25.2解一元二次方程——配方法与公式法 题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，以配方法和公式法为核心，通过阶梯式题型构建从概念到应用的完整训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础配方|多题分步配方|直接补全完全平方式|从完全平方公式概念生成配方步骤| |配方应用|选择/填空/纠错/解答|参数判断、步骤辨析、方程求解|从配方技巧到方程转化的应用拓展| |公式法|多题解方程|规范应用求根公式|基于配方法推导公式的逻辑延伸|

1 学科网（北京）股份有限公司 1. 完成下列配方： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） = ( )． = ( )． = ( )． = ( )． = ( )． 2. 完成下列配方： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ( )． ( )． ( )( )． 3. 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则值为（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 或 4. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上的是（ ）． A. B. C. D. 5. 把方程配方为的形式，则 ， ． 6. 小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： （第一步）； （第二步）； （第三步）； （第四步）． （ 1 ）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ． （ 2 ）请写出此题正确的解答过程． 7. 解方程： ． 8. 解一元二次方程： （ 1 ） （ 2 ） （用配方法解） 9. 解方程： 10. 解方程： ． 11. 用配方法解一元二次方程： ． 12. 用配方法解方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 13. 用配方法解方程：． 1. 用公式法解方程：． 2. 用指定的方法解方程：（公式法）． 3. 用公式法解下列方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． 4. 解方程：． 5. 用公式法解方程： 6. 用公式法解下列方程: （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． 7. 用公式法解下列方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） （ 4 ） ． ． $ 1. 小明用配方法解得 ，则的值为（ ）． A. B. C. D. 2. 用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）． A. 方程，可化为 B. 方程，可化为 C. 方程，可化为 D. 方程，可化为 3. 用配方法解方程： ，正确的是（ ）．，∴ ，∴ 1 学科网（北京）股份有限公司 A. C. B. 原方程无实数根 D.，∴ ，∴ ，原方程无实数根 4. 已知方程可以配方成的形式，则 ； ． 5. 解方程：． 6. 解方程：． 7. 解答下列问题： （ 1 ）用配方法解方程：． （ 2 ）用公式法解方程：． 8. 用配方法解下列关于的方程： ． 9. 配方法解方程． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． 10. 用配方法解方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． （ 5 ） （，为常数）． 11. 用配方法解方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． 1. 用公式法解一元二次方程：． 2. 解方程： （ 1 ） （ 2 ） 3. 用适当方法解关于的一元二次方程： （ 1 ） ． （ 2 ） （ 3 ） ． ． 4. 解方程： 5. 解方程： ． ． 6. 公式法解方程： 7. 用公式法解方程： ． ． 8. 用公式法解方程： 9. 用求根公式法解方程： ． ． 10. 用公式法解方程： 11. 解方程： ． ． $ 1. 小明用配方法解得 ，则的值为（ ）． A. B. C. D. B ∵ ， ∴ ， 整理得 ∴ ，即 ， ． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 2. 用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）． A. 方程，可化为 B. 方程，可化为 C. 方程，可化为 D. 方程，可化为 D 、由原方程得到：方程 ，可化为 ，故本选项错 误， 、由原方程得到：方程 ，可化为 ，故本选项错误， 、由原方程得到：方程 ，可化为 ，故本选项错误， 、由原方程得到：方程 ，可化为 ，故本选项正确． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 【方法】配方法 1 学科网（北京）股份有限公司 3. 用配方法解方程： ，正确的是（ ）．，∴ ，∴ A. C. B. 原方程无实数根 D.，∴ ，∴ ，原方程无实数根 D ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴方程无实根． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 4. 已知方程可以配方成的形式，则 ； ． ; ∵ ， ∴ ∴ 据题意得 ， ， ∴ ， ， ． ， 【知识点】配方法求一元二次方程的根 5. 解方程： ． ， ． ， ， ∴ ∴ ， ， ． 【能力】运算能力 【知识点】配方法求一元二次方程的根 6. 解方程：． ， ． 方法一： ． ． ． ． ． ∴ ， 方法二： ， ， ． ． ． ∴ ． ∴ ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 【知识点】配方法求一元二次方程的根 【知识点】公式法解一元二次方程的一般步骤 【能力】运算能力 7. 解答下列问题： （ 1 ）用配方法解方程：． （ 2 ）用公式法解方程：． （ 1 ） （ 2 ） ， ． ， ． （ 1 ） 移项，得配方，得即 ∴ 得 ， ， ， ， ， ， ， ． （ 2 ） 方程化为 ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 8. 用配方法解下列关于的方程： ．． 移项，得： 因为 ，所以方程两边同除以 ，把二次项系数化为 ，得： ， 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 即： ， ①当 时，有 ， 直接开平方得 ， （说明：在最后一步推导中，因为式子前面已有符号“ ”，所以无论 还是 ，最终结 果总是 ）， 当 时， ， 当 当 时， 时，方程无实数根． ． 所以 ； 所以方程有两个不相等的实数根， ， ． ②当 时，有 ， 方程化为 ， 所以方程有两个相等的实数根， ． ③当 时，有 ， 由方程可得 所以方程无实数根． ， 【方法】配方法 【能力】运算能力 【知识点】配方法求一元二次方程的根 9. 配方法解方程． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． （ 1 ） （ 2 ）无实数根． （ 3 ） ． （ 4 ） ， ． ． （ 1 ） ， ， ， ， ， （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） ， ， ． ，无实数根． ， ， ． ， 即 ， ∴ ， ． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 【能力】运算能力 10. 用配方法解方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． （ 5 ） （，为常数）． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ； ． ； ． ． （ 4 ） （ 5 ）当 ； ． 时， ， ； 当 当 时， ； 时，方程无实根． （ 1 ） ； ． （ 2 ） （ 3 ） ． ； ． （ 4 ） （ 5 ）当 ； ． 时， ， ； 当 当 时， ； 时，方程无实根． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 【方法】配方法 【能力】运算能力 【思想】方程思想 11. 用配方法解方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 4 ） ． （ 1 ） ， ． （ 2 ） ， ． （ 3 ） ． （ 4 ） ， ． （ 1 ） ， 7 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） ∴ ， ． 故答案为： ， ． ∴ ， ． 故答案为： ， ． ， ∴ ． 故答案为： ． ， ∴ ， ． 故答案为： ， ． 【方法】配方法 【知识点】配方法求一元二次方程的根 【能力】运算能力 1. 用公式法解一元二次方程：． ， ． ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 2. 解方程： （ 1 ） （ 2 ） （ 1 ） （ 2 ） ， ， ． ． （ 1 ） ， ∴ （ 2 ）方法一： ， ， ， ． ， ， ， ， ∴ ∴ 方法二： ， ， ． ， ∴ ， ， ． 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 3. 用适当方法解关于的一元二次方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ） （ 2 ） ， ． ， ， （ 3 ） ， ． （ 1 ）∵ ， ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∴ ∴ ， ， ． ， ， ． ， ∴ ， ， （ 3 ） ∵ ∴ ∴ ， ， ， ． 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 4. 解方程： ． 当 当 时， 时， ． ， ． ， 当 时， ， ． 当 时， ， ． ， 10 学科网（北京）股份有限公司 ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 5. 解方程： ． ． 原方程可转化为 ， ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 6. 公式法解方程： ． ， ． ，整理得 ， ∴ ∴ ， ， ， ， ∴ ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 7. 用公式法解方程： ． ， ． ， ， ， ． ∴ ． ∴ ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 8. 用公式法解方程：． ， ． ， ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 9. 用求根公式法解方程：． ， ． 原方程整理得： ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ∴原方程的解为： ， ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 10. 用公式法解方程：． ， ． ， ， ． ， ∴ ， ∴ ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 11. 解方程： ． ， ． ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 $ 10 学科网（北京）股份有限公司 1. 完成下列配方： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） = ( )． = ( )． = ( )． = ( )． = ( )． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ） ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; （ 1 ）当二次项系数不为 时，先提系数再进行配方． 故答案为： ， ， ． （ 2 ）当二次项系数不为 时，先提系数再进行配方．故答案为： ， ， ． （ 3 ）当二次项系数不为 时，先提系数再进行配方．故答案为： ， ， ． （ 4 ）当二次项系数不为 时，先提系数再进行配方．故答案为： ， ， ． （ 5 ）当二次项系数不为 时，先提系数再进行配方．故答案为： ， ， ． 【知识点】完全平方公式的计算-不含分式 2. 完成下列配方： （ 1 ） （ 2 ） ( )． ( )． （ 3 ） ( )( )． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ; ; ; ; 【知识点】配方思想的运用 3. 若方程的左边可以写成一个完全平方式，则值为（ ）． A. B. 或 C. 或 D. 或 D 方程的左边 变形为： ， ∴ 解得：故选 ． ，即 或 ， 或 ． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 4. 用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上的是（ ）． A. B. C. D. C ： ， 则 ∴ ：则 ∴ ：则 ∴ ： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则 ∴ 故答案为 ， ， ． 【能力】运算能力 【知识点】配方法求一元二次方程的根 5. 把方程配方为 的形式，则 ， ． ; ， ， ，所以 ， ． 故答案为 【能力】运算能力 【知识点】配方法求一元二次方程的根 6. 小明在解方程时出现了错误，其解答过程如下： （第一步）； （第二步）； （第三步）； （第四步）． （ 1 ）小明解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ． （ 2 ）请写出此题正确的解答过程． （ 1 ）一 ; 不符合等式性质1 （ 2 ） ， ． （ 1 ）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上 时，方程右边为 ． 故答案为一；不符合等式性质 ． （ 2 ） ， ， ， ， 所以 ， ． 【知识点】等式性质1 7. 解方程： ． ， ． ∴ ， ． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 8. 解一元二次方程： （ 1 ） （ 2 ） （用配方法解） （ 1 ） （ 2 ） ， ， （ 1 ） ， ∴ （ 2 ） ， ， ， ， ． ∴ ， ， ． 【知识点】因式分解法求一元二次方程的根 9. 解方程： 无实根． 方法一： ， ， ， ∵ ， ∴方程无实根． 方法二： 方程无实根． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 10. 解方程： ． ， ． ， ． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 11. 用配方法解一元二次方程： ． ； ． ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ． 【能力】运算能力 【知识点】配方法求一元二次方程的根 12. 用配方法解方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ） ， ． （ 2 ） （ 3 ） ． ， ． （ 1 ）方程变形得： ， 配方得： ，即 ， 开方得： ， 解得： ， ． （ 2 ） （ 3 ） ． ， ． 【方法】配方法 【知识点】配方法求一元二次方程的根 【能力】运算能力 13. 用配方法解方程：． 原方程的解为 ， ． 原方程化为： ． ∴ ， ． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 【能力】运算能力 1. 用公式法解方程：． 原方程没有实数根． ∵ ， ， ， ∴ ， ∴原方程没有实数根． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 2. 用指定的方法解方程：（公式法）． ， ． ， ， ， ， 解得： ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 3. 用公式法解下列方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ） ， ． （ 2 ） ， ． （ 1 ） ， ． （ 2 ） ， ． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 4. 解方程：． ， ． 方法一：移项得： 配方得： ， ， 即 ， 开方得： ∴原方程的解是： 方法二： ， ． ∵ ∴ ， ， ． ， ． ∴ ． ∴原方程的解是 ， ． 【知识点】配方法求一元二次方程的根 【知识点】公式法解一元二次方程的一般步骤 【知识点】公式法求一元二次方程的根 【能力】运算能力 5. 用公式法解方程： 原方程无实数根． ， ， ， ， ， ∴原方程无实数根． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 6. 用公式法解下列方程: （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ） （ 2 ） ， ， ． ． （ 3 ）方程无实数根． （ 1 ） ， ， ． ． 方程有两个不相等的实数根: ． ∴ （ 2 ） ， ， ， ． ． ． 方程有两个不相等的实数根: ， ∴ （ 3 ）整理后方程为 ， ， ． ， ， ． ． ∴方程无实数根． 【知识点】公式法求一元二次方程的根 7. 用公式法解下列方程： （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 3 ） （ 4 ） ． ． （ 1 ） ， ． （ 2 ） ， ． （ 3 ） ， ． （ 4 ） ， ． （ 1 ） = （ 2 ） = （ 3 ） = （ 4 ） = 【知识点】公式法求一元二次方程的根 $