第4章 专题强化练13 形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 聚焦二项式定理综合应用，通过拆分转化、通项公式法及分类讨论，系统突破“(a+b)^n·(c+d)^m”与“(a+b+c)^n”型问题，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两项乘积型|1-4题|拆分多项式、通项公式求特定项、系数叠加法|二项式展开→多项式乘法→目标项系数合成| |三项式展开型|5-6题|转化为两项乘积、分类讨论项组合、指数条件分析|三项式→两项式转化→通项指数匹配→参数确定|

专题强化练13　形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题 1.(2025甘肃平凉期中)在的展开式中,常数项为(　　) A.28　　　　　B.-28　　　　　C.-56　　　　　D.56 2.(2025云南德宏州阶段测试)(2x+1)的展开式中含x2的项的系数为(　　) A.10　　　　　B.20　　　　　C.-10　　　　　D.-20 3.(2025山东济南第一中学学情检测)已知(3x-1)(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中含x4的项的系数为(　　) A.20　　　　　B.25　　　　　C.30　　　　　D.35 4.(x2+2)3·的展开式中的常数项是(　　) A.15　　　　　B.-15　　　　　C.7　　　　　D.-7 5.(2025广东东莞第四高级中学月考)(x2+x+1)·(x-1)3的展开式中x4的系数为　　　　.  6.(2025湖南湘潭期末)已知(1+x+x2)·的展开式中没有常数项,n∈N+,且2≤n≤7,则n=　　　　.  答案与分层梯度式解析 专题强化练13　形如“(a+b)n·(c+d)m”及“(a+b+c)n”的问题 1.A　因为x3-2x+==,所以=,又因为(x2-1)8的展开式中x4的系数为(-1)6=28,所以所求常数项为28. 2.B　(2x+1)=2x+, 的展开式的通项为Tr+1=x5-r=(-1)r·x5-2r,r=0,1,2,3,4,5. 令5-2r=1,得r=2,可得T3=(-1)2x=10x; 令5-2r=2,得r=∉Z,不合题意. 所以含x2的项的系数为2×10=20. 3.B　∵所有项的系数之和为64,∴(3-1)(1+1)n=64,∴n=5,则(3x-1)(x+1)n=(3x-1)(x+1)5, (x+1)5的展开式的第r+1项为Tr+1=x5-r,r=0,1,2,3,4,5. 当r=2时,T3=x3=10x3,3x·10x3=30x4, 当r=1时,T2=x4=5x4,(-1)×5x4=-5x4. 30x4-5x4=25x4,故展开式中含x4的项的系数为25. 4.B　易得(x2+2)3=x6+6x4+12x2+8,的展开式的通项为Tr+1=··(-1)r=·(-1)r·x2r-14(0≤r≤7,r∈N).令2r-14=-6,得r=4,故T5=·(-1)4·x-6=35x-6,令2r-14=-4,得r=5,故T6=·(-1)5· x-4=-21x-4,令2r-14=-2,得r=6,故T7=·(-1)6·x-2=7x-2,令2r-14=0,得r=7,故T8=·(-1)7·x0=-1,所以(x2+2)3·的展开式中的常数项为35×1+(-21)×6+7×12+(-1)×8=-15. 5.答案　-2 解析　(x-1)3的展开式的通项为Tk+1=x3-k(-1)k,0≤k≤3,k∈N,则(x2+x+1)(x-1)3中含x4的项有两类: ①x2··(-1=·(-1·,0≤k1≤3,k1∈N,令5-k1=4,则k1=1,此时x2··(-1=·(-1)1·x5-1=-3x4; ②x··(-1=·(-1·,0≤k2≤3,k2∈N,令4-k2=4,则k2=0,此时x··(-1=·(-1)0·x4-0=x4. 综上所述,(x2+x+1)(x-1)3的展开式中,含x4的项为-3x4+x4=-2x4,其系数为-2. 6.答案　5 解析　由题意知的展开式中没有常数项,没有含x-1的项,没有含x-2的项,∵的展开式的通项为Tr+1=xn-r=xn-4r(0≤r≤n,且r∈N),∴n-4r不能为0,-1,-2. 若n=4,则n-4r可以为0; 若n=3或n=7,则n-4r可以为-1; 若n=2或n=6,则n-4r可以为-2. 只有当n=5时,n-4r不能为0,-1,-2,故n=5. 7 学科网（北京）股份有限公司 $