第4章 计数原理 本章复习提升（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 高中数学单元复习卷，聚焦排列组合与二项式定理，通过易混易错练（8题）与思想方法练（9题），强化抽象能力与推理意识，适配单元巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择（含多选）|8题|计数原理（第1题）、排列组合应用（第3题）、二项式定理（第7题）|针对重复遗漏、特殊元素考虑不周等易错点，结合节目单插入、志愿者排列等情境| |填空|2题|相同元素排列（第5题）、有限制条件组合（第6题）|突出排列与组合区分，渗透分类讨论思想| |解答|2题|二项式系数与系数（第8题）、综合应用（第9题）|融合函数与方程思想，强化运算能力与逻辑推理|

本章复习提升 易混易错练 易错点1　计数时重复或遗漏致错 1.(2023陕西咸阳旬邑中学期中)从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线方程Ax+By=0的系数,则最多可得到不同的直线的条数为(　　) A.18　　　　　B.20　　　　　C.25　　　　　D.10 2.(2024福建漳州期末)某班联欢会原定的3个节目已排出节目单,开演前又增加了2个节目,如果将这2个新节目插入到节目单中,那么不同的插法种数为(　　) A.12　　　　　B.20　　　　　C.24　　　　　D.30 易错点2　对特殊元素或特殊位置考虑不周致错 3.(2025山东青岛即墨期中)将0,1,2,10四个数字排成一行,可组成不同的5位数的个数是(　　) A.6　　　　　B.12　　　　　C.15　　　　　D.18 4.(2024广东梅州月考)甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念,若甲与乙相邻、丙不排在两端,则不同的排法种数为(　　) A.1 120　　　　　B.7 200　　　　　 C.8 640　　　　　D.14 400 易错点3　不能正确区分排列与组合问题致错 5.将大小、形状相同的3个红球和5个白球排成一排,不同的排列方法有　　　　种.  6.某校要从甲、乙、丙、丁等10人中挑选3人参加马拉松比赛,其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲、乙不同时参加,丙、丁也不同时参加,则不同的报名方案有　　　　种.  易错点4　混淆展开式中项的系数与二项式系数致错 7.(多选题)(2024湖北武汉期末)在的展开式中,下列说法正确的是(　　) A.所有项的二项式系数之和为128 B.所有项的系数之和为1 C.二项式系数最大的项为第4项 D.有理项共有3项 8.(2025黑龙江齐齐哈尔第八中学校月考)已知的展开式的二项式系数之和为128. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 思想方法练 一、分类讨论思想在排列、组合中的应用 1.甲、乙、丙3位志愿者被安排在星期一至星期五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有(　　) A.20种　　　　　B.30种　　　　　 C.40种　　　　　D.60种 2.(2024河南商丘二十校期中)“凸数”是一个位数不低于3,且最中间的数位上的数字比两边的数字都大的奇位数,则没有重复数字且大于564的三位数中,“凸数”的个数为(　　) A.147　　　　　B.112　　　　　C.65　　　　　D.50 二、转化与化归思想在排列、组合中的应用 3.某教师一天上3个班级的课,每班上1节,如果一天共9节课,上午5节,下午4节,并且教师不能连上3节课(第5节和第6节不算连上),那么这位教师一天的课表的所有不同排法有(　　) A.474种　　　　　B.77种　　　　　 C.462种　　　　　D.79种 4.现有红色、黄色小球各两个,蓝色小球一个,所有小球彼此不同,现将五个小球排成一行,颜色相同者不相邻,则不同的排法种数为(　　) A.48　　　　　B.72　　　　　C.78　　　　　D.84 三、整体思想在排列、组合中的应用 5.(2025重庆第一中学月考)我校田径队有十名队员,分别记为A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,为完成某项训练任务,现将十名队员分成甲、乙两队.将A,B,C,D,E五人排成一行形成甲队,要求A与B相邻,C在D的左边,剩下的五位队员排成一行形成乙队,要求F与G不相邻,则不同的排列方法的种数为(　　) A.432　　　　　B.864　　　　　C.1 728　　　　　D.2 592 6.中国古代儒家要求学生掌握六种技能:礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动,每天连排六节,每艺一节,要求“礼”和“数”不能相邻,“射”和“乐”必须相邻,则每天的“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有(　　) A.24种　　　　　B.72种　　　　　 C.96种　　　　　D.144种 四、函数与方程思想在二项式定理中的应用 7.(2024山东菏泽期中)已知(1-2x)n(其中n∈N+且n≥5)的展开式中x3与x4的系数互为相反数,则n=(　　) A.5　　　　　B.6　　　　　C.7　　　　　D.8 8.已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,若a2=5,则m=　　　　;a1+a3+a5=　　　　.  9.(2025甘肃张掖期末)在的展开式中,前三项的系数的绝对值成等差数列. (1)求n; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中所有项的系数的绝对值之和. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.A　第一步,给A赋值,有5种选择,第二步,给B赋值,有4种选择,由分步乘法计数原理知,可得到5×4=20条直线,但A=1,B=2与A=2,B=4时表示同一条直线,且A=2,B=1与A=4,B=2时也表示同一条直线,∴最多可得到不同的直线的条数为20-2=18. 易错警示　　　在解本题时要注意直线方程的特征,不要想当然地认为只要选取两个不同的数作为A,B就可得到不同的直线,从而得出错误答案.实际上,当A=1,B=2与A=2,B=4时,得到的是同一条直线;当A=2,B=1与A=4,B=2时,得到的也是同一条直线.所以进行计数时,不但要懂得灵活应用计数原理,更要考虑问题的实际情况,避免重复计数. 2.B　若2个新节目相邻,则在原定3个节目产生的4个空位中,选1个位置安排2个新节目,且2个新节目的顺序可变,此时有=8种插法; 若2个新节目不相邻,则在原定3个节目产生的4个空位中,选2个位置安排2个新节目,且2个新节目的顺序可变,此时有=12种插法. 所以共有8+12=20种插法. 3.C　将0,1,2,10四个数字排成一行,且数字0不在首位, 则有=18种排法, 数字1和0相邻且1在0之前的排法有=6(种),去掉重复的数(类似10 102这样的数),则满足题意的不同的5位数的个数为18-=15. 易错警示　在与数字有关的排列问题中,易忽略“0”对特殊位置的要求,造成错解. 4.B　甲与乙相邻有种不同的排法,将甲与乙看作一个整体,与除丙外的5人全排列,有种不同的排法,此时形成5个空(不含两端),再将丙插入到这5个空中,有种不同的排法,所以共有=7 200种不同的排法. 易错警示　　　对于特殊元素或特殊位置的排列、组合问题,要先“特殊”再“一般”,先易后难,如本题中先解决甲、乙相邻问题,再解决丙不排在两端;反过来先解决丙不排在两端,再解决甲、乙相邻问题,会增加解题难度导致错误.另外利用“捆绑法”解决相邻元素的排列问题时,要注意捆绑对象本身的内部排列. 5.答案　56 解析　8个球排好后对应着8个位置,相当于在8个位置中选出3个位置给红球,剩下的位置给白球,这3个红球完全相同,所以没有顺序,是组合问题,这样共有=56种排法. 易错警示　本题是相同元素的排列问题,可以看成一个组合问题,要注意3个红球与5个白球都是无差别的. 6.答案　84 解析　对于甲、乙、丙、丁这4个人,分3种情况讨论:①只从甲、乙中选出1人参加,有=30种报名方案;②只从丙、丁中选出1人参加,有=30种报名方案;③从甲和乙、丙和丁中各选1人参加,有=24种报名方案.故共有30+30+24=84种不同的报名方案. 7.AB　对于A,所有项的二项式系数之和为27=128,故A正确;对于B,令x=1,得(2-1)7=1,即所有项的系数之和为1,故B正确;对于C,二项式系数最大的项为第4项或第5项,故C错误;对于D,展开式的通项为Tr+1=·(2x)7-r=(-1)r27-r,r=0,1,2,…,7,显然当r=0,2,4,6时为有理项,所以有理项有4项,故D错误. 8.解析　(1)由题意得2n=128,∴n=7,∴(x+3x2)n即(x+3x2)7,其展开式的通项为Tr+1=r7-r(3x2)r=3rx7+r,r=0,1,2,…,7. 易知二项式系数最大的项为第4,5项, 则T4=33x7+3=945x10,T5=34x7+4=2 835x11. (2)设展开式中系数最大的项为第r+1项, 则 即 解得5≤r≤6, 因为r=0,1,2,3,4,5,6,7,所以r=5或r=6,所以展开式中系数最大的项为第6,7项, 故T6=35x7+5=5 103x12,T7=36x7+6=5 103x13. 易错警示　(a+b)n的展开式中,第r+1项的二项式系数是(r=0,1,2,…,n),仅与n,r有关;第r+1项的系数为该项字母前的数连同符号,不一定是二项式系数.注意二项式系数一定为正,而对应项的系数可能为负,解题时不要将两者混淆. 思想方法练 1.A　甲是特殊元素,甲安排在另外两位前面,即只能在星期一、二、三参加,分情况讨论并求解. 分3种情况讨论:甲在星期一参加,有=12种安排方法;甲在星期二参加,有=6种安排方法;甲在星期三参加,有=2种安排方法.故共有12+6+2=20种安排方法. 2.C　根据题意,分4种情况讨论. 三位数中百位数字是5的“凸数”,十位数字分别为7,8,9,此时个位数字分别有6,7,8种情况,故共有21个“凸数”; 三位数中百位数字是6的“凸数”,十位数字分别为7,8,9,此时个位数字分别有6,7,8种情况,故共有21个“凸数”; 三位数中百位数字是7的“凸数”,十位数字分别为8,9,此时个位数字分别有7,8种情况,故共有15个“凸数”; 三位数中百位数字是8的“凸数”,十位数字为9,此时个位数字有8种情况. 所以没有重复数字且大于564的三位数中,“凸数”的个数为21+21+15+8=65. 思想方法　分类讨论思想在排列组合中的应用重点在于根据具体问题的条件确定分类标准,利用计数原理解决问题.分类时要确定恰当的分类标准,要做到不重不漏. 3.A　根据题意,该教师所有的上课方法有种,连着上3节课的情况有5种, 将所求问题转化为相反问题,即求连着上3节课的情况种数,利用总的情况种数减去连上3节课的情况种数即可,体现了转化的思想. 则所求的排法种数为-5=474. 4.A　将所求问题转化为相反问题,即求颜色相同的小球相邻的排法种数,再用总的排法种数减去该排法种数,体现了转化的思想. 五个小球全排列,共有=120种排法.当两个红色小球与两个黄色小球分别相邻时,共有=24种排法;当两个红色小球相邻,两个黄色小球不相邻时,共有=24种排法;当两个红色小球不相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法.∴颜色相同的小球不相邻的排法共有120-24-24-24=48(种). 思想方法　转化与化归思想在排列、组合中的应用主要体现在当直接求解分类情形较多,计算较复杂时,可以采用逆向思维,转化为所求问题的反面,利用间接法求解.注意当题目出现的限制条件较多时,可以考虑只对其中一个较复杂的条件使用间接法. 5.C　先排甲队,将A与B捆绑,有=2种排列方法, 将A与B看作一个整体,体现了整体思想. 现在相当于4人全排列,且C在D的左边,则共有=12种排列方法,故一共有2×12=24种排列方法; 利用插空法排乙队,先排H,J,K,再把F,G插入形成的4个空中,共有=72种排列方法. 故共有24×72=1 728种排列方法. 6.D　因为“射”“乐”相邻,所以将“射”“乐”看成一个整体,体现了整体思想. 将“射”和“乐”看成一个整体,与“御”和“书”全排列,有种排法,因为“礼”和“数”不能相邻,所以将“礼”“数”插在前边产生的4个空中,有种情况,所以不同的排课顺序有=144(种). 思想方法　整体思想在排列、组合中的应用主要体现在有特殊元素、特殊位置的题目中,可以把要求相邻的元素看成一个整体,再和其他元素进行排列或组合.此外还应注意看成一个整体的元素内部是否还有顺序的要求. 7.A　(1-2x)n的展开式的通项为Tr+1=1n-r(-2x)r=(-2)rxr,0≤r≤n,n∈N, 依题意,得(-2)3+(-2)4=0, 则2·=, 又n≥5,所以=1,所以n=5. 根据二项展开式的通项及题意构造关于n的方程. 8.答案　-1;0 解析　(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=xr(0≤r≤5,r∈N),令r=1,则T2=x1=5x;令r=2,则T3=x2=10x2,所以(1+mx)(1+x)5的展开式中含x2的项为10x2+mx·5x=5x2,故m=-1,故(1+mx)(1+x)5=(1-x)(1+x)5.令x=1,则(a0+a2+a4+a6)+(a1+a3+a5)=(1-1)×(1+1)5=0;令x=-1,则(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5)=(1+1)×(1-1)5=0.所以a1+a3+a5=0. 9.解析　(1)的展开式的通项为Tr+1=()n-r·=(0≤r≤n,r∈N). 因为前三项的系数的绝对值成等差数列, 所以2·=+, 化简得n2-9n+8=0,解得n=8或n=1. 易知n≥2,所以n=8. (2)由(1)知n=8,故原式的展开式共9项,故二项式系数最大的项为第5项,即T5==70×=. (3)展开式中所有项的系数的绝对值之和为·++…+==. 思想方法　函数与方程思想在二项式定理中的应用主要有:(1)求展开式中的特定项;(2)求与系数和有关的问题;(3)求展开式中系数最大的项. 7 学科网（北京）股份有限公司 $