北京市景山学校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

**基本信息** 高三开学数学试卷以神舟十九号航天员合影、昆明美食规划等时代与生活情境为载体，通过函数导数、概率统计及创新基底问题，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，梯度合理且覆盖核心知识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/50|集合、函数性质、排列组合（神舟十九号合影）、琴生不等式|结合科技热点与数学史，基础题（集合）与能力题（瞬时速度比较）分层| |填空题|6/30|二项式定理、函数极值、分段函数参数问题|多空设计区分基础（切线方程）与综合（极值点数量）能力| |解答题|5/70|概率统计（跳绳合格数据）、函数导数（单调性与极值）、集合基底（创新定义）|统计题培养数据意识，基底问题发展创新思维，梯度从基础运算到综合探究|

北京市景山学校2026~2027学年度第一学期高三开学 数学试卷 2026.8 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共50分） 一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．集合，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．设，，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．昆明以其多样的民族文化和独特的地方美食闻名.现有一名游客计划在三天内品尝完过桥米线、汽锅鸡、烧饵块、鲜花饼这4种特色美食，每天至少选择1种（当天选择的种类不分先后顺序）.若三天后他恰好品尝完所有4种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为（   ） A．18 B．24 C．36 D．42 4．物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ） A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 5．若，则（    ） A． B． C． D． 6．神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情．齐聚“天宫”的6名宇航员分别是“70后”蔡旭哲、“80后”叶光富、李聪、李广苏，“90后”宋令东、王浩泽．为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”．假设6人站成一排，要求三位“80后”相邻，两位“90后”不相邻，则不同的站法共有 A．32种 B．48种 C．64种 D．72种 7．设函数，则“”是“有个零点”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设函数是R上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（   ） A． B． C． D． 9．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，以下四个函数在上不是凸函数的是（   ） A． B． C． D． 10．若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，记．下列命题中正确的是（ ） A．已知，，且，则 B．已知，，则存在实数a，使得 C．已知，若，则对任意，都有 D．已知，，则对任意的实数a，总存在实数b，使得 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 11．的二项展开式中，项的系数为 . 12．已知函数，则 ；在区间上有 个极值点. 13．已知函数若 使得 则实数a的取值范围是 . 14．设，函数，若恰有一个零点，则的取值范围是 . 15．已知函数f(x)的定义域为R，满足f（x+2）＝2f(x)，且当x∈（0，2]时，f(x)＝2x﹣3.有以下三个结论： ①f（-1）； ②当a∈（，]时，方程f(x)＝a在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f(x)有无穷多个零点，且存在一个零点b∈Z. 其中，所有正确结论的序号是 . 16．已知函数，其中．给出下列四个结论： ①当时，函数有极大值，无极小值； ②若方程存在三个根，则； ③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点； ④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线． 其中所有正确结论的序号是 ． 3、 解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的值； (3)设集合，若中有且只有三个元素，请直接写出所有的集合. 18．已知函数（，为正实数）． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若函数的最小值为，求的取值范围． 19．为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动，活动结束后，利用简单随机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段公组记录如下表： 组别 男生 女生 合格 不合格 合格 不合格 第一组 90 10 80 20 第二组 88 12 72 28 第三组 60 40 58 42 第四组 80 20 62 38 第五组 82 18 78 22 合计 400 100 350 150 假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立. （1）从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率； （2）从该地区众多中小学的男生､女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格，求X的分布列与数学期望； （3）假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用“”表示第k组同学跳绳成绩合格，“”表示第k组同学跳绳成绩不合格()，试确定方差中哪个最大？哪个最小？(只需写出结论). 20．已知函数． (1)若在R上是增函数，求实数a的取值范围； (2)当时，判断0是否为函数的极值点，并说明理由； (3)若存在三个实数，满足，求实数a的取值范围． 21．已知集合，若集合，且对任意的，存在，，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底． (1)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由； ①，； ②，． (2)若集合是集合的一个元基底，证明：； (3)若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共3页 学科网（北京）股份有限公司 开学考试答案及详解 （2026.8） 一、选择题（50分） 40分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C C C D B C D D 二、填空题（30分） 11． 12． / 2 13． 14． 15．①②. 16．②③④ 三、解答题（70分） 17．（1）令，解得，， 当时，， 令，解得，， 所以. （2）由， ①当时，，符合题意， ②当时，，此时不满足， ③当时，， 若，则需，此时方程组无实数解. 综上，. （3）集合， 由（2）可知， 当时，，，没有元素，不符合题意. 当时，，，没有元素，不符合题意. 当时，，要使中有且只有三个元素， 而，则，则，. 所以或. 18．(I)当时，， 则 所以.又， 因此所求的切线方程为； (II) 当，即时，因为，所以， 所以函数在上单调递增. 当，即时， 令，则（），解得. 当时，，当时，. 所以函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为； (III)由(II)知当时，函数在上单调递增， 则的最小值为，满足题意. 当时，函数的单调递增区间为， 函数的单调递减区间为， 则的最小值为，而，不合题意. 所以的取值范围是. 19．（1）设事件A=“从样本中的中小学生随机抽取1人，该同学跳绳成绩合格” 样本中男生跳绳成绩合格的有:90+88+60+80+82=400人， 样本中女生跳绳成绩合格的有:80+72+58+62+78=350人， 样本中男、女跳绳成绩合格的共有:400+350=750， 样本中的男生总人数:400+100=500 人， 样本中的男生总人数:350+150=500人， 样本中男、女生总数:500+500=1000， 所以， （2）设事件B=“从该地区众多中小学的男生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”, 则 设事件C=“从该地区众多中小学的女生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”， 则 由题可知X的可能取值为0，1，2， 则， ， ， 所以X的分布列为 所以X的数学期望， （3）最小，最大. 20．（1）∵，则，若在R上是增函数，即恒成立，得，设，，得，得，即在递减，在递增，则，故. （2）当时，，，得，则递增，，则时，，时，，则在上递减，在上递增，故是函数的极小值点. （3）∵，令，得，由（1）得， 又在递减，在递增，则， 且时，，， 当时，， 若存在三个实数，满足，故当有两根使得，故或时，，此时递增，时，，此时递减，且时，，则必有先增后减再增，故必存在，满足，故，即. 21．（1）①不是的一个二元基底. 理由是； ②是的一个二元基底. 理由是， . （2）不妨设，则 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数共有个； 形如 的正整数至多有个； 形如 的正整数至多有个. 又集合含个不同的正整数，为集合的一个元基底. 故，即. （3）由（2）可知，所以. 当时，，即用基底中元素表示出的数最多重复一个. * 假设为的一个4元基底， 不妨设，则. 当时，有，这时或. 如果，则由，与结论*矛盾. 如果，则或.易知和都不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，这时，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，有，，，易知不是的4元基底，矛盾. 当时，均不可能是的4元基底. 当时，的一个基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可. 综上，的最小可能值为5. 答案第1页，共2页 答案 学科网（北京）股份有限公司 $