专题07 线段的垂直平分线与角平分线的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题07 线段的垂直平分线与角平分线的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据线段垂直平分线的性质求解 类型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 类型三、根据角平分线的性质定理求解 类型四、根据角平分线的性质定理证明 类型五、作垂直平分线与角平分线（尺规作图） 压轴专练 类型一、根据线段垂直平分线的性质求解 1.性质内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。此性质可用于证明线段相等，在几何计算与证明中常作为重要依据，通过构造线段垂直平分线建立线段间的等量关系 。 2.性质逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。它与性质相互印证，常用来确定线段垂直平分线的位置，辅助解决图形中的定位和证明问题。 例1．如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，若，则的周长为 ． 【变式1-1】如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【变式1-2】在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为 ． 【变式1-3】如图，在中，，，，．若、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 类型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 1.线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。此定理可用于证明线段相等，在等腰三角形、轴对称图形等问题中，通过垂直平分线快速建立线段等量关系，简化计算与证明过程。 2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。它是确定垂直平分线位置的关键，常与性质定理结合，用于证明点在线上、构建垂直平分线辅助线，解决图形中线段位置与数量关系问题。 例2．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式2-1】如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 【变式2-2】如图，四边形，其中，． (1)求证：； (2)证明：． 【变式2-3】如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 类型三、根据角平分线的性质定理求解 1. 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。此性质常用于证明线段相等，在几何计算与证明中，通过角平分线的性质，可将角平分线的条件转化为垂线段相等的关系，从而简化问题。 2. 角平分线性质逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。它是判定角平分线的重要依据，常与性质定理配合使用，帮助确定角平分线的位置，解决角的相关证明与求解问题。 例3．如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是 ． 【变式3-1】如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点作线段，交于点，则的面积是 ． ，由作图可得：为的平分线， ， ， ， 【变式3-2】如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【变式3-3】如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为 类型四、根据角平分线的性质定理证明 1.角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。此性质常用于证明线段相等，在几何计算与证明中，通过角平分线的性质，可将角平分线的条件转化为垂线段相等的关系，从而简化问题。 2.角平分线性质逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。它是判定角平分线的重要依据，常与性质定理配合使用，帮助确定角平分线的位置，解决角的相关证明与求解问题。 例4．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【变式4-1】在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【变式4-2】如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【变式4-3】学校数理学习小组活动纪实：已知：在中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 类型五、作垂直平分线与角平分线（尺规作图） 1.作垂直平分线：利用圆规以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线，即为线段垂直平分线。依据是“到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上”，该方法可确定线段中点与垂直关系。 2.作角平分线：以角顶点为圆心画弧交两边，再分别以两交点为圆心画弧相交，过顶点与交点作射线即角平分线。原理是构造全等三角形，证明射线到角两边距离相等，实现角的平分。 例5．如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【变式5-1】如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积 【变式5-2】某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到，两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 【变式5-3】在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 一、单选题 1．如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 5．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 二、填空题 6．如图，在中，是角平分线，若，的面积是12，则的长为 ． 7．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 8．如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为 ． 9．如图，已知，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线；分别以点A，B 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与相交于点F，Q．若，，则点F到的距离为 ． 10．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 三、解答题 11．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 12．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，． (1)用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线； (2)在题（1）的基础上，用无刻度的直尺和圆规作出关直线的对称三角形． 13．如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 14．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 15．如图，在中，为边上的高，是的角平分线， 点为上一点，连接． (1)求证：平分； (2)连接交于点，若，求证：． 16．如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 17．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动 (1)【操作发现】对折，使点C落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图1．小明根据以上操作发现：四边形满足，．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形的一条性质______． (2)【探究证明】已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O．求证： (3)【迁移应用】如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，的度数为多少？ 18．中，，射线交射线于，过作垂直射线于点E，点在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点在射线上，则线段、和的数量关系是______； (3)如图3，在（2）的条件下，把沿翻折至处，若，，，直接写出的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 线段的垂直平分线与角平分线的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据线段垂直平分线的性质求解 类型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 类型三、根据角平分线的性质定理求解 类型四、根据角平分线的性质定理证明 类型五、作垂直平分线与角平分线（尺规作图） 压轴专练 类型一、根据线段垂直平分线的性质求解 1.性质内容：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。此性质可用于证明线段相等，在几何计算与证明中常作为重要依据，通过构造线段垂直平分线建立线段间的等量关系 。 2.性质逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。它与性质相互印证，常用来确定线段垂直平分线的位置，辅助解决图形中的定位和证明问题。 例1．如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，若，则的周长为 ． 【答案】14 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形周长的定义得到的周长为． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∴的周长， ， ∴的周长， 故答案为：14． 【变式1-1】如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键． 根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 【变式1-2】在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于，两点，连接，，若，则的周长为 ． 【答案】8 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质，得出，，即可由三角形周长公式求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 故答案为：8． 【变式1-3】如图，在中，，，，．若、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点E，交于点F，当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当B、P、Q三点共线，且时，最小， 过点B作于点E，交于点F，如图所示： ∴当点P在点F处时，取最小值，且最小值为的长， ∵ ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 类型二、线段垂直平分线的性质和判定综合 1.线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。此定理可用于证明线段相等，在等腰三角形、轴对称图形等问题中，通过垂直平分线快速建立线段等量关系，简化计算与证明过程。 2.线段垂直平分线判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。它是确定垂直平分线位置的关键，常与性质定理结合，用于证明点在线上、构建垂直平分线辅助线，解决图形中线段位置与数量关系问题。 例2．如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式2-1】如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点、在线段的垂直平分线上，即可证明结论． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ， ，分别是和的高， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， 点、在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 【变式2-2】如图，四边形，其中，． (1)求证：； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质； （1）直接根据证明即可； （2）根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明. 【详解】（1）证明：在和中 ∴（） （2）∵ ∴在的垂直平分线上 ∵ ∴在的垂直平分线上 ∴是垂直平分线 ∴ 【变式2-3】如图，在中，边，的垂直平分线，相交于点P． (1)求证：； (2)请判断点是否也在边的垂直平分线上？并说明理由； (3)由（1）（2）你能得出什么结论？（写一条即可） 【答案】(1)见解析 (2)点P在边的垂直平分线上，理由见解析 (3)①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等．③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 【知识点】线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型． （1）运用垂直平分线的性质可得，，进而证明结论； （2）运用垂直平分线的判定定理即可解答； （3）运用(1)中的结论以及确定圆的条件，综合(1)(2)的结论，即可得到相应的结论． 【详解】（1）证明：∵点P是的垂直平分线上的点， ∴． 同理． ∴； （2）解：点P在边的垂直平分线上． 理由：， ∴点P在边的垂直平分线上； （3）解：由（1）、（2）可得： ①三角形三边的垂直平分线相交于一点． ②三角形三边垂直平分线的交点到三顶点距离相等． ③三角形一边的垂直平分线也必过其它两边垂直平分线的交点． 类型三、根据角平分线的性质定理求解 1. 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。此性质常用于证明线段相等，在几何计算与证明中，通过角平分线的性质，可将角平分线的条件转化为垂线段相等的关系，从而简化问题。 2. 角平分线性质逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。它是判定角平分线的重要依据，常与性质定理配合使用，帮助确定角平分线的位置，解决角的相关证明与求解问题。 例3．如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，若，则点P到边的距离是 ． 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其运用是关键． 根据角平分线的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵点P是平分线上一点，， ∴，即点P到边的距离是4， 故答案为：4． 【变式3-1】如图，在中，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、．分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P，过点作线段，交于点，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．作交于，由作图可得：为的平分线，由角平分线的性质可得，最后由三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作交于， ，由作图可得：为的平分线， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】如图，在锐角三角形中，，，分别为的角平分线．，相交于点，平分，已知，，的面积，求的面积 ． 【答案】4 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，过点作于点，于点，根据角平分线性质定理求出，结合三角形内角和定理、邻补角定义、角平分线定义求出，利用证明，，则，，，根据三角形面积公式求出，，再根据的面积求解即可，熟练运用全等三角形的判定与性质、三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， ，、为三角形的角平分线， ，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 的面积， ， ， ， ， 的面积， 故答案为：4． 【变式3-3】如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ∵， ∴ ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 类型四、根据角平分线的性质定理证明 1.角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。此性质常用于证明线段相等，在几何计算与证明中，通过角平分线的性质，可将角平分线的条件转化为垂线段相等的关系，从而简化问题。 2.角平分线性质逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上。它是判定角平分线的重要依据，常与性质定理配合使用，帮助确定角平分线的位置，解决角的相关证明与求解问题。 例4．如图，是的角平分线上一点，，，垂足分别为，．过点作，交于点，在射线上取一点，使． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线定义，全等三角形性质和判定，平行线性质，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）结合角平分线定义，证明，结合全等三角形性质即可证明； （2）结合平行线性质，证明，结合全等三角形性质即可证明． 【详解】（1）证明：是的角平分线上一点， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， 又， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ． 【变式4-1】在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ，，且， ， 的面积为12． 【变式4-2】如图，的外角和的平分线相交于点P，连接． (1)求证：平分； (2)若，的面积是10，的面积是15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)17.5 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）过点P作于F，于G，于H，根据角平分线的性质得到，得到，再根据角平分线的判定证明； （2）根据三角形面积公式求出，再根据三角形面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：如图，过点P作于F，于G，于H， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：∵的面积是10， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是15，的面积是10， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式4-3】学校数理学习小组活动纪实：已知：在中，D是上一点． 小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：； 小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有； 小石说：如图3，若是的角平分线时，则有； 小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由． 【答案】说明理由见解析 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，，则由角平分线的定义得到，由三角形面积公式可得，，据此可证明结论． 【详解】证明：作， 是的角平分线， ， ， 又∵， ． 类型五、作垂直平分线与角平分线（尺规作图） 1.作垂直平分线：利用圆规以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧相交于两点，过两点作直线，即为线段垂直平分线。依据是“到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上”，该方法可确定线段中点与垂直关系。 2.作角平分线：以角顶点为圆心画弧交两边，再分别以两交点为圆心画弧相交，过顶点与交点作射线即角平分线。原理是构造全等三角形，证明射线到角两边距离相等，实现角的平分。 例5．如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【知识点】作线段(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线和线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求；    （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 【变式5-1】如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的面积 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）根据角平分线的性质，得到点到边的距离等于的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2） 解：设点到的距离为， ∵是的角平分线，， ∴， ∴的面积． 【变式5-2】某景区为了提高应对意外伤害事故的现场处理和应急救援能力，拟在两条景观道，之间（即内部）的开阔地修建一所红十字救助站，使其到景观道，的距离相等，同时到，两个休息亭的距离也相等，试确定救助站的位置． 【答案】点的位置见详解 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查线段垂直平分线，角平分线的性质定理，掌握以上知识，正确作图是解题的关键． 连接作线段的垂直平分线，再作的角平分线，两线交于点，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接作线段的垂直平分线，再作的角平分线，两线交于点， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴点到，两个休息亭的距离相等， ∵点在角平分线上， ∴点到景观道，的距离相等， ∴点即为所求点的位置． 【变式5-3】在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)垂直平分线，平分线； (2)2； (3)6． 【知识点】角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查了垂直平分线，角的平分线基本作图，线段和的最值，角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质． （1）根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线． （2）过点E作于点M，根据角的平分线性质，得，根据三角形面积公式解答即可． （3）根据题意，点A与点B是关于直线的对称点，当P与点D重合时，取得最小值． 【详解】（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线， 故答案为：垂直平分线，平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，， 所以， 所以． （3）解：如图，连接， 因为直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为． 一、单选题 1．如图，平分，于点C，点D在上．若，的面积为9，则的长为（   ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，过点作于，根据三角形面积公式求出，再根据角平分线的性质求出得到答案．熟知角平分线的性质定理是关键． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ，， ， ， ． 故选：A． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 3．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由尺规作图的痕迹可得，平分，根据同角的余角相等，角平分线的性质，由于不是的垂直平分线，不能证明解答即可． 【详解】解：根据基本作图，得平分，故， 故C选项正确，不符合题意； 根据基本作图，得， 故， 故A选项正确，不符合题意； 根据题意，得， 故D选项正确，不符合题意； 无法证明，故无法证明， 故B选项错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，垂线的基本作图，角的平分线的性质定理，余角的性质，熟练掌握性质，正确理解作图是解题的关键． 4．如图，在上作一点，使它到，的距离相等，则点是（    ） A．线段的中点 B．与的垂直平分线的交点 C．与的平分线的交点 D．与的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，熟知在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上是解答的关键． 根据角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵点P到，的距离相等， ∴点P在的平分线上， 又点P在上， ∴P点是与的平分线的交点， 故选：C． 5．如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【详解】解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 二、填空题 6．如图，在中，是角平分线，若，的面积是12，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D作与点E，由角平分线的性质定理可得出，再根据三角形面积即可得出，进而可得出． 【详解】解：过点D作与点E， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 7．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作于点，且，则的度数为 ． 【答案】32.5 【分析】本题主要考查了角平分线的判定及性质，熟悉掌握判定方法是解题的关键．利用角平分线的判定方法判定出平分，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴平分， ∴． 故答案为：． 8．如图，在中，的垂直平分线与，分别交于点，，的垂直平分线与，分别交于点，，已知，，则的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质得到、，根据三角形的周长，代入数据计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， ，， 的周长， 故答案为：． 9．如图，已知，以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以点B，C为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线；分别以点A，B 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与相交于点F，Q．若，，则点F到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线、垂直平分线的作法及性质，等腰直角三角形的性质．如图，过点F作于H，证明，再证明，再结合等腰直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，过点F作于H， 由作图知平分，垂直平分线段， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 点F到的距离为 故答案为：． 10．如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边距离相等，垂直平分线上的点到线段两端距离相等． 连接，通过证明，得出，再证明，得出，即可解答． 【详解】解：连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 11．如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，即可得到结论； （2）由题意可得，再结合，求解即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． 12．尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，． (1)用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线； (2)在题（1）的基础上，用无刻度的直尺和圆规作出关直线的对称三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图. （1）作平分即可； （2）过点C作交的延长线于点，设交于O，作射线交于点，即为所求． 【详解】（1）如图，射线为所求射线 （2）如图，为所求三角形 13．如图，点E在的平分线上，过点E作于点F，于点G，且． (1)求证：是的平分线： (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了角平分线的性质定理和判定定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）过点E作于点H，根据角平分线的性质定理和判定定理求解即可； （2）证明出，得到，同理可得，进而求解即可． 【详解】（1）过点E作于点H 点E在的平分线上， ， ， ． 又 是的平分线． （2）， 在和中 ， 同理可得， ． 14．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 15．如图，在中，为边上的高，是的角平分线， 点为上一点，连接． (1)求证：平分； (2)连接交于点，若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先由角平分线定义得到，再由三角形外角性质得到，则，从而推出即可得证； （2）过点作于点于点，如图所示，先由角平分线的性质得到，由三角形面积公式得到，接着证明，得到，数形结合，由角度之间的关系得到即可得证． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：过点作于点于点，如图所示： ∵平分，， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及角平分线定义、三角形外角性质、角平分线的判定、角平分线的性质定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质等知识．熟记相关几何判定与性质，数形结合找准相关角度之间的关系是解决问题的关键． 16．如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)点在的垂直平分线上，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的性质可得，，继而可得的周长； （）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【详解】（1）∵，的垂直平分线分别交于点，， ∴，， ∴的周长； （2）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （3）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动 (1)【操作发现】对折，使点C落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图1．小明根据以上操作发现：四边形满足，．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形的一条性质______． (2)【探究证明】已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O．求证： (3)【迁移应用】如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，的度数为多少？ 【答案】(1)筝形是轴对称图形，对称轴是直线；（答案不唯一） (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质及线段垂直平分线的判定，解题的关键是理解“筝形”的性质； （1）根据“筝形”定义即可解决问题； （2）根据筝形是轴对称图形及线段垂直平分线的判定可直接进行求解； （3）根据筝形是轴对称图形可直接进行求解． 【详解】（1）解：答案不唯一，以下任意一条均可， ①筝形是轴对称图形，对称轴是直线； ②筝形的两条对角线互相垂直； ③筝形的对角线平分一组对角； ④筝形的对角线是对角线的垂直平分线； 故答案为筝形是轴对称图形，对称轴是直线； （2）证明：，， 为线段的垂直平分线， ∴． （3）解：∵，， ∴， 当四边形为筝形时，由题意可分①如图，    ∵四边形为筝形， ∴由筝形的性质可知：， ∴； ②如图，    根据题意可知：筝形是轴对称图形，即， ∴． 综上，的度数为或． 18．中，，射线交射线于，过作垂直射线于点E，点在射线上，． (1)如图1，若是的角平分线，求证：； (2)如图2，若射线平分的外角，且点在射线上，则线段、和的数量关系是______； (3)如图3，在（2）的条件下，把沿翻折至处，若，，，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)18 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，折叠的性质，角平分线的定义，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由角平分线的定义得到，证明得到，再证明，从而有，则可得结论成立； （2）由角平分线的定义得到，证明，得到，再证明，从而有，则可得； （3）由全等三角形的性质得到，，， 设，则，根据建立方程求出，由折叠的性质可得，则. 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 即； （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 即； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 由折叠的性质可得， ∴. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$