专题02 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以A字、8字、燕尾三大倒角模型为核心，构建“特征识别-方法提炼-变式应用”的系统化训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|归纳三类模型特征，明确内角和、外角性质、对顶角转化等核心解法|从图形结构到原理推导，建立模型认知基础| |A字模型|典例1+变式3|平行线性质与内角和结合，建立顶角与底角代数关系|从基础证明到折叠应用，体现模型迁移| |8字模型|典例1+变式3|对顶角相等与内角和定理构建等式，结合角平分线综合|从简单角关系到多角转化，深化逻辑推理| |燕尾模型|典例1+变式3|公共角与内角和叠加，逐层建立角间和差关系|从规形图到飞镖模型，拓展模型应用场景| |压轴挑战|12题|综合运用三类模型解决复杂几何问题|从单一模型到多模型融合，提升综合解题能力|

专题02 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：图形呈A形、X形（8字）或燕尾（飞镖）结构，已知部分角度求关联角或角间和差关系。 - 解题方法：A字模型用三角形内角和180°或外角性质；8字模型利用对顶角相等及两三角形内角和转化；燕尾模型利用外角等于不相邻两内角和，建立角与角的和差关系。 - 易错提醒：混淆8字模型中内角与外角的对应关系；燕尾模型中找不准外角的两个不相邻内角；辅助线添加不恰当导致关系链断裂。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 典例1．（25-26八年级上·云南红河·期中）【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，与分别为的两个外角，求证：． 【推理证明】 (1)补全证明过程． 证明：与分别为的两个外角， _____，_____ _____ ， ． (2)如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则的大小为_____度． (3)如图③，在中，分别为外角，的平分线，写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，． (2)50 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解答的关键． （1）由三角形外角性质得，，再求与的和，最后由三角形内角和定理问题即可得证； （2）由进行变形为即可解答； （3）由角平分线的定义得、，再由三角形内角和定理得出，然后把代入求解即可． 【详解】（1）证明：与分别为的两个外角， ，， ， ． 故答案为：，，． （2）解：∵，， ∴． 故答案为：50． （3）解：，理由如下： ∵分别为外角，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型模版 1.特征：形如“A”的图形（两条斜边被平行线截断），求角间关系，常涉及内外角结合。 2.方法：利用平行线性质与三角形内角和定理，建立顶角与底角之间的代数关系，通过方程或消元求解。 变式1-1．（25-26八年级上·山西忻州·期末）如图，有一张三角形纸片．其中．将该纸片沿剪开，得到一张四边形纸片，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形性质，平角的定义，解题的关键是掌握以上性质． 根据直角三角形的性质得出，然后根据平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 变式1-2．（2025八年级上·全国·专题练习）探索归纳： (1)如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则________； (2)如图，已知中，，剪去后形成四边形，则________； (3)如图，根据上面的求解过程，猜想与的数量关系，并证明； (4)若没有剪掉，而是把它折成如图的形状，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)．证明见解析 (4)．理由见解析 【分析】本题主要考查了折叠的性质及三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和、三角形的内角和是度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． ()利用三角形的外角定理及直角三角形的性质求解； ()利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解； ()根据()、()中思路即可求解； ()根据折叠对应角相等，得到，，进而求出，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ∴ ∵为直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示： 在中，由外角性质可知： ； ∵ ∴ 故答案为： （3）解：由()、()中思路，由三角形外角性质可知： ，； ∴ ， ∴与的关系是：， 故答案为：； （4）． 理由：连接． ∵是由折叠得到的， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴与的关系为：． 变式1-3．（25-26八年级上·广西柳州·期中）实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片，点M，N分别是边，上的点，若沿直线折叠，点的对应点为点． (1)若如图所示，点恰好在边上，则与的数量关系是______； (2)若如图所示，点在内部，，求的度数； (3)若如图所示，点在外部，则，和之间有怎样的数量关系？请证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、折叠的性质、等边对等角、三角形外角的性质，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由三角形外角的性质可得出数量关系． （2）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相加即可求解． （3）连接，由折叠的性质可得、，再由三角形外角的性质可得出、，进行相减即可证明其数量关系． 【详解】（1）解：∵点D恰好在上， ∴C，D，N三点在一条直线上， ∴， 由折叠可知，，， ∴， 故答案为：． （2）连接，如下图所示： 由折叠可知，， ， 又∵， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∵， ∴． （3）． 证明：连接，如下图所示： 由折叠可知，， ∴， 又∵， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴． 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 典例2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，，相交于点，连接，． (1)求证：． (2)若 ，，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由对顶角相等，即可求证； （2）由（1）中的结论解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∵ ，，， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：形如“8”的图形（两条线段交叉），有一对对顶角，求角间关系或线段比例。 2.方法：利用对顶角相等与三角形内角和定理建立等式；若含平行线，则结合内错角/同位角推导角关系。 变式2-1．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 变式2-2．（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）如图①，已知线段，相交于点O，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”． (1)试说明：； (2)如图②，若和的平分线和相交于点P，与，相交于点，．若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案； （2）根据角平分线的定义得到，，再由“8字型”得到，，两等式相减得到，即，最后把，代入计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：以M为交点“8字型”中，有， 以N为交点“8字型”中，有, ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴． 变式2-3．（25-26八年级上·全国·单元复习）阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索、、、之间的数量关系为 ___________； 探索二：如图2，若，，求的度数为 ___________； 探索三：如图3，、分别平分、，反向延长线交于点，则、、之间的数量关系为 ___________． 【模型应用】 应用一：如图4，延长、，交于点，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线，相交于点，则___________（用含有和的代数式表示），___________．（用含有和的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形中，设，，，四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点，___________．（用含有和的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设，，，，试问与、之间的数量关系为 ___________．（用、表示 拓展二：如图7，平分，平分的邻补角，猜想与、的关系，直接写出结论 ___________． 【答案】探索一：，探索二：；探索三：；应用一：，；应用二：；拓展一：；拓展二： 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； 探索二：根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得，再代入计算可求解； 探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案； 应用一：如图4，延长，，交于点A，利用三角形内角和定理可得，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案； 拓展一：运用探索一的结论可得：，，，再结合已知条件即可求得答案； 拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案． 【详解】探索一：如图1，，， ， 故答案为； 探索二：如图2，、分别平分、， ，， 由（1）可得：，， ， 即， ，， ， 故答案为； 探索三：由①， 由②， ①②得： ． ． 故答案为：． 应用一：如图4，由题意知延长、，交于点， ，，， ，， ； 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：，； 应用二：如图5，延长、，交于点，设是的延长线上一点，是延长线上一点， ，，， ， 平分，平分， 平分，平分， 由应用一得：， 故答案为：； 拓展一：如图6，由探索一可得： ，， ，，，， ， ，， ，， ， ， 故答案为：； 拓展二：如图7， 平分，平分的邻补角， ，， 由探索一得：①，②， ②得：③， ③①，得：， ， 故答案为：． 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 典例3．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”． (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)解：，理由是： 过点A、D作射线， ∵， ∴， 即； (2)①；② 【分析】（1）作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）①先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； ②先根据（1）的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 【详解】（1）略； （2）解：∵， 由（1）知：， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：图形似燕尾（公共顶点引出三条射线），涉及多个三角形内角与公共角的和差关系。 2.方法：利用三角形内角和定理及公共角相等，逐层建立角与角的代数关系，通过等式叠加或相减消元求解。 变式3-1．（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图1，在四边形中，，，． （1）______； （2）如图2，和的角平分线与交于点G，，分别与，交于点E和点F，则______． 【答案】 144 115 【分析】本题考查了三角形的外角性质． （1）连接并延长至点H，利用三角形的外角性质即可求解； （2）连接并延长至点K，利用三角形的外角性质结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1，连接并延长至点H． ∴ ； （2）如图2，连接并延长至点K． ∵分别平分，， ∴，， ∴ ， 故答案为：144；115． 变式3-2．（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：连接并延长至点， 则，， ∵，， ∴ （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 变式3-3．（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． 【解决问题】 （1）如图1，探究与，，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是，他的证明过程如下： 证明：连接DB，并延长到点P． …… 请你将小明的证明过程补充完整． 【类比探究】 （2）如图2，，，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，，，，则的度数为______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，在直线上取一点，连接， 由（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26九年级下·吉林长春·阶段检测）如图，点、分别在、上．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再在中利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：在中， ，， ． 在中， ， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，通过构造辅助线(延长线段)，利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”这一性质，逐步推导角度关系即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点． ∵在中，是外角， ∴． ∵在中，是外角， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南焦作·期中）如图是可调节躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需要调整的大小，使，则图中应（    ） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质，三角形的内角和定理．熟练使用上述定理是解题的关键． 延长，交于点，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，再由三角形内角和定理的推论得到的度数（用表示），利用和三角形的外角的性质可得的度数，从而得出结论． 【详解】延长，交于点， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 图中， ， 增加； 故选． 二、填空题 4．（25-26八年级上·四川自贡·阶段检测）如图，点分别在上，若，则的度数为__________． 【答案】/85度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，解决本题的关键是求解出的度数． 根据三角形内角和为，可求解的度数，再根据，由此可解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： ． 5．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段检测）利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯．周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图所示的一块四边形的余料，经过测量，，，，那么的度数是___________ 【答案】/度 【分析】本题考查了邻补角，三角形外角的性质，三角形内角和定理，找出角度之间的数量关系是解题关键． 延长交于点，由邻补角可得，由三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则________ ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7．（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）【课本再现】 (1)已知：如图，点在的内部．求证：； 【联系拓展】 (2)在（1）中的情况下，若点在线段所在直线的下方，此时，，，之间有怎样的数量关系，给出结论并证明． 【答案】(1)见解析 (2)或，证明见解析 【分析】（1）连接并延长至点，利用三角形外角的性质可得，，再利用即可证明； （2）分当点在点右侧时和当点在点左侧时两种情况分别讨论，利用三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， ∴，， ∴； （2）解：如图，当点在点右侧时，设与交于点， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在点左侧时， 连接并延长至点， ∴，， ∴， ∴； 综上，或； 8．（25-26七年级下·吉林长春·期中）阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (1)如图①，试猜想、、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则___________； (3)如图③，在四边形中，与的角平分线交于点，若，，则___________． 【答案】(1)，理由见详解； (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质：（1）连接并延长至E，根据三角形内角和定理得到，，再结合即可得到答案；（2）根据三角板得到，由（1）的结论同理即可得到答案；（3）根据（1）的结论先求出，再结合角平分线，即可得到答案； 【详解】（1）解：，理由如下， 连接并延长至E，如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵三角尺的两条直角边、恰好经过点、， ∴， 由（1）得， ， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）可得， ，， ∵，， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级下·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号．我们不妨把这样的图形叫做“箭头四角形”． 探究： (1)观察“箭头四角形”，试探究图1中与，，之间的关系，并说明理由； 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，则__________； ②如图3，的二等分线（即角平分线）相交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）如图中，连接并延长到，利用三角形的外角的性质证明即可； （2）①利用（1）中结论计算即可； ②如图中，设，，利用（1）中结论，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：结论：．理由： 如图1中，连接并延长到， 因为，， 所以， 即； （2）解：①如图中， 由（1）知：， 因为，， 所以； ②如图中，设，， 由（1）可知，， ， ， ． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 ；（2）推理过程见解析；（3）；（4）减少，10 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形内角和定理，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）根据三角形的外角性质，可以得到∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，再结合三角形的内角和定理，可以得到∠1+∠2+∠C=180°，即可得到答案； （4）延长，交于点G，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，利用得到的度数，可得的度数，从而得出结论． 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ， 故答案为：三角形的内角和等于； （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长交于点F， ∵， ∴， 故答案为：； （4）延长，交于点G，如图： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 而图中， ∴应减少． 故答案为：减少，10． 11．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)问题提出 如图1，是的一个外角，则，，之间的数量关系为_____． (2)尝试探究 如图2，线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，求之间的数量关系． (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形．试探究，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可求出答案； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是的一个外角， ∴； （2）解：在图2中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴． 12．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． (1)【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键． （1）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （2）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解； （3）构造三角形，利用（2）中的结论可得结论． 【详解】（1）解：（1）由“8字型”可知，， ； （2）如图3：连接， 由（1）得：， ， ， 即五角星的五个内角之和为． （3）如图4，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点， 由（3）得， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ． 13．（25-26八年级上·河南安阳·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证，在探究，，与之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法． 方法一：如图②，连接AB． 在中，，即， 在中，， 方法二：如图③，连接并延长至点． 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程； (2)如图①，当，，时，的度数为_________． (3)拓展：如图④，，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答； 由可知，把，，代入式子中求值即可； 连接，把多边形分成两个“飞镖图”，根据中得到的“飞镖图”中角之间的关系即可得到结果． 【详解】（1）证明：是的外角， ， 是的外角， ， ， ； （2）解：由可知， ，，， ， ， 故答案为：； （3）解：如下图所示，连接， 在四边形中，， 在四边形中，， ， ， 即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型的三类 综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 三角形中的倒角模型之“A”字模型 题型二、 三角形中的倒角模型之“8”字模型 题型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 刁通法通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：图形呈A形、X形(8字)或燕尾（飞镖）结构，已知部分角度求关联角或角间和差关系。 解题方法：A字模型用三角形内角和180°或外角性质；8字模型利用对顶角相等及两三角形内角和转化： 燕尾模型利用外角等于不相邻两内角和，建立角与角的和差关系。 -易错提醒：混淆8字模型中内角与外角的对应关系：燕尾模型中找不准外角的两个不相邻内角：辅助线 添加不恰当导致关系链断裂。 刁题型归纳一精讲鼻型题法，务失解题根基 题型一、三角形仲的倒角模型之“A”字模型 典例1.(25-26八年级上·云南红河期中)【问题呈现】 小明在学习了有关三角形内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题： 如图①，∠1与∠2分别为△ABC的两个外角，求证：∠1+∠2=180°+∠A. 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【推理证明】 B 83 D 图① 图② 图③ (1)补全证明过程. 证明：：∠1与∠2分别为△ABC的两个外角， .∠1=∠A+,∠2=∠A+ ∴.∠1+∠2= ∠3+∠4+∠A=180°， .∠1+∠2=180°+∠A (2)如图②，在△ABC纸片中剪去△AED,得到四边形BCDE.若∠I=130°，则∠2-∠A的大小为度】 (3)如图③，在△ABC中，BP,CP分别为外角∠DBC,∠ECB的平分线，写出∠P与∠A之间的数量关系， 并说明理由. 题型模版 1.特征：形如“A”的图形（两条斜边被平行线截断），求角间关系，常涉及内外角结合。 2方法：利用平行线性质与三角形内角和定理，建立顶角与底角之间的代数关系，通过方程或消元求解。 变式1-1.(25-26八年级上·山西忻州期末)如图，有一张三角形纸片ABC.其中∠B4C=90°.将该纸片 沿EF剪开，得到一张四边形纸片EFCB,则∠I+∠2的度数为 变式1-2.(2025八年级上：全国·专题练习)探索归纳： 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (1)如图1，己知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2= (2)如图2，已知△ABC中，∠A=60°，剪去∠A后形成四边形，则∠1+∠2=】 (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想∠1+∠2与∠A的数量关系，并证明： (4)若∠A没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想∠I+∠2与∠A的数量关系，并说明理由. 变式1-3.(25-26八年级上：广西柳州期中)实验与探究 某数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题.现有一张三角形纸片ABC,点M,N分别是边AC, BC上的点，若沿直线MN折叠△ABC,点C的对应点为点D. 4 图1 图2 图3 (I)若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠I与∠ACB的数量关系是 (2)若如图2所示，点D在△ABC内部，∠ACB=35°，求∠1+∠2的度数： (3)若如图3所示，点D在△ABC外部，则∠1，∠2和∠ACB之间有怎样的数量关系？请证明. 题型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 典例2.(25-26七年级下·江苏盐城阶段检测)如图，AD,BC相交于点O,连接AB,CD D (1)求证：∠A+∠B=∠C+∠D (2)若∠A=57°，∠B=35°，∠C=60°，求∠D的度数. 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1.特征：形如“8”的图形（两条线段交叉），有一对对顶角，求角间关系或线段比例。 2方法：利用对顶角相等与三角形内角和定理建立等式；若含平行线，则结合内错角同位角推导角关系。 变式2-1.(25-26八年级上安徽马鞍山期中)线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把如图1 的图形称之为“8字形”，则∠A+∠D=∠B+∠C,如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线 AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N,若∠B=30°，∠D=40°，则∠P的度数是 D M B 图1 图2 变式2-2.(25-26七年级下山东菏泽·阶段检测)如图①，已知线段AB,CD相交于点O,连接AC, BD,我们把形如这样的图形称为“8字型”. B B D D ① ② (1)试说明：∠A+∠C=∠B+∠D； (2)如图②，若∠CAO和∠BDO的平分线AP和DP相交于点P,与CD,AB相交于点M,N.若 ∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数. 变式2-3.(25-26八年级上全国单元复习)阅读材料，回答下列问题： 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 图4 B D B D 图5 图6 图7 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成， 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 探索二：如图2，若∠B=36°，∠D=14°，求∠P的度数为 探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD,AG反向延长线交CP于点P,则∠P、∠B、∠D 之间的数量关系为 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM、CN,交于点A,在四边形MNCB中，设∠M=a,∠W=B,a+B>180°， 四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP,CP相交于点P,则∠A= (用含有a和 ∠P= B 的代数式表示)， (用含有和的代数式表示) 应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M=a,∠N=B,Q+B<I80°，四边形的内角∠MBC与外角 ∠NCD P∠P= B 的角平分线所在的直线相交于点， (用含有和的代数式表示) 【拓展延伸】 拓展-：图6，若设∠C=·B=y,2CP-写C4B,2C0P-写C0B,成间∠p与∠C、∠B之 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 间的数量关系为 (用x、y表示P) 拓展二：如图7，AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的邻补角∠BCE,猜想LP与∠B、∠D的关系，直接写 出结论 题型上、三角形中的倒角模型之燕尾模型 典例3.(24-25七年级下·上海青浦期中)如图1所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们把 这样的图形叫做“规形图”. 图1 图2 图3 ()观察“规形图”，试探究∠BDC与∠小、∠B、∠C之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决问题： ①如图2，小叶把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边Y、XZ恰好经过点B、C,若 ∠A=36°，直接写出∠ABX+∠ACX的结果： ②如图3，DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠A=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数， 题型模版 1.特征：图形似燕尾（公共顶点引出三条射线），涉及多个三角形内角与公共角的和差关系。 2方法：利用三角形内角和定理及公共角相等，逐层建立角与角的代数关系，通过等式叠加或相减消元求 解。 变式3-1.(25-26八年级上安徽淮南期中)如图1，在四边形ABDC中，∠A=86°，∠B=34°， ∠C=24° (1)∠BDC=°： (2)如图2，∠ABD和∠ACD的角平分线BE与CF交于点G,BE,CF分别与AC,AB交于点E和点 F,则∠BGC=。」 6/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 图1 图2 变式3-2.(2425七年级下·山西长治期末)综合与探究. 问题背景：已知如图1，凹四边形ABDC B∠ 图(1) 图(2) 图(3) 初探： (I)试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的数量关系，并说明理由： 应用 (②)请你直接利用以上结论，解决下面问题. 如图2，把一块三角尺EFG放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边EG,FG恰好经过点B,C,若 ∠A=38°，则∠ABG+∠ACG=」 拓展 (3)如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB,若∠DAE=70°，∠DBE=120°，求∠DCE的度数. 变式3-3.(25-26八年级上河北保定期中)【问题背景】 研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形 形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系. 【解决问题】 (1)如图1，探究 ABC(∠ABC<180)与∠A,∠D,∠C三个角之间的等量关系. 小明得出的结论是∠ABC=∠A+∠D+∠C,他的证明过程如下： 证明：连接DB,并延长到点P. 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 … 请你将小明的证明过程补充完整， 【类比探究】 (2)如图2，∠A+∠C+∠E=90°，∠B+∠D=150°，求∠AFE的度数， 【拓展延伸】 (3)如图3，AM∥EN,∠B+∠D=150°，∠C+∠E=50°，则∠MAB的度数为 A M B D 图1 图2 图3 夙压轴挑战一文克高难压轴，突玻思缘上保 一、单选题 1.(25-26九年级下吉林长春阶段检测)如图，点E、D分别在AB、AC上.若∠B=30°，∠C=50°， 则∠1+∠2的度数为() B A.100° B.80 C.120° D.40° 2.(25-26八年级上云南昆明期末)如图，在四边形ABCD中，∠A=35°，∠C=25°，∠D=50°，则 ∠1的度数为() 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.70° B.100° C.110° D.130° 3.(25-26八年级上河南焦作·期中)如图是可调节躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C,且 ∠A,∠B,∠E保持不变，为了舒适，需要调整∠D的大小，使∠EFD=130°，则图中∠D应() 20° 30° 50° 60° A AB A.增加10 B.减少10° C.增加20° D.减少20° 二、填空题 4.(25-26八年级上四川自贡阶段检测)如图，点E,D分别在AB,4C上，若∠B=30,∠C=55°，则 ∠1+∠2的度数为 D 5.(25-26八年级上·湖北襄阳阶段检测)利用身边的各种生活废品来满足我们的日常需要，这种“低 碳”的生活方式逐渐影响居民的生活习惯.周末，小颖准备用家里废弃的布料手工缝制玩偶，找到了如图 所示的一块四边形的余料，经过测量，∠BDC=90°，∠C=35°，∠A=32°，那么∠B的度数是 B D 6.(25-26八年级上河南信阳阶段检测)如图，AB,CD相交于点O,若BE平分∠ABD交CD于P,CE 平分∠ACD交AB于G,∠A=48°，∠D=46°，则∠BEC=_ 9/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B G 三、解答题 7.(25-26八年级下江西吉安·阶段检测)【课本再现】 (I)已知：如图，点D在∠BAC的内部.求证：∠BDC=∠B+∠C+∠A: B D 【联系拓展】 (2)在(I)中∠BAC的情况下，若点D在线段AC所在直线的下方，此时∠BDC,∠A,∠B,∠C之间有 怎样的数量关系，给出结论并证明 8.(25-26七年级下·吉林长春·期中)阅读下列材料，回答问题. 如图①所示的图形，像我们生活中的物品~回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一 个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： B E 图① 图② 图③ (I)如图①，试猜想∠A、∠B、∠C、∠BDC之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，把一块三角尺DOE放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边OD、OE恰好经过点B、C,若 ∠A=56°，则∠AB0+∠AC0= 10/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图③，在四边形ABCD中，∠ABC与∠ADC的角平分线交于点E,若∠BCD=124°，∠BED=90°， 则∠A= 9.(25-26七年级下·山东滨州期末)如图所示的图形，像我们常见的符号一一箭号.我们不妨把这样的 图形叫做“箭头四角形”. D E 图1 图2 图3 探究： (I)观察“箭头四角形”，试探究图1中∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的关系，并说明理由： 应用： (2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺YZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、X忆恰好经过点B,C，,若 LA=60°，则∠ABX+∠ACX=°： ②如图3，∠ABE,∠ACE的二等分线（即角平分线）BF,CF相交于点F,若LBAC=60°，∠BEC=130°， 求∠BFC的度数. 10.(24-25七年级下·吉林长春·期末)【问题呈现】如图①，四边形ABCD形似“飞镖”，我们形象地称 它为“飞镖图”，它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角 之和，即∠BDC=∠A+∠B+∠C 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 4 ..2 B F 图① 图② 图③ 309 20° 50° ,60° A AB 图④ 图⑤ 【探究推理】方法一：如图②，连结BC. ,在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， .∠A+∠1+∠2+∠3+∠4=180° 又，在△BDC中，∠2+∠4+∠BDC=180°， .∠2+∠4=180°-∠BDC. ∴.∠A+∠1+∠3+180°-∠BDC=180°， .∠BDC=∠A+∠1+∠3 即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD 方法二：如图③，连结AD并延长至F. ,∠3与∠4分别为△ABD和△ACD的外角， … (1)“方法一”主要依据的数学定理是_： (2)根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程. 【迁移应用】 (3)如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_; (4)如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C,且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保 持不变.为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD=110°，则图中∠E应（填“增加”或“减少”） 的大小为一度. 11.(25-26七年级下·河南南阳·阶段检测)综合探究 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 (1)问题提出 如图1，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD,∠A,∠B之间的数量关系为 (2)尝试探究 如图2，线段AB,CD相交于点O,连接AC,BD,我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察 该图形，求∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系. (3)拓展提升 如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状的图形.试探究∠A,∠B,∠C,∠D,∠E,∠F之间的数量关系。 12.(24-25七年级下福建泉州期末)如图1是常见的“8字型”平面图形，设AB,CD的交点为0，根据 “三角形的内角和”等相关几何知识，易证得∠A+∠D=∠C+∠B这个重要数学结论. >B 图1 图2 图3 图4 ()【模型求解】如图2，线段EF位于四边形ABCD内部，连结BE,CF交于点O,运用上述结论，求出 ∠A+∠ABE+∠DCF+∠D+∠E+∠F的度数： (2)【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的角度之和（要求： 用两种思路进行求解). (3)【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的角度之和. 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26八年级上河南安阳阶段检测)请阅读下列材料，并完成相应的任务： 如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证 ∠ADB=∠A+∠B+∠C,在探究∠A,∠B,∠C与∠ADB之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法， F C D D D E0130 100>B B 图① 图② 图③ 图④ 方法一：如图②，连接AB 在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°， 在△ABD中，1+∠2+∠ADB=180°， .∠ADB=∠3+∠4+∠C=∠CAD+∠CBD+∠C 方法二：如图③，连接CD并延长至点F. 解答下列问题： (1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程： (2)如图①，当∠A=30°，∠B=40°，∠ADB=120°时，∠C的度数为 (3)拓展：如图④，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数. 14/14