专题05 全等三角形模型之截长补短模型与倍长中线模型的二类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 聚焦全等三角形核心模型，系统构建截长补短与倍长中线的方法体系，通过典例变式培养推理意识与几何直观，实现知识逻辑与解题能力的迁移提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2类模型|截长/补短构造全等；倍长中线/类中线构造全等|从全等判定（SAS等）到辅助线构造，形成“判定-构造-应用”逻辑链| |题型归纳-截长补短|典例1+2变式|线段和差证明：截长截取或补短延长|结合角平分线、四边形等情境，迁移模型应用| |题型归纳-倍长中线|典例2+2变式|中点/中线问题：延长中线至两倍构造全等|关联三角形三边关系，集中分散条件| |压轴挑战|10道综合题|综合运用两类模型解决复杂几何问题|覆盖选择、填空、解答，梯度提升思维上限|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形模型之截长补短模型与倍长中线模型的二 类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 题型二、全等三角形之倍长中线模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 【截长补短模型及证法】 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等。 【倍长中线模型及证法】 1)倍长中线模型（中线型） 1/40 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 条件：AD为△ABC的中线。 结论：AABD兰△ECD 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连结CE。 ,AD为△ABC的中线，∴，BD=CD,,'∠BDA=∠CDE,△ABD≌△ECD(SAS) 2)倍长类中线模型（中点型） 倍长类中线 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED,使DF=DE,连接CF。 ,D为BC边的中点，∴.BD=DC,,∠BDE=∠CDF,∴△EDB≌△FDC(SAS) ◆◆ 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 典例1 (25-26八年级上广东潮州期中)如图，AD‖BC,点E在线段AB上，DE、CE分别是∠ADC、 ∠BCD的角平分线， 2/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)线段DE与CE有怎样的位置关系？请说明理由. (②)若AD=3,BC=2,求CD的长. 【答案】)DE⊥CE,理由见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质， (I)先根据角平分线得2∠EDC=∠ADC,2∠DCE=∠BCD,再根据ADI‖BC就可得出 ∠EDC+∠DCE=90°，即可得出结论： (2)在DC上截取DF=AD=3,先证△ADE≌△FDE,再证aBCE≌△FCE,即可得出答案 【详解】(I)解：DE⊥CE,理由如下： :DE、CE分别是∠ADC、∠BCD的角平分线， .∠ADC=2∠EDC,∠BCD=2∠DCE ADI BC. ∴.∠ADC+∠BCD=180°. ∴.2∠EDC+2∠DCE=180°， ∠EDC+∠DCE=90°， ∴∠DEC=90° .DE⊥CE: (2)解：如图，在DC上截取DF=AD=3,连接EF, 分别是 的角平分线， DE、CE ∠ADC ∠BCD ∴.∠EDC=∠ADE,∠DCE=∠BCE 在△ADE和△FDE中， 3/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=FD ∠ADE=∠FDE DE=DE ∴△ADE≌△FDE(SAS) .∠A=∠DFE, AD‖BC, .∠A+∠B=180°， :∠DFE+∠CFE=180°. ∴∠B=∠CFE, 在△BCE和△FCE中， I∠BCE=∠FCE ∠B=∠EFC CE=CE :∴.ABCE≌△FCE(AAS) :.BC=CF=2, .CD=CF+DF=2+3=5 题型模版 1.特征：证明一条线段等于两条线段之和或差，需通过截长或补短构造全等三角形。 2方法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段使等于长线段（补短），构造全等后转 化证明。 变式1-1(25-26八年级上陕西延安期末)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加 方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数 量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入 学习.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. 4/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G B D F D 图① 图② (⑩如图@，若4BC=∠ADC=90°，E:F分别在线段BC,CD上，且满足∠EAF=∠B4D,试探究线 段EF,BE,DF之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接 AG,请你帮该数学小组完成解题过程； (2)如图②，若∠ABC+∠ADC=180°，点E在CB的延长线上，且BE>CD,点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF,请探究∠EAF与∠BAD之间的数量关系，并说明理由. 【答案】() 解：线段EF,BE,DF之间的数量关系为：EF=BE+DF,理由： 如图，延长CB到点G,使BG=DF,连接AG, G B E F D ,∠ABC=∠ADC=90° .∠ABG=∠ADF=90°， 又，AB=AD,BG=DF, △ABG≌△ADF(SAS) .∠BAG=∠DAF,AF=AG, .∠FAG=∠DAB :∠BA-号BAD, F4G 1 ∠EAF= 5/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EAF=∠EAG, 在△AEF和△AEG中， AE=AE ∠EAF=∠EAG AF=AG △AEF≌△AEG(SAS) .'EF EG=BE+BG, ∴EF=BE+DF: (2) 解：∠BF=180-∠DAB,理由： 2 如图，在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, G D F.∠ABC+∠ADC=180°∠ABC+∠ABE=180° .∠ADC=∠ABE, AB=AD.DG=BE, '.△ABE≌△ADG(SAS) ∴AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF=BE+DF,DG=BE. ..EF DG+DF =GF, 在△AEF和△AGF中， 「AE=AG FA=FA EF=GF' 6/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AEF≌△AGF(SSS) ∠FAE=∠FAG. :∠FAE+∠EAG+∠FAG=360°，∠EAG=∠BAE+∠BAG, ∴2∠FAE+(∠BAE+∠BAG)=360° ∠DAG=∠BAE, ∴.2∠FAE+(∠DAG+∠BAG=360° 即2∠EAF+∠DAB=360°， 2E4r-(60-∠D18)=18w-D48, 【分析】(I)延长CB到点G,使BG=DF,连接AG,通过证明△ABG≌△ADF,得到对应角、对应边相 等，继而得证△AEF≌△AEG,得到EF=EG=BE+DF】 (2)在DC的延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG,通过证明△ABE≌△ADG,得到对应角、对 应边相等，继而得证△AEF≌△AGF,得到∠FAE=∠FAG,根据圆周角为360°，得到 ∠EAF=180°- 1 【详解】(1)略 (2)略 变式1-2(24-25八年级上北京海淀期中)已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、 F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=)∠BAD 2 A A B B E E 图1 图2 图3 (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时. 7/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG. 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路。 小明的解题思路：先证明△ABE≌一；再证明了△AEF≌一，即可得出BE,EF，FD之间的数量 关系为 (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你 的结论，如果不成立，请说明理由、 (3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF,BE,FD之间 的数量关系为一.（不用证明） 【答案】(I)图见解析，△ADG,△AGF,EF=BE+FD (2)成立，证明见解析 (3)EF=BE-DF 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形。 (1)根据题意，画出图形，先证明△ABE≌aADG,再证明△AEF≌△AGF,即可得出结论： (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,即可得出 结论： (3)在BC上取一点G,使BG=DF,先证明△ABG≌△ADF,再证明△AEG≌△AEF,即可得出结论. 【详解】(1)解：补全图形，如图： G B 图1 解题思路为：先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,即可得出BE,EF,FD之间的数量关系为 EF=BE+FD: 故答案为：△ADG,△AGF,EF=BE+FD: (2)解：成立，证明如下： 延长FD到点G,使DG=BE,则∠ADF+∠ADG=I8O°， 8/40 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G A 1 B E 图2 ,∠B+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADG, AB=AD, ∴△ABE≌△ADG, .AG=AE,∠1=∠3， :∠BAF-<B1D, :1+∠2=5∠BAD +2-号BD,即：G 1 ∠BAD ∴.∠EAF=∠FAG. 又AF=AF, .△AEF≌△AGF, .EF=GF, .GF =DF+DG. .'EF DF+BE (3)解：在BC上取一点G,使BG=DF, 9/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D E 图3 :∠ADF+∠ADC=180°，∠B+∠ADC=180°， ∴.∠B=∠ADF, 又AB=AD, ∴.△ABG≌△ADF, ∴.AG=AF,∠1=∠2， :A+A=2+3=∠EAF=BAD ZGAE=1 BAD=∠EAR 又AE=AE, △AGE≌△AFE, .EF =EG=BE-BG=BE-DF 故答案为：EF=BE-DF, 题型二、全等三角形之倍长中线模型 典例2(25-26七年级下山东枣庄·期末)【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图O,△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考： 10/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图① 图② (I)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中。 【灵活运用】 (3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,AE=EF.若EF=6,EC=4,求线段 BF的长。 【答案】(1)B (2)2<AD<8 (3)BF-10 【分析】(I)由全等三角形的判定定理解答即可： (2)根据三角形的三边关系计算； (3)延长AD到M,使AD=DM,连接BM,由SAS证得△ADC≌△MDB,根据全等三角形的性质即可 得出答案 【详解】(I)解：：AD是BC边上的中线， .CD=BD. 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠CDA=∠BDE AD=DE :.△ADC≌aEDB(SAS) (2)解：AB-BE<AE<AB+BE,即10-6<AE<10+6, .4<AE<16 11/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=AE 2<AD<8: (3)解：延长AD到M,使AD=DM,连接BM,如图2所示： B 图2 AE=EF,EF=6. ∴.AC=AE+EC=6+4=10, ,AD是△ABC的中线， .CD=BD, :在△ADC和△MDB中， CD=BD ∠ADC=∠MDB AD=DM .△ADC≌aMDB(SAS. BM=AC,∠CAD=∠M, AE EF, ∴.∠CAD=∠AFE, ∠AFE=∠BFD, ·∠BFD=∠CAD=∠M, .'.BF BM=AC, 即BF=10 题型模版 1特征：已知三角形中线，常通过倍长中线构造全等三角形，将分散条件集中。 2方法：延长中线至其两倍，连接构造平行四边形或全等三角形，利用对应边角相等转化已知条件。 12/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式2-1(25-26七年级下·广东深圳期中)在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线 法 图1 图2 图3 ()【问题背景】如图1，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围. 我们可以延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下 来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围.请按照上述 思路，写出求解AD的取值范围的完整过程； (②)【变式思考】如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF, AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90 ,连接F,求证： EF=2AD (3)【探究延伸】如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,∠BAC+∠BAD=180°，点F是 BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长. 【答案】() 解：如图，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, D 是 的中线， 图1 AD△ABC ∴.CD=BD, :∠ADC=∠EDB,DE=AD, .∴△ADC≌△EDB(SAS), 13/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴BE=AC=5, AB-BE AE<AB+BE,AB=8, .8-5<AE<8+5, .3<AE<13, DE =AD, .AE =2AD, .3<2AD<13, 解得： AD<13 3 , 即10的取值范周为：<0< 3 2 (2) 证明：如图2，延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD, D 为 的中点， 图2 .·DBC .CD=BD, :∠ADC=∠GDB,DG=AD, :.△ADC≌△GDB(SAS), ∴.∠C=∠GBD,AC=BG, .AC∥BG, ∴∠ABG+∠BAC=180° .AC=AF, ∴.BG=AF, .·∠BAE=∠CAF=90° ∴.∠EAF+∠BAC=180°， ∴.∠ABG=∠EAF 14/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△EAF和△ABG中， 「EA=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG .△EAF2△ABG(SAS), ∴.AG=EF, .EF =2AD; (3)BD=12 【分析】(1)先推导出△ADC≌aEDB(SAS),得到BE=AC=5,再根据三角形的三边关系，得到 B-BE<E<8+BE,求出3<4征<13则3<24D<13,解得<4D< 3 29 即可解答： (2)延长AD至G,使DG=AD,连接BG,则AG=2AD,推导出△ADC≌aGDB(SAS),得到 ∠C=∠GBD,AC=BG,推导出BG=AF,∠ABG=∠EAF,证明△EAF≌△ABG(SAS),得到EF=AG=2AD, 即可解答： (3)延长EF到G,使得EF=FG,连接CG,延长CA到H,使得AH=AD,连接BH,推导出 △BEF≌△CGF(SAS),得到BE=CG,∠G=∠BEF,继而证明△BAH≌BAD(SAS,)得到 BH=BD,∠H=∠ADB,推导出∠H=∠CEF,证明出△HBE≌aEGC(AAS),可求出 EG=BH=BD=2EF=2×6=12,即可解答. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图3，延长EF到G,使得EF=FG,连接CG,延长CA到H,使得AH=AD,连接BH, H 是 的中点， 图3 .·FBC 15/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .CF=BF, :∠EFB=∠CFG,EF=FG, .△BEF≌ACGF(SAS), .BE=CG,∠G=∠BEF ∴.CG‖BE, .∠BEH=∠GCE, '∠BAC+∠BAH=180°，∠BAC+∠BAD=180°， .∠BAH=∠BAD, 在△BAH和△BAD中， AB=AB ∠BAH=∠BAD AH=AD ,∴.△BAH2△BAD(SAS), .BH=BD,∠H=∠ADB, ∠ADB=∠CEF, ∠H=∠CEF, 又：∠BAH=∠BAD,BE=CG, ,∴.△HBE≌△EGC(AAS), .EG=BH=BD=2EF=2×6=12, 即BD=12. 变式2-2(25-26七年级下江西吉安·期末)阅读以下材料，完成以下两个问题， 【阅读材料】已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA交AE 于点F,DF=AC.求证：AE平分∠BAC, 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示；②考虑倍长AE,如图(2)所示 16/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明. (2)根据上述材料，完成下列问题： 己知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF: (3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由. 【答案】(I)方法①：证明：如图，延长FE至点G,使GE=FE,连接CG, D E G 在△DFE和aCGE中， DE=CE ∠DEF=∠CEG EF=EG ∴.△DFE≌ACGE(SAS) ∴DF=CG.∠DFE=∠G, .DF =AC. ..CG=AC, ∴.∠CAG=∠G DF∥AB, ·∠BAE=LDFE, .∠BAE=∠CAG, .AE平分∠BAC: 17/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法②：证明：如图，延长AE至点G,使GE=AE,连接DG, 在△ACE和△GDE中， AE=GE ∠AEC=∠GED CE=DE ∴.△ACE≌△GDE(SAS) ∴.AC=DG,∠CAE=∠G, .DF=AC, :DG=DF, ∠DFG=∠G, :DF∥AB, ∴∠DFG=∠BAE, ∴.∠BAE=∠CAE AE平分∠BAC; (②)如图，延长AD至点G,使GD=AD,连接BG, 是 边上的中线， .AD BC ..BD=CD, 在△ACD和△GBD中， 18/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=BD ∠ADC=∠GDB AD=GD ∴△ACD≌△GBD(SAS) ∴BG=AC,∠ACD=∠GBD, .BG∥AC, .∠ABG+∠BAC=180°， AC=AF ..BG=AF, ∠BAE=∠CAF=90°， ∠EAF=360°-∠BAE-∠CAF-∠BAC=180°-∠BAC, ∠ABG=∠ABC+∠GBD=∠ABC+∠ACD=I8O°-∠BAC, .∠EAF=∠ABG 在△AEF和△BAG中， AE=AB ∠EAF=∠ABG AF=BG ∴△AEF≌△BAG(SAS) ∴∠AEF=∠BAG, 设AD与EF交于点H, :∠BAE=90°， ∴.∠BAG+∠EAH=90°， 又：∠AEF=∠BAG, .∠AEF+∠EAH=90°， .∠AHE=90°， 即AD⊥EF. (3)△ABC与△AEF面积相等，理由如下： 19/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由(2)可知△ACD≌aGBD, 5..C=S.o0 :3c=So+Sm。 ABG=SABD+SGBD S△MBC=S△ABG 由(2)可知△AEF≌△BAG, S.AEF=SABG S.AEF =S.ABC 【分析】(1)方法①：延长FE至点G,使GE=PE,连接CG,证明 DFE≌aCGE(SAS),得到 DF=CG,∠DFE=∠G,再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出∠BAE=∠CAG,即可证明： 方法②：延长1E至点G,使GE=E,连接DG,证明△MCE≌aGDE(SAS) 得到AC=DG LCAE=∠G,再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出∠BAE=∠CAG,即可证明： (②)延长1D至点G,使GD=4D,连接BG,证明△MCD≌GBD(SAS ,得到BG=AC, ∠ACD=∠GBD,进而推出BG=AF,∠EAF=∠ABG,再证明△1EFa,B1G(SAS),即可得出 ∠AEF=∠BAG,设AD与EF交于点H,由∠BAE=90°，即可得出∠BAG+∠EAH=90°，等量代换可得 出∠AEF+∠EAH=90°，由三角形内角和定理即可得出∠AHE=90°. 【详解】(1)证明：略： (2)证明：略： (3)解：略： ◆◆ 同压轴挑战一或克高障压轴，突破思燥上很 20/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一、单选题 1.(2026江苏无锡·一模)已知△ABC中，AB=6,AC=7,则中线AD的长可以是() A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中 线AD的取值范围，即可选出正确答案 【详解】解：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE E :AD是△ABC的中线， ∴.BD=CD 又：∠ADC=∠EDB,AD=DE, △ADC≌△EDB(SAS) .BE=AC=7 .AE AD+DE=2AD. 在△ABE中，由三角形三边关系得BE-AB<AE<AB+BE, 代入AB=6,BE=7得： 7-6<2AD<6+7, 即1<2AD<13, 0.5<AD<6.5 只有选项A的6在该范围内 2.(25-26七年级下山东济南期末)如图，在△ABC中，AB=8,AC=14,∠C=30°，P是BC上的任 意一点，连接AP,将AP绕点A按顺时针方向旋转至A犯，使∠PAQ=∠BAC,连接BO,则线段B0长度 的最小值为() 21/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 3 D. 4 【答案】B 【分析】在AC上截取AB=AD=8,利用全等三角形的判定和性质，可得 ABQ≌△ADP(SAS)QB=PD 当DP⊥PC时，DP的长度最小，此时QB的长度最小，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的 一半，进行解答，即可。 【详解】解：在AC上截取AB=AD=8, A ⊙ ,∠PAQ=∠BAC .∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠CAP .∠CAP=∠QAB 由旋转可得，AP=AQ, 在△ABQ和△ADP中， AB=AD ∠QAB=∠CAP AO=AP :△1BO≌aADP(SMS) ..OB=PD 当DP⊥PC时，DP的长度最小，此时B的长度最小， ,DC=AC-AD=14-8=6,∠C=30°， 1 PD-2CD-3 22/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..OB=3 4 D 3.(25-26七年级下重庆奉节期末)如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接 8E,CE.D子分<8E,CEB.素GE=3.E-8,则8的K为() B A.8 B.10 C.11 D.12 【答案】C 【分析】连接ED并延长，交AB于点F,利用ASA证明△ADF≌△CDE,得出AF=CE=3,DF=DE, 再通过倍长中线法和等腰三角形性质证明BF=BE=8,最后由AB=AF+BF求解。 【详解】解：连接ED并延长，交AB于点F, B F D、 :CE‖AB, ∴∠A=∠DCE, :点D为AC的中点， ∴.AD=CD」 23/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△ADF和△CDE中， ∠A=∠DCE AD=CD ∠ADF=∠CDE' △ADF≌ACDE(ASA) ∴AF=CE=3,DF=DE, 延长BD至点G,使DG=BD,连接EG, 在△BDF和△GDE中， BD=GD ∠BDF=∠GDE DF=DE ABDF≌AGDE(SAS) .BF=GE,∠FBD=∠G. ,BD平分∠ABE, ∴，∠FBD=∠EBD, .∠G=∠EBD. .'.BE=GE,BF=BE=8. .AB=AF+BF=3+8=11 二、填空题 4.(25-26七年级下·辽宁辽阳期末)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中， AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.依据小明的方法，可求得AD的取值范围是 B 24/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】1<AD<7 【分析】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，延长AD至点E,使DE=AD,连接 CE,根据SAS证明△ABD≌aECD,即可得到AB=CE=8,然后根据三角形的三边关系解答即可. 【详解】解：延长AD至点E,使DE=AD,连接CE, ,点D是BC的中点， ∴BD=DC 又，∠ADB=∠EDC, △ABD≌△ECD(SAS) .'AB=CE=8 ..CE-AC<AE<AC+CE. 即2<AE<14, .1<AD<7, 5.(25-26七年级下山东济南期末)如图，△ABC中，CD⊥AB于点D,CD=BD,过点C作CM⊥CA, CM=CA,连接BM交CD于点N,若BD=l5,AD=7,则CN= 【答案】4 【分析】在CD上取一点区，使得DE=DA=7,连接BE,由题意易得 ADC≌EDB(SMS),则有 AC=EB∠ACD=∠EBD ,然后可得 BEN≌aMCN(AAS) 则有EN=CNV,进而问恩可求解。 【详解】解：在CD上取一点B,使得DE=DA=7,连接BE,如图所示： D ,CD⊥AB, ∴.∠ADC=∠EDB=90°」 25/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD=BD △ADC≌△EDB(SAS) ∴AC=EB,∠ACD=∠EBD, CM⊥CA,CM=CA, .∠ACM=90,EB=CM, ·.∠BEN=∠EDB+∠EBD=∠ACM+∠ACD=∠MCN, .'∠BNE=∠MNC, △BEN≌AMCW(AAS) .'.EN=CN, CD=BD=15. ..CE =CD-DE=8. -CE-4 6.(25-26八年级上北京期中)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接 CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE,CD,点H是CD的中点，延长HA交BE于点K,下 列结论：①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形：③∠ADB=∠AEB:④BE=2AH;⑤H⊥BE: 其中正确的是一. (填序号) 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据己知找到全等的三角形及掌 握倍长中线辅助线做法是解题的关键 ①由△ABC和△ADE都是等腰直角三角形得AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°，进而得 26/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAD=∠CAE,可证 BAD≌ACAE(SAS) 即可得BD=CE, 故结论①正确： ②题目中没有给出证AD=AC的条件，故结论②错误： ③点E的位置不一定使得∠AEC=∠AEB,故结论③错误： ④延长AH到M,使HM=AH,连接DM,可 △AHC≌△MHD(SAS) 可得AC=MD ∠HAC=∠HMD,AH=MH,进而得ACII MD,AB=AC=MD,AM=2AH,得 ∠CAD+∠ADM=180°，由∠BAE+∠CAD=180°得∠BAE=∠ADM,可证 BME≌MDA(SAS),得 BE=AM,等量代换即可得BE=2AH,故结论④正确： ⑤由△BAE≌△MDA,得∠ABE=∠DMA,而∠DMA=∠HAC,由∠HAC+∠BAK=180°-∠BAC=90°，得 ∠ABE+∠BAK=90°，可得∠AKB=90°，即HK⊥BE,故结论⑤正确. 【详解】解：：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， ·.LBAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD 即∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE △BAD≌△CAE(SAS) .BD=CE, 结论①正确： ,题目中没有给出AD=AC的条件，只有△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即AB=AC,AD=AE, ∴.AD和AC不一定相等， ∴.△ADC不一定是等腰直角三角形， ∴.结论②错误： ,点E的位置不一定使得∠AEC=∠AEB ∴结论③错误： 27/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图，延长AH到M,使HM=AH,连接DM, G M ,H是CD的中点， ∴.CH=DH, 在△AHC和△MHD中， AH=MH ∠AHC=∠MHD CH=DH △AHC≌△MHD(SAS) .AC=MD,∠HAC=∠HMD,AH=MH, :ACll MD,AB=AC=MD,AM=2AH, .∠CAD+∠ADM=180° ∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAE+∠CAD=360°-90°-90°=180°. ∴.∠BAE=∠ADM, 在△BAE和△MDA中， AB=MD ∠BAE=∠ADM AE=AD △BAE≌△MDA(SAS) .'BE=AM, ∴.BE=2AH, 结论④正确： 28/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△BAE≌△MDA, .∠ABE=∠DMA, :∠HAC=∠DMA. ∠HAC=∠DMA, :∠HAC+∠BAK=180°-∠BAC=90°， ∴.∠ABE+∠BAK=90°， .∠AKB=90°， ∴HK⊥BE, ∴结论⑤正确 综上，正确的是①④⑤. 故答案为：①④⑤. 三、解答题 7.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)求解下列各题： D B E 图1 图2 (I)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E、F分别在边BC、CD 上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,试说明： ∠BAD=2∠EAF: (2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=18O°，AB=AD,点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长DC至点G,使得DG=BE,连接 AG,请探究∠BAD与∠EAF之间的数量关系，并说明理由， 【答案】(I)证明：在△ABE和△ADG中，AB=AD,∠B=∠ADG=90°，BE=DG, △ABE≌△ADG(SAS) ∴.∠BAE=∠DAG,AE=AG, .EF =BE+DF,DG=BE, 29/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF BE+DF=DG+DF =GF. .AF=AF, :△AEF≌aAGF(SSS) ∴.∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF, .∠BAE+∠FAD=∠EAF, ∴.∠BAD=∠BAE+∠FAD+∠EAF=2∠EAF: 巴解：∠B4F=180-<D1B(彩式不唯-) 理由：：∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴.∠ADC=∠ABE, 又AB=AD,DG=BE, △ADG≌△ABE(SAS) .AG=AE.∠DAG=∠BAE EF =BE+FD.DG=BE .EF BE FD DG+FD=GF. AF=AF, :.△AEF≌aAGF(SSS) .∠FAE=∠FAG, ∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°， :2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360° :2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360° 即2∠FAE+DAB=360°， 4=18O。-乞D4B 【分析】(I)证明△ABE≌△ADG得到∠BAE=∠DAG,AE=AG,推出EF=GF,证明△AEF≌△AGF 得到∠EAF=∠GAF,推出LBAE+∠FAD=∠EAF,根据角的和差即可得证： 30/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明△ADG≌△ABE得到AG=AE,∠DAG=∠BAE,推出EF=GF,证明△AEF≌△AGF得到 ∠FAE=∠FAG,结合∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，即可求解。 【详解】(1)略 (2)略 8.(25-26八年级上江西赣州期末)【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①， AB=5,AC=3,中线AD的取值范围是多少？ 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD:②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中： ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是_： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形， 【问题拓展】 (2)如图②，OA=OB,OC=OD,∠AOB与∠COD互补，连接AC,BD,E是AC的中点，求 证： OE-BD: (3)如图③，在(2)的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F,OF=2,OE=5,求 △AOC的面积. B 图① 图② 图③ 【答案】(1)1<AD<4(2)见解析(3)10 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键： (I)根据提示证△ADC≌aEDB即可求解： (2)延长OE到H,使得HE=OE,连接CH,通过论证两组三角形的全等即可得出结论： BD=OH OH=20E=10 S.AOC=S.BOD OF⊥BD (3)由前一问可得： ,进一步得 ；根据题意可证 ，据此 即可求解。 31/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：：AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD ∴.△ADC≌△EDB(SAS) .BE=AC=3. AB-BE<AE <AB+BE ∴.5-3<AE<5+3 即：2<AE<8 06 .1<AD<4 故答案为：1<AD<4: (2)证明：延长OE到H,使得HE=OE,连接CH, :E是AC的中点， ∴EC=EA, ,∠CEH=∠AEO. :.△CEH≌△AEO(SAS), ∴.∠HCA=∠CAH,CH=AO、 .∠HCA+∠ACO=∠CAO+∠ACO,即∠CAO+∠ACO=∠HCO, ∠AOB+∠COD=180°， ∴.∠AOC+∠BOD=180°， :∠AOC+∠CAO+∠ACO=180°， ∴.∠BOD=∠HC0. .OA=OB,OC=OD ∴CH=OB. .△HCO≌aBOD(SAS), ..OH=BD, 1 OE-2BD 32/40 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (3)解：由(2)可得：BD=H0=20E=10, ∠H=∠BS.CHE=SABo,S.HCo=S.BOD S.A0C=S.AOE+S.COE=S.HCO=S.BOD .∠AOB=90°. ∠AOE+∠BOF=90°， :∠AOE=∠H, ∠B+∠BOF=90°，即：OF⊥BD, =BDx0F=x10x2=10. .SB0D= 2 S.4oc=10 D H.3--- E 9.(25-26八年级下·四川内江开学考试)按要求解答问题： E E B 图① 图② 备用图 备用图 33/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠E4F-B4D,请直接写出线段E,BE:FD之利的数量关系： (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 BAD心中的结论是否仍然成立？请写丑 (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=18O°，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且 ∠EAF=)∠BAD. 请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：-· 【答案】(I)EF=BE+FD (②)(I)中的结论EF=BE+FD仍然成立. 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG, B E 图2 :∠ABC+∠D=180°∠ABG+∠ABC=180° ∴∠ABG=∠D 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF △ABG≌△ADF(SAS) AG=AF,I=∠2， 1 ∠I+∠3=∠2+∠3=5∠BAD=∠EAF ∴.∠GAE=∠EAF. 又AE=AE, 34/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,∴.△AEG≌△AEF ∴.EG=EF .EG=BE+BG ∴.EF=BE+FD (B)EF=BE+FD或EF-BE-FD或EF=FD-BE 【分析】(I)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.证明△ABG≌△ADF(SAS).AG=AF,∠I=∠2，证 明△AEG≌aAEF.则EG=EF.即可得到答案： (2)延长EB到G,使BG=DF,连接AG.证明△ABG≌△ADF(SAS),则AG=AF,∠I=∠2，证明 △AEG≌△AEF,则EG=EF.即可得到答案： (3)在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG.证明△ABG≌△ADF(SAS).则∠BAG=∠DAF,AG=AF 证明△AEG≌△AEF(SAS).则EG=EF,即可得到结论， 【详解】(1)解：如图1，延长EB到G,使BG=DF,连接AG 在 与 中， B E 图1 △ABG△ADF AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS) ∴AG=AF,∠1=∠2， ∠1+∠3=∠2+∠3=号∠BAD=∠EAF .∠GAE=∠EAF 又AE=AE, 35/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△AEG≌△AEF. ∴.EG=EF .EG=BE+BG ∴EF=BE+FD; (2)略 (3)当(1)的结论EF=BE+FD成立， 当图3中，EF=BE-FD或EF=FD-BE 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG E 图3 :∠B+∠ADC=180°∠ADF+∠ADC=180° ∠B=∠ADF 在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS) .∠BAG=∠DAF,AG=AF ·∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD .∠GAE=∠EAF AE=AE, .△AEG≌△AEF(SAS) ∴.EG=EF 36/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .·EG=BE-BG :EF BE-FD 同理可得：EG=EF .EG=BG-BE ∴EF=FD-BE 10.(25-26八年级上内蒙古鄂尔多斯·期末)【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6，,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请 根据小明的方法思考并解答： B E 图1 图2 图3 图4 (I)①由己知和作图能得到△ADC≌aEDB,依据是_： A.SSS B.SAS C.AAS D.HL ②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_： 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移 线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中 【类比运用】 (2)如图3，E是BC中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE,求证：AB=CD: 【拓展运用】 (3)如图4，已知直线m/n,点A、D是直线m上两点，点B、C是直线n上两点，点P是线段CD中点， 且AP⊥BP,两平行线m、n间的距离为4.求证：PAPB=2AB 【答案】(I)①B,②l<AD<7, (2)证明见解析： (3)证明见解析 【分析】(I)①延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,利用全等三角形的判定定理解答即可； 37/40 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可： (2)延长DE至点F,使FE=ED,连接BF,利用全等三角形的判定与性质得到DC=FB,∠D=∠F, 再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可； (3)延长BP交AD于点H,过点P作EF⊥m于点E,EF⊥n于点F,利用全等三角形的判定与性质得 倒P=EP、EF=2。PP,利用线段的垂直平分线的性质得到B=；再利用三角形的面积公 2 式解答即可得出结论， 【详解】(I)解：①延长AD至点E,使DE=AD,连接BE,如图， ,AD是中线， .BD=CD. 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB CD=BD ∴△ADC≌△EDB(SAS) ∴△ADC≌△EDB的依据是SASB: ②'：AADC≌△EDB. ∴.AC=BE=6, .AB=8. .8-6<AE<8+6. .2<2AD<14, .1<AD<7: (2)证明：延长DE至点F,使FE=ED,连接BF,如图， 38/40 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E F E是BC的中点， .BE=CE, 在△EDC和△EFB中， DE=FE ∠DEC=∠FEB CE=BE :∴.AEDC≌△EFB(SAS) ∴DC=FB,∠D=∠F, ∠BAE=∠CDE, .∠F=∠BAE, :BA=BF, :AB=CD: (3)证明：延长BP交AD于点H,过点P作EF⊥m于点E,EF⊥n于点F,如图， m B gh1-- H D 则EF=4, 39/40 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .mlln. ∠EDP=∠FCP, 在aCPF和△DPE中， 「∠CPF=DPE CP=DP ∠FCP=∠EDP '.△CPF≌△DPE(ASA) :FP=EP=LEF=2 在△BPF和△HPE中， [∠BFP=∠HEP=90° PE=PE ∠BPF=∠HPE ∴△BPF≌△HPE(ASA) .BP=HP, AP⊥BP, ∴AP为BH的垂直平分线， ∴AB=AH, 1 Sm)AHPE=)APP吧 :AHPE=AP-PH, .AB×2=PAPB, .PA-PB=2AB 40/40函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05全等三角形模型之截长补短模型与倍长中线模型的二 类综合题型 目录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 题型二、全等三角形之倍长中线模型 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 同解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 【截长补短模型及证法】 (1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等。 【倍长中线模型及证法】 1)倍长中线模型（中线型） 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 条件：AD为△ABC的中线。 结论：AABD兰△ECD 证明：延长AD至点E,使DE=AD,连结CE。 ,AD为△ABC的中线，∴，BD=CD,,'∠BDA=∠CDE,△ABD≌△ECD(SAS) 2)倍长类中线模型（中点型） 倍长类中线 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED,使DF=DE,连接CF。 ,D为BC边的中点，∴.BD=DC,,∠BDE=∠CDF,∴△EDB≌△FDC(SAS) ◆◆ 夙题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形模型之截长补短模型 典例1 (25-26八年级上广东潮州期中)如图，AD‖BC,点E在线段AB上，DE、CE分别是∠ADC、 ∠BCD的角平分线， 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)线段DE与CE有怎样的位置关系？请说明理由， (2②)若AD=3,BC=2,求CD的长. 题型模版 1特征：证明一条线段等于两条线段之和或差，需通过截长或补短构造全等三角形。 2.方法：在长线段上截取一段等于短线段（截长），或延长短线段使等于长线段（补短），构造全等后转 化证明。 变式1-1(25-26八年级上陕西延安期末)“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加 方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数 量关系问题，某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入 学习.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,E,F分别是直线BC,CD上的点. B D 图① 图② ①图0，若乙ABC=乙ADC=90°，E:F分别在线段BC,CD上，且满足∠EAF=B1D,试获究线 段EF,BE,DF之间的数量关系；数学小组探究此问题的方法是：延长CB到点G,使BG=DF,连接 AG,请你帮该数学小组完成解题过程： (②)如图②，若∠ABC+∠ADC=I80°，点E在CB的延长线上，且BE>CD,点F在CD的延长线上，若 EF=BE+DF，请探究∠EAF与∠BAD之间的数量关系，并说明理由. 变式1-2(2425八年级上·北京海淀期中)己知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、 F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=)∠BAD 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A B E B E 图1 图2 图3 (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B=∠ADC=90°时. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=BE，连接AG. 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路。 小明的解题思路：先证明△ABE≌一；再证明了△AEF≌一，即可得出BE,EF,FD之间的数量 关系为一 (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC=18O°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你 的结论，如果不成立，请说明理由 (3)如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF,BE,FD之间 的数量关系为一·（不用证明） 题型二、全等三角形之倍长中线模型 典例2(25-26七年级下山东枣庄期末)【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，△ABC中，若AB=I0,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流， 得到了如下的解决方法：延长AD到E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考： B 图① 图② (I)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集中到同一个三角形之中. 【灵活运用】 (3)如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E,交AD于F,AE=EF.若EF=6,EC=4,求线段 BF的长. 题型模版 1特征：已知三角形中线，常通过倍长中线构造全等三角形，将分散条件集中。 2方法：延长中线至其两倍，连接构造平行四边形或全等三角形，利用对应边角相等转化己知条件。 变式2-1(25-26七年级下·广东深圳期中)在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线 法. 图1 图2 图3 ()【问题背景】如图1，AD是△ABC的中线，AB=8,AC=5,求AD的取值范围. 我们可以延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据SAS可证△ADC≌△EDB,所以BE=AC.接下 来，在△ABE中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线AD的取值范围.请按照上述 思路，写出求解AD的取值范围的完整过程； (②)【变式思考】如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB,AC为腰向外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF, AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90° EF EF=2AD ,连接，求证： (3)【探究延伸】如图3，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点E,∠BAC+∠BAD=18O°，点F是 BC的中点，∠CEF=∠ADB,当EF=6时，求BD的长. 变式2-2(25-26七年级下江西吉安·期末)阅读以下材料，完成以下两个问题， 【阅读材料】已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D作DF∥BA交AE 5/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点F,DF=AC.求证：AE平分∠BAC 结合此题，DE=EC,点E是DC的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转 移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长FE,如图(1)所示；②考虑倍长AE,如图(2)所示 图(1) 图(2) 图(3) (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明. (2)根据上述材料，完成下列问题： 己知，如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB,AC为直角边向外作等腰直角三角形， ∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB,AC=AF,证明：AD⊥EF: (3)△ABC与△AEF面积之间的关系，并说明理由， ◆ 同压轴桃战一支克高难压轴，突破思维上保 一、单选题 1.(2026江苏无锡·一模)已知△ABC中，AB=6,AC=7,则中线AD的长可以是() A.6 B.7 C.8 D.9 2.(25-26七年级下山东济南期末)如图，在△ABC中，AB=8,AC=14,∠C=30°，P是BC上的任 意一点，连接AP,将AP绕点A按顺时针方向旋转至A0,使∠PA0=∠BAC,连接B吧，则线段B吧长度 的最小值为() B.2 B.3 D.4 3.(25-26七年级下重庆奉节期末)如图，在△ABC中，点D为AC的中点，点E是AC下方一点，连接 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE.CE.D平分<B,CEB.若CE=3,E=8,则4的K为() 若 B A.8 B.10 C.11 D.12 二、填空题 4.(25-26七年级下辽宁辽阳期末)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中， AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法： 延长AD至点E,使DE=AD,连接CE.依据小明的方法，可求得AD的取值范围是 B 5.(25-26七年级下山东济南期未)如图，△ABC中，CD⊥AB于点D,CD=BD,过点C作CM⊥CA, CM=CA,连接BM交CD于点N,若BD=15,AD=7,则CN= 0 6.(25-26八年级上北京期中)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接 CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE,CD,点H是CD的中点，延长HA交BE于点K,下 列结论：①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB;④BE=2AH;⑤HK⊥BE: 其中正确的是.（填序号） 7/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 7.(25-26七年级下·陕西咸阳阶段检测)求解下列各题： G D E 图1 图2 (I)【问题发现】如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠ADC=90°，点E、F分别在边BC、CD 上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,试说明： ∠BAD=2∠EAF: (2)【拓展延伸】如图2，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=18O°，AB=AD,点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上，连接AE、AF、EF,且EF=BE+FD,延长DC至点G,使得DG=BE,连接 AG,请探究∠BAD与∠EAF之间的数量关系，并说明理由 8.(25-26八年级上江西赣州期末)【发现问题】数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图①， AB=5,AC=3,中线AD的取值范围是多少？ 【探究方法】 (1)第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长AD到E,使得DE=AD;②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是： 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 (2)如图②，OA=OB,OC=OD,∠AOB与∠COD互补，连接AC,BD,E是AC的中点，求 8/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证： OE=BD: (3)如图③，在(2)的条件下，若∠A0B=90°，延长E0交BD于点F,OF=2,OE=5,求 △AOC的面积. B D 图① 图② 图③ 9.(25-26八年级下四川内江开学考试)按要求解答问题： B E 图① 图② 备用图 备用图 (I)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF-)∠BAD.请直接写出线段EF,BE:FD之间的数量关系： _ (2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=18O°，E,F分别是边BC,CD上的点，且 ∠EAF= 2∠B1D,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程： (3)在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=18O°，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且 ∠BAF=)∠BAD.请直接写出线段EF:BE,FD之间的数量关系：一 2 10.(25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯期末)【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围. 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请 根据小明的方法思考并解答： 9/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m B 图1 图2 图3 图4 (1)①由己知和作图能得到△ADC≌aEDB,依据是_； A.SSS B.SAS C.AAS D.HL ②由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是_： 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移 线段，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中， 【类比运用】 (2)如图3，E是BC中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE,求证：AB=CD: 【拓展运用】 (3)如图4，已知直线m/n,点A、D是直线m上两点，点B、C是直线n上两点，点P是线段CD中点， 且AP⊥BP,两平行线m、n间的距离为4.求证：P4PB=2AB 10/10