专题06 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 该专项聚焦全等三角形一线三等角与手拉手模型，通过系统方法提炼与分层题型设计，构建“模型识别-通法迁移-综合应用”逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2类模型6种细分情形|一线三等角：角转化+ASA/AAS；手拉手：SAS全等+对应边角关系|从模型条件推导结论，建立“条件-结论-证明”逻辑链条| |题型归纳|2题型各含1典例+2变式|提炼“特征-方法”模版，如一线三等角用等角找全等|通过变式训练实现从具体到抽象的认知迁移| |压轴挑战|12道综合题|综合运用模型通法解决复杂图形问题|整合模型应用，提升推理与问题解决能力|

专题06 全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形之一线三等角模型 题型二、全等三角形模型之手拉手模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 【一线三等角模型及证法】 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 【手拉手模型及证法】 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形之一线三等角模型 典例1（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． (1)如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； (2)如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【答案】(1) 理由： ，， ． ． ， ． ． 在与中， ， ． (2) 理由： 在中，，， ． ，， ． 同理可得． 在与中， ， ． 【分析】（1）由同角的余角相等得出，再利用即可证明； （2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出，同理可得，再利用证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 题型模版 1.特征：一条直线上出现三个相等角，构造全等或相似三角形，常用于求线段长度。 2.方法：利用同角的余角或补角相等，找出等角，再结合已知边角用ASA或AAS证明全等，从而得对应边相等。 变式1-1（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）根据图形解决以下问题 (1)如图1，在等腰直角中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：； (2)在等腰直角中，，，点D是直线上一动点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为点； ①如图2，点D在线段上，与是否全等？请说明理由； ②如图3，点D在线段延长线上，若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． (2)①； 理由：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴． ②4 【分析】（1）利用同角的余角相等证得，证明即可； （2）①利用同角的余角相等证得，根据证明；②利用同角的余角相等证得，根据证明，再利用等量代换即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：①略 ②∵，， ∴， 又， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 变式1-2（24-25七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合实践： (1)如图1，在中，，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 (2)如图2，在中，，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果，猜想有何数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边为一边向外作和，其中，，是边上的高．延长交于点H，设的面积为，的面积为，猜想大小关系，并说明理由． 【答案】(1)∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在和中， ​， ∴（）． (2)．理由如下： ∵，且，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， 即． (3)​，理由如下： 过点作延长线于，过点作于，则． ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴． 同理可证： （）， 得， ∴． ∵的面积，的面积， ∴． 【分析】（1）先根据垂直定义得，因为，所以可推出与互余，进而得，结合，用判定三角形全等． （2）根据，利用平角定义和三角形内角和推出一组对应角相等，结合，用证，再根据线段和差关系推导的数量关系． （3）分别过D、E作的垂线，垂足为M、N，先仿照（1）的思路证、，得到，进而得，根据同底等高三角形面积相等判断与的关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型二、全等三角形模型之手拉手模型 典例2（25-26八年级上·海南·期中）在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形和创作几何艺术装置．其中，，，交于点．请你解决以下关于这个艺术装置的几何问题 (1)直角风格的装置 如图，当时，求证：，； (2)六十度风格的装置 如图，当时，求的度数； (3)猜想：任意顶角的装置 当时，的度数为________（直接用含的式子表示） 【答案】(1)证明：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）由，可得，证明，得到，，结合，即可得出结论； （2）由，可得，证明，得到，结合，即可解答； （3）根据（2）中的方法进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：设、交于点， ， ，即． 在与中， ， ． ，，， ； （3）解：， ，即． 在与中， ， ． ，，， ． 题型模版 1.特征：两个等腰三角形共顶点，且顶角相等，通过旋转全等，证边角相等或求夹角。 2.方法：找到公共顶点，利用等腰性质及顶角相等，用SAS证明两三角形全等，得对应边角相等。 变式2-1（25-26七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 变式2-2（25-26七年级下·河南郑州·期中）【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”． (1)【初步把握】如图1，与都是等腰三角形，，，且，则有 ；线段和的数量关系是 ； (2)【深入研究】如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3，直线，垂足为点O，上有一点M在点O右侧且，点N是上一个动点，连接，在下方作等腰直角三角形，，，连接．请直接写出线段的最小值及此时的长度． 【答案】(1)； (2)；；理由见解析 (3)4；4 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． （1）由，可得，根据可得，则可得出结论； （2）由，得，即可证，有，，而是等腰三角形且，知，故，即可得，； （3）证明，当有最小，即最小，即垂线段最短，当轴时，最小，则可得出答案． 【详解】（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 故答案为：；； （2）解：与的数量关系是，位置关系是 ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵是等腰直角三角形， ∴， 将绕M点顺时针旋转得（N与重合）， 连接， ∴， ∴，， ∴， 当有最小，即最小，当轴时， 由，， ∴，， ∴，最小值为4． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证出，根据证明，得出，，从而可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，已知：，，，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先通过角的等量代换得到，利用证明，由此推出，再结合全等三角形对应角相等、三角形内角和、对顶角性质，分别验证度数与是否成立，逐一判断4个结论正误． 【详解】解：已知， ， 即， 在和中： ， ，结论①正确； 由全等三角形对应边相等，得，结论③正确； 由，得， 已知， ， ∵， ， 即， 代入，得， 在中，，结论②错误； 延长交于点，交于点， 由，得， 又，， ， ，即， ，结论④正确， 综上，①③④正确，共3个正确结论． 3．（25-26八年级上·四川遂宁·期末）如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 二、填空题 4．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】过点作，，交，于点，，证明，得出对应边相等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：， ， 又，， ， ， ， ， ． 5．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26七年级下·江西萍乡·期末）如图，在中，，，点D是线段的中点，将一块锐角为的直角三角板按如图（）放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接、，与交于点F，则______． 【答案】 【分析】由已知条件可知，，，，进而推出，得到，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，点D是线段的中点， ，， ， 是锐角为的直角三角板， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 三、解答题 7．（25-26七年级下·山西运城·期末）已知：如图，和都是等腰三角形（，，），点、、不在同一条直线上，连接和．试探究线段与的数量关系并说明理由． 【答案】，理由如下： ， ，即， 在和中， ， ， ． 【分析】由推出，再根据推出，进而证明． 【详解】略 8．（25-26七年级下·山东烟台·期末）综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作： 如图1，在和中，，，，连接、． 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由； 解： （理由：①） 在和中 （理由：②） (2)如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求； 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)等式的性质；全等三角形的对应边相等； (2)； (3)解：．理由如下： 如图，过点A作于点M，作于点N． 同（1）可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，进而证明，可知． 【详解】（1）略； （2）解：同（1）可知， ． 且， 在与中， ， ； （3）略． 9．（25-26八年级上·山东日照·阶段检测）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】 （1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）50； （3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）略 （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·辽宁阜新·阶段检测）在中，，，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰直角，使． (1)当点在线段上时，如图1，请判断与的位置关系，并说明理由； (2)当点在线段的延长线上时，如图2，判断三条线段数量关系，并说明理由； (3)当点在线段的延长线上时，直接判断与的位置关系，并直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)解：， 理由：， ， ， 在与中， ， ， ∵是等腰直角三角形，且， ， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：， 理由：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) ． 【分析】（1）根据“”即可证明，再根据等腰直角的性质即可说明； （2）同（1）的方法判断出，得出，再根据，可得出结论； （3）同（2）的方法可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：， 理由：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴． 11．（25-26八年级上·内蒙古通辽·期中）【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，求证：； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三等角全等模型是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）证明得到，，则； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，先证明得到．同理可证明：得到．则，即可得到，，． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ； （2）证明：∵是的外角， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴； （3），大小关系是： 理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 同理可证明：． ∴． ∴． ∵，， ∴． 12．（24-25七年级下·上海·阶段检测）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06全等三角形之一线三等角模型与手拉手模型的二类综 合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法， 夯实解题根基 题型一、全等三角形之一线三等角模型 题型二、全等三角形模型之手拉手模型 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法 明晰核心解法，助力能力迁移 【一线三等角模型及证法】 1)一线三等角(K型图)模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角(“K型图”) 钝角一线三等角 条件：∠A=∠CED=∠B,AE=DE: 结论：△ABE兰△ECD,AB+CD=BC。 2)一线三等角(K型图)模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：∠DCF=∠ABC=∠AEID,AB=DE:结论：△ABE=△ECD,AB-CDBC。 1)(同侧型)证明：：∠AEC∠B+∠BAE,∠B=∠AED,∠AEC=∠AEDH∠BAE, ,'∠AEC=∠AEDH∠CED,∴.∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C,∠BAE=∠CED,AE=ED:∴.△ABE=△ECD, :AB=EC,BE=CD,.BC=BE+EC,:.AB+CD-BC. 2)(异侧型)证明：：∠DCF=∠ABC,∠ECD=∠ABE, :∠ABC=∠AEB+∠A，,∠AED=∠ABB+∠CED,∠ABC=∠AED, ∴.∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED,'.∠A=∠CED, 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED,∠ECDF∠ABE,AE=ED:∴.AABE=AECD, .AB=EC,BE=CD,:BC=EC-BE,∴AB-CD=BC。 【手拉手模型及证法】 1)双等边三角形型 A 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE-AD:③∠AFMF∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明：，△ABC和△DCE均为等边三角形，∴.BC=AC,CE-CD,∠BCA=∠ECD=60° ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即：∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又，∠CMB=∠AMF,∴.∠IFM∠BCM=60°， 过点C作CP LAD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又：'∠CBE=-∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP (AAS) 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.CO=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2)双等腰直角三角形型 食44 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点：连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE:②BE-AD:③∠AMME∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明：，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，.BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=90° ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), .'.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又.·∠CMB=∠AN,.'.∠A∈∠BCM=90°， 过点C作CP LAD,CO LBE,则∠COB=∠CPA=90°，又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCO≌△ACP (AAS) ∴.CO=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3)双等腰三角形型 条件：BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD,C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD:③∠BCME∠AFM④CF平分∠BFD. 证明：，∠BCA=∠ECD,∴，∠BCA什∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 又，BC=AC,CE=CD,∴.△ACD≌△BCE(SAS),.BE=AD,∠CBE=∠CAD, 又，'∠CMB=∠AMF,.∠BCME∠AFM,过点C作CP LAD,CO LBE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又，'∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 夙题型归纳一清讲典型题法，奔实解通掾基 题型一、全等三角形之一线三等角模型 典例1(25-26七年级下·广东深圳期末)在不同情境下探究三角形的关系. M M B C (a) (b) (I)如图(a),∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B,C分别在∠MAN的边AM,AW上，且 AB=AC,CF⊥AE,垂足为F,BD⊥AE,垂足为D,△ABD与△CAF全等吗？请说明理由； (2)如图(b),点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上，点E,F都在∠MAN内部的射线AD上.己知 AB=AC,且∠I=∠2=∠BAC,△ABE与△CAF全等吗？请说明理由. 题型模版 1.特征：一条直线上出现三个相等角，构造全等或相似三角形，常用于求线段长度。 2方法：利用同角的余角或补角相等，找出等角，再结合已知边角用ASA或AAS证明全等，从而得对应 边相等。 变式1-1(25-26七年级下·辽宁沈阳·期末)根据图形解决以下问题 E 图1 E 图2 图3 ()如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,直线I经过点C,过点A作AD⊥I于点D,过 点B作BE⊥I于点E,求证：△ADC≌△CEB: (2)在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D是直线AB上一动点，分别过点A,B作直线CD的 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 垂线，垂足分别为点E,F； ①如图2，点D在线段AB上，△AEC与△CFB是否全等？请说明理由： ②如图3，点D在线段AB延长线上，若BF=1,AE=3,请直接写出线段EF的长. 变式1-2(2425七年级下·广东揭阳阶段检测)综合实践： G 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足 分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE: 【变式探究】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线1上，如果 ∠CEA=∠ADB=∠BAC,猜想DE,BD,CE有何数量关系，并说明理由： 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB,AC为一边向 外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高.延长GA交 DE于点H,设△1D1的面积为，△4EH的面积为，精超，5大小关系，并说明理由. 题型二、全等三角形模型之手拉手模型 典例2(25-26八年级上·海南·期中)在艺术工作室里，设计师用两个等腰三角形△ABC和△AEF创作几何 艺术装置.其中AB=AC,AE=AF,∠CAB=∠EAF,BE交FC于O点.请你解决以下关于这个艺术装 置的几何问题 5/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (图1) (图2) (1)直角风格的装置 如图1，当∠CAB=90°时，求证：BE=CF,BE⊥CF; (2)六十度风格的装置 如图2，当∠CAB=60°时，求∠BOC的度数： (3)猜想：任意顶角的装置 当∠CAB=a时(0°<a<90),LB0C的度数为 (直接用含C的式子表示) 题型模版 1.特征：两个等腰三角形共顶点，且顶角相等，通过旋转全等，证边角相等或求夹角。 2.方法：找到公共顶点，利用等腰性质及顶角相等，用SAS证明两三角形全等，得对应边角相等。 变式2-1(25-26七年级下·山东济南期中)△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90° 图1 图2 图3 ()如图1，点D,E在AB,AC上，则BD,CE满足怎样的数量关系？请说明理由. (②)如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，连接BD,CE,则BD,CE满足怎样的数量关系和位置关 系？请说明理由。 (3)如图3，点D,E都在△ABC外部，连接BD,CE,CD,EB,BD与CE相交于F点.若BD=6,求四 边形BCDE的面积. 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-2(25-26七年级下河南郑州期中)【综合实践】如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点 互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通 常称为“手拉手模型”. 图1 图2 图3 (①)【初步把握】如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE,且∠BAC=∠DAE,则 有△ABD≌_；线段BD和CE的数量关系是_： (②)【深入研究】如图2，△ABC和△ADE是都是等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且 ∠BAC=∠DAE=90°，B,C,D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系， 并说明理由： (3)【拓展延伸】如图3，直线 1上，垂足为点0，上有一点M在点O右侧且OM=4,点N是上一个 动点，连接MN,在MN下方作等腰直角三角形NMP,MN=MP,∠NMP=9O°，连接OP.请直接写出 线段OP的最小值及此时ON的长度. ◆ 夙压轴挑战一支克离难压轴，突玻思维上保 一、单选题 1.(2026重庆模拟预测)如图，AC=CE,∠ACE=90,AB⊥BD,ED⊥BD,AB=9cm,DE=3cm, 则BD等于() A.6cm B 9cm C.12cm D.15cm 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级上山东聊城阶段检测)如图，己知：AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°， ∠EBD=38°，现有下列结论：①△BDC≌△AEC;②∠AEB=135°：③BD=AE;④AE⊥BD.其中正 确的有()· A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26八年级上四川遂宁·期末)如图，在aOAB和aOCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC, ∠AOB=∠COD=30°，连接AC,BD交于点M,AC与OD相交于E,BD与OA相交于F,连接OM. 则下列结论中：①△AOC≌aBOD:②AC=BD;③∠AMB=30°；④△OEM≌aOFM.正确的个数有 () E F M D A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题 4.(25-26八年级下山西晋中期末)如图，在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE, ∠BAC=∠DAE=Q,连接BD和CE交于点P,连接AP,则∠BPC= (用含的代数式表示)· 5.(25-26七年级下山西运城期末)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BE⊥AC于点F,EF=2BF, ED⊥BC交BC的延长线于点D,AB=BD.若BF=2cm,则AC=—cm. 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B C D 6.(25-26七年级下·江西萍乡期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC,点D是线段AB的中 点，将一块锐角为45°的直角三角板按如图（△ADE)放置，使直角三角板斜边的两个端点分别与A、D重 合，连接BE、CE,CE与AB交于点F,则LAEC+∠DBE=°. 三、解答题 7.(25-26七年级下山西运城期末)己知：如图，△ABC和△CDE都是等腰三角形(CA=CB, CD=CE,∠ACB=∠DCE=C),点B、C、E不在同一条直线上，连接AE和BD.试探究线段AE与 BD的数量关系并说明理由. D B 8.(25-26七年级下山东烟台期末)综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成. 在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”. 小明进行了如下操作： 如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE 9/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图3 【问题发现】 (1)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线BD、CE存在某种数量关系.其探究过程如下，请你写出①和② 处的理由： 解：∠BAC=∠DAE .∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC .∠BAD=∠CAE(理由：①) 在△ABD和△ACE中 AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴△ABD≌△ACE(SAS) .BD=CE(理由：②) (2)如图2，在图1的基础上，△ABC不动，将△ADE绕着点A逆时针旋转至点B,点B、D、E在一条直 线上，BE交AC于点O.小明发现△ABD与△ACE依然全等.当∠BAC=∠DAE=a时，求∠BEC: 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长CE至点F,如图3.判断∠AED与∠AEF的数量关系，并说明理由. 9.(25-26八年级上山东日照·阶段检测)(1)如图1，C、A、E在一条直线上， ∠BAD=90°，AB=AD,BC⊥C 于点C.DELAE BC=AE 于点E.求证： (2)如图2，EALAB.且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,计算图中实线所围成的图形ABCDE的面积. (3)如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC、DE,且BC⊥AF于点R,DE与AF 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交于点G,若BC=21,AF=12,求△ADG的面积. B D 6 图1 图2 图3 10.(25-26七年级下·辽宁阜新阶段检测)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一动 点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰直角△ADE,使∠DAE=90°，AD=AE C D 图1 图2 备用图 (I)当点D在线段BC上时，如图1，请判断CE与BC的位置关系，并说明理由； (2)当点D在线段BC的延长线上时，如图2，判断BC,CD,CE三条线段数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段CB的延长线上时，直接判断CE与BC的位置关系，并直接写出BC,CD,CE三条线段的数 量关系 11.(25-26八年级上：内蒙古通辽期中)【基础回顾】 (1)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂 足分别为D,E.求证：△ABD≌△CAE: A GC 图1 图2 图3 【变式探究】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,直线I经过点A,点D,E分别在直线I上，如果 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠CEA=∠ADB=∠BAC,求证：ED=BD+CE: 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB,AC为一 边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AG是边BC上的高.延长 GA交DE于点H,设△1DH的面积为心 S,△4EH的面积为5，骑短.S大小关系，并说明理由. St S2 12.(24-25七年级下·上海阶段检测)某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的 基本图形. G M B B A D A H C 图① 图② 图③ (I)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,BD⊥直线L,CE1直线L,垂足分别为 D、E.可证得：DE、BD、CE的数量关系为_； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将(1)中的条件 改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线I上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=U,其中C 为任意钝角.请问(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以△ABC的边AB、 AC为腰向外作等腰直角△ABE和△ACG,其中∠BAE=∠CAG=90°，若AH⊥BC,垂足为点H,延长 HA交EG于点M.求证：点M是EG的中点. 12/12