精品解析：北京市中央民族大学附属中学2026-2027学年高三上学期开学数学试题

民大附中2026~2027学年度第一学期开学 高三数学试卷 2026.8 （时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为（没有平局）．则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，若在单调递增，a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数的定义域为，则“任意无零点”是“是上的增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数．则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，函数在单调递减 B. 当时，函数有最大值2 C. 当时，函数有3个极值点 D. 当时，直线与曲线恰有2个交点 9. 已知函数，则下列四个结论不正确的是（ ） A. 有极小值 B. 恰有2个零点 C. ，使得不等式恒成立 D. ，使得关于的方程有3个不同的实数解 10. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______. 12. 已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为______． 13. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 14. 在锐角中，，，，的角平分线交于D，则_____；_____. 15. 已知函数．给出下列四个结论： ①的最小正周期是； ②的一条对称轴方程为； ③若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则； ④存在实数a，使得对任意，都存在且，满足． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，已知． （1）求角的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①： ； 条件②：； 条件③：的周长是． 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 17. 已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. （1）求函数的对称中心坐标； （2）求函数在上的单调递减区间. 18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设（为的导数），求的单调区间； （3）求的极值点的个数． 19. 幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； （2）从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; （3）已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 20. 已知函数，． （1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若为函数的极值点，求a的值； （3）设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 21. 给定正整数，若数列同时满足下列两个性质，则称数列为数列：①；②对任意，总存在，使得．记数列的个数为 （1）写出两个数列； （2）若为数列，求的值； （3）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民大附中2026~2027学年度第一学期开学 高三数学试卷 2026.8 （时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由交集的概念即可得解. 【详解】因为，所以． 故选：C． 2. 甲、乙两名运动员进行某项比赛并约定：若其中一人连续赢两局，则此人获胜，比赛结束．已知每局比赛结果相互独立，且每局甲赢的概率为（没有平局）．则在第三局结束比赛的条件下，运动员甲获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】第三局结束比赛的概率为， 则在第三局结束比赛的条件下甲获胜的概率为， 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式、二倍角公式即可求解. 【详解】因为． 故选：D． 4. 已知函数，，若在单调递增，a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性，则导数在对应区间恒成立，分离参数，构造函数，利用导数求其最值，即可求得参数的范围. 【详解】因为在单调递增， 故在区间恒成立， 即，令 则，故在单调递增， 则，故，的取值范围为. 故选：B. 5. 设函数的定义域为，则“任意无零点”是“是上的增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对任意无零点，可得在上一个y只对应一个x，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】是上的增函数，则任意，，， 因此任意无零点； 由对任意无零点， 则成立或成立， 所以在上一个y只对应一个x，， 所以“任意无零点”是“是上的增函数”的必要不充分条件. 故选：B 6. 已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数平移和伸缩变换原则，依次验证选项中的函数变换后的解析式是否相同即可. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，，，D错误. 故选：B. 7. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】（1）利用幂函数单调性即可判断A，利用正切函数单调性即可判断B， 举例，即可判断C，利用对勾函数和二次函数性质即可判断D. 【详解】根据幂函数在上为单调增函数， 故时，，故A错误， 根据三角函数在上为单调增函数， 故时，故，故B错误， ，即，，但与的大小关系不明，如，， 显然此时，故C错误， 根据对勾函数的图像与性质当时， 可知，而，根据二次函数图像与性质可知其值域， 当时，，当时，， 故当时，则，故，故D正确. 故选：D. 8. 已知函数．则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，函数在单调递减 B. 当时，函数有最大值2 C. 当时，函数有3个极值点 D. 当时，直线与曲线恰有2个交点 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的单调性，然后对分情况讨论逐一判断. 【详解】由，， 令，则或；令，则， 所以函数在单调递增，在单调递减. 在上单调递减. 对于A，当时，， 函数在单调递减，故A正确； 对于B，当时，，， 所以当时，根据上面对函数单调性的判断可知函数有最大值2，故B正确； 对于C，当时，函数在单调递减，在单调递增，在单调递减， 则函数有3个极值点，故C正确； 对于D，当时，函数在单调递减，在单调递增，在单调递减，， 所以函数直线与曲线恰有3个交点，则D错误. 故选：D. 9. 已知函数，则下列四个结论不正确的是（ ） A. 有极小值 B. 恰有2个零点 C. ，使得不等式恒成立 D. ，使得关于的方程有3个不同的实数解 【答案】C 【解析】 【分析】当，求导，分析得出函数在单调递减，在单调递增即可判断AB，当时，分和进行讨论，根据极值点确定函数零点情况，据此可判断CD. 【详解】函数的定义域为，， 时，令，即， ，所以有两个不同实数根，设为，且， 又，且，所以， 所以在单调递减，在单调递增， 在时取得极小值，无极大值，故A正确； 又， ， 所以时，恰有2个零点，故B正确； 时，， 时，，恒成立，在单调递减， 又，所以时，，则此时不恒成立， 当，，所以有两个不同实数根，设为，且， 又，且，所以， 此时在单调递减，在单调递增，在单调递减， 又，所以 所以此时不恒成立，故C不正确； 由上知时，函数方程有3个不同的实数解，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围. 【详解】由题意可知：， 设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为， 且，，则公切线的斜率，可得， 则公切线方程为， 代入得， 代入可得，整理得， 令，则， 若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根， 设，则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在单调递减，可得， 且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于， 可得，解得，故实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点睛：涉及公切线问题一般先设切点坐标，根据切线相同得到方程组，将双变量方程转化为单变量方程，再参变分离，转化为函数的交点问题，即可求出参数的取值范围. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零和二次根式的被开方数非负，及分式的分母不为零列不等式组可求得结果. 【详解】由题意得，得， 所以函数的定义域为， 故答案为： 12. 已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数性质将问题转换为，代入求值即可. 【详解】因为， 所以， 又，所以． 故答案为：. 13. 已知函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题可以求并讨论其在上的正负，根据在上的单调性判断函数的值域，从而求出在上没有零点时的取值范围. 【详解】由题得，令，即， 解得或. 根据与大小进行分类讨论如下： (1)当，即时，在区间上，， 所以在上单调递增，又，所以在上没有零点，满足条件； (2)当，即时，在区间上，，即单调递减， 在上，，即单调递增， 所以在处取得极小值，也即是区间上的最小值. 因为在上没有零点，所以， 又，于是， 解得，结合，此时. 综上所述. 故答案为：. 14. 在锐角中，，，，的角平分线交于D，则_____；_____. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】根据正弦定理解三角形，根据三角形边角关系判断三角形形状，求得边长. 【详解】 如图所示，在根据正弦定理可得，即，解得， 因为为锐角三角形，所以，可知， 已知是的角平分线，所以,根据三角形外角性质得, 所以是等腰三角形，. 故答案为：；2. 15. 已知函数．给出下列四个结论： ①的最小正周期是； ②的一条对称轴方程为； ③若函数在区间上有5个零点，从小到大依次记为，则； ④存在实数a，使得对任意，都存在且，满足． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】画出函数图像，可判断①②，对于③，转化为与在上交点问题，数形结合得到5个根的对称性，从而得到答案；对于④，时，单调递增，且，从而判断出存在实数a，使得对任意，只有一个，满足要求. 【详解】的图象如下： 对于①，的最小正周期是，①错误； 对于②，的一条对称轴方程为，②正确； 对于③，画出图象，与在上有5个交点，这5个交点即为函数在区间上有5个零点， 从小到大依次记为，且关于对称，关于对称，关于对称，关于对称， 则， 故，③正确； 对于④，时，单调递增，且， 对任意，，由对勾函数性质可知在上单调递增， 故， 由单调性可知存在实数a，使得对任意，只有一个，满足，④错误. 故答案为：②③ 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 在中，已知． （1）求角的大小； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积． 条件①： ； 条件②：； 条件③：的周长是． 注：如果选择的条件不符合要求，第二问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求解； （2）若选①，注意到，角有两个，不符合条件；若选②，根据条件，利用正弦定理边转角，得到，，进而得到，即可求解；若选③，根据周长可得，利用余弦定理得到，进而可得有2个解，不合题意. 【小问1详解】 因为，得到， 由余弦定理可得，又， 可得. 【小问2详解】 若选①：，所以角有两个，不符合条件； 若选②：因为，由正弦定理可得， 在三角形中，可得， 所以，， 且， 由正弦定理可得，所以，解得，又， 所以， 若选③：的周长是，因为，可得， 即，由余弦定理，可得， 整理得到，则， 可知方程有两个不相等的实根，且， 可知方程方程有两个不相等的正实根，即边不唯一，不合题意， 综上所述：只有②符合条件，且此时三角形的面积为． 17. 已知函数，且满足_____________. （在下列三个条件中任选一个填入，并解答问题）. ①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为； ②函数的图象相邻两个最大值之间的距离为； ③已知，，且的最小值为. （1）求函数的对称中心坐标； （2）求函数在上的单调递减区间. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先应用两角和正弦公式再结合二倍角正弦及余弦公式得出,根据①②③得出参数，最后结合正弦函数的对称中心得出对称中心；. （2）应用正弦函数的单调区间结合得出单调减区间即可. 【小问1详解】 因为 若选择①函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择② 函数的图象相邻两个最大值之间的距离为，可得函数周期为，所以，， 若选择③ 已知，，即可得有2个根且的最小值为,可得函数周期为，所以，， 所以,令,即 函数的对称中心坐标. 【小问2详解】 因为, 令,可得, 又因为,令,得, 令,得, 所以函数在上的单调递减区间为， 18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）设（为的导数），求的单调区间； （3）求的极值点的个数． 【答案】（1） （2）单调递增区间是，单调递减区间是 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立方程组，即可求解； （2）由（1）可得，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解； （3）根据条件，将问题转化成的变号零点的个数，结合（2）中结果，列出的变化情况表，利用极值的定义，即可求解. 【小问1详解】 ， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以，即，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 易知的定义域为，又， 令，得， 所以的变化情况如下表 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问3详解】 的极值点个数就是的变号零点的个数， 又恒成立，也即的变号零点的个数． 由（2）知的单调递增区间是，单调递减区间是， 因为， ， 所以存在唯一的，使得，存在唯一的，使得， 的变化情况如下表： 0 所以的极值点个数为3． 19. 幻觉，是指模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象．幻觉率是指模型产生幻觉的概率．现抽取了由甲、乙、丙、丁四个公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： 公司 甲 乙 丙 丁 AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率低于2%的概率； （2）从表中提供的幻觉率低于2%的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率低于1.3%的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望; （3）已知某同学向表中乙或丙公司的某个AI模型进行了一次提问，经查证，该模型产生了AI幻觉，则该模型来自哪个公司的可能性更大?（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列为 0 1 2 3 故 （3）乙公司的可能性更大 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的计算公式即可求解， （2）根据超几何概率的计算公式求解分布列，即可由期望公式求解， （3）根据贝叶斯公式计算大小，比较即可作答. 【小问1详解】 14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个，所以幻觉率低于2%的概率为 【小问2详解】 幻觉率低于2%的AI模型中共有9个，其中幻觉率低于1.3%的模型有3个，故, 故分布列为 0 1 2 3 故 【小问3详解】 来自于乙公式的概率大，理由如下： “模型来自于乙公司”， “模型来自于丙公司”， “AI模型的编号为”， ，“AI模型的编号为”， ， “AI模型产生了AI幻觉” 则， 则 则, 由于 所以 , 由于,因此模型来自乙公司的概率大 20. 已知函数，． （1）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （2）若为函数的极值点，求a的值； （3）设函数，当时，若对于任意，总存在，使得，求实数b的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导得函数的单调递增区间，由此即可列出不等式求解； （2）求导得函数单调性，进一步得极值点，由此即可列方程求解； （3）首先求得，从而问题可以转换为存在，使得，故只需，对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 的定义域为，， 令，得，故函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增，所以，解得， 故实数a的取值范围是． 【小问2详解】 令，得；令，得；令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极小值，也是唯一的极值点，所以，解得． 【小问3详解】 由（1）知：当时，函数有最小值， 若，则， 又因为对任意总存在，使得， 则当时，的最小值不大于， 函数的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，则在上单调递增， 故的最小值为， 解得，故； 当，即时，则在上单调递减， 故的最小值为，解得，故； 当时，即时，则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为，解得或． 故或， 综上所述，实数b的取值范围是． 21. 给定正整数，若数列同时满足下列两个性质，则称数列为数列：①；②对任意，总存在，使得．记数列的个数为 （1）写出两个数列； （2）若为数列，求的值； （3）求的最大值． 【答案】（1） 数列：①1，2，3；②1，3，2；③3，1，2；④3，2，1（任取两个）. （2） . （3） 4. 【解析】 【分析】（1）根据给定的定义直接写出. （2）按分别求出，并用反证法证明的情况即可. （3）设，，利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式求出，再按分奇偶求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，因为或， 所以或， 所以； 当时，因为；；； 均是数列，所以可以为， 假设存在，则此时， 记，其中， 记，其中， 由条件（2），之后必有， 直到集合中某一个数出现在数列的最后两项中； 同理集合中必有某一个数出现在数列的最后两项中， 由于集合，中的数均与同奇偶，所以同奇偶，不妨设均为奇数， 考虑数列中最后一项偶数，必不能满足条件（2），矛盾，假设错误． 所以. 【小问3详解】 设，， 由（2）知，必为一奇一偶， 考虑在数列中出现的先后顺序，与（2）同理，首次出现的必为最小值1或最大值， 接下来依次出现剩下的数中的最小值或者最大值，共种先后顺序， 同理，在数列中出现的先后顺序共种， 先确定分别为第几项，注意到该集合恰有一个数在最后两项中，所以共种方法， 所以， 当时，； 当时，， 所以， ， 所以的最大值为4，当时取到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $