专题02 配方法解一元二次方程（三大题型12道题）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以配方法为核心，构建"直接开平方法-配方法-应用拓展"三阶训练体系，通过12道题实现从基础求解到代数最值的完整能力链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|4题|将方程化为(x+a)²=b形式求解|配方法基础，建立平方与方程解的关联| |配方法解一元二次方程|4题|移项、化1、配方、开方四步法|核心转化手段，连接直接开平与应用| |配方法的应用|4题|通过配方转化为非负数形式求最值|方法迁移拓展，体现数学思维的推理与应用|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题02 配方法解一元二次方程（三大题型12道题） 目录 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1 知识点二配方法解一元二次方程 2 知识点三配方法的应用 4 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需要同时满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式即可求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解得，， 解得，， 综上所述：． 2．若抛物线向左平移个单位长度后，经过，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．0或4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移． 先求出平移后的函数解析式，再将代入解析式计算即可． 【详解】解：抛物线向左平移个单位长度后，解析式为， ∵平移后的抛物线经过点， ∴， 即， 解得或， ∵， ∴． 故选：C． 3．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 4．解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解： ∴， 则或， 解得：，． 知识点二配方法解一元二次方程 5．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，将原方程配方后，与已知配方结果对比系数即可得到和的值． 【详解】对原方程移项得： ， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得： ， 整理得：， ∵配方得到， ∴对比等式两边可得，， 解得， 即，． 6．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，据此计算即可判断． 【详解】解：∵原方程整理成一般形式后该方程的常数项为0， ∴原方程为， 配方得，即， ∴，， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 7．已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 【答案】或24 【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解． 【详解】解：解方程， 整理可得， 即，解得，， 当两个根是两条直角边时，斜边长为， ∴此时的周长为； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为， ∴此时的周长为． 8．解方程、化简 (1)解方程：； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解： ． 知识点三配方法的应用 9．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键． 利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可． 【详解】解：∵ ∵对于所有实数，都有， ∴ 因此，多项式的值总是正数． 故选：A． 10．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 11．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 【答案】/ 【分析】利用已知条件对所求式子进行换元，将原式转化为关于新变量的代数式，再用配方法最小值即可． 【详解】解：，且都不为， ， ， 设则，原式， ， ，当时，原式取得最小值， 即的最小值为． 12．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2) ，理由如下： ， ． 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵，∴当1时，代数式有最大值，这个值是8； 故答案为：1，大，8． （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 专题02 配方法解一元二次方程（三大题型12道题） 目录 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1 知识点二配方法解一元二次方程 1 知识点三配方法的应用 2 知识点一直接开平方法解一元二次方程 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．若抛物线向左平移个单位长度后，经过，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．0或4 3．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 4．解方程： 知识点二配方法解一元二次方程 5．若一元二次方程配方得到，则，的值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 6．一元二次方程的等号右边只有常数项，且该常数项被墨水覆盖，但知道整理成一般形式后该方程的常数项为0，将其配方后变形为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 8．解方程、化简 (1)解方程：； (2)化简：． 知识点三配方法的应用 9．不论为何实数，多项式的值一定是（） A．正数 B．负数 C．0 D．不能确定 10．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 11．若a、b、c是三个不为零的实数，且，则的最小值为____． 12．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式的最小值的过程如下： 解：． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式，当_______时，代数式有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______； (2)比较代数式与的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $