精品解析：北京市第四中学2026-2027学年高三上学期暑期开学测试数学试题

高三数学 （试卷满分150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，再由集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得. 2. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A，由的定义域为，所以，即函数值域为，故A错误； 选项B，由的定义域为，所以， 所以函数值域为：，故B错误； 选项C，由的定义域为，此时函数值域为，故C错误； 选项D，由的定义域为，此时， 所以函数值域为，故D正确. 3. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得. 【详解】由，故，故， 由对勾函数性质可得， ，且， 综上所述，有. 故选：C. 4. 函数的图像关于（ ） A. 轴对称 B. 直线对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称 【答案】A 【解析】 【详解】函数定义域为，且， 所以函数是偶函数，关于轴对称． 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先化简“”和“”，再利用充分必要条件的定义分析判断得解. 【详解】由得， 由得， 所以“”不能推出“”， 所以“”是“”的非充分条件； 因为“”不能推出“”， 所以“”是“”的非必要条件. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选D 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 将函数的图像向右平移个单位后，其图像的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将函数的图像向右平移个单位后所得函数为 ，令，所以 故选C 7. 若 ，则 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式． 【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 8. 函数的图象与直线的交点个数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数图象分析即可. 【详解】由函数，如图所示： 由图可知函数的图象与直线的交点个数的最大值为3. 9. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误， 对于B，，则，故B错误， 对于C，由于，故在单调递减，故，因此， 由于，所以，故，C正确， 对于D, ,则，故D错误， 故选：C 10. 函数，则（ ） A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数 C. 若，则为偶函数 D. 若，则为奇函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据选项中的关系，代入的解析式，对AD用特值说明不是奇函数，对BC用奇偶性的定义验证即可. 【详解】的定义域为， 对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 对B：若，， ，故为偶函数，B正确； 对C：若，，，故不是偶函数，故C错误； 对D：若，， 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数； 故选：B 11. ，若是的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：当时，， 当且仅当：，即时，等号成立， 此时函数的最小值为， 若，则函数的最小值为，此时不是的最小值，此时不满足条件， 若，则要使是的最小值，则满足， 即 解得， ， ， 故选：D． 12. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．已知斐波那契数列满足，，则下列结论中错误的是（ ） A. 存在，使得，，成等差数列 B. 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列 C. 存在，使得，，成等比数列 D. 存在正整数，，…，，且，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用斐波那契数列的递推公式，结合等差数列和等比数列的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由数列满足，， 可得，， 则满足，即构成等差数列，所以A正确； 对于B，由， 可得，即，即， 所以构成等差数列， 所以存在使得对于任意的，都有，，成等差数列，所以B正确； 对于C，若，，成等比数列，可得， 因为，可得， 所以，解得， 由题意可知、，故， 另一方面，若，则，这与矛盾， 所以不存在，使得，，成等比数列，所以C错误； 对于D，由数列满足，， 可得数列的前项分别为， 其中， 所以存在正整数，，…，，且，使得，所以D正确. 二、填空题（每小题5分，共40分） 13. 全集，集合，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】先求， . 14. ________． 【答案】## 【解析】 【详解】 . 15. 角的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据任意角正切函数的定义求出，再代入二倍角的正切公式计算即可得解. 【详解】根据任意角三角函数的定义，角终边过点，其中横坐标，纵坐标，因此 ， 由二倍角的正切公式可得. 16. 中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理即可得解. 【详解】已知，可得， 根据余弦定理， 将，，代入上式：， 化简得：，，解得：(边长为正，舍去负根). 17. 如果当时，恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】，， 令，解得，所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即可. 18. 设的内角的对边分别为，且则________________ 【答案】 【解析】 【详解】由得由正弦定理得由余弦定理得 则 【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值本题的突破点，然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值 19. 已知是定义在上的可导函数．若函数满足对恒成立，给出下面四个结论： ①；②对成立； ③可能是奇函数；④一定没有极值点． 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①② 【解析】 【详解】对于①，因为对恒成立，所以函数为递增函数， 可得，即，所以，因此①正确； 对于②，当时，，即，因此； 当时，，即，因此； 当时，易知，又因为，所以，即； 综上可知对成立，即②正确； 对于③，若是奇函数，则为偶函数， 又因为偶函数不可能始终为递增函数，因此③错误； 对于④，不妨取，此时满足题意， 但函数有一个极小值点，即④错误. 20. 给定有穷数列，定义数列的绝对差分数列，，…，，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．已知各项均为整数的数列，，…，满足，并且其差分数列是等差数列，若，，则的所有可能值为________． 【答案】12或39 【解析】 【分析】根据差分数列定义和数列的性质可得数列的公差为，且，结合累加法利用等差数列的性质计算可求得的所有可能值. 【详解】因为，所以其差分数列； 又因为数列的各项均为整数，所以数列的各项均为整数； 易知数列的公差为，且，易知, 累加可得； 当时，，即，所以；且； 因此当时，，此时, 因此； 当时，，此时, 因此； 综上可知，的所有可能值为12或39. 三、解答题（共50分） 21. 设函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过三角恒等变换将原函数化简为正弦型函数，再结合正弦型函数的性质求解最小正周期即可； （2）先通过三角恒等变换将原函数化简为正弦型函数，再结合正弦型函数的性质求解单调减区间即可. 【小问1详解】 已知函数， 由于，， 所以， 因此函数的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由于正弦函数的单调递减区间为， 所以当，即时，单调递减， 因此函数的单调减区间为. 22. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角大小； （2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 【答案】（1） （2） 选①：不符合题意； 选②：三角形唯一确定，的面积； 选③：唯一，的面积． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，即，再结合为三角形内角可求角. （2）选①：由余弦定理可得满足条件的三角形不唯一，故选①不合题意. 选②：根据正弦定理可求边，再利用求，再利用三角形的面积公式求三角形面积. 选③：先由求得，再由余弦定理求边，最后利用三角形的面积公式求三角形面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又因为，所以，则，即，所以. 【小问2详解】 选①：由余弦定理可得，即，解得或3，不符合题意； 选②：因为，，所以， 由正弦定理可得， 此时三角形两角一边确定，故三角形唯一确定，符合题意， 又， 此时的面积； 选③：因为边上的高，所以，则， 由余弦定理，即，解得，（舍去）， 故唯一，符合题意， 此时的面积． 23. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若对任意恒有，求a的最大值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线方程； （2）分类讨论的值，利用导数得出单调性； （3）当，由单调性得出恒有，当，存在，使得，从而得出的最大值. 【小问1详解】 因为，所以，因为，所以. 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 的定义域为，. 当时，，即函数在上单调递增. 当时，，即函数在上单调递增. 当时，. 令，解得 若时，； 若时，； 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时，在上单调递增. 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在上单调递增，恒有； 当时，由（2）可知，在上单调递减， 存在，使得，故不合题意； 综上，，即a的最大值为 【点睛】易错点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： （1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； （2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； （3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 24. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为2． （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，使得，，总成等比数列. 【解析】 【分析】(1)根据的关系求解； (2)表示，，的面积，利用韦达定理表示出即可求出常数t的值. 【小问1详解】 根据已知可得， 所以， 所以椭圆E的方程为. 【小问2详解】 由已知得，的斜率存在，且在轴的同侧， 设直线的方程为，，不妨设， 则 由得 所以 因为， 所以 ， ， 要使，，总成等比数列，则应有解得， 所以存在，使得，，总成等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 （试卷满分150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题5分，共60分） 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像关于（ ） A. 轴对称 B. 直线对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 将函数的图像向右平移个单位后，其图像的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 7. 若 ，则 A. B. C. 1 D. 8. 函数的图象与直线的交点个数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则（ ） A. 若，则为奇函数 B. 若，则为偶函数 C. 若，则为偶函数 D. 若，则为奇函数 11. ，若是的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．已知斐波那契数列满足，，则下列结论中错误的是（ ） A. 存在，使得，，成等差数列 B. 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列 C. 存在，使得，，成等比数列 D. 存在正整数，，…，，且，使得 二、填空题（每小题5分，共40分） 13. 全集，集合，，则________． 14. ________． 15. 角的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边过点，则________． 16. 中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则________． 17. 如果当时，恒成立，则实数的取值范围是________． 18. 设的内角的对边分别为，且则________________ 19. 已知是定义在上的可导函数．若函数满足对恒成立，给出下面四个结论： ①；②对成立； ③可能是奇函数；④一定没有极值点． 其中，所有正确结论的序号是________． 20. 给定有穷数列，定义数列的绝对差分数列，，…，，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．已知各项均为整数的数列，，…，满足，并且其差分数列是等差数列，若，，则的所有可能值为________． 三、解答题（共50分） 21. 设函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间． 22. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角大小； （2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 23. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若对任意恒有，求a的最大值． 24. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为2． （1）求椭圆E的方程； （2）过点的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线的垂线（点B，C在直线l的两侧）．垂足分别为M，N，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数t，使得，，总成等比数列？若存在，求出t的值．若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $