第一章 三角形 章末检测卷A 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 立足三角形核心知识，融合传统文化情境与动态探究问题，梯度设计适配新授课学情，全面考查几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|三角形三边关系、全等判定、旋转性质|第5题结合对称图形考多结论判断，培养空间观念| |填空题|8/24|尺规作图、角平分线性质、四边形面积|第15题以传统舂米情境考解直角三角形，体现文化传承| |解答题|6/46|轴对称作图、半角模型探究、动态旋转证明|第20题通过半角模型变式培养推理意识，第24题动态旋转问题提升创新应用能力|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 第一章三角形章末检测卷A 考试时间：100分钟 满分：100分 注：单选题共10小题，满分30分，每小题3分：填空题共8小题，满分 24分，每小题3分：解答题共6小题，满分46分，19题6分，其余每题8分。 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1,下列长度的三条线段，能组成三角形的是() A.2,3,8 B.5,5,10 C.3,4,5 D.1,1,3 2.如图，己知，AB L AC,CD⊥BD,增加以下一个条件，仍不能判定△ABC与△DCB 全等的是() D B A.AB=DC B.BE=CE C.∠ABE=∠DCED.∠ABC=∠DCB 3.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△AB'C,B交AC于点D.若 ∠ADC=90°，则∠A=() A.75° B.65° C.55 D.35° 4.如图，已知点A,B在直线a上，点C,D,E在直线b上.以点A,B,C,D,E 试卷第1页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有() →a A D A.3个 B.4个 C.6个 D.9个 5.小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB与 △ODC都是等腰三角形，且它们关于直线I对称，点E,F分别是底边AB,CD的中点， OE⊥OF.小明给出下面四个结论：①OB⊥OD;②∠BOC=∠AOB;③OE=OF;④ ∠B0C+∠A0D=180°.其中正确的结论有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB,AB=5,AC=3,且 S△ADc=6 S.ABD为） ,则 A.4 B.10 C.8 D,不能确定 7.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，根据尺规作图的痕迹作射线AF交边BC于点G,若 BG=1,AC=4,则△ACG的面积为() 个XE D B G 试卷第2页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过-一日曝十日寒。 因危光乡笔 A.2 B.4 C.8 D.10 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8.将△ABC绕点A旋转至△ADE,使 AD⊥BC,DE交边AC于点F,则AF的长是() 4 A.4 B.5 C.5 D.6 9.如图，在锐角△ABC中，∠BAC=45°，BC=5,P为BC上一动点，将△ABP,△ACP分 别沿AB,AC向外翻折，得到△ABD,△ACE,连接DE,当△ADE面积的最小值为8时， 则△ABC的面积为() A.5 B.8 C.10 D.16 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE, 若BD=DE,则图中含有内角为30°的三角形共有() D E A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 二、填空题 11.已知图中的两个三角形全等，则∠=一 试卷第3页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 K58° 72 12.如图，在△ABC中，AB=7,AC=4,以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧，交 BC于点D,再分别以点B和点D为圆心，大于2BD的长为半径作圆弧，两弧分别交于点 M和点N,作直线MN,交AB于点E,则△ADE的周长为 D 13.如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD,AC=3,BC=1,则四边 形ABCD的面积是 14.如图，△ABC中，AB=3,AC=5,AD平分∠BAC,若△ABD的面积为6，则 △ACD的面积为- D 15,春(h6g)米是中国传统农业芳作方式，过程主要分为摆米、授泡、放水、捞黄、捣击、 提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期，春的结构类似于杠杆（如图 jiu） (dui) 1所示)，一口石白 上架着用一根木头做成的“碓 身”，“碓”的头部下面有杵 试卷第4页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 臣充光名笔 ((chu) ，“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高春米效率。春米工作 时（如图2所示），碓尾落于深坑底部时，在点O处测得碓头B所在位置仰角为30°，已知 坑深32cm,碓身AB长l80cm,则碓头B离地面的高度是 m. 碓头 碓身 碓尾 O F 石白 A 图1 图2 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,使点B的 对应点D恰好落在边AB上，AC,ED交于点F,若∠BCD=Q,则∠ADF的度数是 y D 17.如图，在△ABC中，∠BAC=45°，E是AB上一点，BE=2,AE=3BE,P是AC上 动点，则PB+PE的最小值是 B 1®知，在。MBC,D是4C的点，B是AB边1的方n4E-号4，连接DE,名 △ADE的面积为1，则四边形BCDE的面积为. 试卷第5页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 三、解答题 19.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个项点 A,B,C都在格点上. (I)画出△ABC关于直线！成轴对称的△4BG: (2)求△ABC的面积； 3)在直线上找一点P使得 AP+CP 的值最小，并标出点P位置. 20.如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F 分别是BC,CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系 E 图1 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE，连接AG,先证明 △ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,即可得出BE,EF,FD之间的数量关系，他的 结论应是_· 试卷第6页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 里充先乡笔 像上面这样有公共项点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模 型称为半角模型。 拓展：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC, CD上的点，且∠B4F=B4D,则BE,EF:FD之间的数量关系是，请证明你的结 论. 图2 21.如图，在△ABC中，点D在BC延长线上，DE∥AC,且DE=BC,AC=BD D (I)求证：△ABC≌△BED: (2)若AC=10,DE=6,求DC的长. 22.配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的 和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.例 如，把二次三项式x2-2x+3进行配方 解：-2x+3=2-2x+1+2=(2-2x+1)+2=(x-1+2 我们定义：一个整数能表示成2+b2(a,b是整数)的形式，则称这个数为“雅美数”例 如，5是“雅美数”，理由：因为5=2+1，再如，M=r+2y+2y=(c++y 试卷第7页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 (x,y是整数)所以M也是“雅美数”. 解决问题： (1)下列各数中，“雅美数”有_个； ①10 ②28 ③45④39 (2)若二次三项式r-6x+12(x是整数)是“雅美数”，可配方成：-m+”(m,n为 常数)，则mn的值为； 探究问题： S=x2+4y2+4x-12y+k (3)已知 (x,y是整数，k是常数)，要使S为“雅美数”，试 求出符合条件的k值； -x2+3x+y-4=0 x+y (4)拓展结论：已知实数x,y满足 ,直接写出”的最小值. 23.如图： 图1 图2 图3 (I)如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC=60°，点E在线段AB上，AE=AC，求证： DE平分∠ADB: (2)如图2，在(1)的条件下，F为AB上一点，连接FC交AD于点G.若FB=FC, DG=2,CD=3,求BD的长： (3)如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD,∠BCA=2∠DCA,点B在AC上， ∠EDC=∠A8c,若8C=5,CD=25,求CE的长 24.已知∠MON=90°，点A在边OM上，点P是边ON上一动点，∠OAP=a,将线段 AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AB,连接OB,再将线段OB绕点O顺时针旋转60° 得到线段OC,作CH⊥ON于点H. 试卷第8页，共26页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 B M M P 图1 图2 (1)如图1，a=60°」 ①依题意补全图形： ②连接BP,求∠BPH的度数； (2)如图2，当点P在射线ON上运动时，用等式表示线段OA与CH之间的数量关系，并证 明 试卷第9页，共26页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 · 第一章三角形章末检测卷A · 考试时间：100分钟        满分：100分 · 注：单选题共10小题，满分30分，每小题3分；填空题共8小题，满分24分，每小题3分；解答题共6小题，满分46分，19题6分，其余每题8分。 · 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．2，3，8 B．5，5，10 C．3，4，5 D．1，1，3 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】三角形任意两边之和大于第三边，判断时只需验证两条较短边的和大于最长边即可确定能否组成三角形． 【详解】解：A．， 不能组成三角形，不符合题意； B．， 不能组成三角形，不符合题意； C．， 能组成三角形，符合题意； D．， 不能组成三角形，不符合题意； 2．如图，已知，，，增加以下一个条件，仍不能判定与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质的应用，能正确根据全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可． 【详解】∵，， ∴， 又∵， A、当时，，故本选项不符合题意； B．∵，∴，∴，故本选项不符合题意； C． ，无法确定与的角边关系，无法证得，故本选项符合题意； D．∵，可证得，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．如图，把绕点C顺时针旋转，得到，交于点D．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据旋转的性质求解 【分析】此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角． 根据旋转的性质，可得知，，求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】∵三角形绕着点C顺时针旋转，得到 ∴， ∵ ∴， ∴； 故选C． 4．如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 5．小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．小明给出下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】三线合一、全等三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，掌握轴对称的性质是解题的关键． 由对称的性质得，由等腰三角形的性质得，，即可判断①；由不一定等于，即可判断②；由对称的性质得，根据全等三角形的性质即可判断③；如图，过点作，可得，由对称性质得，同理可证，即可判断④；综上即可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵与都是等腰三角形，且它们关于直线对称， ∴， ∵点，分别是底边，的中点，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，故①正确， ∵不一定等于， ∴不一定等于，故②错误， ∵与关于直线对称， ∴， ∵点，分别是底边，的中点， ∴，故③正确， ∵，， ∴， 同理可得：， 由轴对称性质可知：， ∴， ∴，故④正确， 综上所述：正确的结论有①③④，共个， 故选：C． 6．如图，在中，，是角平分线，，，，且，则为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质；由的面积，的长，可求出高，是角平分线，所以，进而可求解的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∴. 故选：B． 7．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点G，若，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】此题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 首先根据角平分线的性质得到，然后三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由作图痕迹得平分， 过G点作于H点，如图， ∴， ∵， ∴的面积． 故选：A． 8．如图，在中，，，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、直角三角形的两个锐角互余、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据旋转的性质可证，根据直角三角形两锐角互余可证，由此可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点旋转至， ， ， ， ， ， ， 而， ， ， ， 故选：C． 9．如图，在锐角中，为上一动点，将分别沿向外翻折，得到，连接，当面积的最小值为8时，则的面积为（　　） A．5 B．8 C．10 D．16 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、垂线段最短、折叠问题 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小．由将分别沿向外翻折至可得：，由，得面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：∵分别沿向外翻折至， ， ， ， ∴， ∴面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ∴， 故选：C． 10．如图，在中，，是边上的高，是的中点，连接，若，则图中含有内角为的三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】先根据线段垂直平分线的性质和“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得 ，，从而可得是等边三角形，进而可得，，从而可得图中含有内角为的三角形的个数．本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和 性质，以及“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”． 熟练掌握以上知识，求出图中的的是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，， ∴， ∵中，，是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴图中含有内角为的三角形有、、、、共5个． 故选：C． 二、填空题 11．已知图中的两个三角形全等，则_____． 【答案】/50度 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴的度数是． 故答案为：． 12．如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线，交于点．则的周长为________． 【答案】11 【知识点】作垂线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质 【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 13．如图，四边形中，，，，，则四边形的面积是______ 【答案】6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过D作于E，证明，得出，然后根据求解即可． 【详解】解∶过D作于E，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：6． 14．如图，中，，，平分，若的面积为，则的面积为______． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了三角形的面积，角平分线的性质，关键是由角平分线的性质推出．过点作于，于， 由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式求出的长，从而可得的面积． 【详解】解：如图，过点作于，于， 平分， ， 的面积为， ，即， ， ， ． 故答案为：． 15．舂米是中国传统农业劳作方式，过程主要分为摆米、浸泡、放水、捞黄、捣击、提麸等环节，最早可追溯至数千年前的周代和春秋战国时期．舂的结构类似于杠杆（如图1所示），一口石臼上架着用一根木头做成的“碓身”，“碓”的头部下面有杵（），“碓”尾部的地下挖一个深坑，能使碓头翘得更高，提高舂米效率．舂米工作时（如图2所示），碓尾落于深坑底部时，在点处测得碓头所在位置仰角为，已知坑深，碓身长，则碓头离地面的高度是______． 【答案】0.58 【知识点】含30度角的直角三角形 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，作交的延长线于点G，作于点H，则和均为含30度角的直角三角形，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：如图，作交的延长线于点G，作于点H， 由题意知，， ， ， ， ，， ， 碓头离地面的高度是，即． 故答案为：0.58． 16．如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，，交于点，若，则的度数是_____． 【答案】 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解 【分析】由旋转得，，，则．由题意得，则，进而可得． 【详解】解：由旋转得，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 17．如图，在中，，E是上一点，，P是上一动点，则的最小值是__________． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，作点B关于直线的对称点D，连接，根据线段的和差关系求出的长，由轴对称的性质得到，则可证明当P、D、E三点共线时， 有最小值，最小值为的长，求出，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点B关于直线的对称点D，连接， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当P、D、E三点共线时， 有最小值，最小值为的长， ∵， ∴， 故答案为：10． 18．如图，在中，D是的中点，E是边上的点且，连接，若的面积为1，则四边形的面积为________． 【答案】2 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】连接，根据E是边上的点且，求出，再结合D是的中点，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵E是边上的点且， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴． 三、解答题 19．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上． (1)画出关于直线成轴对称的； (2)求的面积； (3)在直线上找一点使得的值最小，并标出点位置． 【答案】(1) 解：如图所示，为所求作的图形： (2)6.5 (3) 如图所示，点为所求作的点． 【知识点】利用网格求三角形面积、画轴对称图形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查画轴对称图形，借助网格求三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，找点，描点，连线，画出即可； （2）借助网格求三角形的面积即可； （3）与直线的交点即为点． 【详解】（1）略 （2） ； （3）取与直线l的交点P，此时，为最小值． 20．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 21．如图，在中，点D在延长线上，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）先证明，再利用证明两个三角形全等即可． （2）证明，，再利用线段的和差计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 22．配方法是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例如，把二次三项式进行配方 解： 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“雅美数”例如，5是“雅美数”，理由：因为，再如，，（x，y是整数）所以M也是“雅美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“雅美数”有 个； ①10         ②28       ③45       ④39 （2）若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（m，n为常数），则的值为　　　； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“雅美数”，试求出符合条件的k值； （4）拓展结论：已知实数x，y满足，直接写出的最小值． 【答案】（1）2；（2）9；（3）13；（4）3 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是配方法的应用，理解并掌握雅美数的定义是解题的关键． （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴10，45，都是“雅美数”， 故答案为：2； （2）∵， ∴，， ∴ 故答案为：9； （3）∵ ； ∵S为“雅美数”， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 23．如图：    (1)如图1，为的角平分线，，点E在线段上，，求证：平分； (2)如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连接交于点G．若，，，求的长； (3)如图3，在四边形中，对角线平分，，点E在上，，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) (3)4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、全等的性质和SAS综合（SAS）、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及角平分线的判定． （1）根据证明，进而即可得到结论； （2）先证明，得，进而即可求解； （3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，即可求出． 【详解】（1）解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）如图，在上取一点F，使得，连结．    ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 24．已知，点在边上，点是边上一动点，，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，再将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作于点． (1)如图1，． ①依题意补全图形： ②连接，求的度数； (2)如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) ①补全图形如下； ② (2) 【知识点】画旋转图形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①根据题干描述作图即可； ②由旋转可得且，进而证明是等边三角形，推出，再结合可得答案； （2）如图，连接，，同（1）可证是等边三角形，再证，推出，，进而证明，最后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①略 ②如图，连接， 线段绕点A逆时针旋转， 且， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：如图，连接，， 由（1）②知是等边三角形， ，， 线段绕点O顺时针旋转，得到线段， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 试卷第26页，共26页 试卷第25页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $