图形面积和另外三个点、、所围成的图形面积相比较，下面说法正确的是（    ）。 A．第一个面积大 B．第二个面积大 C．一样大 D．无法比较 【答案】B 【思路引导】数对中第一个数表示列，第二个数表示行。观察每组点中是否有在同一行或同一列的两个点，从而确定三角形的底和高。三角形面积＝底×高÷2，分别计算出两个图形的面积再比较大小。 【规范解答】第一个图形：点（2，4）和点（6，4）的行数相同，都在第4行，这两点之间的线段可以作为三角形的底，长度为：6－2＝4；点（6，7）和第4行之间的垂直距离可以作为三角形的高，长度为：7－4＝3。 面积为：4×3÷2 ＝12÷2 ＝6 第二个图形：点（1，3）和点（9，3）的行数相同，都在第3行，这两点之间的线段可以作为三角形的底，长度为：9－1＝8；点（8，5）和第3行之间的垂直距离可以作为三角形的高，长度为：5－3＝2。 面积为：8×2÷2 ＝16÷2 ＝8 6＜8，所以第二个图形面积大。 4．（25-26五年级下·湖南永州·开学考试）五一班学生丽丽在教室里的位置用数对表示是（4，5），她坐在第( )列第( )行。萌萌坐在丽丽的正前方，萌萌在教室里的位置用数对表示是( )。 【答案】 4 5 （4，4） 【思路引导】数对规则：（列，行），先列后行；教室里正前方：列不变，行数减少1（前面一行）。 【规范解答】（4，5）：第一个数字4代表列，第二个数字5代表行，所以，她坐在第4列第5行； 正前方，同一列，行数5－1＝4，萌萌坐在教室里第4列，第4行，所以用数对表示是（4，4）。 5．（25-26六年级下·河南洛阳·期末）做课间操时，轩轩的位置是（12，8），乐乐的位置是（9，13），优优的位置既与轩轩同列，又与乐乐同行。优优的位置用数对表示是( )。 【答案】（12，13） 【思路引导】用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此可知同一列则数对的第一个数字相同，同一行则数对的第二个数字相同。 【规范解答】做课间操时，轩轩的位置是（12，8），即第12列第8行；乐乐的位置是（9，13），即第9列第13行；优优的位置既与轩轩同列即第12列，又与乐乐同行即第13行。 所以优优的位置用数对表示是（12，13）。 6．（25-26五年级下·山东青岛·期末）随着智慧农业普及，使用北斗导航定位的无人驾驶播种机可精准完成农田播种作业。下图是某块农田的平面示意图（每个方格的边长代表10米）。 (1)导航显示：无人播种机从A点出发驶向核心播种点B，出发点A用数对( )表示，核心播种点B用数对( )表示。补给点C在B点的正北方向60米处，用数对( )表示。 (2)无人播种机从起点A出发驶向播种点B，再从播种点B前往补给点C，请完整描述无人播种机的行驶路线（包含方向、角度、距离）。 ___________________________________________________________________________________________ 【答案】(1) （3，2） （7，5） （7，11） (2)无人播种机从起点A出发沿北偏东53°方向行驶50米到达播种点B，再沿正北方向行驶60米，到达补给点C。 【思路引导】确定数对规则：数对第一个数对应横轴刻度，第二个数对应纵轴刻度，先读取A、B点的横纵轴刻度得到对应数对。 计算C点位置：因为每个方格边长代表10米，所以先计算60米对应的方格数，又因为C在B正北方向，即列数不变、行数增加对应方格数，由此得到C点的数对。 描述行驶路线：先确定A到B的方向、角度和已知距离，再确定B到C的方向与距离，按照行驶顺序组合路线描述。 【规范解答】（1），点C的纵坐标刻度是，用数对表示是：（7，11）。 （2）略 7．（25-26五年级下·山东潍坊·期中）看图回答问题。 (1)若超市的位置用数对表示为（2，1），则火车站的位置用数对表示为( )。 (2)游泳馆的位置用数对表示是（6，5），在图中标出游泳馆的位置。 (3)超市在汽车站的( )偏( )( )°方向上。 (4)汽车站在火车站的( )偏( )( )°方向上。 (5)从火车站到超市怎么走？ 【答案】(1)（3，6） (2)见详解 (3) 南 东 20 (4) 南 西 45 (5)见详解 【思路引导】（1）用数对表示位置时，通常把竖排叫列，横排叫行。一般情况下，确定第几列时从左往右数，确定第几行时从前往后数。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用逗号“，”隔开，数对加上小括号。若超市的位置用数对表示为（2，1），说明超市在第一行的第二列处，据此找出火车站在第几行的第几列即可用数对表示其位置。 （2）数对（6，5）表示是第五行的第六列处，据此在图中找到并标注即可。 （3）遵循上北下南、左西右东的原则，以汽车站为观察点，找准超市在汽车站的什么方向以及两点连线与南北方向线的夹角。 （4）遵循上北下南、左西右东的原则，以火车站为观察点，找准汽车站在火车站的什么方向以及两点连线与南北方向线的夹角。 （5）去哪里是以出发点为观测点，再根据上北下南、左西右东结合图上角度描述方向，最后根据两地之间的距离确定各场所的位置，依次描述火车站、汽车站和超市。 【规范解答】（1）若超市的位置用数对表示为（2，1），则火车站的位置用数对表示为（3，6）。 （2）游泳馆的位置在第6列，第5行，位置如图： （3）超市在汽车站南偏东方向上。（答案不唯一） （4）汽车站在火车站的南偏西方向上。（答案不唯一） （5）从火车站到超市：应先向南偏西方向走283米到达汽车站，再向南偏东方向走316米到超市。 8．（25-26五年级上·河北邢台·期末）非洲大草原以热带草原气候、大规模动物迁徙和丰富的野生动物资源著称。一位荒野摄影师在A（3，5）处拍摄到一只黑犀牛，6小时后在B（10，5）处又拍到这只黑犀牛。 (1)在上图中标注出黑犀牛出现的A、B两点位置。 (2)如果一个小方格的边长是3km，这只黑犀牛平均每小时走多少千米？ 【答案】(1) (2)3.5千米 【思路引导】（1）数对的第一个数表示列，第二个数表示行。A（3，5）就是第3列第5行，B（10，5）就是第10列第5行，在图上标出即可。 （2）先计算A、B两点在图上的列数差：10－3＝7格，这就是黑犀牛移动的格数。每格边长为3km，所以实际移动距离为7×3＝21km。利用路程÷时间＝速度，即21÷6可求得平均速度。 【规范解答】（1）画图略。 （2）10－3＝7（格） 7×3＝21（千米） 21÷6＝3.5（千米） 答：这只黑犀牛平均每小时走3.5千米。 9．（25-26五年级上·广东东莞·期末）小华要画一个平行四边形ABCD，他已经画出了平行四边形的两条边。 （1）用直尺将平行四边形ABCD画完整。 （2）点B的位置用数对表示是（    ），点C的位置用数对表示是（    ）。 （3）平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2。 （4）画一个长方形，使它的面积与平行四边形ABCD面积相等。 【答案】 （2）（7，5）；（5，2）； （3）12； （1）（4）如下图： （最后一问画法不唯一） 【思路引导】（1）根据平行四边形对边平行且相等的性质，已知AB＝4cm，过点D作AB的平行线，长度为4cm（即在第2行从D点向右画4cm长的线段）再连接BC，即可画出完整的平行四边形ABCD。 （2）数对中第一个数表示列，第二个数表示行，据此解答。 （3）底AB的长度：7－3＝4（cm）（数对中列数相减），高：5－2＝3（cm）（数对中行数相减），根据平行四边形面积公式S＝底×高，计算可得3×4＝12 cm2。 （4）根据长方形面积＝长×宽，即12＝长×宽，因为12＝1×12＝2×6＝3×4，因此任取一组作为长方形的长和宽画出即可。 【规范解答】（1）图略。 （2）由图知，点B在第7列第5行，因此用数对表示为（7，5）；点C在第5列第2行，因此用数对表示为（5，2）。 （3）3×4＝12（cm2） 因此，平行四边形ABCD的面积是12cm2。 （4）取长为4cm，宽为3cm画出长方形，图了。 10．（25-26五年级下·山东枣庄·期末）下图是一幅未完成的公园示意图。 (1)如果石桥的位置用（2，1）表示，荷塘在( )位置上。 (2)听雨轩在（4，6）位置上，用“▲”标出来。 (3)以石桥为观测点，天鹅湖在( )偏( )( )°( )米处。 【答案】(1)（1，4） (2) (3) 北 东 55 300 【思路引导】（1）数对中，第一个数表示列第二个数表示行。据此观察荷塘在第几列第几行，确定荷塘的位置。 （2）听雨轩在（4，6）位置上，表示听雨轩在第4列第6行，据此用“▲”标出。 （3）以石桥为观测点，天鹅湖在北偏东方向，角度为55°，图上距离3厘米，因为图上1厘米代表实际100米，所以用图上距离乘1厘米代表的实际距离求出石桥到天鹅湖的实际距离。 【规范解答】（1）观察可知，荷塘在第1列第4行，因此荷塘的位置用数对表示为（1，4）。 （2）略 （3）3×100＝300（米） 以石桥为观测点，天鹅湖在北偏东55°（或东偏北35°）300米处。 【能力提升】 1．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）小明站在广播体操方队的最后一排的正中间，位置用数对（12，30）表示。这个广播体操方队一共有（    ）人。 A．360 B．690 C．708 D．720 【答案】B 【思路引导】数对第一个数表示列，第二个数表示行。数对（12，30）表示小明在第12列、第30行。他在最后一排正中间，说明一共30行，第12列为中间列，先算出总列数，再用总列数乘总行数得到总人数。 【规范解答】小明在中间第12列： 左边：12－1＝11（列） 右边也是11列 总列数：11＋1＋11＝23（列） 总人数：23×30＝690（人） 2．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）如图，将长方形ABCD轮廓点的数对的第一个数除以3，第二个数不变，得到的新的长方形的周长是（    ）cm。（每个小方格的边长表示1cm） A．10 B．14 C．5 D．7 【答案】A 【思路引导】根据数对第一个数表示所在列，第二个数表示所在行，分别用数对表示出每个轮廓点的位置，再把每一个数对的第一个数除以3，第二个数不变，得到新的轮廓点，连线得到新的长方形，根据每个小方格的边长表示1cm确定长方形的长、宽，进而求出它的周长。 【规范解答】原长方形A点的数对是（3,6），B点的数对是（9,6），C点的数对是（9,3），D点的数对是（3,3）； 把数对的第一个数除以3，则新长方形A点的数对是（1,6），B点的数对是（3,6），C点的数对是（3,3）， D点的数对是（1,3），则得到的新长方形如下图： 新长方形的长是3厘米，宽是2厘米 （3＋2）×2 ＝5×2 ＝10（厘米） 得到的新的长方形的周长是10厘米。 3．（25-26五年级上·河北邢台·期中）小丽在教室的位置是第5列第3行，用数对表示是（5，3）。小军的位置在她左边相邻的位置，小军的位置用数对表示是（    ）。 A．（6，3） B．（4，4） C．（5，4） 【答案】A 【思路引导】数对（a，b）中，a表示列，b表示行。 小丽的位置用数对表示是（5，3），小军的位置在她左边相邻的位置，从小丽的角度看，小丽左边相邻的位置列数增加1，行数应相同，小军的位置应为（6，3）。 【规范解答】A.（6，3），列数增加1，行数相同，是小丽左边相邻的位置，符合小丽左边相邻的要求，此选项正确。 B.（4，4），列数减少1，行数增加1，是小丽右后方的位置，不符合小丽左边相邻的要求，此选项错误。 C.（5，4），列数相同，行数增加1，是小丽正后方相邻的位置，不符合小丽左边相邻的要求，此选项错误。 小军的位置用数对表示是A（6，3）。 故答案为：A 【考点剖析】要注意是以小丽自身的视角为基准，小丽的左边，列增加；小丽的右边，列减少。 4．（26-27五年级上·辽宁·课后作业）糖糖去人民公园玩，请你帮她解决遇到的数学问题吧！ (1)大门前面有一条笔直的路，如果把它看作数线，草亭的位置可以用数( )来表示。 (2)公园里部分游乐项目在方格图上的位置如图所示。如果打靶的位置用（2，3）表示，则彩虹滑道在（____，____）。荡秋千在（____，____）。 (3)如下图，糖糖用三个数组成的数对（2，3，5）来表示天空中风筝的位置。照此推算，点A的位置可以用数对（____，____，____）来表示。 【答案】(1)16 (2) 4 6 7 3 (3) 3 5 4 【思路引导】（1）这条数线的0点对应大门，10到20之间被平均分成了5个相等的小段。 （2）数对的规则是先列后行：打靶位置（2，3）说明第一个数对应横轴的列数，第二个数对应纵轴的行数。 （3）根据风筝的数对 （2，3，5）可知，三个数的顺序依次对应x轴、y轴、z轴的数值 【规范解答】（1）每小段代表的长度是（20−10）÷5＝10÷5＝2； 草亭在10的右侧第3个小段处，计算得10＋3×2＝10＋6＝16。 （2）观察图可得彩虹滑道横轴对应4、纵轴对应6，即（4，6）；荡秋千横轴对应7、纵轴对应3，即（7，3）。 （3）对照点A在三个轴上的刻度，x轴为3、y轴为5、z轴为4，就能得出A的位置是（3，5，4）。 5．（25-26六年级下·广东广州·期末）如图是乡村一处民宅，根据描述，算一算，并填空。 (1)民宅的正门位于点（3，0），向北走40米到达轿厅，轿厅位于点( )。 (2)偏厅位于点( )，在轿厅的( )面( )m处。 (3)书房位于点（5，4），向南偏( )、( )°大约走28m可以走到前厅。 【答案】(1)（3，4） (2) （1，4） 西 20 (3) 东 45 【思路引导】1.已知正门位于点（3，0）处，向北走40米到达轿厅。图上1格代表实际距离10m，那么40m就是4格。因为是向北走，也就是向上移动，所以轿厅的列数不变，行数增加4。 2.从图中可以看出偏厅的位置位于点（1，4），要确定偏厅相对于轿厅的位置，需要比较它们的数对。由第一小题可知轿厅位于点（3，4），它们的行数相同，说明在同一行。列数从3变为1，说明是向西移动。移动格数为3−1＝2（格），根据比例尺，实际距离为20m。 3.已知书房位于点（5，4），前厅位于点（7，2）.从书房到前厅，列数从5变为7，增加了7−5＝2格，说明是向东移动；行数从4变为2，减少4−2＝2格，说明是向南移动。因为向东和向南移动的格数相同，所以方向是南偏东 【规范解答】（1）40÷10＝4（格） 轿厅的列数：3 轿厅的行数：0＋4＝4 所以轿厅位于点（3，4） （2）从图中可以直接看出偏厅位于点（1，4） 轿厅位于点（3，4） 它们行数相同，列数从3变为1，说明是向西移动。 移动格数为3−1＝2（格），根据比例尺，实际距离为：2×10＝20（m） 所以偏厅在轿厅的西面20米处。 （3）书房位于点（5，4），前厅位于点（7，2） 7−5＝2（格）说明是向东移动。 4−2＝2（格）说明是向南移动。 因为向东和向南移动的格数相同，所以方向是南偏东。 6．亮亮家厨房的一面墙上贴满了瓷砖，这面墙四个角的瓷砖位置分别是（1，1），（1，10），（18，1），（18，10）。这面墙一共贴了( )块瓷砖。 【答案】180 【思路引导】这面墙的四个角的瓷砖位置分别是（1，1），（1，10），（18，1）（18，10），根据用数对表示点的位置的方法，由数对（18，10）可知这个点是在第18列第10行，那么瓷砖共有18列10行，一共有10个18，用乘法解答即可。 【规范解答】由数对（18，10）可知这个点是在第18列第10行，那么瓷砖共有18列10行； 18×10＝180（块） 即这面墙上一共贴了180块瓷砖。 【考点剖析】本题关键是明确这面墙一共有多少列多少行，然后列乘法算式进一步解答。 7．（25-26五年级下·山东枣庄·期中）下图是王明家周围的平面图。 (1)用数对表示位置：图书馆( )；照相馆( )；集贸市场( )。 (2)王明现在的位置是（5，1）请用△标注出来。 (3)少年宫在王明家的( )偏( )( )的方向上。 (4)王明从家到图书馆可以怎么走？ 【答案】(1) （6，6） （9，2） （1，7） (2) (3) 北 东 34° (4)从王明家先向北偏东34°方向走到少年宫，再从少年宫向北偏东45°方向走到图书馆。 【思路引导】（1）数对表示位置，第一个数字表示列数（对应下方的数字），第二个数字表示行数（对应左边的数字）； （2）第一个数字表示列数（对应下方数字），第二个数字表示行数（对应左边数字），即下方数字5与左边数字1相交叉的点； （3）遵循“上北下南、左西右东”的原则，以王明家为观测点，找准少年宫在王明家的什么方向以及两点连线与南北方向线（或者东西方向线）的夹角； （4）描述行动路线，从王明家到少年宫是以王明家为观测点，看少年宫在王明家的什么方向，从少年宫到图书馆是以少年宫为观测点，看图书馆在少年宫的什么方向。 【规范解答】（1）根据分析：图书馆下方对应6，左边对应6；照相馆下方对应9，左边对应2，；集贸市场下方对应1，左边对应7，所以它们用数对表示为： 图书馆（6，6）；照相馆（9，2）；集贸市场（1，7）； （2）（5，1）找下方对应5，左边对应1的格点是王明现在的位置，画上△即可；图略。 （3）少年宫在王明家的东北方向，并且两点连线与正北方向的夹角为34°，所以少年宫在王明家的北偏东34°方向上。（答案不唯一） （4）从王明家先向北偏东34°方向走到少年宫，再从少年宫向北偏东45°方向走到图书馆。 8．（24-25五年级上·河北廊坊·期末）在某一海域中，一艘轮船发生故障，船上的雷达探索显示附近有一艘军舰、一艘货船和一艘商船（如图所示）。 （1）出事船只位于，商船位于（    ），军舰位于（    ），货船位于（    ）。 （2）如果商船以每小时50千米的速度赶到出事地点救援，需要（    ）小时到达。 （3）还有一艘渔船在出事船只往西300千米，再往北100千米处，请你在图上标出这艘渔船的位置，并用数对表示是（    ）。 【答案】（1）（7，2）；（12，11）；（3，9） （2）4 （3）；（1，8） 【思路引导】（1）数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。商船在第7列第2行，用数对表示为（7，2）；军舰在第12列第11行，用数对表示为（12，11）；货船在第3列第9行，用数对表示为（3，9）； （2）由图可知，商船与出事船只在同一列，用（6－2）计算出两船相距的行数；由图可知，每一格之间的距离表示实际距离50千米，用相距的行数乘50计算出两船相距的实际距离，再根据“时间＝路程÷速度”用两船相距的实际距离除以50即可； （3）分别用300和100除以50计算出图上的格数分别是6格和2格；根据图上方向“上北下南，左西右东”可知，渔船在出事船只左数第6格即第7－6＝1列、再往上数2格即第6＋2＝8行处，用数对表示为（1，8），再据此标出渔船位置。 【规范解答】（1）出事船只位于（7，6），商船位于（7，2），军舰位于（12，11），货船位于（3，9）。 （2）（6－2）×50÷50 ＝4×50÷50 ＝200÷50 ＝4（小时） 如果商船以每小时50千米的速度赶到出事地点救援，需要4小时到达。 （3）300÷50＝6（格） 7－6＝1（列） 100÷50＝2（格） 6＋2＝8（行） 一艘渔船在出事船只往西300千米，再往北100千米处，在图上的位置如下图所示，用数对表示是（1，8）。 图略 9．（25-26五年级上·山东日照·期末）（1）我们之前学习了在一条线上确定位置，可以用一条数轴上的方向和数1、2、3等表示。如果以0为原点，如下图，点A可以用（    ）来表示。 （2）现在学会了在平面上确定位置需要两个方向，可以用两条数轴形成数对来表示。如下图：B（2，3）、C（5，3）、D（      ）。 （3）文文在图中确定一个点E，与B、C、D围成了一个封闭图形，这个封闭图形的面积可以用“（3＋2）×2÷2”进行计算，请你根据算式，在方格图中画出这个封闭图形。若将该图形先向上平移3格，再向右平移2格，平移后点D的位置是（    ）。 （4）将来还会学到在空间中确定位置，这时两个方向就不够了，还要加上“高度”，如下图中房间里灯的位置，可以用三个数组成的“数对”F（4，5，3）来表示。照此推算，点G可以用“数对”（    ）来表示。 【答案】（1）2.2 （2）（4，5） （3）；（6，8） （4）（2，3，4） 【思路引导】（1）先看数轴上点A在2和3之间，再看2到3被分成5小份，每份0.2，点A在2右边第1份，所以是2.2。 （2）数对表示位置的规则是先列后行，观察方格图中D点的位置，横向对应第4列，纵向对应第5行，因此D的数对为（4，5）。 （3）算式（3＋2）×2÷2是梯形面积公式，判断B、C、D和E点围成梯形，上底是3，下底是2，高是2，所以E点可以是（2，5）或（6，5）；再根据数对平移规则，点D（4，5）向右平移2格、向上平移3格，列数加2、行数加3，得到平移后点D的位置是（6，8）。 （4）由图可知，数对的三个数分别代表x轴方向、y轴方向和z轴方向的位置，根据点G在图中的对应位置，确定其x轴为2、y轴为3、z轴为4，因此点G的数对是（2，3，4）。 【规范解答】（1）1÷5＝0.2 2＋0.2＝2.2 所以点A可以用2.2来表示。 （2）如下图：B（2，3）、C（5，3）、D（4，5）。 （3）画图略。 4＋2＝6 5＋3＝8 所以平移后点D的位置是（6，8）。 （4）点G可以用“数对”（2，3，4）来表示。 10．（25-26五年级上·重庆·期末）按要求完成操作（1个方格的面积为1dm2）。 （1）用数对表示点A、C的位置：A（    ），C（    ）；再在方格中标出点B（3，4）、D（9，4）、E（8，1）的位置。 （2）从这五个点中任选四个点依次连接围成平行四边形（    ）（字母表示），再从这五个点任选三个点依次连接围成三角形（    ）（字母表示），且这两个图形的面积相等。 （3）请用合适的方法说明这两个图形面积为什么相等。 【答案】（1）（2，1）；（6，7）； （2）；； （3）6×3＝18（dm2） 6×6÷2＝18（dm2）（方法不唯一） 【思路引导】（1）根据数对表示点的位置的方法，第一个数表示列数，第二个数表示行数；根据图中点和点所在位置分别找出它们的列数和行数，再用数对表示位置即可；根据给出的点、点、点的数对，在图中分别找到对应列数和行数的交点，标出位置即可； （2）根据平行四边形的对边平行且相等可知，图中只有、、、四个点可以组成平行四边形，当三角形和平行四边形同底时，要使面积相等，则三角形的高应是平行四边形高的2倍，满足条件的三个点是点、点、点； （3）已知每个方格的面积为1dm²，则小方格的边长为1dm，可通过“三角形的面积＝底×高÷2、平行四边形的面积＝底×高”分别计算图形面积进行说明。 【规范解答】（1）点在第2列，第1行，用数对表示是（2，1）； 点在第6列，第7行，用数对表示是（6，7）； 在方格中标出点B（3，4）、D（9，4）、E（8，1）的位置。画图略。 （2）从这五个点中任选四个点依次连接围成平行四边形（）（字母表示），再从这五个点任选三个点依次连接围成三角形（）（字母表示），且这两个图形的面积相等。（答案不唯一） 画图略。 （3）6×3＝18（dm2） 6×6÷2＝18（dm2） 18＝18 因此平行四边形的面积和三角形的面积相等。（方法不唯一） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 第六单元图形的位置和运动（一）『举一反三知识讲练」 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+4个考点讲练+3个奥数拓展+真题难度分层演练共41题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于北师大版新教材五年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全 套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标： 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解和运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合北 师大版五上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 导图指引梳理脉络· 2 知识梳理温故知新… 2 知识点一用数对表示具体情境中物体的位置，，， 知识点二根据数对在具体情境中确定物体的位置...· 3 知识点三在方格纸上用数对确定位置.· 考点讲练真题汇总.… 5 高频考点一用数对表示位置… 高频考点二根据数对找位置…… 高频考点三方格纸上图形的平移问题（数对） .。...。,..。。,7 高频考点四利用数对绘制相似图形.……8 第1页共20页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 难，点突破奥数拓展 。。。。 10 奥数拓展一用数对表示位置....... 10 奥数拓展二根据数对找位置 11 奥数拓展三方格纸上图形的平移问题（数对） 12 优选真题实战演练.… 14 【基础通关】 【能力提升】 导图指引梳理脉络 知识点梳理01：用数对表示具体情境中物体的位置 知识点梳理03：在方格纸上用数对确定位置 1.列与行的含义 (1)列：竖排叫做列。确定第几列，要从左往右数。 1.方格纸的特点 (1)方格纸是由水平和垂直的线组成的，形成了一个个小方格 (2)水平方向的线表示行，垂直方向的线表示列。 2.数对的含义 用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对。○ (3)通常，方格纸的左上角（威左下角，具体看题目规定）会标有起始点(0,0) 有时也直接从1开始标记列和行的序号。 3.数对的写法 奔春秀路费桥：桥号数特 2.用数对表示方格纸上点的位置 4.举例 (1)方格纸上的每一个交叉点都代表一个位置， (1)小明坐在教室的第3列第4行，可以用数对(3,4)表示 (2)数对（列数，行数）中的列数是指从左往右数，该点所在的竖直线对应的数字 (2)小红的位置用数对表示是(5,2)，表示她坐在第5列第2行。 行是指从下往 (成从上往下，根 常是从下往上 与数学坐标系统一)数，该点所在的水平线对应的数字 第六单元 3.举例：在下面的方格图中，请标出A(2,3)、B(4,1)、C(5,5)的位置 是不是跟神装作数对三道号四广，这个小小的数对批能准精定位号些 图形的位置与运动（一） 知识点思维导图 A(2,3》:先提到第2列（从左往右数第2条 知识点梳理·2：根据数对在具体情境中确定物体的位置 竖线》，再找到第3行（从下往上数第3条横线） 北师大版数学五年级上册 它们的交点就是A 1.方法 (1)先找列数：从左往右数，找到对应的列 B(4,1):第4列第1行 (2)再找行鼓：从前往后（或从下往上）数，找到对应的行。 (3)列与行的交叉点，就是物体所在的位置。 在教室座位图中，数对(2,3) 表示的位置是：从左数第2列。 C(5,5):第5列，第5行 2举例：教室座位图 讲台 从前数第3行，找到这个交叉 第1列第2列第3列第4列第5列 点就是该位置。 0 ● ● O一第1行（前排） 名师点评： 0 +第2行 问学们，我们把具体的座位图抽象一下，就变成了方格纸，方格纸就像一个巨大的模盘 0 o 0 8 -第3行 每个交又点都可以用数对来表示：在方格纸上确定位置，和在教室里确定座位道理是 一第4行（后排） 先列后行不过，方格纸上 上的 时是从下 心佳上的行通发全双出来方便我产找桂鸭是 名师点评：“学会了用致对表示位置，反过来，给你一个数对，你能在图上找到它对应的位置吗？ 这就像我们拿着“地图”找宝戴一样！第一步，先确定列，“左右”看：第二步。再确定行。 “前后”看。列和行就像我们生活中的“经线”和“纬线”，它们的交点就是我们要找的“宝藏 物体的位置。记住，数对中的第一个数是“列向号”，第二个数是“行向号”，千万别找反了哦！ ★数对的意义 ★确定位置的方法 ★方格纸上的位置表示 知识小结 用有顺序的两个数（列数。行数）表示出一个确定的位置。 先找列。再找行，列与行的交又点就是物体所在的位置 每个交叉点用数对表示，列数从左往右，行数从下往上（或从上下） 知识梳理温故知新 ■ 知识点一用数对表示具体情境中物体的位置 1.列与行的含义： (1)列：竖排叫做列。确定第几列，要从左往右数。 (2)行：横排叫做行。确定第几行，要从前往后（或从下往上，具体看情境图的说明，通常是从前 第2页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 往后)数。 2.数对的含义：用有顺序的两个数表示出一个确定的位置就是数对。 3.数对的写法：先表示列数，再表示行数。用括号把列数和行数括起来，并在列数和行数之间用逗号 隔开。写作：（列数，行数）。 4.举例： (1)小明坐在教室的第3列第4行，可以用数对(3,4)表示。 (2)小红的位置用数对表示是(5,2)，表示她坐在第5列第2行。 名师点评：“同学们，我们每天都要坐在教室里，每个人都有自己的座位。如果我想让你们快速找到 某个同学的座位，或者向别人介绍你的座位，怎么说才能既清楚又简洁呢？今天我们学习的‘数对' 就是解决这个问题的好工具！大家一定要记住‘列'和行’的规定：竖排是列，从左往右数；横排 是行，从前往后数。这个‘左’和‘前’是很重要的观察点。数对的写法也很关键，先列后行，外面 加括号，中间用逗号隔开，比如(3,4)，读作‘数对三逗号四’。这个小小的数对就能准确‘定位 一个位置，是不是很神奇？” 知识点二根据数对在具体情境中确定物体的位置 1.方法： (1)先找列数：从左往右数，找到对应的列。 (2)再找行数：从前往后（或从下往上)数，找到对应的行。 (3)列与行的交叉点，就是物体所在的位置。 2.举例：教室座位图 讲台 第1列第2列第3列第4列第5列 0 O O O O ←第1行（前排) 0 O O O O ←第2行 O O O O O ←第3行 O O O O O ←第4行（后排） 在教室座位图中，数对(2,3)表示的位置是：从左数第2列，从前数第3行，找到这个交叉点就是 该位置。 名师点评：“学会了用数对表示位置，反过来，给你一个数对，你能在图上找到它对应的位置吗？这 就像我们拿着‘地图’找宝藏一样！第一步，先确定列，‘左右’看；第二步，再确定行，‘前后’ 第3页共20页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 看。列和行就像我们生活中的‘经线'和‘纬线'，它们的交点就是我们要找的宝藏'一物体的 位置。记住，数对中的第一个数是‘列向导'，第二个数是‘行向导’，千万别找反了哦！” 知识点三在方格纸上用数对确定位置 1.方格纸的特点： (1)方格纸是由水平和垂直的线组成的，形成了一个个小方格。 (2)水平方向的线表示行，垂直方向的线表示列。 (3)通常，方格纸的左上角（或左下角，具体看题目规定)会标有起始点(0,0)，有时也直接从1 开始标记列和行的序号。 2.用数对表示方格纸上点的位置： (1)方格纸上的每一个交叉点都代表一个位置。 (2)数对（列数，行数)中的列数是指从左往右数，该点所在的竖直线对应的数字；行数是指从下往 上（或从上往下，根据题目习惯，通常是从下往上，与数学坐标系统一)数，该点所在的水平线对应 的数字。 3.举例：在下面的方格图中，请标出A（2,3),B(4,1),C(5,5)的位置。 5 4 A 2 B 0 4 6 A(2,3):先找到第2列（从左往右数第2条竖线），再找到第3行（从下往上数第3条横线），它 们的交点就是A。 B(4,1):第4列，第1行。 C(5,5):第5列，第5行。 名师点评：“同学们，我们把具体的座位图抽象一下，就变成了方格纸。方格纸就像一个巨大的棋盘， 每个交叉点都可以用数对来表示。在方格纸上确定位置，和在教室里确定座位道理是一样的，都是先 列后行。不过，方格纸上的列和行通常会用数字标出来，方便我们查找。要注意的是，方格纸上的‘行 有时是从下往上数的，就像我们爬楼梯一样，从一楼（第1行)到二楼（第2行)。这和我们之前说 的‘从前往后数'本质上是相通的，都是一种约定。这个小小的数对，其实是我们以后学习更复杂的 第4页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 坐标’的基础呢！” 考点讲练真题汇总 高频考点一用数对表示位置 【典例精讲】(25-26五年级下·山东淄博·期末)操作题。 6 A 5 4 3 2 1 0123456789101112 (1)用数对表示点0的位置( ）。 (2)画出将三角形OBA向右平移6格后的图形。 (3)画出将三角形OBA绕点0顺时针旋转90度后的图形。 【变式训练1】(25-26五年级下·安徽黄山·期末)根据要求在下图中操作，并回答问题。 8 A 6 B 5 A C(C') 2 1 0 12345678 (1)用数对表示图中A、B、C的位置。 A( )、B( )、c( )。 (2)将三角形ABC绕点C( )时针旋转( )°后得到三角形A’B’C'。 (3)把三角形A'B’C'绕点C'逆时针旋转90°得到图①，再把图①向右平移3格得到图②。请你画出图 ①和图②。 第5页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练2】(24-25五年级下·河北邯郸·期末)按要求做一做。 8 7 6 5 4 3 2 1 0 123456789101112131415 (1)将图①绕点A顺时针旋转90°，并标上②。 (2)将图①向右平移四格，再向下平移两格，并标上图形③。 (3)用数对表示图③点A最后的位置为()。 高频考点二根据数对找位置 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)机器人聪聪怎样沿着图中的方格线绕过障碍物▲到达 目的地？ 目的地 7 6 5 4 3 2 0123456789101112131415 (1)小红是这样设计路线的：出发地(1,1)→(8,1)→(8,3)→(14,3)→(14,7)→目的地( )。 用彩笔画出小红的设计路线。 (2)请你再设计一条到达目的地的路线，照着上面的样子写出来。 【变式训练1】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)有一只可爱的小猫欢欢，组成它的轮廓点如下：A(2, 0),B(4,0),C(6,2),D(6,6),E(5,8),F(4,6),G(2,6),H(1,8),I(0,6), J(0,2)。请你根据这些点画出小猫的轮廓。 第6页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练2】(25-26五年级下·福建南平·期末)五子棋规则：双方轮流落子，谁先将五颗棋子连成横 线、竖线或斜线者获胜。淘气和笑笑正在对弈，如图。 8 7 5 4 3 2 012345678 (1)笑笑执白棋，为阻止淘气获胜，她将落子在(7,3)位置上。请在图上用“O”标出。 (②)下一步，淘气执黑棋，需在什么位置落子，才能阻止笑笑获胜？请在图上用“●”标出。 高频考点三方格纸上图形的平移问题（数对） 【典例精讲】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)下面的小树是先向右平移5格，再向下平移1格得到 的。请画出小树原来的位置。点M原来的位置是( )。 4 3 2 0 12345678910 第7页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练1】(25-26五年级上·江西赣州·期末)在下面方格图中，完成下列问题。 6 将军纪念伸 234567 89 (1)请你用数对表示出“将军纪念馆”的位置：( )。 (2)请你在(6,4)的位置画一个“脐橙产业园”的标识☆。 (3)从“将军纪念馆”出发，先向左走4格，再向上走2格，到达“烈士陵园”。请用数对表示出“烈士陵 园”的位置：( ),并在图中画出来。 【变式训练2】(25-26五年级上·甘肃天水·期末) 10 9 6 C D 5 4 3 2 0 12345678910111213 (1)用数对标出图中梯形的顶点A、D的位置。 A( ）,D( (2)把方格图中的梯形先向右平移7个单位，再向下平移4个单位，最后在格子图中画出平移后的图形。 (3)图中1小格边长为1cm,则梯形的面积是()cm。 高频考点四利用数对绘制相似图形 【典例精讲】写出图中三角形ABC各个顶点的位置，A( ),B( ),c( )。三角形 ABC向下平移4个单位后得到图形三角形A'B'C',三角形A'B'C'顶点的位置表示为A'( B'( ),C'（）。 第8页共20页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 9 8 B(, 7 6 A(3,6) 5 3 2 1 0 12345678 【变式训练1】(1)用数对表示正方形的顶点A,B,C,D的位置： A(-,_),B(,_),C(-,-),D(,_)。 (2)在图中标出E(7,5),F(7,2),G(10,2),并依次连接C、F、G、E。这样就围成了一个( 形。 C 6 5 B 3 2 1 0 A 123456789101112 【变式训练2】 (23-24四年级上·辽宁沈阳·期末)用数对表示下面三角形各个顶点的位置。 4 3 2 B 0 23 4 5 A点的位置：( ),B点的位置：( ),C点的位置：( ）。 第9页共20页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 难点突破奥数拓展 奥数拓展一用数对表示位置 【典例精讲】(2025五年级下·山东·专题练习)某个周日下午，实验小学五子棋社团正在进行五子棋比 赛。规则：自己的五颗棋子连成一条线，并且连成的棋子中间不能有对方的棋子，就可以获胜。连成的一 条线可以是横着的，可以是竖着的，也可以是斜着的。 (1)小亮执黑棋，轮到他落子。为了封堵白棋，他应该把黑棋落在( ),并在棋盘上用“●”标出： 小明执白棋，请你帮他落子在(5,9)位置，用“○”画在棋盘上。 (2)在此形势下，黑棋落在( ),能确保下一手黑棋可以获胜。 【变式训练1】如图是由边长1厘米的正方形组成的方格图，点A、B、C在方格图的格点上。 6 C B 5 0 1 2 345 678 (1)请在图中找出另一个格点，使这四点依次连接，形成平行四边形，这样的格点最多有( )个： 选择其中一个点，用字母D在方格图中表示出来，点D用数对表示为( )。 (2)把这四个点依次连接，并画出向上平移2厘米后的图形。 (3)与这个平行四边形等底等高的三角形的面积是( )。 第10页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练2】按要求画一画、填一填、算一算。（每个小方格的边长是1cm) ①三角形ABC是一个轴对称图形，请你补全这个三角形，并标出点C。 ②在图上用数对表示三角形顶点B和C的位置，观察它们的数对，你发现了什么？ ③图中三角形ABC的面积是( )cm,在方格纸上画一个和这个三角形面积相等的平行四边形。 8 01 2345678910111213141516171819202122 奥数拓展二根据数对找位置 【典例精讲】(25-26五年级上·全国·单元复习)按照下图数字排列规则，若用数对(m,n)表示第m 行从左往右数第n个数字，例如（3,2)表示的数字是2.2。 1.1 第1行 1.1 1.1 第2行 1.12.2 1.1 第3行 1.13.33.31.1 第4行 1.14.4 6.6 4.41.1第5行 (1)数对(5,4)表示的数字是( ): (2)数对(6,3)表示的数字是多少？并写出理由。 (3)请你根据图中数字的排列规律，求出第7行所有数字的和。 【变式训练1】操作。 (1)在方格图中找到下列各点的位置。 A(3,4),B(7,4)。 (2)在图中找出一点C,使其和A、B两点依次连接成一个等腰三角形，C点的位置可能是( 请在方格中画出这个等腰三角形。 第11页共20页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 (3)如果每个方格的边长表示2厘米，那么所画等腰三角形的面积是( )平方厘米。 10 9 8 5 4 012345678910 【变式训练2】 6 动物园 北 小阴家 图书馆 3 45459 2 学校 少年宫 500米 012 4 5 6 78 (1)用数对表示少年宫的位置( )；用数对表示图书馆的位置为( ):用数对 表示学校的位置为( (2)数对(1，x)表示的可能是( )和( )的位置。 (3)图书馆在学校的（ 偏】 )方向( )米处。 (4)学校在小明家的( 偏 )方向( )米处。 (5)李丽家的位置用数对表示为(5,2)，请在图上标出来。 奥数拓展三方格纸上图形的平移问题（数对） 【典例精讲】按要求回答问题并画出图形。 (1)写出点C的位置： A(2,9) B(1,7) C(,) 第12页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 (2)画山三角形ABC向右平移4个单位后的图形△A'B'C'。 (3)写出三角形A'B'C'各项点的位置： A(, B'( (4)观察△ABC和平移后的△A'B'C',三对应顶点位置的数对有什么变化规律？ 10 Af---r-- T““T“ 9 7 B 5 C 3 2 1 01 12345678910 【变式训练1】(26-27五年级上·辽宁·课后作业)将小房子先向右平移4格，再向下平移2格，就得到 下图中的小房子。请你画出小房子原来的位置。平移前点A的位置是( )。 6 5 3 2 1 012345678910 【变式训练2】(25-26五年级上·广东广州·期末)王东是一个阅读达人，他暑假坚持每天骑自行车去图 书馆阅读。王东平均每分钟骑行0.2千米，他从家出发，先向西骑行10分钟，再向南骑行15分钟到达图 书馆。 北 1km 个 6 5 1km 4 3 王东家 2 1 012345678910 第13页共20页 2026-2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三进义思维拓展 (1)请在上图中画出王东从家出发到图书馆的骑行路线，并标出图书馆的位置。（先计算，再画图。） (2)王东家的位置用数对( )表示；图书馆的位置用数对( )表示。 优选真题实战演练 【基础通关】 1.(25-26五年级下·山东德州·阶段检测)在班级座次平面图上，A同学的位置是(3,4)，B同学的位 置是(3,5)，那么两位同学( ）。 A.同桌 B.前后桌 C.既不同桌也不前后桌 2.(24-25五年级下·山东滨州·期末)小明在教室里坐在(3,5)的位置上，他同桌的位置可能是( )。 A.(3,6) B.(4,5) C.(4,6) 3.(25-26五年级下·山东青岛·期末)在同一个平面图上，三个点(2,4④、(6,4)、(6,7)所围成的图形面积 和另外三个点(1,3)、(8,5)、(9,3)所围成的图形面积相比较，下面说法正确的是( )。 A.第一个面积大B.第二个面积大C.一样大 D.无法比较 4.(25-26五年级下·湖南永州·开学考试)五一班学生丽丽在教室里的位置用数对表示是(4,5)，她 坐在第( )列第( )行。萌萌坐在丽丽的正前方，萌萌在教室里的位置用数对表示是 ( )。 5.（25-26六年级下·河南洛阳·期末)做课间操时，轩轩的位置是(12,8)，乐乐的位置是(9,13)， 优优的位置既与轩轩同列，又与乐乐同行。优优的位置用数对表示是( ）。 6.(25-26五年级下·山东青岛·期末)随着智慧农业普及，使用北斗导航定位的无人驾驶播种机可精准 完成农田播种作业。下图是某块农田的平面示意图（每个方格的边长代表10米）。 10 B 53 D 50米 3 4 678910111213 (1)导航显示：无人播种机从A点出发驶向核心播种点B,出发点A用数对( )表示，核心播种点B用 数对( )表示。补给点C在B点的正北方向60米处，用数对( )表示。 第14页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 (2)无人播种机从起点A出发驶向播种点B,再从播种点B前往补给点C,请完整描述无人播种机的行驶路 线（包含方向、角度、距离）。 7. (25-26五年级下·山东潍坊·期中)看图回答问题。 北 火车站 283m45 汽车站 20316m 公园 639 447m 超市 (1)若超市的位置用数对表示为(2,1)，则火车站的位置用数对表示为( (2)游泳馆的位置用数对表示是(6,5)，在图中标出游泳馆的位置。 (3)超市在汽车站的( )偏( )( )°方向上。 (4)汽车站在火车站的( )偏( )( )°方向上。 (⑤)从火车站到超市怎么走？ 8.(25-26五年级上·河北邢台·期末)非洲大草原以热带草原气候、大规模动物迁徙和丰富的野生动物 资源著称。一位荒野摄影师在A(3,5)处拍摄到一只黑犀牛，6小时后在B(10,5)处又拍到这只黑犀牛。 6 5 x 3 2 1 01234567891011 (1)在上图中标注出黑犀牛出现的A、B两点位置。 (2)如果一个小方格的边长是3km,这只黑犀牛平均每小时走多少千米？ 9.(25-26五年级上·广东东莞·期末)小华要画一个平行四边形ABCD,他已经画出了平行四边形的两条 边。 第15页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 1cm 7 6 B 5 A(3,5) 3 2 D(1,2) 0 123456789101112131415 (1)用直尺将平行四边形ABCD画完整。 (2)点B的位置用数对表示是( ),点C的位置用数对表示是( )。 (3)平行四边形ABCD的面积是( )cm。 (4)画一个长方形，使它的面积与平行四边形ABCD面积相等。 10.(25-26五年级下·山东枣庄·期末)下图是一幅未完成的公园示意图。 6 北 荷塘 天鹅湖 3 20° 2 55 石桥 100m 1 23 456 (1)如果石桥的位置用(2,1)表示，荷塘在( )位置上。 (2)听雨轩在(4,6)位置上，用“▲”标出来。 (3)以石桥为观测点，天鹅湖在( )偏( )( )°( )米处。 【能力提升】 1.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)小明站在广播体操方队的最后一排的正中间，位置用数对(12， 30)表示。这个广播体操方队一共有( )人。 A.360 B.690 C.708 D.720 2.(24-25六年级下·陕西咸阳·期末)如图，将长方形ABCD轮廓点的数对的第一个数除以3，第二个数 不变，得到的新的长方形的周长是( )cm。(每个小方格的边长表示1cm) 第16页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 7: A(3,6 6 5 4 3 D 1- 012345678910 A.10 B.14 C.5 D.7 3.(25-26五年级上·河北邢台·期中)小丽在教室的位置是第5列第3行，用数对表示是(5,3)。小 军的位置在她左边相邻的位置，小军的位置用数对表示是( ) A.(6,3) B.(4,4) C.(5,4) 4.(26-27五年级上·辽宁·课后作业)糖糖去人民公园玩，请你帮她解决遇到的数学问题吧！ (1)大门前面有一条笔直的路，如果把它看作数线，草亭的位置可以用数( )来表示。 大门 0 10草亭20 (2)公园里部分游乐项目在方格图上的位置如图所示。如果打靶的位置用(2,3)表示，则彩虹滑道在(_一， )。荡秋千在（一一，-）。 8 7 彩虹滑道 6 4 3 2 靶荡铱羊 1 012345678 (3)如下图，糖糖用三个数组成的数对(2,3,5)来表示天空中风筝的位置。照此推算，点A的位置可以 用数对（一一，，一_）来表示。 个2 3 5 风筝2,3,5)） 2 2 1 12345y 2912345 第17页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 5.(25-26六年级下·广东广州·期末)如图是乡村一处民宅，根据描述，算一算，并填空。 61- 北 5r- 偏厅 4-- 3- 2-----前厅 1 10m01234567 (1)民宅的正门位于点(3,0)，向北走40米到达轿厅，轿厅位于点( (2)偏厅位于点( ),在轿厅的( )面( )m处。 (3)书房位于点(5,4)，向南偏( )、( )°大约走28m可以走到前厅。 6.亮亮家厨房的一面墙上贴满了瓷砖，这面墙四个角的瓷砖位置分别是(1,1)，(1,10)，(18,1)， (18,10)。这面墙一共贴了( )块瓷砖。 7.(25-26五年级下·山东枣庄·期中)下图是王明家周围的平面图。 d 7 集贸市场 北 6 图书馆 5 D 3 少年官 照相馆 2 349 0 王明家游泳馆 2345678910 (1)用数对表示位置：图书馆( );照相馆( )；集贸市场( )。 (2)王明现在的位置是(5,1)请用△标注出来。 (3)少年宫在王明家的( )偏( )( )的方向上。 (4)王明从家到图书馆可以怎么走？ 8.(24-25五年级上·河北廊坊·期末)在某一海域中，一艘轮船发生故障，船上的雷达探索显示附近有 一艘军舰、一艘货船和一艘商船（如图所示）。 第18页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 50km 14 13 12 11 军舰 10 货船 7 6 出事船只 5 4 2 商船 1234567891011121314 (1)出事船只位于(7,6)，商船位于( ),军舰位于( ),货船位于( )。 (2)如果商船以每小时50千米的速度赶到出事地点救援，需要( )小时到达。 (3)还有一艘渔船在出事船只往西300千米，再往北100千米处，请你在图上标出这艘渔船的位置，并用 数对表示是( ）。 9.(25-26五年级上·山东日照·期末)(1)我们之前学习了在一条线上确定位置，可以用一条数轴上的 方向和数1、2、3等表示。如果以0为原点，如下图，点A可以用( )来表示。 -1 0 1 2A 3 (2)现在学会了在平面上确定位置需要两个方向，可以用两条数轴形成数对来表示。如下图：B(2,3)、 C(5,3)、D( )o (3)文文在图中确定一个点E,与B、C、D围成了一个封闭图形，这个封闭图形的面积可以用“(3十2) ×2÷2”进行计算，请你根据算式，在方格图中画出这个封闭图形。若将该图形先向上平移3格，再向右 平移2格，平移后点D的位置是( )。 第19页共20页 2026一2027学年北师大版新教材数学五年级上册举一反三讲义思维拓展 7654 D 3 B 21 0 1234567 (4)将来还会学到在空间中确定位置，这时两个方向就不够了，还要加上“高度”，如下图中房间里灯的 位置，可以用三个数组成的“数对”F(4,5,3)来表示。照此推算，点G可以用“数对”( ) 来表示。 G● 田 墙 墙 F4,53) 012345→y 地面 4320-1.2345y X 10.(25-26五年级上·重庆·期末)按要求完成操作(1个方格的面积为1dm)。 7 6 5 4 3 2 A 0123456789 (1)用数对表示点A、C的位置：A( ),C( );再在方格中标出点B(3,4)、D(9, 4)、E(8,1)的位置。 (2)从这五个点中任选四个点依次连接围成平行四边形( )(字母表示)，再从这五个点任选三 个点依次连接围成三角形( )(字母表示)，且这两个图形的面积相等。 (3)请用合适的方法说明这两个图形面积为什么相等。 第20页共20页null