第4章 综合拔高练（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 高中数学排列组合与二项式定理单元卷，整合近5年高考真题及模拟题，梯度设计适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择/填空|22|排列组合（排队/选课/分配）、二项式定理（系数/特定项）、创新情境（砝码/杨辉三角）|真题改编（2023-2024全国卷），分层设计（基础到创新），体现数学思维与应用意识|

综合拔高练 高考真题练 考点1　排列、组合及其应用 1.(2024全国甲文,5)甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 2.(2023全国乙理,7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　　) A.30种　　　　　B.60种　　　　　 C.120种　　　　 D.240种 3.(2023新课标Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有　　　　种(用数字作答).  4.(2024新课标Ⅱ,14)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有　　　　种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　.  11 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 5.(2020全国Ⅱ理,14)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有　　　　种.  6.(2024全国甲理,16)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于的概率为　　　　.  7.(2024新课标Ⅰ,14)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为　　　　.  考点2　二项展开式的特定项、项的系数、二项式系数 8.(2024北京,4)在(x-)4的展开式中,x3的系数为(　　) A.6　　　　　B.-6　　　　　C.12　　　　　D.-12 9.(2020全国Ⅰ理,8)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A.5　　　　　B.10　　　　　C.15　　　　　D.20 10.(2024天津,11)在的展开式中,常数项为　　　　.  11.(2024全国甲理,13)的展开式中,各项系数中的最大值为　　　　.  12.(2021浙江,13)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　　　;a2+a3+a4=　　　　.  13.(2020浙江,12)二项展开式(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a4=　　　　,a1+a3+a5=　　　　.  高考模拟练 应用实践 1.(2024湖南长沙雅礼中学月考)(1+2x)4的展开式中x2的系数为(　　) A.10　　　　　B.24　　　　　C.32　　　　　D.56 2.(2025江苏南通通州质量监测)某年暑期档,全国各大院线推出A,B,C,D,E这5部精彩影片.小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看,若两人所选的影片至多有一部相同,且小明一定选看影片B,则两位同学不同的观影方案的种数为(　　) A.12　　　　　B.24　　　　　C.28　　　　　D.36 3.(2025广东大湾区调研)甲、乙等6人围成一圈,且甲、乙两人相邻,则不同的排法共有(　　) A.6种　　　　　B.12种　　　　　C.24种　　　　　D.48种 4.(多选题)(2024浙江绍兴期中)已知在的展开式中,前3项的系数成等差数列,则下列结论正确的是(　　) A.展开式中所有项的系数之和为256 B.展开式中含x的项为T5=x C.展开式中有3项有理项 D.展开式中系数最大的项为第3项和第4项 5.(多选题)(2024江苏扬州第一中学期中)“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图,关于“杨辉三角”,下列叙述正确的是(　　) A.+++…+=120 B.第2 023行中从左往右第1 013个数与第1 014个数相等 C.记第n行的第i个数为ai, D.第20行中第8个数与第9个数之比为8∶13 6.(2025重庆八中开学考试)将1到30这30个正整数分成甲、乙两组,每组各15个数,使得甲组的中位数比乙组的中位数小2,则不同的分组方法数是(　　) A.2()2　　　B.2 C.2　　　D.2()2 7.(创新题·新情境)(2025湖南长沙雅礼中学月考)从质量(单位:克)分别为1,2,3,4,…,10的砝码(每种砝码各2个)中选出若干个,使其总质量恰为9克的方法总数为m,下列各式的展开式中x9的系数为m的是(　　) A.(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x10) B.(1+x)(1+2x)(1+3x)…(1+10x) C.(1+x)2(1+x2)2(1+x3)2(1+x4)2…(1+x10)2 D.(1+x)(1+x+x2)(1+x+x2+x3)…(1+x+x2+…+x10) 8.(2024重庆九龙坡部分学校期中)已知a=1+2+22+23+…+220,则a被10除所得的余数为　　　　　　.  9.(2025湖南常德模拟)已知函数f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)=a1x+a2x2+…+anxn,g(x)=f(x)(x-n)=b1x+b2x2+…+bn+1·xn+1,其中n∈N+,ai∈R(i=1,2,…,n),bi∈R(i=1,2,…,n+1),则a1+a2+…+an=　　　　,b1+nb2+n2b3+…+nn-1bn=　　　　.   答案与分层梯度式解析 综合拔高练 高考真题练 1.B　解法一:画出树状图,如图, 由树状图可得,甲、乙、丙、丁四人排成一列,共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种, 故所求概率P==. 解法二:当甲在排尾,乙在排头时,丙有2种排法,丁有1种排法,共2种排法; 当甲在排尾,乙排在第二位或第三位时,丙有1种排法,丁有1种排法,共2种排法. 所以甲在排尾共4种排法,同理乙在排尾有4种排法,故共有8种排法符合题意. 四人全排列共有=24种排法. 故丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率为=. 2.C　首先确定相同的读物,共有种情况,然后两人各自选择另外一种读物,相当于在剩余的5种读物里,选出2种进行排列,共有种,故共有·=120(种). 3.答案　64 解析　(1)从8门课中选修2门课,且每类选修课选修1门,不同的选课方案有=16(种). (2)从8门课中选修3门课, ①若选择1门体育类选修课,2门艺术类选修课,则不同的选课方案有=24(种); ②若选择2门体育类选修课,1门艺术类选修课,则不同的选课方案有=24(种). 综上所述,不同的选课方案共有16+24+24=64(种). 4.答案　24;112 解析　在4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,相当于4个方格全排列,共有=24种选法. 解法一:由题表可知这四个数的十位数的和一定为1+2+3+4,因此要使和最大,只需比较这四个数的个位数的和,找出个位数和的最大值,经分析可知最大为5+1+3+3,此时这四个数分别为15,21,33,43,其和为112,故最大值为112. 解法二:由题表知,每一列中最下面的数最大,现将前三行中每一个数与该列最大数的差的绝对值算出来,如下表, 4 3 3 4 3 2 1 2 2 2 1 1 要使四个数之和最大,差的绝对值就要最小,故要使四个数之和最大,这四个数应分别为15,21,33,43,和为112. 解法三:当数字排列如表(加阴影的方格中的数字发生变化)时,各行各列数均成等差数列,此时按题意选四个数,和为定值110. 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44 因为第1列、第3列加阴影的方格在原表中分别对应数字15,33,且15>14,33>32,所以若想原表中选出的四个数之和最大,则一定选原表中第1列、第3列加阴影方格中的数字,即一定选15和33, 因为第2列、第4列加阴影的方格在原表中分别对应数字22,40,且22<23,40<41,所以若想原表中选出的四个数之和最大,则一定不选原表中第2列、第4列加阴影方格中的数字,即一定不选22和40. 故要使四个数之和最大,这四个数应分别为15,21,33,43,和为112. 5.答案　36 解析　因为每个小区至少安排1名同学,所以4名同学的分组方案只能为1,1,2,所以不同的安排方法共有×=36(种). 6.答案　 解析　设前3次取出的三个球上的数字分别为a,b,c,则共有=120种不同的取法, 而m=,n=, ∴|m-n|==≤,∴|a+b-2c|≤3,即2c-3≤a+b≤2c+3, ①当c=1时,-1≤a+b≤5,而5≤a+b≤11,∴a+b=5,∴a=2,b=3或a=3,b=2,有2种不同的取法,由对称性知当c=6时,也有2种不同的取法. ②当c=2时,1≤a+b≤7,而4≤a+b≤11,∴4≤a+b≤7,∴a+b的可能取值为4,5,6,7, 若a<b,则a=1,b=3或a=1,b=4或a=1,b=5或a=1,b=6或a=3,b=4,共5种不同的取法, 同理,a>b时也有5种不同的取法,故共有10种不同的取法. 由对称性知,当c=5时,也有10种不同的取法. ③当c=3时,3≤a+b≤9,且a+b≠4,∴a+b的可能取值为3,5,6,7,8,9, 若a<b,则a=1,b=2或a=1,b=4或a=1,b=5或a=2,b=4或a=1,b=6或a=2,b=5或a=2,b=6或a=4,b=5,共8种不同的取法, 同理,a>b时也有8种不同的取法,故共有16种不同的取法. 由对称性知,当c=4时,也有16种不同的取法. ∴满足条件的基本事件共有2+2+10+10+16+16=56(个), ∴所求概率P==. 7.答案　 解析　记标有数字i的卡片为i(i=1,2,…,8). 甲选1时一定会输,所以最多得3分. 要得3分,就只有1种情况:1对8,3对2,5对4,7对6; 要得2分,可有三类情况,分别列举如下: (1)甲选3和选5时赢,选其他时输,有: 1对6,3对2,5对4,7对8,共1种情况. (2)甲选3和选7时赢,选其他时输,有: ①1对4,3对2,5对8,7对6; ②1对8,3对2,5对6,7对4; ③1对6,3对2,5对8,7对4,共3种情况. (3)甲选5和选7时赢,选其他时输,有: ①1对2,3对8,5对4,7对6; ②1对4;3对8,5对2,7对6; ③1对8,3对4;5对2,7对6; ④1对6,3对8,5对2,7对4; ⑤1对8,3对6,5对2,7对4; ⑥1对6,3对8,5对4,7对2; ⑦1对8,3对6,5对4,7对2,共7种情况. 所以共有1+1+3+7=12种情况满足要求, 而甲、乙四轮比赛所有的情况共有=24(种),所以甲得分不小于2的概率为=. 8.A　(x-)4的展开式的通项为Tr+1=x4-r(-)r=·(-1)r,r=0,1,2,3,4, 令4-=3,解得r=2,故x3的系数为(-1)2=6. 9.C　要求(x+y)5的展开式中x3y3的系数,只要分别求出(x+y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可. 由二项式定理可得(x+y)5的展开式中x2y3的系数为=10,x4y的系数为=5,故(x+y)5的展开式中x3y3的系数为10+5=15. 10.答案　20 解析　的展开式的通项为Tr+1=·=36-2rx6r-18,r=0,1,…,6, 令6r-18=0,可得r=3,所以常数项为30=20. 11.答案　5 解析　的展开式的通项为Tr+1=xr,0≤r≤10且r∈N, 设展开式中第r+1项的系数最大,则 解得≤r≤,又r∈N,所以r=8, 所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项的系数为=5. 12.答案　5;10 解析　(x-1)3的展开式的通项为Tk+1=x3-k(-1)k(k=0,1,2,3),(x+1)4的展开式的通项为Tr+1=x4-r(r=0,1,2,3,4).令3-k=3,4-r=3,得k=0,r=1,所以a1=·(-1)0+=5.令x=1,则原式化为24=1+a1+a2+a3+a4, 所以a2+a3+a4=24-a1-1=16-6=10. 13.答案　80;122 解析　(1+2x)5的展开式的通项为Tr+1=(2x)r=2rxr, ∴a4=×24=80,a1+a3+a5=×2+×23+×25=10+80+32=122. 高考模拟练 1.D　(1+2x)4的展开式中x2的系数即(1+2x)4的展开式中x2的系数与x3的系数的和. (1+2x)4的展开式的通项为Tr+1=·2r·xr,令r=2,可得T3=·22·x2=24x2;令r=3,可得T4=·23·x3=32x3,因此x2的系数为24+32=56. 2.D　若两人所选影片均不同,则小明先从除影片B之外的4部影片中选择一部,小华从剩余的3部影片中选择2部,此时有=12种方案; 若两人所选影片中,都包含影片B,则两人从剩余的4部影片中各选1部,有=12种方案; 若两人所选影片中,有1部影片相同,且不为影片B,有种选择,小华再从剩余的3部影片中选择一部,有种选择,故有=12种方案. 综上,共有12+12+12=36种方案. 3.D　因为环状排列没有首尾之分,所以将n个不同元素围成的环状排列“剪开”,看成n个元素排成一排,即共有种排法, 由于n个不同元素共有n种不同的“剪法”,则环状排列共有=(n-1)!种排法. 甲、乙两人相邻而坐,可将甲、乙2人当作1人看,即5人围一圈,有(5-1)!种坐法, 又因为甲、乙2人可换位,所以有=2种坐法,故不同的排法有(5-1)!×2=48(种). 4.BCD　展开式的通项为Tr+1=·()n-r·=··(0≤r≤n,r∈N).由题意,得+=2×·,即n2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去),所以=,Tr+1=··(0≤r≤8,r∈N).对于A,令x=1,则===,故A错误;对于B,令4-r=1,得r=4,此时T5=··x=x,故B正确;对于C,要使Tr+1为有理项,则r为4的倍数,所以当r=0或r=4或r=8时,Tr+1为有理项,所以展开式中有3项为有理项,故C正确;对于D,令解得2≤r≤3,所以展开式中系数最大的项为第3项和第4项,故D正确. 5.CD　++++++=3+6+10+15+21+28+36=119,故A错误; 易知第n行的第i个数为(n≥i), 则第2 023行中从左往右第1 013个数与第1 014个数分别为,,由组合数的性质知=>,故B错误; 易知ai=(n≥i),所以2i-1ai=20+21+…+2n =1n20+1n-121+…+102n=(1+2)n=3n,故C正确; 由==,得第20行中第8个数与第9个数之比为8∶13,故D正确. 6.B　甲、乙两组均为15个数,故中位数为从小到大排列的第8个数,即小于中位数的有7个数,大于中位数的也有7个数, 又甲组的中位数比乙组的中位数小2,所以通过分析可得甲组的中位数为14或15. 若甲组的中位数为14,则乙组的中位数为16,此时从1~13中选7个数放到甲组,剩下的6个数放到乙组,再从17~30中选7个数放到甲组,其余数均在乙组,此时有·种分组方法. 若甲组的中位数为15,则乙组的中位数为17,此时从1~14中选7个数放到甲组,剩下的7个数放到乙组,再从18~30中选7个数放到甲组,其余数均在乙组,此时有·种分组方法. 若甲组的中位数为16,则乙组的中位数为18,此时甲组中小于16的数有7个,乙组中小于 18的数有7个, 从而得到小于18的数有7+7+1=15(个),不符合题意,故舍去. 同理可得,甲组的中位数不能大于15. 若甲组的中位数为13,则乙组的中位数为15,此时甲组中小于13的数有7个,乙组中小于 15的数有7个, 从而得到小于15的数有7+7+1=15(个),不符合题意,故舍去. 同理可得,甲组的中位数不能小于14. 综上,不同的分组方法数有2种. 7.C　选出若干个总质量为9克的砝码,分5种情况讨论: 选出一个质量为9克的砝码,有=2种选法. 选出两个总质量为9克的砝码,有1,8;2,7;3,6;4,5四种情况,共×4=16种选法. 选出三个总质量为9克的砝码,有1,1,7;1,2,6;1,3,5;1,4,4;2,2,5;2,3,4六种情况,共3×+3×=30种选法. 选出四个总质量为9克的砝码,有1,1,2,5;1,1,3,4;1,2,2,4;1,2,3,3四种情况,共4×=16种选法. 选出五个总质量为9克的砝码,有1,1,2,2,3一种情况,共=2种选法. 综上,m=2+16+30+16+2=66. 对于A,求x9的系数可分三类:①由(1+x9)中x9的系数单独组成,系数为1;②x9由两项x与x8,或x2与x7,或x3与x6,或x4与x5组成,系数为4;③x9由三项x,x2与x6,或x,x3与x5组成,系数为2,所以(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x10)的展开式中x9的系数为1+4+2=7,不符合题意,故A错误. 对于B,x9的系数可为10个因式中选9个带x的,剩下1个因式选常数项组成,∴(1+x)(1+2x)(1+3x)…(1+10x)的展开式中x9的系数为9!++++…+,不等于66,故B错误. 对于C,(1+x)2(1+x2)2(1+x3)2(1+x4)2…(1+x10)2 =(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)…(1+x10)(1+x)(1+x2)·(1+x3)(1+x4)…(1+x10), x9的系数为(1+x9)中x9的系数单独组成,其他为常数,则系数为=2; x9由两项x与x8,或x2与x7,或x3与x6,或x4与x5组成,则系数为4×=16; 同理,x9由三项x,x,x7,或x,x2,x6,或x,x3,x5,或x,x4,x4,或x2,x2,x5,或x2,x3,x4组成,则系数为3×+3×=30; 同理,x9由四项x,x,x2,x5,或x,x,x3,x4,或x,x2,x2,x4,或x,x2,x3,x3组成,则系数为4×=16; 同理,x9由五项x,x,x2,x2,x3组成,则系数为=2. 综上,x9的系数为2+16+30+16+2=66,故C正确. 对于D,x9的系数为(1+x+x2+…+x9)与(1+x+x2+…+x9+x10)中x9的系数组成,有=2种情况,系数为2,x9由x与x8两项组成,有=27种情况,系数为27,x9由x2与x7两项组成,有=32种情况,系数为32,x9由x3与x6两项组成,有=35种情况,系数为35,x9由x4与x5两项组成,有=36种情况,系数为36,此时x9的系数为2+27+32+35+36=132>66,x9还有其他组成的情形,所以(1+x)(1+x+x2)(1+x+x2+x3)…(1+x+x2+…+x10)的展开式中x9的系数大于66,故D错误. 8.答案　1 解析　a=20+2+22+23+…+220=(1+2)20=320=910=(10-1)10=1010-×109+×108-…-×10+1=10(109-×108+×107-… -)+1, 所以a被10除所得的余数为1. 9.答案　0;-nn 解析　由f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)=a1x+a2x2+…+anxn,得f(1)=a1+a2+…+an=0. b1x+b2x2+…+bn+1xn+1=g(x)=f(x)(x-n)=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)(x-n),显然bn+1=1, ∴b1x+b2x2+…+bnxn=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)(x-n)-xn+1, 即b1+b2x+…+bnxn-1=(x-1)(x-2)…(x-n+1)(x-n)-xn. 令x=n,得b1+nb2+n2b3+…+nn-1bn=-nn. 7 学科网（北京）股份有限公司 $