第2章 第7讲 指数函数 课后检测能力达标(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

**基本信息** 聚焦指数函数与幂函数核心性质，以题载法构建“概念理解-性质应用-综合拓展”的解题体系，强化数学思维与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |指数函数图象与性质|3题|排除法、定点分析|从单调性判断到图象变换，构建“解析式-图象-性质”关联| |函数大小比较|1题|幂函数与指数函数单调性交叉应用|利用函数增减性实现代数式大小转化，培养推理意识| |复合函数单调性|2题|“同增异减”法则|内层函数与外层函数单调性联动分析，深化逻辑思维| |函数性质综合|4题|换元法、奇函数定义、有界性转化|整合奇偶性、单调性、新定义，形成问题转化能力|

1．(2026·山东部分学校联考)如图所示，若0＜a＜1，函数y＝ax与y＝x＋a的图象可能是(　　) 解析：选C．因为0＜a＜1，所以指数函数y＝ax在R上单调递减，所以排除A和D；对于y＝x＋a，当x＝0时，y＝a，所以y＝x＋a的图象过点(0，a)，因为0＜a＜1，所以B错误，C正确． 2．(2025·北京卷)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点(　　) A．横坐标变成原来的，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 解析：选A．因为y＝9x＝(32)x＝32x，所以只需把函数y＝3x的图象上的所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，即可得到y＝9x的图象． 3．设a＝0.60.2，b＝0.20.2，c＝0.20.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：选B．易知幂函数y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，所以0.60.2>0.20.2，即a>b，又指数函数y＝0.2x在R上单调递减，所以0.20.2>0.20.6，即b>c，于是a>b>c. 4．函数f(x)＝()|x-2|的单调递减区间是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：选B．将原函数看成复合函数y＝()u，u＝|x－2|，因为y＝()u是关于u的减函数，且u＝|x－2|在[2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2]上单调递减，所以由复合函数的性质知f(x)的单调递减区间是[2，＋∞). 5．已知函数y＝a()|x|＋b的图象经过原点，且无限接近于直线y＝2，但又不与该直线相交，则ab＝(　　) A．－1 B．－2 C．－4 D．－9 解析：选C．因为函数y＝a()|x|＋b的图象经过原点，所以a()0＋b＝0，得a＋b＝0，又该函数图象无限接近于直线y＝2，且不与该直线相交，所以b＝2，则a＝－2，所以ab＝－4. 6．(多选)对任意实数a>1，函数y＝(a－1)x-1＋1的图象过定点A(m，n)，f(x)＝的定义域为[0，2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．m＝1，n＝2 B．g(x)的定义域为[0，1] C．g(x)的值域为[2，6] D．g(x)的值域为[2，20] 解析：选ABC．令x－1＝0，得x＝1，此时y＝(a－1)0＋1＝2，所以函数y＝(a－1)x-1＋1的图象过定点A(1，2)，即m＝1，n＝2，A正确； 所以f(x)＝()x＝2x，x∈[0，2]，所以g(x)＝f(2x)＋f(x)＝22x＋2x. 由得0≤x≤1，所以g(x)的定义域为[0，1]，B正确； 易知g(x)在[0，1]上单调递增，所以当x＝0时，g(x)取得最小值，最小值为2，当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为6，所以g(x)的值域为[2，6]，C正确，D错误． 7．若函数f(x)＝＋1的图象关于原点对称，则a＝________． 解析：由题易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0}． 因为函数f(x)的图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，即f(－x)＝－f(x)， 即f(－x)＋f(x)＝0， 所以＋1＋＋1＝0， 即＋1＋＋1＝0， 即＋2＝0，即－a＋2＝0，故a＝2. 答案：2 8．已知a＞0，且a≠1，若函数y＝xa-1在(0，＋∞)上单调递减，则在不等式a3x+1＞a-2x中，x的取值范围是________． 解析：因为函数y＝xa-1在(0，＋∞)上单调递减，所以a－1＜0，即a＜1，因为a＞0，且a≠1，所以0＜a＜1，所以y＝ax是减函数，又a3x+1＞a-2x，所以3x＋1＜－2x，所以x＜－，即x的取值范围是(－∞，－). 答案：(－∞，－) 9．(13分)已知函数f(x)＝2x＋a·2－x. (1)若a＝－4，解不等式f(x)＜0；(5分) (2)若关于x的方程f(x)＋2＝0有解，求实数a的取值范围．(8分) 解：(1)当a＝－4时，f(x)＜0，即2x－4·2－x＜0，化简得(2x)2＜4，又2x＞0，所以0＜2x＜2，解得x＜1，所以原不等式的解集为(－∞，1). (2)方程f(x)＋2＝0，即a＝－(2x)2－2·2x，令t＝2x，t＞0，则a＝－t2－2t＝－(t＋1)2＋1，因为函数y＝－(t＋1)2＋1在(0，＋∞)上单调递减，所以当t＞0时，y＝－(t＋1)2＋1＜－(0＋1)2＋1＝0，所以要使方程f(x)＋2＝0有解，则a＜0，故实数a的取值范围为(－∞，0). 10．已知f(x)＝2x－2－x，则使f(x)<f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是(　　) A． B． C．(－∞，1)∪ D．∪(1，＋∞) 解析：选A．因为f(x)＝2x－2－x＝2x－()x，所以f(x)是增函数， 又因为f(x)<f(－3x2＋4)， 所以x<－3x2＋4，即3x2＋x－4<0， 所以(3x＋4)(x－1)<0，解得－<x<1， 所以实数x的取值范围为(－，1). 11．(多选)(2025·大湾区模拟)设函数f(x)＝，g(x)＝，则(　　) A．函数y＝f(x)·g(x)为奇函数 B．f(2x)＝2f(x)·g(x) C．函数y＝的值域为(－1，1) D．函数y＝在其定义域上为增函数 解析：选ABC．y＝f(x)·g(x)＝， x∈R，令h(x)＝， 则h(－x)＝＝－h(x)， 所以y＝f(x)·g(x)是奇函数，A正确； f(2x)＝，2f(x)·g(x)＝2··＝，所以f(2x)＝2f(x)·g(x)，B正确； y＝＝＝＝1－，其值域为(－1，1)，C正确； y＝＝＝1＋，其定义域为{x|x≠0}，当x＝时，y＝2，当x＝1时，y＝，<2，D错误． 12．当0＜x＜时，方程ax＝(a＞0且a≠1)有解，则实数a的取值范围是________． 解析： 依题意，当x∈(0，)时，y＝ax与y＝的图象有交点，作出y＝，x∈(0，)的图象，如图，所以解得a＞4. 答案：(4，＋∞) 13．(13分)已知定义域为R的函数f(x)＝ax－(k－1)·a－x(a＞0且a≠1)是奇函数． (1)求实数k的值；(5分) (2)若f(1)＜0，判断函数f(x)的单调性，若f(m2－2)＋f(m)＞0，求实数m的取值范围．(8分) 解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数， 所以f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0， 所以k＝2，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax＝－(ax－a－x)＝－f(x)，所以f(x)为R上的奇函数．所以k＝2. (2)由(1)知，f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)，因为f(1)＜0，所以a－＜0， 又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1， 因为y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，故f(x)＝ax－a－x在R上单调递减． 又f(x)为奇函数，所以原不等式可化为f(m2－2)＞f(－m)， 所以m2－2＜－m， 即m2＋m－2＜0，解得－2＜m＜1， 所以实数m的取值范围是(－2，1). 14．(新定义)(15分)定义在区间D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有－M≤f(x)≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的上界．已知f(x)＝4x＋a·2x－2. (1)当a＝－2时，求函数f(x)在(0，＋∞)上的值域，并判断函数f(x)在(0，＋∞)上是否为有界函数，请说明理由；(6分) (2)若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，求实数a的取值范围．(9分) 解：(1)当a＝－2时， f(x)＝4x－2×2x－2＝(2x－1)2－3， 令2x＝t，由x∈(0，＋∞)， 可得t∈(1，＋∞). 令g(t)＝(t－1)2－3，t∈(1，＋∞)， 则g(t)>－3，故函数f(x)在(0，＋∞)上的值域为(－3，＋∞)，故函数f(x)在(0，＋∞)上不是有界函数． (2)由题意知，当x∈(－∞，0)时，－2≤4x＋a·2x－2≤2，可化为0≤4x＋a·2x≤4， 即0≤2x＋a≤.令2x＝k，由x∈(－∞，0)，可得k∈(0，1)，－k∈(－1，0)，由a＋2x≥0恒成立，可得a≥－2x恒成立，解得a≥0. 由2x＋a≤，可得a≤－2x， 令h(k)＝－k(0<k<1)， 可知函数h(k)为减函数， 有h(k)>h(1)＝4－1＝3， 由a≤－2x恒成立， 可得a≤3.综上，0≤a≤3. 故若函数f(x)在(－∞，0)上是以2为上界的有界函数，则实数a的取值范围为[0，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $