第3章 专题强化练10 定点、定值及探究性问题（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定点、定值及探究性问题，通过定义法、坐标法、方程联立等系统方法，构建“概念-推导-应用”逻辑链条，培养逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析与简单应用|1题（多选）|定义应用、坐标设参、斜率计算|圆锥曲线定义→标准方程→几何性质→直线与曲线位置关系| |几何性质与斜率关系|2题（填空）|几何性质转化、重心坐标关系|同上| |综合证明与探究|3-4题（解答）|定值证明（斜率乘积）、定点探究（方程参数分析）|同上|

专题强化练10　定点、定值及探究性问题 1.(多选题)(2025湖北宜昌远安第一高级中学月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,过抛物线C的焦点F的直线l交C于A,B两点,则下列说法正确的是(　　) A.抛物线C的方程为y2=4x B.设Q(3,2),则△QAF周长的最小值为4 C.若=2,则直线l的斜率为2或-2 D.x轴上存在一点N,使kAN+kBN为定值 2.(2025浙江七彩阳光新高考研究联盟期中)已知椭圆Ω的中心位于原点,焦点在x轴上,F1,F2分别为Ω的左、右焦点,动点P在Ω上(异于Ω的左、右顶点),△PF1F2的重心为G,若直线GF1与GF2的斜率之积为非零常数λ,则λ=　　　　.  3.(2025广东广州华南师范大学附属中学期中)已知椭圆C的焦点为F1(-,0),F2(,0),左、右顶点分别为A,B,点P为椭圆C上异于A,B的动点,△PF1F2的周长为4+2. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设直线PB交直线x=4于点T,连接AT,交椭圆C于点Q,直线AP,AQ的斜率分别为kAP,kAQ. (i)证明:kAP·kAQ为定值; (ii)设直线PQ:x=ty+n,证明:直线PQ过定点. 4.(2024湖南岳阳一中月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),设P是双曲线C上任意一点,O为坐标原点,F为双曲线的右焦点,A1,A2分别为双曲线的左、右顶点. (1)已知无论点P在双曲线右支的何处,总有|PO|>|PF|,求的取值范围; (2)设过右焦点F的直线l交双曲线于M,N两点,M在第一象限内,如图1,若△OMN为等边三角形,求的值; (3)若a=2,b=,动点Q在双曲线上,且与双曲线的顶点不重合,直线QA1和直线QA2与直线x=1分别相交于点S和T,如图2,是否存在定点E,使得ES⊥ET恒成立?若存在,请求出定点E的坐标;若不存在,请说明理由. 　　 答案与分层梯度式解析 专题强化练10　定点、定值及探究性问题 1.ACD　A选项,由题意得=1,则p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x,故A正确; B选项,过点A作准线的垂线,垂足为C,交y轴于A1,易得F(1,0),根据抛物线的定义可得|AF|=|AC|, ∴△QAF的周长为|AF|+|AQ|+|QF|=|AC|+|AQ|+=|AC|+|AQ|+2, 当A,C,Q三点共线时,|AC|+|AQ|有最小值,最小值为Q到准线x=-1的距离,即3-(-1)=4, ∴△QAF周长的最小值是4+2,故B错误; C选项,设直线AB的方程为x=my+1, 联立整理可得y2-4my-4=0,易知Δ>0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=4m,y1y2=-4, ∵=2,∴y2=-2y1,则y2=8m,y1=-4m, ∴y1y2=-32m2=-4,解得m2=,∴k=±=±2,故C正确; D选项,设在x轴上存在一点N(t,0), 则kAN+kBN=+=+ = ==, 当t=-1时,kAN+kBN=0,即存在点N(-1,0)使得kAN+kBN为定值,故D正确. 2.答案　- 解析　设椭圆Ω的标准方程为+=1(a>b>0),点F1(-c,0),F2(c,0),G(x0,y0),则P(3x0,3y0), 将(3x0,3y0)代入Ω的方程,得+=1①, 又因为·=λ,所以=λ,即+=1②, 由①②得=,=,即a2=9c2,b2=-9λc2, 又c2=a2-b2,所以c2=9c2+9λc2,解得λ=-. 3.解析　(1)可设椭圆C:+=1(a>b>0),由题意知c=,又△PF1F2的周长为2a+2c=4+2,所以a=2, 所以b==1, 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)(i)证明:设P(x1,y1)(x1≠±2),Q(x2,y2),T(4,m), 由(1)可知A(-2,0),B(2,0), 所以kAP=,kAQ=kAT=, 因为kBP=kBT,即=,所以m=, 所以kAP·kAQ=·=·=, 又+=1,所以=(4-), 所以kAP·kAQ=-=-. (ii)证明:联立得(t2+4)y2+2tny+n2-4=0, 又P(x1,y1)(x1≠±2),Q(x2,y2),所以 由(i)可知,kAP·kAQ=-,即·==-, 所以=-, 即=-, 整理得=-,所以n=1, 所以直线PQ的方程为x=ty+1, 所以直线PQ过定点,且定点坐标为(1,0). 4.解析　(1)设点P(x0,y0),x0≥a,则|PO|2=+,|PF|2=+, 要使|PO|>|PF|,则|PO|2>|PF|2,化简得x0>, ∵x0≥a,∴<a,即<a2,即<3, 又∵a>0,b>0,∴的取值范围是(0,). (2)若△OMN为等边三角形,则|OM|=|ON|,故xM=xN,直线l的斜率不存在,故直线l:x=c,则xM=xN=c,yM=, ∵△OMN为等边三角形,∴c=yM,即c2=,即a2+b2=,∴=. (3)由题知双曲线C的方程为-=1,A1(-2,0),A2(2,0),设点Q(x1,y1),则-=1, 易得直线QA1:y=(x+2),则S, 直线QA2:y=(x-2),则T, 由Q点在双曲线上,且双曲线关于x轴对称得,若存在定点E,使得ES⊥ET恒成立,则点E只能在x轴上,设E(t,0),则·=0, ∴(1-t)2+=(1-t)2-=0,解得t=-或t=, ∴存在满足题意的定点E,其坐标为或. 7 学科网（北京）股份有限公司 $