5.4.3正切函数的性质与图象课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦正切函数的性质与图象，通过回顾正、余弦函数性质导入，构建三角函数学习体系支架，系统呈现定义域、值域、周期、奇偶性、单调性及对称性等核心内容。 其亮点在于设置“明辨是非”辨析易错点，如纠正对称中心认知偏差，“解题有招”总结整体代换等方法，结合典例与即学即练，培养数学抽象、逻辑推理素养，助力学生掌握性质应用，为教师提供结构化教学资源。

5.4.3　正切函数的性质与图象 【学习目标】 1.了解正切函数图象的画法,理解并掌握正切函数的性质.(数学抽象、直观想象) 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.(数学抽象、数学运算) 正切函数y=tan x的性质和图象 解析式 y=tan x 图象 定义域 值域 R 周期 __ π 解析式 y=tan x 奇偶性 奇函数 单调性 在区间__________________上单调递增 对称性 对称中心___________ (-+kπ,+kπ)(k∈Z) (,0)(k∈Z) [思考] 正切函数y=tan x在定义域上是单调递增函数吗? 提示:正切函数在每一个区间(-+kπ,+kπ),k∈Z上单调递增,不能说在定义域上单调递增. [点睛] (1)正切函数无单调递减区间,在每一个区间内都是递增的,并且每个单调区间均为开区间. (2)正切曲线在x轴上方的部分下凸,在x轴下方的部分上凸,画图时,要注意曲线的光滑性及凸凹性. (3)正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的,这些平行直线也称为正切曲线的渐近线,即无限接近但不相交. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正切函数的值域和定义域都是R.( ) 提示:正切函数的值域为R,定义域为{x|x≠+kπ,k∈Z}. (2)正切函数的对称中心为(kπ,0),k∈Z.( ) 提示:正切函数的对称中心为(,0),k∈Z. (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.( ) 提示:正切函数的值域是R,所以正切函数在定义域内无最大值和最小值,故正确. × × √ (4)函数y=|tan x|与y=tan x的周期都是π.( ) 提示:因为函数y=tan x的周期为π. 作出y=|tan x|的图象如图:   由图象可知,y=|tan x|最小正周期也为π. √ 类型1 正切函数的定义域、值域问题(数学抽象) 【典例1】(1)函数y=的定义域为(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.由题意得,tan (x-)≥0,所以kπ≤x-<+kπ,k∈Z, 所以kπ+≤x<+kπ,k∈Z,所以函数的定义域为{x|kπ+≤x<+kπ,k∈Z}. √ (2)函数f(x)=3tan (2x+),x∈[0,]的值域为(　　) A.[,3] B.[,] C.[,3] D.[,] 【解析】选C.因为x∈[0,],所以2x+∈[,],所以tan (2x+)∈[,], 所以3tan (2x+)∈[,3]. √ 【解题有招】 正切函数的定义域、值域问题 (1)求正切函数定义域的方法 ①求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z. ②求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x. (2)求正切函数值域的方法 ①对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域. ②对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域. 【即学即练】 1.函数y=tan(+6x)的定义域为　　　　　　.  【解析】令6x+≠+kπ,k∈Z,解得x≠+,k∈Z. 所以函数的定义域为. 答案: 2.求函数y=-tan 2x+4tan x+1,x∈[-,]的值域. 【解析】因为x∈[-,],所以-1≤tan x≤1. 令tan x=t,则t∈[-1,1]. 所以y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5. 当t=-1,即x=-时,ymin=-4, 当t=1,即x=时,ymax=4, 故所求函数的值域为[-4,4]. 类型2 正切函数单调性及其应用(逻辑推理) 【典例2】(易错·对对碰) (1)下列各式中正确的是(　　) A.tan >tan B.tan (-)<tan (-) C.tan 4>tan 3 D.tan 281°>tan 665° √ 【解析】选C.A.因为tan =tan (π-)=tan (-),且-<, y=tan x在(-,)上单调递增,则tan <tan ,A错; B.因为tan (-)=tan (--3π)=tan (-),tan (-)=tan (-3π-)=tan (-), 又->->-,函数y=tan x在区间(-,)上是增函数, 所以tan (-)>tan (-),B错; C.因为<3<π<4<,所以tan 3<0,tan 4>0,C正确; D.因为tan 281°=tan (360°-79°)=tan (-79°), tan 665°=tan (720°-55°)=tan (-55°),-79°<-55°, 且函数y=tan x在区间(-90°,90°)上是增函数,所以tan 281°<tan 665°,D错. (2)函数f(x)=tan(x+)的单调递增区间为　 .  【解析】令-+kπ<x+<kπ+,k∈Z, 解得-+2k<x<2k+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为(2k-,2k+),k∈Z. 答案:(2k-,2k+),k∈Z (3)函数y=tan(-x+)的单调递减区间为　 .  【解析】y=tan(-x+)=-tan(x-),由kπ-<x-<kπ+(k∈Z), 得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),所以函数y=tan(-x+)的单调递减区间是(2kπ-,2kπ+)(k∈Z). 答案:(2kπ-,2kπ+)(k∈Z) 【解题有招】 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 2.求函数y=tan (ωx+φ)的单调区间的方法 y=tan (ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体,解-+kπ<ωx+φ<+kπ,k∈Z即可.当ω<0时,先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 【即学即练】 利用函数的单调性,比较下列各组数的大小: (1)tan(-3),tan(-3.1);(2)tan ,tan . 【解析】(1)由于-π-<-3.1<-3<-π+,且函数y=tan x在区间(-π-,-π+)上单调递增,因此tan(-3.1)<tan(-3). (2)由于π-<<<π+,且函数y=tan x在区间(π-,π+)上单调递增, 因此tan <tan . 类型3 与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题(逻辑推理) 【典例3】(1)(2025·昆明高一检测)已知函数f(x)=2tan(ωx-)的最小正周期为π,则ω=(　　) A.-1或1　 B.-2或2 C.1　 D.2 【解析】选A.根据题意,=π,可得ω=1或ω=-1. √ (2)函数y=tan x+是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 【解析】选A.函数的定义域是,且tan(-x)+= -tan x-=-(tan x+),所以函数y=tan x+是奇函数. √ 【解题有招】 关于正切函数的对称性和奇偶性 (1)对于函数y=Atan(ωx+φ),可令ωx+φ=,k∈Z,解出x后可得对称中心. (2)对于奇偶性的判断,一是直接利用定义,根据诱导公式变形进行判断;二是根据正切函数是奇函数,利用奇、偶函数的运算性质进行判断. 提醒:正切函数的对称中心为(,0),k∈Z,而不是(kπ,0),k∈Z. 【即学即练】 已知函数f(x)=tan (2x-),则(　　) A.f(x)在定义域内是增函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的最小正周期为π D.f(x)图象的一个对称中心是(,0) √ 【解析】选D.对于A,由于f()=tan (2×-)=>f(π)=tan (2×π-)=-,故A错误; 对于B,由于f(x)在x=0处有定义,但f(0)=tan (-)=-≠0,故B错误; 对于C,f(x)的最小正周期为,故C错误; 对于D,f()=tan (2×-)=0,故(,0)是f(x)的一个对称中心,故D正确. $