专项02 几何体的三视图与截面（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 以“题型-技巧-典例-变式”为体系，系统构建三视图与截面的空间认知方法，突出几何直观与空间观念培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |从不同角度看几何体|1典例+3变式|俯视图布局/视图高度关系/遮挡原则/数量最值|由三视图还原几何体，建立平面与空间对应| |判断截面形状|1典例+3变式|正方体截面类型/球体圆柱圆锥截面规律|基于几何体特征推导截面可能形状| |由截面形状判断几何体|1典例+3变式|截面与几何体曲面/平面的对应关系|逆向推理，通过截面特征反推几何体类型| |由截面求周长|1典例+2变式|截面图形边长计算/组合几何体周长分析|截面几何性质与周长计算的综合应用| |由截面求面积|1典例+3变式|最大截面判定/规则图形面积公式应用|从截面形状到面积计算的递进，强化空间转化|

专项02 几何体的三视图与截面 （题型突破·举一反三） 题型01 从不同角度看几何体 题型02 判断截面形状 题型03 由截面形状判断几何体 题型04 由截面求周长 题型05 由截面求面积 ▌题型01 从不同角度看几何体 技巧1：俯视图决定底层布局，俯视图每个方格代表底层有方块。 技巧2：主视图每一列高度 = 几何体对应列小正方体最大层数。 技巧3：左视图每一列高度 = 几何体对应行小正方体最大层数。 技巧4：同一位置方块，三视图只会显示最高一层，低层方块被遮挡，不画出。 技巧5：仅给两种视图，方块数量不唯一，存在最大值、最小值。 【典例1】（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的上面、正面、左面看到的形状图，则这个几何体是用________个小立方块搭成的． 【变式1-2】（2022·河南信阳·模拟预测）如图所示的个正方体组成的几何体，从左面看到的形状图是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川眉山·期中）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．如果需要的小正方体个数最多为_______ 个，最少为_______个． ▌题型02 判断截面形状 技巧1：正方体6个面，截面最多六边形；最少三角形（平面只切3个面）； 技巧2：球体无论怎么切，截面永远是圆； 技巧3：圆柱平行底面切→圆；垂直底面切→长方形；斜着切→椭圆； 技巧4：圆锥平行底面切→小圆；过顶点竖直切→等腰三角形；斜切不过顶点→椭圆； 技巧5：正方体截不出直角三角形、钝角三角形，只能是锐角三角形。 【典例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 【详解】解：用一个平面去截的正方体，可以得到三角形，正方形，矩形， ∴截面形状不可能是圆 ． 【变式2-1】（23-24六年级上·山东烟台·阶段检测）给出下列几何体：①长方体；②圆柱；③三棱锥；④圆锥；⑤球体．用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②⑤ D．①③ 【变式2-2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）一个圆柱体的高为，底面半径为，用一个平面截这个圆柱体，若截面是长方形，则这个长方形面积最大为______． 【变式2-3】（22-23七年级上·全国·期末）用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． ▌题型03 由截面形状判断几何体 技巧1：截面是圆 ① 只有含曲面的几何体才能切出圆：球、圆柱、圆锥； ② 正方体/长方体全是平面，永远截不出圆形，看到截面有圆直接排除正方体、长方体。 细分：• 任意切都是圆 → 球体 • 平行底面切才是圆 → 圆柱、圆锥 技巧2：截面是三角形 ① 能截出三角形：正方体、长方体、圆锥（过顶点竖切）； ② 绝对截不出三角形：圆柱、球体（直接排除）； 补充：正方体只能截锐角三角形，无直角、钝角三角形。 技巧3：截面是长方形/正方形 ① 可截出：正方体、长方体、圆柱（竖直切）； ② 截不出长方形：球、圆锥。 技巧4：截面是梯形 ① 可截出：正方体、长方体； ② 截不出梯形：球、圆柱、圆锥。 技巧5：截面是五边形、六边形 只有正方体、长方体可以截出；圆柱、圆锥、球体最多只到椭圆/圆，不可能出现五、六边形。 技巧6：截面是椭圆 圆柱斜切、圆锥斜切可得；正方体、长方体、球体切不出椭圆。 【典例3】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）用平面截一个几何体，得到的截面是一个三角形，这个几何体可能是__________写出一个即可． 【详解】解：当用平面经过正方体的三个相邻面时，所得的截面为三角形，除此之外，圆锥、三棱柱等几何体也能被平面截得三角形截面， 故答案为：正方体（答案不唯一）． 【变式3-1】（21-22七年级上·陕西西安·期末）用一个平面去截一个几何体，截面形状为四边形，则这个几何体不可能为（   ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 【变式3-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为（   ） ①圆锥；②圆柱；③长方体；④正三棱柱 A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．①② 【变式3-3】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）用一个平面去截几何体，截面形状既能是三角形，又能是圆，则这个几何体可能是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．正六棱柱 ▌题型04 由截面求周长 【典例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面周长为，截去一个底面周长为的正三棱柱，截面的形状是________，截后剩下的几何体的底面周长为________． 【详解】解：由题可得，截面的形状为长方形； 截后剩下的几何体的底面是等腰梯形， 如图， 由题意得是周长为的等边三角形，是周长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即截后剩下的几何体的底面周长为． 【变式4-1】（2024·山东青岛·一模）已知一个棱长为15的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和最少为______．    【变式4-2】（25-26七年级上·江西景德镇·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是____________棱柱，共有____________个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是____________；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形． (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少？ ▌题型05 由截面求面积 【典例5】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 【详解】（1）解：该圆柱的截面有以下4种不同的形状，如图①所示． （2）解：能．过两底面圆的直径的长方形截面的面积最大，如图②所示． 此时长方形的面积为， 故截得的最大的长方形的面积为． 【变式5-1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图所示，长方形的长为，宽为． (1)把长方形绕边所在的直线旋转一周，则旋转后的几何体是______． (2)若用平面沿方向去截所得的几何体，所得截面形状是______． (3)求截面的最大面积． 【变式5-2】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图是一张长方形纸片，长为，长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是______； (2)若将这个长方形纸片绕边所在直线旋转一周，这个几何体的体积为______ (3)若用平面沿方向去截所得的几何体，求截面的最大面积． 【变式5-3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）三棱柱的上、下底面都是完全相同的三角形，正三棱柱的上、下底面都是完全相同的等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为11，侧棱长为8，在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱． (1)请写出截面的形状 ，并求出截面的面积； (2)请直接写出四边形的周长 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 几何体的三视图与截面 （题型突破·举一反三） 题型01 从不同角度看几何体 题型02 判断截面形状 题型03 由截面形状判断几何体 题型04 由截面求周长 题型05 由截面求面积 ▌题型01 从不同角度看几何体 技巧1：俯视图决定底层布局，俯视图每个方格代表底层有方块。 技巧2：主视图每一列高度 = 几何体对应列小正方体最大层数。 技巧3：左视图每一列高度 = 几何体对应行小正方体最大层数。 技巧4：同一位置方块，三视图只会显示最高一层，低层方块被遮挡，不画出。 技巧5：仅给两种视图，方块数量不唯一，存在最大值、最小值。 【典例1】（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【答案】 【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 【变式1-1】（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的上面、正面、左面看到的形状图，则这个几何体是用________个小立方块搭成的． 【答案】 【分析】此题主要考查根据从不同方向看到的几何体的形状判断几何体．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看至少有多少个小立方块，综合考虑即可解答本题． 【详解】解：从上面看底层有6个小立方块， 从正面和左面看共有2层，第2层只有1个小立方块，如图， 则这个几何体是用个小立方块搭成的． 故答案为：． 【变式1-2】（2022·河南信阳·模拟预测）如图所示的个正方体组成的几何体，从左面看到的形状图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从左面看到的形状图是选项D中图形． 【变式1-3】（25-26七年级上·四川眉山·期中）用若干大小相同的小正方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．如果需要的小正方体个数最多为_______ 个，最少为_______个． 【答案】 13 9 【分析】本题考查从不同方向看几何体，灵活运用所给的图形并发挥空间想象力是关键． 以从上面看的图作为基准，结合从正面看的图，逐块分析小正方体堆叠情况． 【详解】解：以从上面看的图作为基准，小正方体最多的情况如下： 一共需要个， 小正方体最少的情况如下： 一共需要个． 故答案为：13；9． ▌题型02 判断截面形状 技巧1：正方体6个面，截面最多六边形；最少三角形（平面只切3个面）； 技巧2：球体无论怎么切，截面永远是圆； 技巧3：圆柱平行底面切→圆；垂直底面切→长方形；斜着切→椭圆； 技巧4：圆锥平行底面切→小圆；过顶点竖直切→等腰三角形；斜切不过顶点→椭圆； 技巧5：正方体截不出直角三角形、钝角三角形，只能是锐角三角形。 【典例2】（2026·陕西榆林·模拟预测）用一个平面去截如图所示的正方体，得到的截面形状不可能是（   ） A．三角形 B．圆 C．正方形 D．矩形 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截的正方体，可以得到三角形，正方形，矩形， ∴截面形状不可能是圆 ． 【变式2-1】（23-24六年级上·山东烟台·阶段检测）给出下列几何体：①长方体；②圆柱；③三棱锥；④圆锥；⑤球体．用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是（   ） A．①②③④ B．①③④ C．②⑤ D．①③ 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是长方体；三棱锥；圆锥． 即截面的形状可能是三角形的是①③④． 【变式2-2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期中）一个圆柱体的高为，底面半径为，用一个平面截这个圆柱体，若截面是长方形，则这个长方形面积最大为______． 【答案】 【分析】本题考查了求解圆柱体截面面积，由题意可知垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大，得出过底面圆直径且垂直于底面的截面为最大的长方形是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大， 此时截得长方形的面积， 故答案为：． 【变式2-3】（22-23七年级上·全国·期末）用平面截几何体可得到平面图形，在表示几何体的字母后填上它可截出的平面图形的号码． 如A（1、5、6）；则B( )；C( )；D( )；E ( )． 【答案】 1、3、4 1、2、3、4 5 3、5、6 【分析】截面的形状既与被截得几何体的形状有关，还与截面的角度和方向有关，此题需要展开空间想象力分别分析，最好的话还可以动手操作一下即可做出判断． 【详解】解：B几何体为三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形； C几何体为正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形； D几何体为球体，截面只可能是圆； E几何体为圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形， 因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）． ▌题型03 由截面形状判断几何体 技巧1：截面是圆 ① 只有含曲面的几何体才能切出圆：球、圆柱、圆锥； ② 正方体/长方体全是平面，永远截不出圆形，看到截面有圆直接排除正方体、长方体。 细分：• 任意切都是圆 → 球体 • 平行底面切才是圆 → 圆柱、圆锥 技巧2：截面是三角形 ① 能截出三角形：正方体、长方体、圆锥（过顶点竖切）； ② 绝对截不出三角形：圆柱、球体（直接排除）； 补充：正方体只能截锐角三角形，无直角、钝角三角形。 技巧3：截面是长方形/正方形 ① 可截出：正方体、长方体、圆柱（竖直切）； ② 截不出长方形：球、圆锥。 技巧4：截面是梯形 ① 可截出：正方体、长方体； ② 截不出梯形：球、圆柱、圆锥。 技巧5：截面是五边形、六边形 只有正方体、长方体可以截出；圆柱、圆锥、球体最多只到椭圆/圆，不可能出现五、六边形。 技巧6：截面是椭圆 圆柱斜切、圆锥斜切可得；正方体、长方体、球体切不出椭圆。 【典例3】（25-26七年级上·河南驻马店·期末）用平面截一个几何体，得到的截面是一个三角形，这个几何体可能是__________写出一个即可． 【答案】正方体（答案不唯一） 【分析】本题考查截一个几何体的知识，需结合常见几何体的结构特征，分析可截出三角形截面的几何体． 【详解】解：当用平面经过正方体的三个相邻面时，所得的截面为三角形，除此之外，圆锥、三棱柱等几何体也能被平面截得三角形截面， 故答案为：正方体（答案不唯一）． 【变式3-1】（21-22七年级上·陕西西安·期末）用一个平面去截一个几何体，截面形状为四边形，则这个几何体不可能为（   ） A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 【答案】C 【分析】首先明确各类几何体的结构特征，再根据平面截几何体的不同角度和位置，判断能否得到四边形截面，如果平面与几何体的面相交的数量，那么可能截出四边形，据此分析每个选项． 【详解】∵ 用平面截长方体，可以得到四边形截面，∴ A不符合要求； ∵ 用平面沿垂直于底面方向截圆柱，可以得到四边形截面，∴ B不符合要求； ∵ 圆锥无论用平面以任何角度截取，都只能得到三角形，圆，椭圆或抛物线等，不可能得到四边形，∴ C符合要求； ∵ 用平面截三棱柱，可以得到四边形截面，∴ D不符合要求． 【变式3-2】（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）用一个平面去截一个几何体，截面形状为三角形，则这个几何体可能为（   ） ①圆锥；②圆柱；③长方体；④正三棱柱 A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．①② 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的截面形状， 明确不同几何体被平面截取时的截面可能性（结合截面的角度、方向） 是解题的关键． 判断每个几何体是否可能被平面截出三角形截面，即可确定正确选项． 【详解】 ①圆锥：用一个平面通过顶点切割，截面可为三角形； ②圆柱：无论平面如何截取，截面都不可能为三角形； ③长方体：用一个平面切割一个角，截面可为三角形； ④正三棱柱：用一个平面平行于底面或适当角度切割，截面可为三角形； ∴ 可能的有①③④． 故选：B． 【变式3-3】（25-26七年级上·安徽宿州·期中）用一个平面去截几何体，截面形状既能是三角形，又能是圆，则这个几何体可能是（   ） A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．正六棱柱 【答案】A 【分析】本题考查几何体的截面性质．圆锥的截面可以是三角形（当平面通过顶点时）或圆（当平面平行于底面时），而其他选项的截面不能同时出现三角形和圆． 【详解】解：选项A，圆锥的截面通过顶点且与底面相交时，截面为三角形；当平面平行于底面时，截面为圆，符合题意； 选项B，圆柱的截面不能是三角形，不符合题意； 选项C，球的截面只能是圆或点，不能是三角形，不符合题意； 选项D，正六棱柱的截面不能是圆，不符合题意． 故选A． ▌题型04 由截面求周长 【典例4】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，正三棱柱的底面周长为，截去一个底面周长为的正三棱柱，截面的形状是________，截后剩下的几何体的底面周长为________． 【答案】 长方形 8 【分析】本题主要考查了截一个几何体，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形．根据题意可得截后剩下的几何体的底面是等腰梯形，，，进而得出截后剩下的几何体的底面周长． 【详解】解：由题可得，截面的形状为长方形； 截后剩下的几何体的底面是等腰梯形， 如图， 由题意得是周长为的等边三角形，是周长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即截后剩下的几何体的底面周长为． 故答案为：长方形；8． 【变式4-1】（2024·山东青岛·一模）已知一个棱长为15的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和最少为______．    【答案】368 【分析】本题考查了正方体的特征，正确理解截一个几何体后的图形是本题的解题关键． 根据截去小正方体后棱长变化求出棱长和，再分析当棱长为7和棱长为8的小正方形相邻时，棱长和最少，计算求出即可． 【详解】∵在每个顶点处截去一个小正方体，原正方体棱数会多9，原正方体棱长和多出6个小正方体棱长， ∴八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体后， 棱长和为：， 当棱长为7和棱长为8的小正方形相邻时，棱长和最少， 由于重合总棱长的和相当于少4个长为7的棱长， ∴最少棱长和为：， 故答案为：368． 【变式4-2】（25-26七年级上·江西景德镇·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是____________棱柱，共有____________个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是____________；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形． (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六；8 (2)①②③ (3) 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． ▌题型05 由截面求面积 【典例5】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图所示的圆柱，它的底面半径为，高为． (1)该圆柱的截面有几种不同的形状？ (2)你能截出截面最大的长方形吗？如果能，请求出截得的最大的长方形的面积为多少？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)该圆柱的截面有以下4种不同的形状 (2)能，截得的最大的长方形的面积为 【分析】本题考查了几何体的截面，圆柱的特点，熟练掌握截面性质是解题的关键． （1）根据截几何体的方法解答即可； （2）以直径为宽，高为长截一个长方形即可． 【详解】（1）解：该圆柱的截面有以下4种不同的形状，如图①所示． （2）解：能．过两底面圆的直径的长方形截面的面积最大，如图②所示． 此时长方形的面积为， 故截得的最大的长方形的面积为． 【变式5-1】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图所示，长方形的长为，宽为． (1)把长方形绕边所在的直线旋转一周，则旋转后的几何体是______． (2)若用平面沿方向去截所得的几何体，所得截面形状是______． (3)求截面的最大面积． 【答案】(1)圆柱 (2)长方形 (3) 【分析】本题主要考查的是截一个几何体，点、线、面、体，掌握图形的空间结构是解题关键． （1）长方形绕直线旋转一周得到一个圆柱体； （2）用平面沿方向截得的几何体的截面形状是长方形， （3）沿线段的方向截所得的几何体的中轴截面最大． 【详解】（1）解：根据题意可知，把长方形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：因为把长方形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 所以用平面沿方向截得的几何体的截面形状是长方形， 故答案为：长方形； （3）解：圆柱的底面半径为，高为， ∴截面的最大面积为：． 【变式5-2】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）如图是一张长方形纸片，长为，长为． (1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是______； (2)若将这个长方形纸片绕边所在直线旋转一周，这个几何体的体积为______ (3)若用平面沿方向去截所得的几何体，求截面的最大面积． 【答案】(1)圆柱 (2)或 (3)24平方厘米 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． （1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解． （2）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高或，高，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． （3）根据轴截面的面积最大可得答案． 【详解】（1）解：将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱． （2）解：当长方形绕它的宽旋转时： 所得圆柱的底面半径，高， （） ． 当长方形绕它的长旋转时： 所得圆柱的底面半径，高， （） ． （3）解：圆柱的底面半径为，高为， ∴截面的最大面积为：（平方厘米）， 或圆柱的底面半径为，高为， ∴截面的最大面积为：（平方厘米）， 答：截面的最大面积是24平方厘米． 【变式5-3】（24-25六年级上·山东烟台·期中）三棱柱的上、下底面都是完全相同的三角形，正三棱柱的上、下底面都是完全相同的等边三角形．如图，大正三棱柱的底面周长为11，侧棱长为8，在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱． (1)请写出截面的形状 ，并求出截面的面积； (2)请直接写出四边形的周长 ． 【答案】(1)长方形，8 (2)10 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意即可得出截面的形状为长方形；由题意得出，再根据长方形面积公式计算即可得解； （2）由题意可得，，再列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：截面的形状为长方形； ∵在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱， ∴， ∴截面的面积为； （2）解：由题意可得：，， ∴四边形的周长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项02 几何体的三视图与截面 （题型突破·举一反三） 【典例1】 【答案】 【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 【变式1-1】 【答案】 【分析】此题主要考查根据从不同方向看到的几何体的形状判断几何体．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看至少有多少个小立方块，综合考虑即可解答本题． 【详解】解：从上面看底层有6个小立方块， 从正面和左面看共有2层，第2层只有1个小立方块，如图， 则这个几何体是用个小立方块搭成的． 故答案为：． 【变式1-2】 【答案】D 【详解】解：从左面看到的形状图是选项D中图形． 【变式1-3】 【答案】 13 9 【分析】本题考查从不同方向看几何体，灵活运用所给的图形并发挥空间想象力是关键． 以从上面看的图作为基准，结合从正面看的图，逐块分析小正方体堆叠情况． 【详解】解：以从上面看的图作为基准，小正方体最多的情况如下： 一共需要个， 小正方体最少的情况如下： 一共需要个． 故答案为：13；9． ▌题型02 判断截面形状 【典例2】 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截的正方体，可以得到三角形，正方形，矩形， ∴截面形状不可能是圆 ． 【变式2-1】 【答案】B 【详解】解：用一个平面去截它们，截面的形状可能是三角形的是长方体；三棱锥；圆锥． 即截面的形状可能是三角形的是①③④． 【变式2-2】 【答案】 【分析】本题考查了求解圆柱体截面面积，由题意可知垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大，得出过底面圆直径且垂直于底面的截面为最大的长方形是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，垂直于圆柱底面且经过底面圆直径所截得的长方形面积最大， 此时截得长方形的面积， 故答案为：． 【变式2-3】 【答案】 1、3、4 1、2、3、4 5 3、5、6 【分析】截面的形状既与被截得几何体的形状有关，还与截面的角度和方向有关，此题需要展开空间想象力分别分析，最好的话还可以动手操作一下即可做出判断． 【详解】解：B几何体为三棱锥，截面有可能是三角形，正方形，梯形； C几何体为正方体，截面有可能是三角形，四边形（矩形，正方形，梯形），五边形，六边形； D几何体为球体，截面只可能是圆； E几何体为圆柱体，截面有可能是椭圆，圆，矩形， 因此应该写B（1、3、4）；C（1、2、3、4）；D（5）；E（3、5、6）． 【典例3】 【答案】正方体（答案不唯一） 【分析】本题考查截一个几何体的知识，需结合常见几何体的结构特征，分析可截出三角形截面的几何体． 【详解】解：当用平面经过正方体的三个相邻面时，所得的截面为三角形，除此之外，圆锥、三棱柱等几何体也能被平面截得三角形截面， 故答案为：正方体（答案不唯一）． 【变式3-1】 【答案】C 【分析】首先明确各类几何体的结构特征，再根据平面截几何体的不同角度和位置，判断能否得到四边形截面，如果平面与几何体的面相交的数量，那么可能截出四边形，据此分析每个选项． 【详解】∵ 用平面截长方体，可以得到四边形截面，∴ A不符合要求； ∵ 用平面沿垂直于底面方向截圆柱，可以得到四边形截面，∴ B不符合要求； ∵ 圆锥无论用平面以任何角度截取，都只能得到三角形，圆，椭圆或抛物线等，不可能得到四边形，∴ C符合要求； ∵ 用平面截三棱柱，可以得到四边形截面，∴ D不符合要求． 【变式3-2】 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的截面形状， 明确不同几何体被平面截取时的截面可能性（结合截面的角度、方向） 是解题的关键． 判断每个几何体是否可能被平面截出三角形截面，即可确定正确选项． 【详解】 ①圆锥：用一个平面通过顶点切割，截面可为三角形； ②圆柱：无论平面如何截取，截面都不可能为三角形； ③长方体：用一个平面切割一个角，截面可为三角形； ④正三棱柱：用一个平面平行于底面或适当角度切割，截面可为三角形； ∴ 可能的有①③④． 故选：B． 【变式3-3】 【答案】A 【分析】本题考查几何体的截面性质．圆锥的截面可以是三角形（当平面通过顶点时）或圆（当平面平行于底面时），而其他选项的截面不能同时出现三角形和圆． 【详解】解：选项A，圆锥的截面通过顶点且与底面相交时，截面为三角形；当平面平行于底面时，截面为圆，符合题意； 选项B，圆柱的截面不能是三角形，不符合题意； 选项C，球的截面只能是圆或点，不能是三角形，不符合题意； 选项D，正六棱柱的截面不能是圆，不符合题意． 故选A． ▌题型04 由截面求周长 【典例4】 【答案】 长方形 8 【分析】本题主要考查了截一个几何体，截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形．根据题意可得截后剩下的几何体的底面是等腰梯形，，，进而得出截后剩下的几何体的底面周长． 【详解】解：由题可得，截面的形状为长方形； 截后剩下的几何体的底面是等腰梯形， 如图， 由题意得是周长为的等边三角形，是周长为的等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 即截后剩下的几何体的底面周长为． 故答案为：长方形；8． 【变式4-1】 【答案】368 【分析】本题考查了正方体的特征，正确理解截一个几何体后的图形是本题的解题关键． 根据截去小正方体后棱长变化求出棱长和，再分析当棱长为7和棱长为8的小正方形相邻时，棱长和最少，计算求出即可． 【详解】∵在每个顶点处截去一个小正方体，原正方体棱数会多9，原正方体棱长和多出6个小正方体棱长， ∴八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体后， 棱长和为：， 当棱长为7和棱长为8的小正方形相邻时，棱长和最少， 由于重合总棱长的和相当于少4个长为7的棱长， ∴最少棱长和为：， 故答案为：368． 【变式4-2】 【答案】(1)六；8 (2)①②③ (3) 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． ▌题型05 由截面求面积 【典例5】 【答案】(1)该圆柱的截面有以下4种不同的形状 (2)能，截得的最大的长方形的面积为 【分析】本题考查了几何体的截面，圆柱的特点，熟练掌握截面性质是解题的关键． （1）根据截几何体的方法解答即可； （2）以直径为宽，高为长截一个长方形即可． 【详解】（1）解：该圆柱的截面有以下4种不同的形状，如图①所示． （2）解：能．过两底面圆的直径的长方形截面的面积最大，如图②所示． 此时长方形的面积为， 故截得的最大的长方形的面积为． 【变式5-1】 【答案】(1)圆柱 (2)长方形 (3) 【分析】本题主要考查的是截一个几何体，点、线、面、体，掌握图形的空间结构是解题关键． （1）长方形绕直线旋转一周得到一个圆柱体； （2）用平面沿方向截得的几何体的截面形状是长方形， （3）沿线段的方向截所得的几何体的中轴截面最大． 【详解】（1）解：根据题意可知，把长方形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 故答案为：圆柱； （2）解：因为把长方形绕边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 所以用平面沿方向截得的几何体的截面形状是长方形， 故答案为：长方形； （3）解：圆柱的底面半径为，高为， ∴截面的最大面积为：． 【变式5-2】 【答案】(1)圆柱 (2)或 (3)24平方厘米 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． （1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解． （2）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高或，高，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． （3）根据轴截面的面积最大可得答案． 【详解】（1）解：将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱． （2）解：当长方形绕它的宽旋转时： 所得圆柱的底面半径，高， （） ． 当长方形绕它的长旋转时： 所得圆柱的底面半径，高， （） ． （3）解：圆柱的底面半径为，高为， ∴截面的最大面积为：（平方厘米）， 或圆柱的底面半径为，高为， ∴截面的最大面积为：（平方厘米）， 答：截面的最大面积是24平方厘米． 【变式5-3】 【答案】(1)长方形，8 (2)10 【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意即可得出截面的形状为长方形；由题意得出，再根据长方形面积公式计算即可得解； （2）由题意可得，，再列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：截面的形状为长方形； ∵在大正三棱柱中截取了一个底面周长为3的小正三棱柱， ∴， ∴截面的面积为； （2）解：由题意可得：，， ∴四边形的周长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $