第3章 专题强化练8 直线与圆锥曲线的位置关系（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线位置关系，以题载法系统整合中点弦、离心率、焦点弦等核心问题，通过方程思想与转化思维培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |中点弦问题|1-2题|点差法、韦达定理求中点坐标|直线方程设元→曲线方程联立→中点坐标关系推导| |离心率计算|2-5题|几何性质转化、方程思想求e|焦点/顶点坐标→斜率关系→a,b,c等式推导| |焦点弦与斜率|4-6题|参数方程、定义法处理焦点弦|焦点坐标→直线方程→韦达定理求斜率比值| |切线与综合|8-11题|切线方程求法、向量关系转化|切线性质→圆方程构建→弦长公式应用|

专题强化练8　直线与圆锥曲线的位置关系 1.(2025山西运城期中)已知抛物线C:y2=2x,过点M的直线l与C交于A,B两点,且M为弦AB的中点,则直线l的方程为(　　) A.6x+6y-7=0　　　　　B.6x-6y-1=0 C.2x-6y-5=0　　　　 　D.12x-6y-5=0 2.(2025浙江宁波中学期中)已知椭圆+=1(a>b>0),点F为左焦点,点P为下顶点,平行于FP的直线l交椭圆于A,B两点,且AB的中点为M,则椭圆的离心率为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 3.(2025重庆南开中学期中)已知双曲线x2-=1的左顶点和右焦点分别为A,F,O为坐标原点,经过点A的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于点M,N,设MN的中点为P,满足|OP|=|PF|,则直线l的斜率为(　　) A.±　　　　　B.± C.±　　　　　D.± 4.(2023广东阳江期末)已知A,B分别为双曲线Γ:x2-=1的左、右顶点,过双曲线Γ的左焦点F作直线PQ,交双曲线于P,Q两点(点P,Q异于点A,B),则直线AP,BQ的斜率的比值=(　　) A.-　　　　　B.-3　　　　　C.-　　　　　D.- 5.(2024天津静海一中月考)直线l与双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行,且l过抛物线C:y2=4x的焦点,交C于A,B两点,若|AB|=6,则E的离心率为(　　) A.2　　　 　　B.　　　　　 C.　　　　　D. 6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于M,N两点,O为坐标原点,直线x=-4与MO,NO的延长线分别交于P,Q两点,则=(　　) A.16　　　　　B.12　　　　　C.9　　　　　D.8 7.(多选题)(2025江苏常州金坛期中)已知F,F'分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,AE⊥x轴,垂足为E,BE与椭圆C的另一个交点为P,则(　　) A.四边形AFBF'的周长为8 B.+的最小值为 C.直线BE的斜率为2k D.·=0 8.(2025甘肃甘南月考)已知抛物线C:y2=4x,过点A(-1,0)作C的两条切线,切点分别为B,D,则过点A,B,D的圆截y轴所得的弦长为　　　　.  9.(2025黑龙江龙东联盟期中)已知椭圆C:+=1,过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若点B在线段FM上,则-=　　　　.  10.(2025山东德州期中)已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,点P(2,m)在抛物线上,且|PF|=4. (1)求抛物线的方程及m; (2)斜率为2的直线l与抛物线交于点A,B(A在第一象限内),与x轴的交点为M(M,F不重合),若=2,求△ABF的周长. 11.(2024湖南益阳月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,且离心率为,点M为椭圆上一动点,△F1MF2的面积的最大值为1. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若M是椭圆C的上顶点,直线MF1交椭圆C于另一点N,过点F1的直线l(不与直线MF1重合)与椭圆C交于P,Q两点,点P在点Q的上方.若∶=3∶2,求直线l的方程. 答案与分层梯度式解析 专题强化练8　直线与圆锥曲线的位置关系 1.D　显然直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x-=t,联立消去x得y2-2ty+t-=0, 又弦AB的中点为M,所以yA+yB=2t=×2,解得t=,满足Δ>0, 所以直线l的方程为x-=,即12x-6y-5=0. 2.A　易知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F(-c,0),下顶点P(0,-b),设A(x1,y1),B(x2,y2), ∵线段AB的中点为M,∴x1+x2=2,y1+y2=1. ∵FP∥l,∴kFP=kl=-=. 由+=1,+=1,两式相减得+=0, 整理得=-·,即-=-, ∴2bc=a2,∴4b2c2=4c2(a2-c2)=a4, 可化为4e4-4e2+1=0,∴e2=,又0<e<1,∴e=. 3.A　由|OP|=|PF|,知P在线段OF的中垂线上,又F(2,0),所以点P在直线x=1上, 易知双曲线的渐近线方程为y=±x,设直线l:x=ky-1,k≠0,k≠±,则P, 联立得x=,y=, 不妨令N,同理可得M, 因为线段MN的中点为P,所以 解得k=±,所以直线l的斜率为±. 4.B　由双曲线方程得a=1,b=,c=2,故F(-2,0),A(-1,0),B(1,0).设直线PQ:x=my-2,m≠±,P(x1,y1),Q(x2,y2).由消去x并整理得(3m2-1)y2-12my+9=0,∴y1+y2=,y1y2=,两式相除得m=×①,∴=×==②,将①代入②,得===-3. 5.B　双曲线E的渐近线方程为y=±x,不妨设直线l的方程为y=x+m(m≠0),易知抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),则×1+m=0,即m=-,所以直线l的方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得b2x2-(4a2+2b2)x+b2=0,所以x1+x2=,根据抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+2=6,即+2=6,即2a2=b2,又因为c2=a2+b2,所以3a2=c2,所以e==. 6.A　易得F(1,0),当直线l与x轴垂直时,△MON∽△POQ,所以==16. 当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),P(-4,yP),Q(-4,yQ), 联立消去y并整理可得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1x2=1,则==·=·==16. 综上,=16. 7.ABD　由已知得a=2,所以|AF|+|AF'|+|BF|+|BF'|=2a+2a=4a=8,A正确; 易知|AF|+|BF|=2a=4,则+=··(|AF|+|BF|)=≥×(5+4)=,当且仅当=,即|BF|=2|AF|=时等号成立,B正确; 不妨令点A在第一象限内,设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),E(x0,0),k=,所以kBE===k,C错误; 直线BE的方程为y+y0=k(x+x0), 由消去y得x2-ky0x+-4=0,显然-x0是此方程的一个解,则xP-x0==, 故xP=+x0=, 因此yP=k-y0=, 所以kAP===-,kAPkAB=-×k=-1,所以直线AP与AB垂直,即·=0,D正确. 8.答案　2 解析　设过点A(-1,0)的直线方程为x=my-1,联立可得y2-4my+4=0,由Δ=16m2-16=0,解得m=±1,即y2±4y+4=0,得y=±2,不妨设B(1,-2),D(1,2),则BD的中垂线方程为y=0,即圆心在x轴上,易知点(1,0)到点A,B,D的距离都相等,所以圆心坐标为(1,0),半径为2,圆的方程为(x-1)2+y2=4,令x=0,解得y=±,故圆截y轴所得的弦长为2. 9.答案　-6 解析　易得右焦点F(2,0),设直线AB:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2), 则-=-=, 由可得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0, 所以x1+x2=,x1x2=, 所以-==-6. 10.解析　(1)由抛物线的定义可得|PF|=2+=4,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x, 将点P的坐标代入抛物线方程可得m2=8×2,解得m=±4. (2)设点M(n,0),n≠2,因为直线l的斜率为2,所以直线l的方程为x=y+n, 设点A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0, 由=2,可得(n-x1,-y1)=2(x2-n,y2),则-y1=2y2,即y1=-2y2, 联立可得y2-4y-8n=0,由Δ=16+32n>0,可得n>-, 由根与系数的关系可得y1+y2=4,y1y2=-8n, 所以y1+y2=y1-y1=y1=4,所以y1=8,y2=-4, 所以-8n=y1y2=-32,解得n=4, 所以|AB|=·|y1-y2|=×12=6, |AF|+|BF|=x1+x2+4=(y1+y2)+8+4=14, 所以△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|=14+6. 11.解析　(1)△F1MF2面积的最大值为|F1F2|·b=·2c·b=bc=1, 又因为=,a2=b2+c2,所以b=c=1, 所以a=,故椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)由题可得直线MF1的方程为y=x+1, 联立得N,则=. 因为∶=3∶2, 所以|NF1|·|QF1|sin∠QF1N=|MF1|·|PF1|sin∠PF1M,得|QF1|=2|PF1|, 当直线l的斜率为0时,不符合题意, 设直线l的方程为x=my-1(m≠1),P(x1,y1),Q(x2,y2),由点P在点Q的上方,得y2=-2y1.联立得(m2+2)y2-2my-1=0, 则 则-2=,得m2=,所以m=±, 又因为y1+y2==-y1<0,所以m=-, 故直线l的方程为7x+y+7=0. 7 学科网（北京）股份有限公司 $