第2章 有理数章节复习（12题型+高效培优讲义）数学新教材苏科版七年级上册

该初中数学有理数章节复习讲义以知识点模块为框架，通过表格梳理教学目标与重难点，系统呈现正数负数、有理数概念、数轴等核心知识，结合即学即练夯实基础，清晰构建知识内在联系与重点难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，题型覆盖正负数实际应用（如身高记录）、绝对值非负性等，通过典例与变式培养抽象能力和运算能力。综合题如股票涨跌问题提升推理意识，帮助不同层次学生巩固基础或拓展思维，助力教师精准教学。

第2章 有理数章节复习 教学目标 1.理解有理数概念：借助生活实例理解正、负数意义，能用正负数表示相反意义的量；掌握数轴、绝对值、相反数等核心概念。 2.掌握运算法则：熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算，理解运算律并能灵活运用简化运算。 3.发展数学思维：初步体会数形结合（数轴）、分类讨论等数学思想，提升运算能力与代数推理能力。 教学重难点 教学重点 1. 有理数的概念及数轴、绝对值、相反数的理解与应用。 2. 有理数运算法则（尤其是符号法则）的掌握，以及混合运算中运算顺序与运算律的合理运用。 教学难点 1. 负数概念的建立，及绝对值、相反数等抽象概念的理解；有理数运算中符号的准确判断与处理。 2. 从算术思维过渡到代数思维，理解有理数运算与小学运算的一致性（先定符号，再算绝对值）。 知识点01 正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的横线上． 15，，0，，，，，，． （1）正数：________． （2）负数：________． 知识点02 有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）请把下列各数填入相应的集合中 ，5.2，0，，，﹣22，，2005，﹣0.030030003… 正数集合：{________________…}； 分数集合：{________________…}； 非负整数集合：{________________…}； 有理数集合：{________________…}． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 负整数集合：{_________}； 非负数集合：{_________}； 正分数集合：{_________}； 负分数集合：{_________}． 知识点03 数轴、相反数、绝对值 1.数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：所有的有理数都可以在数轴上表示，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 2.相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 3.绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）如图，在数轴上，如果点D表示的数是25，那么点A表示的数是 ______． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）的相反数是______． 3．（25-26七年级上·广西桂林·期末）若，则______． 知识点04 有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。两个负数比较时，绝对值大的反而小。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）比较大小：0___________0.01，___________（填“<”“>”或“=”） 知识点05 有理数的运算 1.法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【即学即练】 1.（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点06 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 【即学即练】 1，（2026·江苏徐州·模拟预测）据徐州市地铁运营有限公司统计，2026年3月我市地铁日均客流约为45万人次．将数据45万用科学记数法表示为_______． 题型01 正负数的实际应用 【典例1】（24-25六年级上·广西防城港·开学考试）以聪聪的身高为标准，高于的记作正，低于的记作负，城城的身高记为，芳芳的身高记为，则三个小朋友的平均身高是（     ）． A．152 B．154 C．147 D．151 【变式1】（2026·山西临汾·三模）如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出（     ） A．价 B．价 C．价 D．价 【变式2】（2026·辽宁铁岭·二模）某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 【变式3】（2026·福建厦门·三模）中国古代很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用红色和黑色的算筹分别表示正数和负数，依此规则，根黑色算筹表示的数是________． 题型02 有理数的分类 【典例2】（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）在数：，，，，，，，，，，中 负有理数有：_________________； 非负整数有：___________________； 分数有________________________． 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期中）把下列各数填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧． 非负整数集合{___________}． 正数集合{___________}． 负分数集合{___________}． 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的表示集合的大括号里： ①3，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧． (1)正数集合：｛__________…｝； (2)负分数集合：｛__________…｝； (3)非负整数集合：｛__________…｝； (4)负有理数集合：｛__________…｝． 题型03 求一个数的绝对值、相反数、倒数 【典例3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）的相反数是________，绝对值是________． 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）的绝对值是______，相反数是______． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）的倒数是_____；_____没有倒数． 【变式3】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）的倒数是______，的倒数是______；的倒数的相反数是______． 题型04 绝对值的非负性 【典例4】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【变式1】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【变式3】（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）若，分别求，，的值． 题型05 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【典例5】（2026·陕西西安·三模）如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 【变式1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，数轴上的点、分别表示数、，则_______．（填“”或“”）． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：_______．（填，或） 【变式3】（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 题型06 有理数的大小比较 【典例6】（26-27六年级上·上海金山·开学考试）在25%、0、、0.5、五个数中，最小的数是______． 【变式1】（25-26六年级上·上海·期中）比较大小，在横线上填“”，“=”或“”． （1）___________0.67；（2）___________． 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【变式3】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）比较大小： （1）_________； （2）_________； 题型07 用科学记数法表示较大的数 【典例7】（25-26八年级下·重庆·期末）月日，记者从重庆市教委获悉，本年度全市初中毕业生约有人，请用科学记数法表示该数是____________． 【变式1】（25-26七年级下·江苏徐州·期末）“五一”假期我市重点景区共接待游客约2460000人次，将2460000用科学记数法可表示为_______． 【变式2】（2026·甘肃天水·模拟预测）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为________． 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长．县域乡村活动丰富，舞龙舞狮、村晚、音乐节、“村界杯”足球赛等轮番上演，我市某重点景区单日接待游客超人次，数据用科学记数法表示为________． 题型08 用数轴上的点表示有理数 【典例8】（25-26七年级上·广西钦州·期中）根据数轴，回答下列问题： (1)数轴上点 A，B，C，D，E分别表示下列哪些数?填一填： A： ，B： ， C： ， D： ， E： ． (2)用“>”将数轴上表示的数连接起来． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，． 【变式3】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）如图，点在数轴上，点由点向左平移6个单位长度得到． (1)点在数轴上表示的数为______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来． ，，0． 题型09 有理数的混合运算 【典例9】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 【变式3】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）计算： (1) (2) (3) 题型10 有理数的混合运算中错解复原问题 【典例10】（25-26七年级上·广东深圳·期中）计算： (1)． (2)阅读计算： 解：原式，    第一步         第二步     第三步 ①开始出现错误的是第_____步；错误的原因是_____． ②请写出这个计算题的正确解题步骤． 【变式1】（25-26七年级上·河北承德·期中）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）一道习题及其错误的解答过程如下表： 计算：． 解： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)请指出在第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程： (3)计算： 【变式3】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解：原式    第一步     第二步 ．．．．．第三步 该过程在第___________步开始出现错误；选择你喜欢的方法写出正确的解答过程； （2）计算：． 题型11 有理数的混合运算中应用问题 【典例11】（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ (3)小强爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税．如果小强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【变式2】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我国、新能源汽车产量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以为标准，多于的部分记为正，不足的部分记为负，刚好的记为零． 第n天 1 2 3 4 5 6 7 路程 (1)这7天里第3天走的路程是 ，路程最多的一天比最少的一天多走 ； (2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少？ 【变式3】（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）某通讯公司开设了两种通讯业务如下： 一、使用“全球通”手机卡用户电话费计费标准：每月月租费50元，接听和打出每分钟另需付通话费均为0.4元； 二、使用“神州行”手机卡用户电话费计费标准：不缴月租费，接听和打出每分钟通话费均为0.6元． 根据以上信息： (1)张华每月平均通话时间是150分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ (2)陈烨每月平均通话时间是300分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ 题型12 有理数的混合运算中新定义型问题 【典例12】（2024七年级上·全国·专题练习），为有理数，如果规定一种新的运算“”，定义，请根据“”的定义计算下列各题． (1)； (2)． 【变式1】（25-26七年级上·湖北荆州·期中）定义新运算：，例如，，求下列各式的值． (1) (2)． 【变式2】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）定义一种新运算：，例如：，求下列各式的值： (1)； (2) 【变式3】（25-26七年级上·广西钦州·阶段检测）新定义运算：．例：． 求： (1)的值； (2)的值． 一、单选题 1．（2026·西藏拉萨·模拟预测）的相反数是（     ） A． B．2026 C． D． 2.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列选项中的数，是负数的为（     ） A． B．2.3 C．0 D． 3．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 4．（25-26七年级上·山东德州·期中）某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 二、填空题 5．（25-26七年级下·福建福州·阶段检测）如图，数轴上的点表示的数是______． 6．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）某日，北京的温度是，武汉的温度是，北京的温度比武汉的温度( )．（填“高”或“低”） 7．（第2章4有理数的乘方-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步练测配套教师用书（北师大版2024））在，，，，中，负有理数有_____个． 8．（25-26七年级上·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的括号内. 整数有：                     ……… 正数有：                     ……… 负分数有：                     ……… 三、解答题 9.（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）计算： (1) (2) 10．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 11.（25-26七年级上·重庆·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． (2)在数轴上表示下列各数，其中非负整数是___________． 12．（25-26七年级上·河北张家口·期末）蔚州贡米是河北蔚县的特产，中国国家地理标志产品，也是古代“四大贡米”之一，已知某品牌贡米的包装上标明重量为“”，重量范围内则为重量合格品，超出重量范围则为重量不合格品．今抽查10袋该品牌贡米，每袋的标准重量是，超出部分记为正，统计成下表． 贡米的袋数 2 3 3 1 1 每袋重量与标准的差值/g 0 (1)求所抽查的10袋贡米的合格率； (2)求这10袋贡米平均每袋的重量． 1、 单选题 1.（25-26七年级上·安徽淮南·期中）在中，是正数的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025七年级上·全国·专题练习）如果对于任意两个非零有理数a、b定义运算如下：则的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 7．（25-26七年级上·福建福州·期中）桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 8．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）已知：，，．如果，则______． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）把下列各数分别填入相应的括号内． ． 正数：{________…}； 负数：{________…}； 整数：{________…}； 分数：{________…}． 10．（2026·安徽合肥·模拟预测）某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定最优会议室所在楼层时，需考虑到使所有参会人员到会议室爬楼的距离之和最短． （1）最优会议室放在__________层； （2）现要在1-5层的某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到__________层． 三、解答题 11．（26-27七年级·上海·小升初衔接）计算： (1) ． (2)； 12．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 13．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 14．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油，求总耗油量； (3)计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 15．（26-27七年级上·上海·开学考试）介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表．（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢6 0 下车人数 ﹣ 0 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是__________，无人下车的站是__________． (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有（    ）名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有（   ）名乘客． (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数章节复习 教学目标 1.理解有理数概念：借助生活实例理解正、负数意义，能用正负数表示相反意义的量；掌握数轴、绝对值、相反数等核心概念。 2.掌握运算法则：熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算，理解运算律并能灵活运用简化运算。 3.发展数学思维：初步体会数形结合（数轴）、分类讨论等数学思想，提升运算能力与代数推理能力。 教学重难点 教学重点 1. 有理数的概念及数轴、绝对值、相反数的理解与应用。 2. 有理数运算法则（尤其是符号法则）的掌握，以及混合运算中运算顺序与运算律的合理运用。 教学难点 1. 负数概念的建立，及绝对值、相反数等抽象概念的理解；有理数运算中符号的准确判断与处理。 2. 从算术思维过渡到代数思维，理解有理数运算与小学运算的一致性（先定符号，再算绝对值）。 知识点01 正数和负数 正数：大于0的数叫做正数。正数表示具有某种量的增加或上升等意义。 负数：在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。负数表示与正数相反意义的量，如减少、下降等。 0：0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）把下列各数填在相应的横线上． 15，，0，，，，，，． （1）正数：________． （2）负数：________． 【答案】 15，，， ，，， 【分析】本题侧重考查的是有理数，掌握有理数定义及其分类是解决此题的关键． （1）根据正数大于0即可判断； （2）根据负数小于0即可判断． 【详解】解：（1）正数：15，0.15，，； 故答案为：15，0.15，，； （2）负数：，，，； 故答案为：，，，． 知识点02 有理数的概念 定义：整数和分数统称为有理数。有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分母不为0。 分类： 整数：包括正整数、0和负整数。 分数：包括正分数和负分数。注意，有限小数和无限循环小数也可以看作分数。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）请把下列各数填入相应的集合中 ，5.2，0，，，﹣22，，2005，﹣0.030030003… 正数集合：{________________…}； 分数集合：{________________…}； 非负整数集合：{________________…}； 有理数集合：{________________…}． 【答案】 ，5.2，，，2005 ，5.2，， 0，2005 ，5.2，0，，﹣22，，2005 【分析】根据正数的意义，分数包括分数、有限小数、无限循环小数，非负整数包括正整数和0，有理数是整数和分数的统称，根据以上内容判断即可． 【详解】正数集合：{，5.2，，，2005，…} 分数集合：{，5.2，，，…} 非负整数集合：{0，2005，…} 有理数集合{，5.2，0，，﹣22，，2005，…}， 故答案为：，5.2，，，2005；，5.2，，；0，2005；，5.2，0，，﹣22，，2005． 【点睛】本题考查了对分数，非负数，有理数，正数等知识点的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）把下列各数分别填入相应的大括号里： ，，，，，，，． 负整数集合：{_________}； 非负数集合：{_________}； 正分数集合：{_________}； 负分数集合：{_________}． 【答案】，；，，，，；，； 【分析】本题考查了负整数、非负数、正分数、负分数的定义，根据多重符号化简，绝对值化简，有理数乘方运算再根据定义即可求解，解题的关键是熟悉负整数、非负数、正分数、负分数的定义，熟练掌握此题的特点并能熟练运用． 【详解】解：，，，， 根据有理数的分类及定义有： 负整数集合：{， }； 非负数集合：{，，，， }； 正分数集合：{， }； 负分数集合：{， }； 故答案为：，；，，，，；，；． 知识点03 数轴、相反数、绝对值 1.数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 点与数的对应关系：所有的有理数都可以在数轴上表示，反之亦然。正数对应数轴原点右侧的点，负数对应数轴原点左侧的点，0对应原点。 应用：数轴可以用来比较有理数的大小，右边的数总比左边的数大。此外，数轴还可以用来表示有理数的加减运算结果等。 2.相反数 定义：只有符号不同的两个数叫做相反数。例如，5和-5是相反数。 性质：任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。0的相反数是0。 求法：求一个数的相反数，只需改变这个数前面的符号。 3.绝对值 定义：数轴上表示数a的点离开原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 性质：正数的绝对值是它本身。负数的绝对值是它的相反数。0的绝对值是0。 应用：绝对值在有理数的运算、比较大小等方面有重要应用。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）如图，在数轴上，如果点D表示的数是25，那么点A表示的数是 ______． 【答案】 【分析】观察数轴可知，原点到点之间平均分成5份，已知点表示，可求出每份的长度，再根据点在原点左侧份处，即可确定点表示的数． 【详解】解：由数轴可知，原点到点之间平均分成5份， 因为点表示的数是， 所以每份的长度为， 因为点在原点左侧，且距离原点份， 所以点表示的数为． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）的相反数是______． 【答案】0.4/ 【详解】解：的相反数是． 3．（25-26七年级上·广西桂林·期末）若，则______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义，掌握该知识点是解题的关键． 根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此当绝对值等于一个正数时，该数可以是正数或负数． 【详解】解：由绝对值的性质，若（其中），则或． 本题中， 所以或． 故答案为：． 知识点04 有理数的大小比较 利用数轴：在数轴上表示有理数，右边的数总比左边的数大。 利用法则：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。两个负数比较时，绝对值大的反而小。 【即学即练】 1．（25-26七年级上·山东德州·期中）比较大小：0___________0.01，___________（填“<”“>”或“=”） 【答案】 【分析】根据有理数大小比较法则，正数大于0，负数小于正数，据此比较即可． 【详解】解：比较和， ∵是正有理数，正有理数都大于， ∴； ∵是负有理数，是正有理数，负有理数小于一切正有理数， ∴． 知识点05 有理数的运算 1.法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0． （4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0． (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2．运算律： （1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a； ②乘法交换律:ab=ba； （2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab）c=a(bc) （3）分配律：a(b+c)=ab+ac 【即学即练】 1.（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 知识点06 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），此种记法叫做科学记数法． 【即学即练】 1，（2026·江苏徐州·模拟预测）据徐州市地铁运营有限公司统计，2026年3月我市地铁日均客流约为45万人次．将数据45万用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将45万转换为普通整数，再根据科学记数法的规则确定和的值即可． 【详解】解：万． 题型01 正负数的实际应用 【典例1】（24-25六年级上·广西防城港·开学考试）以聪聪的身高为标准，高于的记作正，低于的记作负，城城的身高记为，芳芳的身高记为，则三个小朋友的平均身高是（     ）． A．152 B．154 C．147 D．151 【答案】D 【分析】明确正负数表示与标准身高的差值，计算两人实际身高后求三人平均身高． 【详解】解：城城的身高为，芳芳的身高为， 三人平均身高为． 【变式1】（2026·山西临汾·三模）如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出（     ） A．价 B．价 C．价 D．价 【答案】C 【分析】根据题干给出的化合价与得失电子的关系推导即可． 【详解】解：如果A元素的一个原子在化学反应中得到两个电子会在化合价上体现出价，那么B元素的一个原子在化学反应中失去三个电子会在化合价上体现出价． 【变式2】（2026·辽宁铁岭·二模）某工厂加工一种精密零件，图纸上标明该零件的标准直径是，超过标准直径记为正，不足标准直径记为负．现检验员抽检一个零件，测得直径相对标准的误差为，则该零件的实际直径是______． 【答案】29.92 【详解】解：由题意可得，该零件的实际直径为：． 【变式3】（2026·福建厦门·三模）中国古代很早就开始使用负数．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用红色和黑色的算筹分别表示正数和负数，依此规则，根黑色算筹表示的数是________． 【答案】 【分析】由题意可知：红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，据此解答即可． 【详解】解：根据题意，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，因此根黑色算筹表示的数是． 题型02 有理数的分类 【典例2】（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）在数：，，，，，，，，，，中 负有理数有：_________________； 非负整数有：___________________； 分数有________________________． 【答案】 ，，，，， ， ，，，，， 【分析】本题主要考查有理数的分类，化简绝对值，有理数的乘方．根据正有理数、负有理数、整数、负分数的定义解答即可． 【详解】解：，， 负有理数有：，，，，，； 非负整数有：，； 分数有：，，，，，． 故答案为：，，，，，；，；，，，，，． 【变式1】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）把下面各数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开）： ，，，，，，，，． 负整数集合{______________…} 整数集合{______________…} 正分数集合{______________…} 非负整数集合{______________…} 有理数集合{______________…} 【答案】 见解析 【分析】根据整数，正分数，非负整数，有理数的定义进行分类，需注意是无限不循环小数，不属于有理数，解题时先化简各待分类的数，再根据定义分类． 【详解】解：先化简各数，可得 ，，， 因此按定义分类如下： 负整数集合{，……}， 整数集合{，，，，……}， 正分数集合{，……}， 非负整数集合{，，……}， 有理数集合{，，，，，，，……}． 【变式2】（25-26七年级上·浙江台州·期中）把下列各数填在相应的大括号里（填序号）： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧． 非负整数集合{___________}． 正数集合{___________}． 负分数集合{___________}． 【答案】 非负整数集合； 正数集合； 负分数集合． 【分析】此题考查了有理数的分类，熟练掌握非负整数、正数、负分数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：，，， 【变式3】（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）把下列各数的序号填在相应的表示集合的大括号里： ①3，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧． (1)正数集合：｛__________…｝； (2)负分数集合：｛__________…｝； (3)非负整数集合：｛__________…｝； (4)负有理数集合：｛__________…｝． 【答案】(1)①⑤⑥⑦⑧； (2)④； (3)①③⑦； (4)②④． 【分析】本题主要考查有理数的乘方，有理数分类，相反数，绝对值，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）先将各数化简，然后根据正数的定义判断选择即可； （2）既是分数又是负数的数是负分数； （3）正整数和零是非负整数； （4）分数和整数统称有理数，既是有理数又是负数为负有理数． 【详解】（1）解：，，， 正数集合：①3，⑤，⑥，⑦，⑧ 故答案为：①⑤⑥⑦⑧； （2）解：负分数集合：④； 故答案为：④； （3）解：非负整数集合：①3，③0，⑦ 故答案为：①③⑦； （4）解：负有理数集合：②，④ 故答案为：②④． 题型03 求一个数的绝对值、相反数、倒数 【典例3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）的相反数是________，绝对值是________． 【答案】 【分析】本题考查了相反数及绝对值的定义，关键是根据定义进行计算； 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数；根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：的相反数是，绝对值是； 故答案为：，. 【变式1】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）的绝对值是______，相反数是______． 【答案】 9 9 【分析】本题考查绝对值和相反数的概念，解题的关键是掌握绝对值的性质（负数的绝对值是它的相反数）和相反数的定义（和为0的两个数互为相反数）． 根据绝对值的性质求的绝对值，根据相反数的定义求的相反数． 【详解】解：根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数， 因为是负数，所以， 根据相反数的定义：若两个数的和为0，则这两个数互为相反数， 则的相反数为9． 故答案为：9；9． 【变式2】（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）的倒数是_____；_____没有倒数． 【答案】 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为的两个数互为倒数；没有倒数．根据倒数的定义直接作答即可． 【详解】解：， 的倒数是， 没有倒数，因为乘以任何数都等于，不等于． 故答案为：；． 【变式3】（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）的倒数是______，的倒数是______；的倒数的相反数是______． 【答案】 / // 【分析】本题考查了相反数与倒数的概念，相反数为相加为的两个数，倒数为乘积为的两个数，根据概念填空即可，正确的计算是解题的关键． 【详解】，， 的倒数是，的倒数是，的倒数是．的倒数的相反数是 故答案为：，，． 题型04 绝对值的非负性 【典例4】（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据绝对值的非负性和平方数的非负性，几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，， 得 ，， 解得 ，， 将，代入， 得： ． 【变式1】（25-26七年级上·四川绵阳·期末）如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃张掖·阶段检测）若，分别求，，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，正确掌握绝对值的非负性是解题的关键． 直接利用绝对值的非负性分析求解，即可解题． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 题型05 根据点在数轴上的位置判断式子的正负 【典例5】（2026·陕西西安·三模）如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，则______0．（填“”、“”、或者“”） 【答案】 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 【变式1】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，数轴上的点、分别表示数、，则_______．（填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，利用数轴可得，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ∴． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：_______．（填，或） 【答案】 【分析】本题考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，有理数的乘法法则，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出和的符号．由数轴可知，，，从而得到，，最后根据有理数的乘法法则即可得解． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中正确的是____． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根据数轴判断式子大小，相反数的意义，以及有理数的运算法则． 根据数轴得到，，进而逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴，，， 故正确的是①②④． 故答案为：①②④． 题型06 有理数的大小比较 【典例6】（26-27六年级上·上海金山·开学考试）在25%、0、、0.5、五个数中，最小的数是______． 【答案】 【分析】先将题目中的百分数和分数化为小数，再根据有理数大小比较法则判断各数大小，即可确定最小的数． 【详解】解：化简各数得：，， 根据有理数大小比较法则，可得， 即， 因此五个数中最小的数是． 【变式1】（25-26六年级上·上海·期中）比较大小，在横线上填“”，“=”或“”． （1）___________0.67；（2）___________． 【答案】 【分析】（1）将分数转化为小数后，按小数大小比较规则比较； （2）根据负数比较大小的规则，先比较两个数的绝对值，绝对值大的原数更小． 【详解】解：（1），， ； （2），，， ，即， ． 【变式2】（25-26七年级上·广东揭阳·阶段检测）比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据两个负数比较大小的规则，先计算两个数的绝对值，通分比较绝对值大小后即可得到原数的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵两个负数比较大小，绝对值大的数反而小， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）比较大小： （1）_________； （2）_________； 【答案】 【分析】（1）根据负数小于的性质直接判断； （2）先求两个负数的绝对值并通分比较大小，再根据绝对值大的负数反而小判断． 【详解】解：（1）∵负数都小于， ∴； （2）∵，，， ∴． 题型07 用科学记数法表示较大的数 【典例7】（25-26八年级下·重庆·期末）月日，记者从重庆市教委获悉，本年度全市初中毕业生约有人，请用科学记数法表示该数是____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】（25-26七年级下·江苏徐州·期末）“五一”假期我市重点景区共接待游客约2460000人次，将2460000用科学记数法可表示为_______． 【答案】 【详解】解：2460000用科学记数法表示为． 【变式2】（2026·甘肃天水·模拟预测）近年来我国电影行业发展迅速，电影《哪吒之魔童闹海》风靡全球．据统计，截至2025年5月底，其票房达到约150亿元．数字15000000000用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】（2026·江苏徐州·模拟预测）2026年春节假期，徐州市文旅市场迎来强劲增长．县域乡村活动丰富，舞龙舞狮、村晚、音乐节、“村界杯”足球赛等轮番上演，我市某重点景区单日接待游客超人次，数据用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】将整数表示为科学记数法，需满足形式，其中，为整数，等于原数的整数位数减． 【详解】解：科学记数法的标准形式为，其中，为整数. 原数是位整数， 因此，， 可得． 题型08 用数轴上的点表示有理数 【典例8】（25-26七年级上·广西钦州·期中）根据数轴，回答下列问题： (1)数轴上点 A，B，C，D，E分别表示下列哪些数?填一填： A： ，B： ， C： ， D： ， E： ． (2)用“>”将数轴上表示的数连接起来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，有理数的乘方运算，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，再结合数轴，进行分析，即可作答． （2）根据越在数轴的右边的数越大，进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 观察数轴，得， ， ， ； （2）解：观察数轴，得． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）在数轴上画出下列各点，它们分别表示：，，，，，． 【答案】如图即为所求． 【分析】根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可． 【详解】略 【变式2】（25-26七年级上·江苏徐州·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是． (1)在图中所示的数轴上标出原点O； (2)在图中所示的数轴上表示下列各数，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； (2) ，，， 数轴表示如下所示： 则． 【分析】（1）根据点A、B表示的数找出原点即可； （2）先化简，再把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 本题考查了有理数大小比较，数轴，相反数，绝对值和乘方，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）如图，点在数轴上，点由点向左平移6个单位长度得到． (1)点在数轴上表示的数为______； (2)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数连接起来． ，，0． 【答案】(1) (2) 数轴表示如下： 【分析】本题考查了绝对值，有理数的减法和乘方，在数轴上表示各数，以及利用数轴比较有理数大小，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）首先计算绝对值和乘方，然后在数轴表示出各数，然后用“”把这些数连接起来即可． 【详解】（1）∵点在数轴上，点由点向左平移6个单位长度得到 ∴ ∴点在数轴上表示的数为； （2），， ∴． 题型09 有理数的混合运算 【典例9】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解： ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·开学考试）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用加法结合律求解即可； （2）按照乘法分配律进行求解即可； （3）先计算乘方和绝对值，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型10 有理数的混合运算中错解复原问题 【典例10】（25-26七年级上·广东深圳·期中）计算： (1)． (2)阅读计算： 解：原式，    第一步         第二步     第三步 ①开始出现错误的是第_____步；错误的原因是_____． ②请写出这个计算题的正确解题步骤． 【答案】(1)； (2)①一，运算顺序错误； ②， 步骤： ． 【分析】本题考查有理数的混合运算，需注意运算顺序及符号处理，特别是负号与平方的位置． （1）先算乘方，再化简绝对值算乘法，最后加减； （2）①利用有理数的运算顺序找到错误原因； ②先算括号里面的，再做除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）①题目从第一步就出错了，应该先算括号里面的，再算除法； 故答案为：一，运算顺序错误； ②略 【变式1】（25-26七年级上·河北承德·期中）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：． 【答案】 （1）原解题步骤从第一步开始出现错误，错误的原因是运用乘法分配律时，各项的符号判断错误；正确的解答过程如下： 原式； （2）4 【分析】本题主要考查有理数的乘法分配律及含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）根据有理数的乘法分配律可进行求解； （2）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可． 【详解】解：（1）略 （2） ． 【变式2】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）一道习题及其错误的解答过程如下表： 计算：． 解： ……第一步 ……第二步 ．……第三步 (1)请指出在第_______步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程： (3)计算： 【答案】(1)一 (2) ； 解答过程： ； (3) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“有括号的先算括号里面的，再算乘方，然后算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右依次进行”． （1）根据运算过程进行判断即可； （2）根据乘法分配律进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：第一步开始出现错误，因为在去括号时，符号出现错误； 故答案为：一； （2）略 （3）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·河南濮阳·期中）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：． 解：原式    第一步     第二步 ．．．．．第三步 该过程在第___________步开始出现错误；选择你喜欢的方法写出正确的解答过程； （2）计算：． 【答案】（1）一；　（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）该过程在第一步开始出现错误，因为分配律应用时，第二个和第三个项应该乘以，而不是；正确运用乘法分配律计算可得； （2）先计算乘方，再算绝对值和括号里面的式子，接着算乘法，最后相加得． 【详解】解：（1）该过程在第一步开始出现错误； 正确解答过程： 原式 ； （2） ． 题型11 有理数的混合运算中应用问题 【典例11】（25-26六年级上·上海黄浦·开学考试）小强的爸爸炒股，上周末买进股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？ (3)小强爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时需付成交额的手续费和的交易税．如果小强爸爸在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)33 (2)34，24 (3)盈利了845.5元． 【分析】（1）从上周末买入价25元出发，依次累加周一、周二、周三三天的涨跌额，得到周三收盘时的每股价格； （2）根据正负数的意义结合表格数据求解即可； （3）收益卖出实际到手的钱买入总共花的钱，买卖都有手续费，卖出还要额外交税． 【详解】（1）解：星期三收盘时，每股是（元； （2）解：周二每股最高：（元； 周五每股最低：（元； （3）解：（元， （元， （元， ， （元； 所以小强爸爸盈利了845.5元． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）乐乐在比例尺是的房屋设计图上，量得自家房屋平面图长16厘米，宽8厘米． (1)乐乐的爸爸准备把房屋的地面铺上边长为0.8米的正方形地砖，需要多少块这样的地砖？ (2)如果每块地砖需12元钱，乐乐家买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)200块 (2)2400元 【分析】（1）根据比例尺求出房屋地面的实际长和宽，再计算出房屋地面的面积和每块地砖的面积，进而求出所需地砖的数量即可． （2）根据地砖数量和单价求出买地砖的总费用． 【详解】（1）解：房屋实际长，宽， 房屋面积为，正方形地砖面积 地砖数为 块． （2）解：费用为元． 【变式2】（25-26七年级上·河南洛阳·期末）最近几年，全球的新能源汽车发展迅猛，尤其在我国、新能源汽车产量都大幅增加．阳阳家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表，以为标准，多于的部分记为正，不足的部分记为负，刚好的记为零． 第n天 1 2 3 4 5 6 7 路程 (1)这7天里第3天走的路程是 ，路程最多的一天比最少的一天多走 ； (2)请求出阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了多少？ 【答案】(1)34；25 (2) 【分析】（1）用表格中第3天对应的数加上50，可求出第3天走的路程；用表格中最大的数减去最小的数，可求出路程最多的一天比最少的一天多走的路程； （2）用表格中的数之和再加上，可以求出这七天共行驶的路程． 【详解】（1）解：这7天里第3天走的路程是： ； 最多的一天比最少的一天多走的路程为： ； （2）解：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶的路程为： ． 答：阳阳家的新能源汽车这七天共行驶了． 【变式3】（25-26七年级下·江苏无锡·自主招生）某通讯公司开设了两种通讯业务如下： 一、使用“全球通”手机卡用户电话费计费标准：每月月租费50元，接听和打出每分钟另需付通话费均为0.4元； 二、使用“神州行”手机卡用户电话费计费标准：不缴月租费，接听和打出每分钟通话费均为0.6元． 根据以上信息： (1)张华每月平均通话时间是150分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ (2)陈烨每月平均通话时间是300分钟，他应选择用哪种手机卡电话费比较便宜？每月需电话费多少元？ 【答案】(1)张华应选择“神州行”，每月话费90元 (2)陈烨应选择“全球通”，每月话费170元 【分析】（1）根据张华的通话时间分别计算两种业务下的话费，再进行比较即可； （2）根据陈烨的通话时间分别计算两种业务下的话费，再进行比较即可． 【详解】（1）解：“全球通”电话费（元）， “神州行”电话费（元）， 因为，所以应选择“神州行”， 答：张华应选择“神州行”，每月话费90元． （2）解：“全球通”电话费（元）， “神州行”电话费（元）， 因为，所以应选择“全球通”， 答：陈烨应选择“全球通”，每月话费170元． 题型12 有理数的混合运算中新定义型问题 【典例12】（2024七年级上·全国·专题练习），为有理数，如果规定一种新的运算“”，定义，请根据“”的定义计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的混合运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义直接计算； （2）先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·湖北荆州·期中）定义新运算：，例如，，求下列各式的值． (1) (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义代入计算，先计算乘方与乘法，再计算加减法即可； （2）先计算中括号里的新定义运算，再计算括号外的新定义运算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式2】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）定义一种新运算：，例如：，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义可得，先计算乘方与乘法，再计算加减法即可得； （2）先计算中括号里的，计算乘方与乘法，再计算加减法，然后根据新运算的定义列式，计算即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·广西钦州·阶段检测）新定义运算：．例：． 求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的新定义运算，含有乘方的有理数混合运算，解题关键是理解新定义运算． （1）先将新定义运算转化为平常运算，再计算即可； （2）先将小括号的转化为平常运算再计算，然后将剩下的式子转化为平常运算再计算． 【详解】（1）解：； （2） ． 一、单选题 1．（2026·西藏拉萨·模拟预测）的相反数是（     ） A． B．2026 C． D． 【答案】B 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：的相反数是2026． 2.（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列选项中的数，是负数的为（     ） A． B．2.3 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据“负数是小于0的数”，判断各选项的数与0的大小关系即可得到结果； 【详解】解：A、，是正数，不符合要求； B、，是正数，不符合要求； C、 既不是正数也不是负数，不符合要求； D、，是负数，符合要求． 3．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵数轴上某点到原点的距离等于该点所表示的数的绝对值． ∴分别计算各选项的绝对值∶，，，． 比较大小得， ∴对应的点与原点距离最近． 4．（25-26七年级上·山东德州·期中）某潜水艇停在海面下500米处，先下降300米，又上升170米，这时潜水艇停在海面下多少米处（     ） A．430 B．670 C．630 D．470 【答案】C 【详解】解：设海面高度为0，海面下记为负，上升记为正，下降记为负， 此时潜水艇的位置为米，即停在海面下630米处． 二、填空题 5．（25-26七年级下·福建福州·阶段检测）如图，数轴上的点表示的数是______． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，先确定A点所在的区间，再计算该区间的长度，进而得出点A所表示的数． 【详解】解：观察数轴可知，点A在1和2之间，1到2这个区间被平均分成了3份，点A到1的距离占了其中的2份， 那么点A到1的距离占1到2区间长度的比例为， 因此，点表示的数是． 6．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）某日，北京的温度是，武汉的温度是，北京的温度比武汉的温度( )．（填“高”或“低”） 【答案】低 【详解】解：∵， ∴， 因此北京的温度比武汉的温度低． 7．（第2章4有理数的乘方-【勤径学升】2024-2025学年新教材七年级上册数学同步练测配套教师用书（北师大版2024））在，，，，中，负有理数有_____个． 【答案】2/两 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值，乘方运算，掌握相关运算法则是解题关键．先化简各数，再找出小于0的有理数，即可得到答案． 【详解】解：，，，，， 负有理数有、，共2个， 故答案为：2． 8．（25-26七年级上·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的括号内. 整数有：                     ……… 正数有：                     ……… 负分数有：                     ……… 【答案】 解：， 整数有：{、、、...} 正数有：{、、、、、...} 负分数有：{、、...} 三、解答题 9.（25-26七年级上·福建宁德·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2)3 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 10．（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）10袋小麦以每袋为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：． (1)这10袋小麦中质量最大的是多少千克？质量最小的是多少千克？ (2)这10袋小麦总质量是多少千克？ 【答案】(1)质量最大的是54千克，质量最小的是45千克 (2)500 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，解题的关键是正确理解正负数的意义． （1）根据正负的含义，求出各袋小麦的质量对比求解即可； （2）先计算总的10袋小麦超过或不足的情况，再计算总质量即可． 【详解】（1）解： 第一袋：； 第二袋：； 第三袋：； 第四袋：； 第五袋：； 第六袋：； 第七袋：； 第八袋：； 第九袋：； 第十袋：； ， 所以质量最大的是，质量最小的是； 答：质量最大的是54千克，质量最小的是45千克； （2）解：（千克）， 所以总质量为． 答：这10袋小麦总质量是500千克． 11.（25-26七年级上·重庆·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． (2)在数轴上表示下列各数，其中非负整数是___________． 【答案】(1) 解：点表示的数是， 又由数轴知 ，两点间的距离为7个单位， 原点在点的右侧3个单位处，点所表示的数是， 如图，    故答案为：4； (2) 解：，故非负整数是： 在数轴上表示各数，如下图：    故答案为：． 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离计算，有理数与数轴，化简多重符号和求一个数的绝对值； （1）根据题意可得点与原点的距离为3，那么从点的位置向右数3格即为原点位置，据此画出原点，再求出点表示的数即可； （2）先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据非负整数的概念选出即可． 【详解】（1）略 （2）略 12．（25-26七年级上·河北张家口·期末）蔚州贡米是河北蔚县的特产，中国国家地理标志产品，也是古代“四大贡米”之一，已知某品牌贡米的包装上标明重量为“”，重量范围内则为重量合格品，超出重量范围则为重量不合格品．今抽查10袋该品牌贡米，每袋的标准重量是，超出部分记为正，统计成下表． 贡米的袋数 2 3 3 1 1 每袋重量与标准的差值/g 0 (1)求所抽查的10袋贡米的合格率； (2)求这10袋贡米平均每袋的重量． 【答案】(1)合格产品有9袋，合格率为； (2)这10袋贡米平均每袋的重量为 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，根据表格中数据列算式计算是解题的关键． （1）根据题意和表格中的数据可以得到这10袋贡米中，合格的数量； （2）根据题意和表格中的数据可以计算出这10袋贡米的总重量，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：，，，，， ∴合格产品有9袋，合格率为； （2）解：， ． 答：这10袋贡米平均每袋的重量为． 1、 单选题 1.（25-26七年级上·安徽淮南·期中）在中，是正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查乘方和绝对值的化简，熟练掌握运算法则是做题的关键．计算每个表达式的数值，根据正负性判断即可． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴ 正数是：． 故选：D． 2.（2025七年级上·全国·专题练习）如果对于任意两个非零有理数a、b定义运算如下：则的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查定义新运算，根据定义新运算的运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：由可知， 故选：B． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 4．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算，设点表示的数是，根据点是的中点，可知点表示的数是，根据点是的三等分点，即可得到点表示的数是，解方程即可求出的值． 【详解】解：设点表示的数是， 则， 是的中点， ， 点表示的数是， ， 点是的三等分点， ， ， 点表示的数为， ， 解得：， ． 故选：C． 5．（25-26七年级上·山东德州·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴确定，的取值范围及绝对值大小，利用有理数加减法法则判断． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，且∴，故选项B正确， ∵，， ∴，故选项A错误， ∵，，故选项C、D错误． 二、填空题 6．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较． 根据负数，绝对值大的反而小；先化简表达式，再比较大小即可． 【详解】解：比较和： ，， 由于，所以， 即． 比较和： ，， 由于，所以． 比较和： ，所以， ， 由于，所以． 故答案为：，，． 7．（25-26七年级上·福建福州·期中）桌子上有8个杯口朝上的茶杯，每次翻转其中的4个，只要翻转2次，就能把它们全部翻成杯口朝下．如果将8个茶杯改为6个，每次任意翻转其中的4个，最少经过_____次翻转就能把它们全部翻成杯口朝下． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，通过模拟翻转过程，用表示杯口朝上，表示杯口朝下，从初始状态开始，逐步翻转，找到使所有杯口朝下的最少次数即可． 【详解】解：设杯口朝上用“”表示，杯口朝下用“”表示， 初始状态全部杯口朝上，即为6个， 第一次翻转任意4个，变为4个和2个，即状态为：， 第二次翻转选择第2、3、4、5个杯子，翻转后状态为： ． 第三次翻转选择第2、3、4、6个杯子，翻转后状态为：，即全部杯口朝下． ∴最少翻转3次就能把它们全部翻成杯口朝下， 故答案为：3． 8．（25-26七年级上·河南驻马店·期中）已知：，，．如果，则______． 【答案】0或2 【分析】本题考查了绝对值及求代数式的值，由题意确定出的值是关键；由，且，可推导出c必须为，b必须为，a可能为1或，代入计算即可． 【详解】解：因为且，所以（若，则不可能成立）． 因为且，所以（若，则不可能成立）． 因为且，所以或． 当时，； 当时，． 综上，的值为0或2． 故答案为：0或2． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）把下列各数分别填入相应的括号内． ． 正数：{________…}； 负数：{________…}； 整数：{________…}； 分数：{________…}． 【答案】；；；． 【分析】此题考查了有理数的分类．先计算乘方，化简绝对值，化简多重符号后，根据有理数的分类方法解答即可． 【详解】解： 正数：{…}； 负数：{…}； 整数：{…}； 分数：{…}． 故答案为：；；； 10．（2026·安徽合肥·模拟预测）某公司办公大楼共5层，公司要召开会议．如果从1层到5层参会人数分别为20、16、10、10、12，在确定最优会议室所在楼层时，需考虑到使所有参会人员到会议室爬楼的距离之和最短． （1）最优会议室放在__________层； （2）现要在1-5层的某个楼层新增10名参会人员，且必须保证原来的最优会议室楼层保持不变，则这10人应该加到__________层． 【答案】 或 【分析】先计算原问题中各楼层作为会议室的总爬楼距离，得到原最优楼层. 再分别计算新增10人到不同楼层后各楼层的总爬楼距离，筛选出使原最优楼层仍保持最短总距离的添加位置． 【详解】解：(1) 设所有参会人员到会议室的爬楼距离之和为，其中为会议室所在楼层，相邻楼层的爬楼距离记为个单位. 原各楼层参会人数分别为：1层人，2层人，3层人，4层人，5层人. 分别计算总爬楼距离： ， ， ， ， . 比较得，因此原最优会议室在层. (2) 设将名新增参会人员添加到层，此时层作为会议室的总爬楼距离记为，分情况讨论： ① 当时： ，，，，. 此时最小，最优楼层仍为层，符合要求. ② 当时： ，，， ，. 此时最小，最优楼层仍为层，符合要求. ③ 当时： ，，可得，最优楼层变为层，不符合要求 ④ 当时： ，，可得，最优楼层改变，不符合要求. ⑤ 当时： ，，可得，最优楼层改变，不符合要求. 因此满足条件的添加楼层为层或层． 三、解答题 11．（26-27七年级·上海·小升初衔接）计算： (1) ． (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 【答案】；图见解析 【分析】先根据有理数的乘方运算法则，相反数定义进行解答，然后把各数在数轴上表示出来，最后比较有理数的大小即可． 【详解】解：，， 把各数在数轴上表示为： 用“”号连接各数为：． 13．（24-25七年级上·内蒙古乌兰察布·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2) 由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2）略 14．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）大连一名网约车司机从门店出发，在东西走向的道路接送乘客，向东为正，行驶记录（单位：）： ． (1)接送完最后一批乘客后，司机在门店的哪个方向？距离门店多远？ (2)该车每千米耗油，求总耗油量； (3)计价规则：行驶路程不超收费元，超过的部分每千米收费元，不足按算，求司机本次一共收到车费多少元． 【答案】(1)司机在门店东侧，距离门店 (2)总耗油量为 (3)司机本次一共收到车费为元 【分析】（1）根据题意，进行有理数加法即可得到答案； （2）根据总耗油量单位耗油量总路程，即可得到答案； （3）根据计价标准分别计算每位客人的车费，相加即可得到答案． 【详解】（1）解：， 答：司机在门店东侧，距离门店； （2）解：总路程： 总耗油量：； （3）解：第1单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第2单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第3单：行驶，超过的部分为，费用为（元）； 第4单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 第5单：行驶，超过的部分为，按计算，费用为（元）； 总车费：（元）． 15．（26-27七年级上·上海·开学考试）介休103路内环公交车从起点站（火车站）开出，下面是它经过几个停靠站时上下车人数的记录表．（上车人数记为正） 车站名 火车站北 定阳饭店 政务中心 介休三中 介纺社区 北坛公园东 上车人数 ﹢6 0 下车人数 ﹣ 0 (1)从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是__________，无人下车的站是__________． (2)这辆公交车从介休三中站开出时，车上有（    ）名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有（   ）名乘客． (3)介休103路所有乘客统一票价为1元，那么这趟公交车从北坛公园东站开出时，已经收入多少钱？ 【答案】(1)介休三中；政务中心． (2)15；13 (3)28元 【分析】（1）正数与负数表示意义相反的两种量，规定上车人数记为正，则和它意义相反的下车人数就为负，无人上车和下车记为0； （2）用火车站北、定阳饭店、政务中心、介休三中的上车人数，减去下车的人数即可知道这辆公交车从介休三中站开出时，车上的乘客人数；同理计算出从北坛公园东站开出时，车上的乘客人数； （3）计算出从火车站北到北坛公园东站所有的上车总人数，再乘1（票价为1元），即可求出收入总钱数． 【详解】（1）解：从火车站北到北坛公园东站，途中无人上车的站是介休三中，无人下车的站是政务中心． （2）解：（人）； （人）； 这辆公交车从介休三中站开出时，车上有15名乘客，从北坛公园东站开出时，车上有13名乘客． （3）解： （元）． 答：已经收入28元． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $