专题04 全等三角形性质和判定的五类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 该专项以“解题通法+题型归纳+压轴挑战”系统构建全等三角形解题体系，通过五类题型的典例变式，实现从判定性质到综合应用的能力迁移，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1模块|判定用SSS/SAS/ASA/AAS/HL，性质导边导角，找隐含条件|从判定定理与性质出发，明确核心解法与易错点| |题型一至五|每题型1典例+3变式|多解问题分类讨论对应顶点，多结论问题先证全等再验证，动点最值转化线段，综合问题逆推全等条件，新定义问题转化边角关系|形成“性质-判定-应用-拓展”逻辑链，从基础到创新递进| |压轴挑战|13题（4选+4填+5解答）|综合运用全等与几何变换、函数等知识|对接中考高频考点，提升复杂问题解决能力|

专题04 全等三角形性质和判定的五类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及边角对应关系证明、线段或角相等、图形变换（平移/旋转/翻折）中的全等。 - 解题方法：判定用SSS、SAS、ASA、AAS、HL（Rt△）；性质用于导边导角；找隐含条件（公共边、对顶角、等角加减）。 - 易错提醒：SAS中夹角必须是对应边夹角；判定时误用SSA；对应顶点未对准致边角错配。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 典例1（25-26八年级上·福建莆田·阶段检测）如图，已知四边形中，厘米，厘米，厘米，，点E为线段的中点．如果点P在线段上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 【答案】3或 【分析】设点P运动的时间为t秒，则，，分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度． 【详解】解：设点P运动的时间为t秒，则，， ，点E为线段的中点，． ， ①当，时，与全等， 此时，， 解得：， ， 点Q的运动速度为厘米/秒； ②当，时，与全等， 此时，， 解得：， 点Q的运动速度为厘米/秒； 点Q的运动速度为3厘米/秒或厘米/秒时，能够使与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 题型模版 1.特征：已知两边一角或两角一边，但对应顺序未定，导致多个满足全等的三角形。 2.方法：分类讨论对应顶点顺序（如SAS、ASA、AAS），按不同情况分别作图或列方程求解并验证。 变式1-1（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是________ ． 【答案】或 【分析】已知，两个三角形全等存在两种对应情况：；，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】由题意得：，，， ，与全等， 分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得； 情况2：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得， 综上，的值为或． 变式1-2（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，在中，是上的一点，，，，动点从点出发向点运动，速度为1，同时动点从点出发向点匀速运动，连接、，在运动过程中，存在某一时刻使与全等，则点的运动速度为________． 【答案】或 【分析】利用全等三角形的性质，设运动时间为，点的运动速度为，则有， ，分两种情况和，分别计算出点的运动速度． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为， 则， ∴， ∵，当时，，， ∴，， ∴，， ∴点的运动速度为， 当时，，， ∴，， 解得， ∴点的运动速度为， 综上，点的运动速度为或． 变式1-3（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从B点出发以的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点离开点后，运动_____时，与全等． 【答案】2或4 【分析】根据题意和这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∴当与全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴运动时间为； 当时，则， ∴运动时间为； 综上所述，当运动或时，与全等． 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 典例2（25-26七年级下·福建宁德·期中）如图，在中，，垂足为点，，点在线段上，连接并延长交于点，若时，则下列结论中：①；②；③；④，其中正确的是_____． 【答案】①③④ 【分析】利用全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：①∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据给出条件，无法得出，故②错误； ③∵， ∴， ∵，且， ∴， 即， ∴，故③正确； ④如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴，， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确选项为①③④． 题型模版 1.特征：题干给出多个结论，需判断正误，常综合全等判定与性质进行推理论证。 2.方法：先找全等三角形，利用判定定理（SAS、ASA等）证明，再由全等性质（对应边角相等）逐一验证各结论。 变式2-1（25-26七年级下·山东菏泽·期末）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 【答案】③⑤ 【分析】由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与、分别是、上的任意点互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， 的另一个条件是， 与不一定相等， 与不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与、分别是、上的任意点矛盾，故④错误； 综上可知，正确的结论有③⑤． 变式2-2（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】证明即可判断①，证明，即可得到，即可判断②；根据得到，根据即可判断③；根据得到，由，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴, 但是无法证明， ∴不一定成立； 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴，故④错误； 综上可知，正确的是②③． 变式2-3（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，是的高，是的中线，平分交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】②③④ 【分析】作于点M，结合角平分线的性质定理和垂心段最短可判断①错误；根据直角三角形两锐角互余判断②；根据角平分线的定义、等角的余角相等及对顶角相等判断③；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：如图，作于点M， 平分， ∴， ∵， ∴，故①错误； ， 在中，，故②正确； ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ，故③正确； 是的中线， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论是②③④． 题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 典例3（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为6，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值为________． 【答案】3 【分析】在上取点，使得，连接、，过点作于点，利用三角形面积公式求出，再证明，得到，则当、、三点共线，且时，有最小值为的长，即可得解． 【详解】解：如图，在上取点，使得，连接、，过点作于点， 在锐角三角形中，，的面积为6， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线，且时，有最小值为的长， 的最小值为3． 题型模版 1.特征：动点运动中构造全等三角形，求线段或面积最值，常结合二次函数或几何不等式。 2.方法：利用全等转化线段（如等量代换），将最值化为二次函数顶点或垂线段最短，结合动点范围求解。 变式3-1（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 变式3-2（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，是的角平分线，于点，是的中线，动点在边上，连接．若，的面积是3，则的最小值为______________． 【答案】2 【分析】因为是的中线，所以和面积相等，可先求出的面积．已知的面积和的长度，结合，用三角形面积公式可求出的长度．因为是角平分线，根据角平分线的性质，点D到和的距离相等，可得D到的距离等于．因为G在上，根据垂线段最短，的最小值即为D到的距离． 【详解】解：∵是的中线，， ∴． ∵ ，，， ∴ ， 解得． ∵ 是的角平分线， ∴点到的距离等于． 又∵点在上， ∴的最小值就是点到的距离， 即． 变式3-3（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在中，，，，，平分交于点D，点E，F分别是，上的动点，则： （1）的长为______； （2）的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． （1）过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长； 过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作，   平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，连，   平分交于点， 点与点关于对称， 在中，， ， ， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 典例4（26-27八年级上·全国·开学考试）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 题型模版 1.特征：综合运用全等判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）与性质（对应边角相等）解决复杂几何证明或计算。 2.方法：从结论出发逆推需证的全等，再结合已知条件选择适当判定定理，由全等得对应关系完成证明。 变式4-1（26-27八年级上·湖北武汉·开学考试）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 【答案】(1)证明：， ． ． ，， ． ． (2)； 【分析】（1）先由，得，又因为，，即可证明； （2）由，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：略 （2）解：， ． ， ， ， ． （三角形外角性质）． 变式4-2（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ． 变式4-3（25-26七年级下·重庆·期末）已知，连接，点在上（点不与点，点重合），连接，． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点是的内角平分线的交点，连接，，点是的外角平分线的交点，连接，请探究与的数量关系； (3)如图3，若，点是的中点，求证：． 【答案】(1) (2) (3)延长至点，使得，如图所示： ∵点是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）先过点作，再结合平行线的性质，得，即可作答； （2）根据角平分线的定义，以及三角形的内角和性质得，同理得，再结合平行线的性质，得，整理得，最后代入计算，即可作答． （3）运用倍长中线法进行证明，得出，再根据，，证明，即可作答． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 过程如下： ∵点是内角平分线交点， ∴ ∴ ∵， 则 延长至点，如图所示： ∵点是外角平分线交点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 ， ， 即， ∵ ∴， 故． （3）略 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 典例5（25-26七年级上·山东济宁·期中）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”． （一）性质探究：如图1，在中，D是边上的一点，那么和是“朋友三角形”．求证：． （二）知识应用：如图2，正方形的边长为4，点在上，点F在上，，与交于点O． （1）请说出所有的朋友三角形，并说明理由； （2）连接，若和是“朋友三角形”则四边形的面积为___________． 【答案】 （一）∵和是“朋友三角形”， ∴为的中点， ∴， 设到的距离为， ∴，， ∴． （二）（1）的朋友三角形是与，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴与、是“朋友三角形”． （2）8 【分析】本题考查全等三角形的证明及性质，能够理解题干涉及的新定义是解题关键； （一）根据“朋友三角形”得到为的中点，再通过中线的性质可证； （二）（1）先证得，进而得到，再通过平行线性质和角度等量代换可得到，进而，同理可得，再通过“朋友三角形”定义即可求解；（2）通过“朋友三角形”定义得到，再通过三角形面积公式算出，再通过面积的和差关系即可求解． 【详解】解：（一） 略 （二）（1） 略 （2）∵和是“朋友三角形”，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：引入新概念（如“等补点”），将全等与定义结合，求值或证明，重理解与迁移。 2.方法：透彻理解新定义，将其转化为全等条件（如边角关系），选择合适的判定定理证明或列方程求解。 变式5-1（25-26八年级上·福建龙岩·期中）【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 【应用】如图2，和是“友好三角形”，，与相交于点D． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）若的面积为1，点P是直线上的一动点，连接，当图中出现一个三角形和是“友好三角形”时，求出此时的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 【答案】（1）证明：∵和是“友好三角形”， ∴D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的边上的中线， ∴和是“友好三角形”； （2）2或4； （3）或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质及等腰三角形的性质等知识，理解题中新概念是解题的关键． （1）由题意得点D是的中点，再证明，得，从而可证结论成立； （2）分两种情况：当点P在线段的延长线上时；当点P在线段的反向延长线上时；利用“友好三角形”的意义即可求解； （3）分是顶角与底角两种情况考虑，利用三角形内角和求出底角或顶角即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：当点P在线段的延长线上时，如图2， 当时，和是“友好三角形”, ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在线段的反向延长线上时，如图3， 当和是“友好三角形”时,则， ∴， ∴， ∴； 综上，的面积为2或4； （3）解：当是顶角时，则底角为， ∴； 当是底角时，则顶角为， ∴； 综上，k的值为或； 故答案为：或． 变式5-2（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）（1）理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图1，在中，，，． ①若是上一点，，则与______偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若为上一点，当的长为______时，与是偏等积三角形； （2）运用定义：如图2，为上一点，与是偏等积三角形，，，且线段的长为偶数，则的长为______； （3）拓展加深： ①如图3，，，． 求证：与是偏等积三角形； ②如图4，与是偏等积三角形，，，求证：． 【答案】（1）①是；②3； （2）6； （3）①与是偏等积三角形． 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点F，交的延长线于点G，则， ， ， 在和中，， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． ②作，交的延长线于点，作于点， ∵与是偏等积三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查三角形的中线，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，熟练掌握新定义，合理添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分面积，结合新定义进行求解和判断即可； （2）过C作交的延长线于E，根据与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，则有，再证明，得，再根据三角形的三边关系可知，进而可求解； （3）①先证明，再由，，说明与不全等，作于点F，交的延长线于点G，可证明得，即可证明与面积相等，即可解答． ②作，交的延长线于点，作于点，根据新定义，推出，证明，得到，进而得到． 【详解】解：（1）①∵点是上一点，且， 又∵， ∴， 即：为的中点， ∴为的中线， ∴， ∵， ∴不全等， ∴与是偏等积三角形； 故答案为：是； ②∵三角形的中线平分三角形的面积， ∴当为的中线时，与是偏等积三角形，此时； 故当时，与是偏等积三角形； 故答案为：3； （2）如图2，过C作交的延长线于E， 与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， 线段的长为偶数， ； （3）①略 ②略 变式5-3（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) ①延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ；    ② 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论； ②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：①略． ②连接，过点作与延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ．    压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图， 平分， ， ， ， ， ， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如下图， ， ， ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）如图，动点C与线段构成，其边长满足．点D在的平分线上，且，则的面积的最大值为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】延长交于点，首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，进而可求得，结合三角形中线的性质知，确定面积的最大值，即可获得答案． 本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解： 如下图，延长交于点， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，的面积取最大值， 即， ∴． 故选A． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，，，点为射线上的一个动点，分别以，为直角边，点为直角顶点，在两侧作等腰、等腰，连接交于点，当点在射线上移动时，则的长度为（    ）    A．4 B．3 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答． 过点作，垂足为点，首先证明，得到；进而证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，   ， ， ， 、均为等腰直角三角形， ，； 在与中， ， ， ，； ， ， 在与中， ， ， ；而， ， 故选B． 4．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②③若点是线段上的一个动点（点不与点重合），连接，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，则．所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，利用三角形中线的性质及倍长中线的思想是解决问题的关键．根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；延长至，使，易证得，利用三角形三边关系可对②进行判断；再次根据三角形中线定义和三角形面积公式可对③进行判断；由，， ，易证得，可得，即可对④进行判断. 【详解】解：∵是中线， ∴ ∴与的面积相等，故①正确， 延长至，使，如图 ∵， ∴ ∴ 则在中，， ∴，故②正确； 点是线段上的一个动点(点不与点重合)，连接，如图 ∵， ∴， 又∵与的面积相等， ∴的面积和的面积相等，故③不正确， 点是所在直线上的两个动点(点与点不重合)，若，连接，如图， 由，， ， ∴， ∴， ∴，故④正确， 故选：B. 二、填空题 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【答案】2 【分析】根据题意首先要找出与对应的边，结合已知条件可知与相等时，由可判定，据此即可求出的值． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴只有、时，与全等， ∵，， ∴，此时， 在与中， ， ∴， ∴当时，形成的与全等． 6．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，的面积为10，作，且，连接，点为射线上的动点，当的长度最短时，的面积为________． 【答案】1 【分析】先结合垂线段最短，得的延长线，再证明，得，，又因为，证明，故，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，当的长度最短时，即的延长线，如图所示： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的延长线， ∴， ∴， ∴， ∵ 故， ∴， 则， ∴． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 8．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）如图，在中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为t秒（），则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，t的值为________秒． 【答案】、、8 【分析】分当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ①当E在线段上时， 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：； 若，此时点E和点A重合，不符合题意； ②当E在线段延长线上时， 如图：若， ∴， ∵， ∴； 如图：若， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴当或或8秒时，与全等． 三、解答题 9．（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，，，，，点C是线段上一动点，点E是直线上一动点，且始终保持． (1)如图1，求证：． (2)利用图2画图并解答：若，试求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． (2) 如图所示为所求： 的长为 【分析】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形对应边相等的性质的运用，本题中求证是解题的关键． （1）根据，得出，再根据，得出，最后根据同角的余角相等，即可得出； （2）先判定，得出，，进而得出，根据全等三角形的对应边相等，即可得出． 【详解】（1）略 （2）解：在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当___________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据，分类情况讨论解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）分情况讨论： 当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或 11．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，已知中，，．点E为边上的动点，过A作，且，连结交直线于点P． (1)求证：； (2)若，点E为的中点，请求出的值； (3)若点E为射线上的动点，，试求出的值． 【答案】(1) 证明：， ； (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和以及等角对等边即可证明； （2）过F点作于D点，先证明，再证明，即可求解； （3）不防设，则，①当点E在边上时，则，则，则，即可求解；②当点E在边的延长线上时，则，同（2）的方法可证得，此时，则，继而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：过F点作于D点，如图： ， ∵ ， 在和中 ，点E为的中点 在和中 ； （3）解： ∴不防设，则 ①当点E在边上时，则， 由（2）得， ②当点E在边的延长线上时，则， 同（2）的方法可证得， 综上所述，的值为或． 12．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角形． (1)【初步尝试】如图，在中，，，，，点P为上一点，当_____时，与为积等三角形． (2)【理解运用】如图，与为积等三角形，若，，且线段长为正偶数，求AD的长． (3)【综合应用】如图，在中，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接EG，求证：和为积等三角形． 【答案】(1) (2) (3) 证明：如图，过点作，交的延长线于点H， ∵四边形和四边形均为正方形， ∴ ∴ ∴ 在和中    ∴ ∴ ∵；     ∴ ∵是直角三角形，为钝角三角形， ∴和为不全等， ∴和为积等三角形． 【分析】（1）利用三角形中线的性质及积等三角形的定义即可解决问题； （2）过点C作，交的延长线于点E，证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作，交延长线于点H，先证明，得到，依据三角形的面积公式可知，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可． 【详解】（1）解：如图1，中，     ∴； ∵与不全等，与为积等三角形， ∴ ∴ 故答案为：； （2）如图，过点C作，交的延长线于点E， ∵与为积等三角形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵线段长为正偶数 ∴. （3）略 13．（25-26八年级上·广西南宁·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】（1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，则的长为__________． 【理解运用】（2）如图2，与为积等三角形，若，． ①求的取值范围； ②当的长度为正整数时，则． 【综合应用】（3）如图3，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）①；②2；（3）是积等三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ， ； 故答案为：2； （2）①解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， ， ， ， ， ②为正整数， ； 故答案为：2； （3）是积等三角形， 证明：如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 与为积等三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04全等三角形性质和判定的五类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 题型三、 全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 习解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：涉及边角对应关系证明、线段或角相等、图形变换（平移旋转翻折）中的全等。 -解题方法：判定用SSS、SAS、ASA、AAS、HL(Rt△)：性质用于导边导角：找隐含条件（公共边、 对顶角、等角加减)。 -易错提醒：SAS中夹角必须是对应边夹角；判定时误用SSA;对应顶点未对准致边角错配。 同题型归纳 精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、全等三角形性质和判定求解的多解问题 典例1(25-26八年级上福建莆田阶段检测)如图，己知四边形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米， CD=14厘米，∠B=∠C,点E为线段AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点 运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速度为 厘米秒时，能够使 △BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等， 1/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 题型模版 1特征：已知两边一角或两角一边，但对应顺序未定，导致多个满足全等的三角形。 2方法：分类讨论对应顶点顺序（如SAS、ASA、AAS),按不同情况分别作图或列方程求解并验证。 变式1-1(26-27八年级上：江苏南京·开学考试)如图，AB=10cm,BC=16cm,∠B=∠C,如果点P在 线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发以xcm/s的速度沿射线CD运动，经 过t秒后，若以A、B、P为顶点的三角形与以P、C、Q为顶点的三角形全等，则x的值是 D B 变式1-2(25-26七年级下广东梅州期末)如图，在△ABC中，D是BC上的一点，∠A=∠C,AC=18, CD=6 C PO ,动点从点出发向点“运动，速度为1，同时动点从点“出发向点匀速运动，连接、 PD 在运动过程中，存在某一时刻使△CDP与△1PQ 与全等，则点的运动速度为 变式1-3(25-26七年级下宁夏银川期未)如图，CA1AB,垂足为点A,AB=8cm,AC=4cm,射线 BM⊥AB 2 cm/s BN ,垂足为点B,一动点E从B点出发以 的速度沿射线运动，点D为射线BM上一动点， 随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB,，当点E离开点B后，运动S时，△DEB与△BCA全等. 2/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M -N B 题型二、全等三角形性质和判定求多结论问题 典例2(25-26七年级下福建宁德期中)如图，在△ABC中，CD⊥AB,垂足为点D,AD=CD,点E在 线段CD上，连接AE并延长交BC于点F,若ED=BD时，则下列结论中：①AE=BC:②BF=DF: ③AF⊥BC:④∠BFD=45°，其中正确的是. 题型模版 1特征：题干给出多个结论，需判断正误，常综合全等判定与性质进行推理论证。 2方法：先找全等三角形，利用判定定理(SAS、ASA等)证明，再由全等性质（对应边角相等）逐一验 证各结论。 变式2-1(25-26七年级下山东菏泽期末)如图，AB=AD,∠BAD=140°，AB⊥CB于点B,AD⊥CD 于点D,E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF=70°，下列结论中①DF=BE,②△ADF≌△ABE,③ FA平分∠DFE,④EF平分∠AEC,⑤BE+DF=EF.其中正确的结论有 E 变式2-2(25-26七年级下河南开封·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=∠C=45°，D,E是边 BC上两点，过点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,交AF于点F,连接EF, 3/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中DE=EF.下列结论：①D=AE:②∠DME=45”:③考S=10,S=4.则边c=6 ④CE+BD<DE.其中正确的是一·（填序号） D E 变式23(25-26七年级下吉林长春期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，BE是 △ABC的中线，CF平分∠ACB,CF交AD于点G,交BE于点H,给出以下结论：①BF=AF;② ∠4CF+∠MC=90:®∠MG=∠AGF:④Sac=Sa,上述结论中，所有正鸦结论的序号是 G 题型三、全等三角形性质和判定求动点中的最值问题 典例3(25-26七年级下·甘肃张掖期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,△ABC的面积为6，BD 平分∠ABC.若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 M 题型模版 1特征：动点运动中构造全等三角形，求线段或面积最值，常结合二次函数或几何不等式。 2方法：利用全等转化线段（如等量代换），将最值化为二次函数顶点或垂线段最短，结合动点范围求解。 变式3-1(25-26八年级上湖北武汉期末)如图，在△ABC中，AC=6,∠BAC=90°，E,D分别为边AB,AC 4/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上的动点，且B=CD,连接BD,CE.当CE+BD取最小值时， S.BDC+SAEC= 变式3-2(25-26七年级下陕西汉中期末)如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,AF是 △ABD的中线，动点G在BC边上，连接DG.若AB=6,△ABF的面积是3，则DG的最小值为 变式3-3(25-26八年级上浙江杭州阶段检测)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5,AC=12, BC=13,BD平分∠ABC交AC于点D,点E,F分别是BD,AB上的动点，则： D (1)AD的长为 (2)AE+EF的最小值为 题型四、全等三角形性质和判定的综合问题 典例4(26-27八年级上全国开学考试)如图，∠A=∠B,∠I=∠2，点D在AC边上，AE和BD相交于 点O 5/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E △2 D (1)若∠2=40°，求∠AEB的度数： (2)若∠EDC=∠C,求证：△AEC≌△BED 题型模版 1.特征：综合运用全等判定(SS、SAS、ASA、AAS、L)与性质（对应边角相等）解决复杂几何证明 或计算。 2方法：从结论出发逆推需证的全等，再结合已知条件选择适当判定定理，由全等得对应关系完成证明。 变式41(26-27八年级上湖北武汉开学考试)如图，点P,G分别在△ADE的AD,DE边上，C,B依 次为GF延长线上两点，AB=AD,∠BAF=∠CAE,∠B=∠D. (I)求证：BC=DE: (2)若∠B=35°，∠AFB=78°，求∠DGB的度数，并直接写出当∠CAB=_时，DE‖AC 变式42(25-26七年级下广东茂名期末)如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,点D为直线 AB上方一点，且∠ADB=90°，CE⊥AD, E (1)求证：△ACE≌△BAD (2)若BD=9,CE=20,求DE的长. 变式43(25-26七年级下重庆期末)己知AD‖BC,连接AB,点E在AB上（点E不与点A,点B重 合)，连接CE,DE. 6/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠C=30°，∠D=20°，求∠DEC的度数： (2)如图2，点F是△ADE的内角平分线的交点，连接DF,EF,点G是△BCE的外角平分线的交点，连接 CG.EG 请探究F与6的数量关系， (3)如图3，若AE=BC,AD=BE,点F是CE的中点，求证：DE=2BF. 题型五、全等三角形性质和判定的新定义型综合问题 典例5(25-26七年级上山东济宁·期中)定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三 角形”. A D B E 图1 图2 (一)性质探究：如图1，在△ABC中，D是AB边上的一点，那么△ACD和△BCD是“朋友三角形”.求 S.ACD=SBCD 证： (二)知识应用：如图2，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，点F在AD上，AF=BE,AE与BF 交于点O (1)请说出△AOB所有的朋友三角形，并说明理由； 7/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)连接OD,若△AOF和△DOF是“朋友三角形”则四边形CDOE的面积为」 题型模版 1特征：引入新概念（如“等补点”），将全等与定义结合，求值或证明，重理解与迁移。 2方法：透彻理解新定义，将其转化为全等条件（如边角关系），选择合适的判定定理证明或列方程求解。 变式5-1(25-26八年级上福建龙岩·期中)【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做 “友好三角形”. 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等 【理解】如图1，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且 SACD=SABCD 【应用】如图2，△ACD和△BCD是“友好三角形”，ACI‖BE,AB与CE相交于点D. (I)求证：△BCD和△BED是“友好三角形”： (2)若△ACD的面积为1，点P是直线AB上的一动点，连接CPPE,当图中出现一个三角形和△ABC是 “友好三角形”时，求出此时△PBE的面积. 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： (3)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰 △ABC中，∠A=80°，则它的特征值k= 图1 图2 备用图 变式5-2(25-26八年级上广东江门阶段检测)(1)理解定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫 做偏等积三角形。 如图1，在△ABC中，AB=10,AC=6,BC=9 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①若P是4B上-点，40=5，则△CM0与△CB0 ，则 偏等积三角形（填“是”或“不是”）； ②若P为AC上一点，当AP的长为时，△ABP与△CBP是偏等积三角形： (2)运用定义：如图2，D为BC上一点，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB=4,AC=12,且线段 AD的长为偶数，则AD的长为， D 图1 图2 (3)拓展加深： ①如图3，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90(0°<∠BCE<90) 求证：△ACD与△BCE是偏等积三角形： ②如图4，△ABC与△ADE是偏等积三角形，AB=AE,AC=AD,求证：∠BAC+∠DAE=180° D 图3 图4 变式5-3(23-24七年级下·辽宁沈阳阶段检测)【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A,B分别在射线PM,PN上，过点A垂直PM的直线与过点B垂直PN的直线 交于点Q,则我们把∠40B称为∠APB的“边垂角”. 【迁移运用】 图1 图2 图3 图4 ()如图1，CD,BE分别是△ABC的两条高，两条高交于点F,根据定义，我们知道∠DBE是∠DCE的 9/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “边垂角”或∠DCE是∠DBE的“边垂角”，∠DAE的“边垂角”是_： (2)若∠AQB是∠APB的“边垂角”，则∠AQB与∠APB的数量关系是_： (3)若∠ACD是∠ABD的“边垂角”，且AB=AC. ①如图2，已知∠B=∠C,BD交AC于点E,点C关于直线BD对称点为点F,连接AF,EF,且 ∠CAF=45°，∠BAC=90°，求证：BE=CF+CE: 对于上述问题，小明有这样的想法：在BD上截取BH=CF，连接AH,如图3.你明白小明的做法吗？接 下来请你求证BE=CF+CE ②如图4，若CD+BD= 2,直接写出四边形ABDC的面积. ◆ 同压轴挑战一文克高难压轴，定酸思维上保 一、单选题 1.(25-26八年级上湖北武汉阶段检测)如图所示，在△ABC中，∠ABC=80°，BD平分∠ABC,P为 线段BD上一动点，Q为边AB上一动点，当AP+P吧的值最小时，∠APB的度数是() A.120° B.125° C.130° D.135 2.(25-26八年级上安徽六安阶段检测)如图，动点C与线段AB构成△4BC,其边长满足 AB=8,CA=2a+2,CB=2a-4.点D在∠ACB的平分线上，且∠ADC=90°，则△ABD的面积的最大值为 () D C A.12 B.13 C.14 D.15 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级上江苏苏州期中)如图，A0⊥OM,OA=6,点B为射线OM上的一个动点，分别以 OB,AB为直角边，点B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE,连接EF交OM于P 点，当点B在射线OM上移动时，则PB的长度为() O M E A.4 B.3 C.2 D.2.5 4.(25-26八年级上辽宁抚顺期末)如图，△ABC中，AB>AC,AD是△ABC中线，有下面四个结论： ①。4BD与AACD的面积相等；②1D<2(AB+AC):③若点p是线段AD上的一个动点（点p不与点4，D 重合)，连接PB,PC,则△ABP的面积比△ACP的面积大；④点P,Q是A,D所在直线上的两个动点（点P 与点不重合)，若DP=D0,连接PB,QC,则PBI川QC.所有正确结论的序号是() B D A.①②③④ B.①②④ C.②③ D.①④ 二、填空题 5.(25-26八年级下·全国课后作业)如图，AB⊥BC,DC⊥BC,垂足分别为B,C,AB=6,BC=8, CD=2,点P为BC边上一动点，当BP=时，形成的RtAABP与Rt△PCD全等. D ◇ B P 6.(25-26七年级下广东深圳期中)如图，在△ABC中，AC=BC,AB=4,△ABC的面积为10，作 AD⊥AC，,且AD=AC,连接BD,点E为射线AB上的动点，当DE的长度最短时，△BDE的面积为 11/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.(25-26八年级上湖北武汉期末)如图，在△ABC中，AC=6,∠BAC=90°，E,D分别为边AB,AC上的 动点，且1B=CD,连接8D,CE.当CE+BD取最小值时，S .BDC+S.AEC= D 8.(25-26七年级下·江西景德镇期末)如图，在△ABC中∠A=90°，AB=12cm,AC=5cm,过点B作 BM⊥AB.动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AB运动，动点D在射线BM上，随着E点的运动而 运动，始终保持ED=CB,若点E的运动时间为t秒(t>O),则当以B,E,D为顶点的三角形与△ABC 全等时，t的值为 秒. M B N 三、解答题 9.(25-26八年级上广东江门期中)如图，∠B=90°，AB∥DF,AB=4cm,BD=10cm,点C是线段 BD上一动点，点E是直线DF上一动点，且始终保持AC⊥CE 12/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A B D BL 图1 图2 (I)如图1，求证：∠ACB=∠CED (2)利用图2画图并解答：若AC=CE,试求BC的长， 10.(25-26八年级上·全国课后作业)如图①，在Rt△ABC中， ∠C=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P,从点A出发，沿着三角形的边 AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3Cm/s,设运动时间为s. D Q B E C B 图① 图② 备用图 (1)如图①，当t= 时，△APC的面积等于△ABC面积的一半； (2)如图②，在△DEF中，∠E=90°，DE=6cm,DF=7cm,∠D=∠A.在△ABC的边上，若另外有一个动 点卫，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某一时 刻，恰好△APO≌aDEF,求点的运动速度. 11.(24-25八年级上福建泉州期未)如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠ABC=45°.点E为△ABC边 BC上的动点，过A作AF⊥AE,且AF=AE,连结BF交直线AC于点P (I)求证：AC=BC: AP (②)若BC=2,点B为BC的中点，请求出CP的值： 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC 5 AP (3)若点E为射线CB上的动点，BE=4,试求出CP的值。 12.(25-26八年级上江苏泰州：阶段检测)新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作积等三角 形. (①)【初步尝试】如图，在Rt△ABC中，∠C=90,AB=13,BC=12,AC=5,点P为AC上一点，当 AP=时，△ABP与△CBP为积等三角形. B (2)【理解运用】如图，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=3,AC=5,且线段AD长为正偶数，求 AD的长 A B (3)【综合应用】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,AB为边向外作正方形ACFG和正方形 ABDE,连接EG,求证：△AEG和△ABC为积等三角形. F G B 13.(25-26八年级上广西南宁·期中)新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫 做积等三角形. M D 图1 图2 图3 14/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【初步尝试】(I)如图1，在△ABC中，AB>AC,BC=4,P为边BC上一点，若△ABP与△ACP是积 等三角形，则BP的长为 【理解运用】(2)如图2，△ABD与△ACD为积等三角形，若AB=2,AC=4. ①求AD的取值范围： ②当AD的长度为正整数时，则AD= 【综合应用】(3)如图3，在Rt△ABC中∠BAC=90°，AB=AC,过点C作MN⊥AC,点D是射线CM 上一点，以AD为边作Rt△ADE,∠DAE=9O°，AD=AE,连接BE.请判断△BAE与△ACD是否为积等三 角形，并说明理由。 15/15