14.3《角的平分线》限时作业2020-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过“基础过关练”与“能力提升练”分层设计，覆盖角平分线性质定理、尺规作图等核心知识点，梯度从概念理解到综合应用，培养抽象能力、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|角平分线性质、尺规作图、简单应用|选择/填空/基础证明，直接考查性质（如DE=DF）及作图步骤，巩固核心概念| |能力提升练|性质与全等、面积计算、实际应用综合|综合证明（如角平分线+HL全等）、探究题（如角尺作角平分线原理），提升推理与创新意识|

14.3角的平分线限时作业 角的平分线及其性质 知识点 1．尺规作角平分线 尺规作角平分线方法（重要）：已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求. 2. 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 趁热打铁 基础过关练 1．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D向AB，AC两边作垂线，垂足分别为E，F，那么下列结论中不一定正确的是(　　) A．BD＝CD B．DE＝DF C．AE＝AF D．∠ADE＝∠ADF 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是( ) A．15 B．30 C．45 D．60 3．三角形中，到三边距离相等的点是( ) A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 4．如图，下列条件中不能确定点O在∠APB的平分线上的是( ) A．△PBA≌△PDC B．△AOD≌△COB C．AB⊥PD，DC⊥PB D．点O到∠APB两边的距离相等． 5．已知，如图，AB∥CD，∠BAC、∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC于E，且OE＝5，则直线AB与CD的距离为( ) A．5 B．10 C．15 D．20 6．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，DE=2，AB=4，则AC长是( ) A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 7．如图，AD平分∠BAO，D(0，－3)，AB＝10，则ABD的面积为____． 8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB；垂足为E．求证：(1)CD=BE．(2)。 9.如图，在中，，点在的延长线上． （1）尺规作图，作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）补全图形，取的中点，连接并延长交的平分线于点； （3）判断线段与的位置关系是 ，数量关系是 ． 10．如图（1），平分，于B，于C，易知：． ①探究：如图（2），平分，，，求证：． ②探究：如图（3）在四边形中，，，且，求证：平分． 能力提升练 1．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列四个结论正确的个数是（   ） ①PA=PB     ②PO平分∠APB     ③OA=OB   ④OP垂直平分AB． A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（       ） A．24 B．27 C．32 D．36 3．如图，在△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于MN的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点P作线段BD，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，则下列结论①CD=ED；②∠ABD=∠ABC；③BC=BE；④AE=BE中，一定正确的是（     ） A．①②③ B．①②③④ C．②④ D．②③④ 4．如图，分别平分的周长为18，，则的面积为（       ） A．18 B．30 C．54 D．27 5．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，CE⊥AD于点E，AD=18cm，AB=11cm，那么DE的长度为_____________________cm． 6．如图，AD是的角平分线，，，则的面积与的面积之比是______． 7．如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点E，连接，则____________． 8．已知：如图1，在中，，，，是角平分线，与相交于点，，，垂足分别为，． 【思考说理】（1）求证：． 【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知DA⊥x轴于点A，CB⊥x轴于点B，∠COD＝90°，CO平分∠BCD，CD交y轴于点E．(1)求证：DO平分∠ADC．(2)若点A的坐标是，求点B的坐标． 10．在“延时课堂”数学实践活动中，同学们了解到，工人师傅常用角尺作一个已知角的角平分线．作法如下：如图①，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺0刻度的顶点P的射线OP就是∠AOB的角平分线． （1）联系三角形全等的条件，通过证明△OMP≌△ONP，可知∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．则这两个三角形全等的依据是 　 　； （2）在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线．如图②所示，△CDE≌△STR，将全等三角形的一组对应边DE、TR分别放在∠AOB的两边OA、OB上，同时使这组对应边所对的顶点C、S分别落在OB、OA上，此时CE和SR的交点设为点Q，则射线OQ即为∠AOB的角平分线．你认为他们的作法正确吗？并说明理由． 11．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF． 求证：(1)AD平分∠BAC；(2)AC=AB+2BE. 答案 基础过关练习 1~6：ABCCBB 7:【答案】15 8:【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据题意判断出△ABC是等腰直角三角形，故∠B=45°，再由DE⊥AB可知△BDE是等腰直角三角形，故DE=BE，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）先根据HL定理得出Rt△ACD≌Rt△AED，故AE=AC，再由CD=BE可得出结论． （1）证明：在中，，， 是等腰直角三角形，， ，是等腰直角三角形，． 是的角平分线，，． （2）证明：是的角平分线，，， 在Rt△ACD与Rt△AED中， ，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，， 由知，． 9:【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）位置关系是平行，数量关系是相等 【分析】（1）按照角的平分线的尺规作图步骤进行即可； （2）先确定BC的中点，后用直尺依次完成操作即可； （3）根据内错角相等，两直线平行，判定位置关系，利用三角形全等，判定数量关系． 【详解】（1）如图所示： （2）如图所示： （3）∵AB=BC，∴∠BAC=∠C，∴∠CBD=∠BAC+∠C=2∠C， ∵BF平分∠CBD，∴∠CBD=∠CBF+∠DBF=2∠CBF，∴∠CBF=∠C，∴BF∥AC； ∵CE=BE，∠AEC=∠FEB，∴△ACE≌△FEB，∴AC=FB，故答案为：平行；相等． 10:【答案】①见解析；②见解析 【分析】①作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，欲证明DB=DC，只要证明△DNC≌△DMB即可； ②作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，证得△DNC≌△DMB，得到DM=DN，根据角平分线的判定即可得到结论． 【详解】证明：①过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如图2， ∵AD平分∠BAC，DN⊥AC，DM⊥AB，∴DM=DN， ∵∠B+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°，∴∠B=∠NCD， 在△DNC和△DMB中， ，∴△DNC≌△DMB，∴DC=DB； ②过点D作DN⊥AC于N，DM⊥AB于M，如图3， ∵∠ABD+∠ACD=180°，∠NCD+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠NCD， 在△DNC和△DMB中， ，∴△DNC≌△DMB，∴DM=DN， ∵DN⊥AC，DM⊥AB，∴AD平分∠BAC． 能力提升练 1~4:DCAD 5:【答案】3.5 6:【答案】3：2 7:【答案】45°##45度 8:【答案】（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解； 【分析】（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证即可求解； （2）在AB上截取CP=CD，分别证、即可求证； 【详解】证明：（1）∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴点F是的内心， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）如图，在AB上截取CP=CD， 在和中， ∵ ∴ ∴，∠CFD=∠CFP， ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠CAD=∠BAD，∠ACE=∠BCE， ∵∠B=60°， ∴∠ACB+∠BAC=120°， ∴∠CAD+∠ACE=60°， ∴∠AFC=120°， ∵∠CFD=∠AFE=180°-∠AFC=60°， ∵∠CFD=∠CFP， ∴∠AFP=∠CFP=∠CFD=∠AFE=60°， 在和中， ∵ ∴ ∴FP=EF ∴FD=EF． 9:【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由可得，由可得，再结合平分，即可证明平分． （2）作于，利用角平分线的性质可得，由此可得的坐标． （1）证明：轴，轴，，，平分，，，，，，平分． （2）：作于，，．平分，，，．平分，，，，． 10:【答案】（1）SSS；（2）正确，理由见解析． 【分析】（1）根据已知条件证得△MOP≌△NOP，并由此可得出判定依据； （2）依据全等三角形的性质以及角平分线的定义，即可得到交点Q在∠AOB的平分线上． 【详解】解：（1）∵OM=ON，PM=PN，OP= OP， ∴△MOP≌△NOP（SSS）． 故答案为：SSS． （2）正确，理由是： ∵△CDE≌△STR， ∴∠OEC=∠ORS，CE=SR， 又∵∠COE=∠SOR， ∴△COE≌△SOR（AAS）， ∴OE=OR，OC=OS， ∴SE=CR， 又∵∠SQE=∠CQR， ∴△SQE≌△CQR（AAS）， ∴EQ=RQ， 又∵OQ=OQ， ∴△EOQ≌△ROQ（SSS）， ∴∠AOQ=∠BOQ， 即OQ平分∠AOB． 11:【答案】(1)见解析(2)见解析 【分析】(1)先根据HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，则可得DE=DF，根据角平分线的判定方法即可得证； (2)先根据AAS证明△AED≌△AFD，则可得AE=AF，又由于BE=FC，则结论得证． （1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，        ∴∠E=∠DFC=90°， 在Rt△BDE与Rt△CDE中 ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴DE=DF， ∴AD平分∠BAC； （2）证明：由(1)可知AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E=∠DFA=90° 又∵AD=AD，∴△AED≌△AFD(AAS)， ∴AE=AF， ∵CF=BE，∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $