专题03 与绝对值有关的化简求解问题有关的五种模型（高效培优专项训练）数学新教材苏科版七年级上册

**基本信息** 以绝对值化简求解为核心，构建“概念-性质-应用-几何意义”四层递进模型，通过分类讨论、数轴直观等方法培养抽象能力与推理意识，实现专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |化简多重符号|5题|符号法则应用|绝对值概念基础训练| |绝对值非负性|5题|非负性质方程化|从性质到方程求解过渡| |数轴化简绝对值|5题|数轴定位符号判断|数形结合化简绝对值| |分类讨论化简|5题|分类讨论思想|多变量符号分析推理| |几何意义应用|5题|距离模型构建|从代数到几何意义拓展|

专题03 与绝对值有关的化简求解问题有关的五种模型 题型一 化简多重符号 题型二 绝对值的非负性 题型三 利用数轴化简绝对值 题型四 利用分类讨论化简绝对值 题型五 绝对值的几何意义 题型一：化简多重符号 1．（25-26七年级上·湖北荆州·阶段检测）化简：________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了相反数，灵活运用相反数化简多重符号是解题的关键． 运用相反数的定义从内向外逐步化简即可． 【详解】解：． 故答案为：11． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简_______． 【答案】 【分析】本题主要考查化简多重符号，熟练掌握同号得正，异号得负是解题的关键；从内向外逐步化简括号内的负号，利用负负得正的法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山东德州·期中）___________． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号． 从内向外逐步化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）计算： ______； ______． 【答案】 4 【分析】本题考查了多重符号的化简，熟练掌握化简规则是解题的关键．根据化简多重符号法则计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：，． 5．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段检测）化简：______；______；______． 【答案】 【分析】本题考查的是多重符号的化简，根据相反数的定义化简即可． 【详解】解：，，． 故答案为：，， 题型二：绝对值的非负性 6．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 7．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项为零，从而求出和的值． 【详解】解：，，且， 且， 由，得，即， 由，得，即， ； 故答案为． 8．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）若，为有理数，且，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，平方的非负性，已知字母的值，求代数式的值． 根据绝对值和平方的非负性，可得和的值，代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解题的关键． 根据非负数的性质求出a和b的值，再代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 题型三：利用数轴化简绝对值 11．（24-25七年级上·陕西西安·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： a 0，b 0，c 0， 0． (2)化简：． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）由数轴得出，进一步得出； （2）根据绝对值的性质结合（1）中的结论解答即可． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：由（1）知，； ∴， ∴ ． 12．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：______0，______0； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由数轴可得，，且，然后问题可求解； （2）由（1）及结合绝对值的意义可进行求解． 【详解】（1）解：由数轴可得，，且， ． （2）解：∵， ∴ ． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)比较，，，的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据数轴判断式子的符号，根据数轴比较有理数的大小，化简绝对值，整式的加减． （1）根据数轴上点的位置可得，进而可得，； （2）根据数轴可得，进而在数轴上表示出，再根据数轴比较大小，即可求解； （3）根据数轴可得，，，进而化简绝对值，再根据整式的加减化简，即可求解． 【详解】（1）解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可得 ∴ 如图 ∴ （3）解：∵，，， ∴ 14．（25-26七年级上·河南信阳·期末）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，b，c所对应的点到原点的距离相等．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____：表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____； (2)确定符号：_____0，_____0，_____，_____0；（填“>”“<”或“=”） (3)化简：． 【答案】(1)3；5；2或 (2) (3) 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，绝对值的意义，整式的加减；理解题意，掌握数轴上两点之间的距离公式是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解即可； （2）根据数轴上取值范围进行解答即可； （3）根据绝对值的题意去绝对值符号即可． 【详解】（1）解：根据数轴上两点间距离公式得： 数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； 如果表示数a和的两点之间的距离是3，则有： ， 解得，或； 故答案为：3；5；2或； （2）解：由数轴得，，，，， 故可得，，，， 故答案为：； （3）解：因为，，， ∴， 所以， ． 15．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：； (3)化简：． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了数轴以及绝对值的计算、整式的加减运算， （1）先根据数轴得出之间的关系，然后再确定所求代数式的正负； （2）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项； （3）根据（1）的结论去绝对值，再合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴得：， ，； 故答案为：；； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ． 题型四：利用分类讨论化简绝对值 16．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 【答案】(1)，见详解 (2)或，见详解 【分析】（1）由条件可知a、b异号，根据绝对值的性质求解即可； （2）由于a，b，c的符号未知，所以分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：，a、b异号， ， ； （2）解：当a，b，c都是正数时，， 当a，b，c中有两个正数，一个负数时，不妨设a、b为正数，， 当a，b，c中有一个正数，两个负数时，不妨设b、c为负数，， 当a，b，c都是负数时，， 综上，的值为或． 17．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 【答案】(1)1； (2)2或 (3) 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分或两种情况求解即可； （3）分类讨论求出的值，从而得出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则． 故答案为：；； （2）解：因为， 所以，异号． 当时，， 所以． 当时，， 所以． 综上可知，的值为2或； （3）解：a，b，c同正，原式； a，b，c同负，原式； a，b，c两正一负，不妨设， 原式； a，b，c两负一正，不妨设，原式． 因为的最大值是，最小值为， 所以， 所以． 18．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【分析】本题考查化简绝对值、有理数的乘法法则， （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）根据有理数的乘法法则得a、b同号，即，或，，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可； （3）根据有理数的乘法法则得a、b、c全为负数或两正一负，再根据绝对值的性质进行分类讨论即可． 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 19．（26-27七年级·全国·暑假作业）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】(1)或1 (2) 【分析】（1）根据有理数乘法运算法则判断a，b，c的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论； （2）由题意得，a，b，c中有2个负数，1个正数，则，利用绝对值的意义可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1； （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 20．（25-26六年级上·山东烟台·期末）在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，． 知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为 求解下列问题： (1)当时，值为_____，当时，的值为_____，当为不等于0的有理数时，的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于0的有理数，若这个数中有个正数，，则的值为_____．（请用含n的式子表示）． 【答案】(1)1，， (2)或3 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，理解题意，熟练运用分类讨论的数学方法分析问题是解题关键． （1）结合题意，根据绝对值的性质化简求值即可； （2）首先将原式化简，然后结合题意，分“x为正数，y，z为负数”，“y为正数，x，z为负数”， “z为正数，x，y为负数”三种情况逐一分析计算即可； （3）根据题意，这个数中有n个正数，有个负数，然后整理化简即可获得答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当为不等于0的有理数时， 若，则； 若，则． 即的值为． 故答案为：1，，； （2）解：， ，，． ． ， ，y，z的正负性可能为： 当为x正数，y，z为负数时，原式； 当为y正数，x，z为负数时，原式； 当为z正数，x，y为负数时，原式． 综上所示，原式的值为或3； （3）解：根据题意，这个数中有n个正数，有个负数， 即中有n个1，有个． ． 故答案为：． 题型五：绝对值的几何意义 21．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、绝对值的几何意义、绝对值的化简以及利用分类讨论思想求解绝对值表达式的最值问题，关键是将绝对值表达式转化为数轴上点与点之间的距离问题，借助几何意义简化计算与分析． （1）根据数轴上两点间距离的计算方式，将给定的、值代入，通过求两数差的绝对值，直接计算出、两点的距离； （2）从（1）的具体计算实例中归纳规律，提炼出数轴上两点间的距离与表示两点的数、的数量关系； （3）的几何意义是数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再根据几何特征确定当在和3之间(包括端点)时距离和最小，进而找出该范围内的整数即可； （4）先将转化为，明确其几何意义为数轴上表示的点到和3的点的距离之和，再结合几何性质得出该距离和的最小值为两点间的距离，结合最小值为7列方程求解的值； （5）先明确和的几何意义，再根据在数轴上的位置分左侧、与6之间、6右侧三类情况进行绝对值的化简，计算每类情况下表达式的值或取值范围，最终确定式子的最大值和最小值． 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 22．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 23．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则 ______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 【答案】(1)①4；②，1或 (2)或1 (3)①1；②5；③4 【分析】本题考查数轴、绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． （1）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）根据绝对值的定义以及数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）①数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 当，即， 所以或， 解得或， 故答案为：1或； （2）若代数式的最小值是3， 即， 所以或， 解得或， 故答案为：或1； （3）①当有最小值是， 故答案为：1； ②当时，有最小值，最小值为， 故答案为：5； ③当时，有最小值，最小值为， 故答案为：4． 24．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，； 当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边， ； 如图3，当点A、B都在原点的左边，； 如图4，当点A、B在原点的两边，． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和6的两点之间的距离是_______数轴上表示2和的两点之间的距离是________． (2)数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是_____，若，那么x为______． (3)当x是________时，代数式． 【答案】(1)5；5 (2)；或 (3)或3 【分析】本题考查了实数与数轴，学会利用两点间的距离是解题关键． （1）根据两点间的距离，可得答案； （2）根据两点间的距离，可得答案； （3）根据绝对值的性质，可化简为方程，再解方程，即可得答案． 【详解】（1）解：数轴上表示1和6的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离是． 故答案为：5，5； （2）解：数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是， 则点A和B之间的距离是，若， 则 解得或， 故答案为：，或； （3）解：当时， ， ∴ 解得； 当时， ， ∴ 解得； 当时， ， 当或3时，代数式， 故答案为：或3． 25．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），A、B两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，所以的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离，若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请解决以下问题： 直接应用 （1）若点P到所表示的点之间的距离是3个单位长度，则a的值为______； （2）若点P在表示2和的两点之间运动，请写出代数式的几何意义，并求的值； 拓展应用 （3）代数式的最小值为______； 迁移应用 （4）若对于有理数x，m，n满足，则我们称x是关于m，n的“整十数”．如果有理数x是关于3，的“整十数”，请直接写出x的值． 【答案】（1）1或；（2）点P到所表示的点之间的距离与到所表示的点之间的距离之和；7；（3）9；（4）或 【分析】本题考查了数轴、绝对值的几何意义、解一元一次方程，解题的关键是正确理解绝对值的几何意义，学会利用数形结合思想与分类讨论思想解决问题． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）代数式的几何意义是点P到、6、1这三个数所表示的点之间的距离之和，再结合数轴即可得到最小值； （4）根据题意，得，再分，，三种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）∵点P到所表示的点之间的距离是3个单位长度， ∴， 解得或， ∴a的值为1或； 故答案为：1或； （2）代数式的几何意义是点P到所表示的点之间的距离与到所表示的点之间的距离之和， ∵点P在表示2和的两点之间运动， ∴， ∴，， ∴； （3）代数式的几何意义是点P到、6、1这三个数所表示的点之间的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为9， 故答案为：9； （4）∵有理数x是关于3，的“整十数”， ∴， 当时，， 解得； 当时，，舍去； 当时，， 解得； ∴综上所述，x的值为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 与绝对值有关的化简求解问题有关的五种模型 题型一 化简多重符号 题型二 绝对值的非负性 题型三 利用数轴化简绝对值 题型四 利用分类讨论化简绝对值 题型五 绝对值的几何意义 题型一：化简多重符号 1．11 2． 3． 4． 4 5． 题型二：绝对值的非负性 6． 7． 8． 9． 10． 3 4 题型三：利用数轴化简绝对值 11． 【答案】(1)，，， (2) 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：由（1）知，； ∴， ∴ ． 12． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由数轴可得，，且， ． （2）解：∵， ∴ ． 13． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据数轴可得， ∴， 故答案为：． （2）解：根据数轴可得 ∴ 如图 ∴ （3）解：∵，，， ∴ 14． 【答案】(1)3；5；2或 (2) (3) 【详解】（1）解：根据数轴上两点间距离公式得： 数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； 如果表示数a和的两点之间的距离是3，则有： ， 解得，或； 故答案为：3；5；2或； （2）解：由数轴得，，，，， 故可得，，，， 故答案为：； （3）解：因为，，， ∴， 所以， ． 15． 【答案】(1)； (2) (3) 【详解】（1）解：由数轴得：， ，； 故答案为：；； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ． 题型四：利用分类讨论化简绝对值 16． 【答案】(1)，见详解 (2)或，见详解 【详解】（1）解：，a、b异号， ， ； （2）解：当a，b，c都是正数时，， 当a，b，c中有两个正数，一个负数时，不妨设a、b为正数，， 当a，b，c中有一个正数，两个负数时，不妨设b、c为负数，， 当a，b，c都是负数时，， 综上，的值为或． 17． 【答案】(1)1； (2)2或 (3) 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则． 故答案为：；； （2）解：因为， 所以，异号． 当时，， 所以． 当时，， 所以． 综上可知，的值为2或； （3）解：a，b，c同正，原式； a，b，c同负，原式； a，b，c两正一负，不妨设， 原式； a，b，c两负一正，不妨设，原式． 因为的最大值是，最小值为， 所以， 所以． 18． 【答案】（1）1；；（2）或2；（3）或0 【详解】解：（1）当时，，当时，， 故答案为：1，； （2）∵两个有理数a，b的值满足， ∴a、b同号，即，或，， ∴当，时，， 当，时，， 故答案为：2或； （3）， ∴a、b、c全为负数或两正一负． ①当a、b、c全为负数时， ， ∴； ②当a、b、c为两正一负时，若， ， 若，， 若，， 综上所述，原式的值为或0． 19． 【答案】(1)或1 (2) 【详解】（1）解：由题意得，a，b，c三个有理数都为负数或其中一个为负数，另两个为正数． ①若a，b，c都是负数，即，，时， ； ②若a，b，c中有一个为负数，另两个为正数时， 不妨设，，， 则， 综上所述，的值为或1； （2）解：∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c有2个负数，1个正数， ∴， ∴． 20． 【答案】(1)1，， (2)或3 (3) 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当为不等于0的有理数时， 若，则； 若，则． 即的值为． 故答案为：1，，； （2）解：， ，，． ． ， ，y，z的正负性可能为： 当为x正数，y，z为负数时，原式； 当为y正数，x，z为负数时，原式； 当为z正数，x，y为负数时，原式． 综上所示，原式的值为或3； （3）解：根据题意，这个数中有n个正数，有个负数， 即中有n个1，有个． ． 故答案为：． 题型五：绝对值的几何意义 21． 【答案】(1)；； (2)； (3)； (4)或； (5)有最大值和最小值 【详解】（1）解：当，时，、两点的距离为； 当，时，、两点的距离为； 故答案为：；； （2）解：由数轴上两点距离的定义，可得和、的数量关系为；故答案为：； （3）解：表示数轴上表示的点到表示和的点的距离之和，当在和之间(包括端点)时，距离之和最小，此时整数为；故答案为：； （4）解：，其几何意义是数轴上表示的点到表示和的点的距离之和， 当在这两点之间时，距离之和最小， 最小值为， 则或，解得或； 故答案为：或； （5）解：表示数轴上点到的距离，表示数轴上点到的距离． ①当点在的左侧， ，， ； ②当点在与之间（包含端点）， ，， ， 此时； ③当点在的右侧， ，， ． 综上，式子有最值，最大值为，最小值为． 22． 【答案】(1) (2) 或，在数轴上标记x所在的位置如图所示： (3)当时，的值最大，最大值为 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 23． 【答案】(1)①4；②，1或 (2)或1 (3)①1；②5；③4 【详解】（1）①数轴上表示1和的两点之间的距离是， 故答案为：4； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， 当，即， 所以或， 解得或， 故答案为：1或； （2）若代数式的最小值是3， 即， 所以或， 解得或， 故答案为：或1； （3）①当有最小值是， 故答案为：1； ②当时，有最小值，最小值为， 故答案为：5； ③当时，有最小值，最小值为， 故答案为：4． 24． 【答案】(1)5；5 (2)；或 (3)或3 【详解】（1）解：数轴上表示1和6的两点之间的距离是， 数轴上表示2和的两点之间的距离是． 故答案为：5，5； （2）解：数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是， 则点A和B之间的距离是，若， 则 解得或， 故答案为：，或； （3）解：当时， ， ∴ 解得； 当时， ， ∴ 解得； 当时， ， 当或3时，代数式， 故答案为：或3． 25． 【答案】（1）1或；（2）点P到所表示的点之间的距离与到所表示的点之间的距离之和；7；（3）9；（4）或 【详解】解：（1）∵点P到所表示的点之间的距离是3个单位长度， ∴， 解得或， ∴a的值为1或； 故答案为：1或； （2）代数式的几何意义是点P到所表示的点之间的距离与到所表示的点之间的距离之和， ∵点P在表示2和的两点之间运动， ∴， ∴，， ∴； （3）代数式的几何意义是点P到、6、1这三个数所表示的点之间的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为9， 故答案为：9； （4）∵有理数x是关于3，的“整十数”， ∴， 当时，， 解得； 当时，，舍去； 当时，， 解得； ∴综上所述，x的值为或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 与绝对值有关的化简求解问题有关的五种模型 题型一 化简多重符号 题型二 绝对值的非负性 题型三 利用数轴化简绝对值 题型四 利用分类讨论化简绝对值 题型五 绝对值的几何意义 题型一：化简多重符号 1．（25-26七年级上·湖北荆州·阶段检测）化简：________． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简_______． 3．（25-26七年级上·山东德州·期中）___________． 4．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）计算： ______； ______． 5．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段检测）化简：______；______；______． 题型二：绝对值的非负性 6．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 7．（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知，则的值为________． 8．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）若，为有理数，且，则的值为________． 9．（25-26七年级上·山东日照·期中）如果，那么______． 10．（25-26七年级上·江苏南通·期中）如果两个有理数x，y满足，则的最大值__________，的最小值为__________． 题型三：利用数轴化简绝对值 11．（24-25七年级上·陕西西安·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图． (1)判断正负，用“”或“”填空： a 0，b 0，c 0， 0． (2)化简：． 12．（25-26七年级上·河南濮阳·期末）有理数，，在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：______0，______0； (2)求的值． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知有理数，在数轴上对应位置如图． (1)用“”或“”填空：______0，______0； (2)比较，，，的大小(用“”把它们连接起来)，填写在横线上______； (3)化简：． 14．（25-26七年级上·河南信阳·期末）在数轴上，a，b，c对应的数如图所示，b，c所对应的点到原点的距离相等．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____：表示和2两点之间的距离是_____；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么_____； (2)确定符号：_____0，_____0，_____，_____0；（填“>”“<”或“=”） (3)化简：． 15．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“”“”或“”填空：________0，________0； (2)化简：； (3)化简：． 题型四：利用分类讨论化简绝对值 16．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）解答下列各题． (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是不为0的有理数，求的值． 17．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 18．（25-26七年级上·山东滨州·期末）“分类讨论”是解决数学问题的一种重要思想方法，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”． 【知识背景】 当时，；当时，；当时，． 【解决问题】 （1）当时，_____；当时，_____； （2）若两个有理数a，b的值满足，则_____； 【探究拓展】 （3）若三个有理数a、b、c的值满足，试求的值． 19．（26-27七年级·全国·暑假作业）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值． 【解决问题】解：由题意得，a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①若a，b，c都是正数，即，，时，则； ②若a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， ， 综上所述，的值为3或． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： (1)三个有理数a，b，c满足，求的值； (2)若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 20．（25-26六年级上·山东烟台·期末）在数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，． 知识储备：在小学学过一个非零数字除以它本身等于1，我们学习了用字母表示数，这句话可以表示为 求解下列问题： (1)当时，值为_____，当时，的值为_____，当为不等于0的有理数时，的值为_____； (2)已知，求的值； (3)已知：，这个数都是不等于0的有理数，若这个数中有个正数，，则的值为_____．（请用含n的式子表示）． 题型五：绝对值的几何意义 21．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）已知、在数轴上分别表示、 (1)对照数轴填写下表： 6 2 4 0 4 、两点的距离 2 6 0 (2)若、两点间的距离记为，直接写出和、的数量关系______． (3)如果的和最小时，整数有______． (4)当为______时，代数式的最小值是7． (5)式子有最值(最大值或最小值)吗？如果有，写出这个值并指出它是最大值还是最小值； 22．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 23．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示1和的两点之间的距离是______． ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______，如果，那么x为______． (2)若代数式的最小值是3，则 ______． (3)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______． 24．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为． 当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，； 当A、B两点都不在原点时，如图2，点A、B都在原点的右边， ； 如图3，当点A、B都在原点的左边，； 如图4，当点A、B在原点的两边，． 回答下列问题： (1)数轴上表示1和6的两点之间的距离是_______数轴上表示2和的两点之间的距离是________． (2)数轴上若点A表示的数是，点B表示的数是，则点A和B之间的距离是_____，若，那么x为______． (3)当x是________时，代数式． 25．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，我们知道的几何意义是在数轴上表示数a的点与原点的距离，那么的几何意义又是什么呢？我们不妨考虑一下，取特殊值时的情况．比如考虑的几何意义，在数轴上分别标出表示和5的点，（如图所示），A、B两点间的距离是11，而，因此不难看出就是数轴上表示和5两点间的距离，所以的几何意义是数轴上a，b两数对应点之间的距离，若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请解决以下问题： 直接应用 （1）若点P到所表示的点之间的距离是3个单位长度，则a的值为______； （2）若点P在表示2和的两点之间运动，请写出代数式的几何意义，并求的值； 拓展应用 （3）代数式的最小值为______； 迁移应用 （4）若对于有理数x，m，n满足，则我们称x是关于m，n的“整十数”．如果有理数x是关于3，的“整十数”，请直接写出x的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $